一次函数和二次函数相交的问题
2020年中考代数综合第4讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题
2020 年中考代数综合第 4 讲：二次函数图象与一次函数图象交点问题【案例赏析】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【专项突破】4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线y＝﹣x2+bx+c 在第一象限内的部分记为图象G，如果过点P（﹣3，4）的直线y＝mx+n（m≠0）与图象G 有唯一公共点，请结合图象，求n 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C1：y＝x2+bx+c 与x 轴交于点A，B（点A 在点B 的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．（1）求抛物线C1 的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2 围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l 与图形M 有公共点，求k 的取值范围．【参考答案】1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝+2x﹣a+1 与y 轴交于C 点，与x 轴交于A，B两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为﹣1．（1）求a 的值；（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为P′，求点P′的坐标；（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A，B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m＞0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G 与直线PP'无交点，求m 的取值范围．【分析】（1）把A（﹣1，0）代入抛物线解析式，列出关于a 的一元一次方程，通过解该方程求得a 的值；（2）根据（1）中抛物线解析式求得顶点P 的坐标，然后由关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数来求点P′的坐标；（3）由点P、P′的坐标求得直线PP′的解析式，然后根据平移的性质并结合图形进行答题．【解答】解：（1）∵A（﹣1，0）在抛物线上，∴，∴解得a＝﹣2．（2）∴抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3．∴抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点P的坐标为（1，4）．∴．∵点P 关于原点的对称点为P'，∴P'的坐标为（﹣1，﹣4）．（3）直线PP'的表达式为y＝4x，图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（﹣1，﹣3），B'的坐标为（3，﹣3），若图象G 与直线PP'无交点，则B'要左移到M 及左边，令y＝﹣3 代入PP'，则，M 的坐标为，∴，【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征．此题中的点A 的坐标是隐含在题中的一个已知条件．2.抛物线y1＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）与x 轴交于A、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C，OB＝OC．（1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y1 向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P，若点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，直线y2 向下平移n 个单位，当平移后的直线与P 有公共点时，求n 的取值范围．【分析】（1）由抛物线的解析式易求点C 的坐标，进而可求出点B 的坐标，把点B 的坐标代入抛物线的解析式可求出m 的值，则抛物线的解析式也可求出；（2）由点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，可知t＝﹣3，若y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，若y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，进而可求出n 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C，∴C（0，﹣3）．∵抛物线与x 轴交于A、B 两点，OB＝OC，∴B（3，0）或B（﹣3，0）．∵点A 在点B 的左侧，m＞0，∴抛物线经过点B（3，0）．∴0＝9m+3（m﹣3）﹣3．∴m＝1．∴抛物线的表达式为y1＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）可知：y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵点C 在直线y2＝﹣3x+t 上，∴t＝﹣3，∴y2＝﹣3x﹣3，y1 向左平移n 个单位后，则表达式为：y3＝（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n 时，y 随x 增大而增大，y2 向下平移n 个单位后，则表达式为：y4＝﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P 有公共点，则当x＝1﹣n，y3≤y4，即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移、二次函数和坐标轴的交点问题以及二次函数增减性等知识，熟练掌握二次函数的各种性