最新初中数学几何专题讲解训练----几何旋转题型(解析版)
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
BAD CAE ，则有 ABC ∽ADE ．
AB AD BD ， ABD ACE ， ADB AEC ， AC AE CE
一．考点： 1．旋转全等模型； 2．旋转相似模型； 3．旋转中的轨迹与最值问题；
二．重难点：
1．这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再 去选择是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明． 2．观察图形发现旋转得到的相似； 3．通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形． 三．易错点： 1．在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题； 2．构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件． 3．全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系．
例 1.1.2
（1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F 分别是边 BC、CD 上的 1 点，且∠EAF= ∠BAD． 2 求证：EF=BE+FD；
（ 2）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD，∠ B+∠ D=180°， E、 F 分别是边 BC、 CD 上的点，且 1 ∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ 2
则△BAE≌△BCK， ∴BE=BK，∠ABE=∠KBC， ∵∠FBE=60°，∠ABC=120°， ∴∠FBC+∠ABE=60°， ∴∠FBC+∠KBC=60°， ∴∠KBF=∠FBE=60°， 在△KBF 和△EBF 中，
BK BE KBF EBF BF BF
∴△KBF≌△EBF， ∴KF=EF， ∴KC+CF=EF， 即 AE+CF=EF． 图 3 不成立， AE、CF、EF 的关系是 AE①CF=EF．
①①①①①①①①①①①
2．等边三角形的旋转
①①①①①①①①①①①
3．等腰直角三角形的旋转
①①①①①①①①①①①①①
三．对角互补模型 四边形对角互补模型 多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体．
四．旋转相似模型 共顶点相似的一般三角形模型：
如 图 ， 图 中 ABD ∽ACE ， 得 到
【答案】 【解析】
图 2 成立，证明见解析，图 3 不成立，图 3 中 AE、CF、EF 的关系是 AE①CF=EF ∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE 和△CBF 中，
AB BC A C 90 ， AE CF
∴△ABE≌△CBF（SAS）； ∴∠ABE=∠CBF，BE=BF； ∵∠ABC=120°，wenku.baidu.comMBN=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴AE=
最新初中数学几何专题讲解训练----几何旋转题型
一．半角模型 “半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉 及．
二．等腰三角形旋转模型 等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转 化，证明的基本思想“ SAS ”． 1．一般等腰三角形的旋转
题模一：旋转与全等
例 1.1.1 已知四边形 ABCD 中， AB=BC，∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它 的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．
当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF； 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2． ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∴∠GAE=∠EAF． 又 AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD （2）（1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立． （3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE①FD．
1 1 BE，CF= BF； 2 2
∵∠MBN=60°，BE=BF， ∴△BEF 为等边三角形； ∴AE+CF=
1 1 BE+ BF=BE=EF； 2 2
图 2 成立，图 3 不成立． 证明图 2． 延长 DC 至点 K，使 CK=AE，连接 BK， 在△BAE 和△BCK 中，
AB CB A BCK 90 AE CK
1 ∠BAD． 2
证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF． ∵AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF． ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD =∠EAF=
1 ∠BAD． 2
为等腰直角三角形； （3）将图 1 中△BCE 绕点 B 旋转到图 3 位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之， 若不成立，请说明理由．
∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF ∵EG=BE①BG ∴EF=BE①FD．
例 1.1.3 如图，已知 △BAD 和 △BCE 均为等腰直角三角形，∠ BAD=∠ BCE=90°，点 M 为 DE 的 中点，过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N． （1）当 A，B，C 三点在同一直线上时（如图 1），求证：M 为 AN 的中点； （2）将图 1 中的△BCE 绕点 B 旋转，当 A，B，E 三点在同一直线上时（如图 2），求证：△ACN
（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上 1 的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它 2 们之间的数量关系，并证明．
【答案】 【解析】
（1）证明见解析（2）成立（3）EF=BE①FD （1）延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG．
AB AD BD ， ABD ACE ， ADB AEC ， AC AE CE
一．考点： 1．旋转全等模型； 2．旋转相似模型； 3．旋转中的轨迹与最值问题；
二．重难点：
1．这类题的关键是找到题目中所给的特殊条件，结合问题所要证明或者求解的边长角度问题，再 去选择是要构造旋转全等还是通过已经得到的旋转全等的性质进一步证明． 2．观察图形发现旋转得到的相似； 3．通过添加辅助线构造旋转相似或者去挖掘隐含的相似图形． 三．易错点： 1．在利用旋转构造全等的时候注意辅助线的做法问题； 2．构造旋转全等时候一定要有相等边长的条件． 3．全等是相似的一个特例，旋转有时候也会出现全等，注意和旋转全等的区别和联系．
例 1.1.2
（1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F 分别是边 BC、CD 上的 1 点，且∠EAF= ∠BAD． 2 求证：EF=BE+FD；
（ 2）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD，∠ B+∠ D=180°， E、 F 分别是边 BC、 CD 上的点，且 1 ∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？ 2
则△BAE≌△BCK， ∴BE=BK，∠ABE=∠KBC， ∵∠FBE=60°，∠ABC=120°， ∴∠FBC+∠ABE=60°， ∴∠FBC+∠KBC=60°， ∴∠KBF=∠FBE=60°， 在△KBF 和△EBF 中，
BK BE KBF EBF BF BF
∴△KBF≌△EBF， ∴KF=EF， ∴KC+CF=EF， 即 AE+CF=EF． 图 3 不成立， AE、CF、EF 的关系是 AE①CF=EF．
①①①①①①①①①①①
2．等边三角形的旋转
①①①①①①①①①①①
3．等腰直角三角形的旋转
①①①①①①①①①①①①①
三．对角互补模型 四边形对角互补模型 多数题目给出的条件会以四边形或三角形等旋转为载体．
四．旋转相似模型 共顶点相似的一般三角形模型：
如 图 ， 图 中 ABD ∽ACE ， 得 到
【答案】 【解析】
图 2 成立，证明见解析，图 3 不成立，图 3 中 AE、CF、EF 的关系是 AE①CF=EF ∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE 和△CBF 中，
AB BC A C 90 ， AE CF
∴△ABE≌△CBF（SAS）； ∴∠ABE=∠CBF，BE=BF； ∵∠ABC=120°，wenku.baidu.comMBN=60°， ∴∠ABE=∠CBF=30°， ∴AE=
最新初中数学几何专题讲解训练----几何旋转题型
一．半角模型 “半角”旋转模型，经常会出现在等腰直角三角形、正方形中，在一般的等腰三角形中也会有涉 及．
二．等腰三角形旋转模型 等腰三角形的旋转模型比较多，此模型需要注意的是利用“全等三角形”的性质进行边与角的转 化，证明的基本思想“ SAS ”． 1．一般等腰三角形的旋转
题模一：旋转与全等
例 1.1.1 已知四边形 ABCD 中， AB=BC，∠ ABC=120°，∠ MBN=60°，∠ MBN 绕 B 点旋转，它 的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E，F．
当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF； 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴AG=AF，∠1=∠2． ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF= ∴∠GAE=∠EAF． 又 AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． ∵EG=BE+BG． ∴EF=BE+FD （2）（1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立． （3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE①FD．
1 1 BE，CF= BF； 2 2
∵∠MBN=60°，BE=BF， ∴△BEF 为等边三角形； ∴AE+CF=
1 1 BE+ BF=BE=EF； 2 2
图 2 成立，图 3 不成立． 证明图 2． 延长 DC 至点 K，使 CK=AE，连接 BK， 在△BAE 和△BCK 中，
AB CB A BCK 90 AE CK
1 ∠BAD． 2
证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF． ∵AB=AD， ∴△ABG≌△ADF． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF． ∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD =∠EAF=
1 ∠BAD． 2
为等腰直角三角形； （3）将图 1 中△BCE 绕点 B 旋转到图 3 位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之， 若不成立，请说明理由．
∴∠GAE=∠EAF． ∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF ∵EG=BE①BG ∴EF=BE①FD．
例 1.1.3 如图，已知 △BAD 和 △BCE 均为等腰直角三角形，∠ BAD=∠ BCE=90°，点 M 为 DE 的 中点，过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N． （1）当 A，B，C 三点在同一直线上时（如图 1），求证：M 为 AN 的中点； （2）将图 1 中的△BCE 绕点 B 旋转，当 A，B，E 三点在同一直线上时（如图 2），求证：△ACN
（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上 1 的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它 2 们之间的数量关系，并证明．
【答案】 【解析】
（1）证明见解析（2）成立（3）EF=BE①FD （1）延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG．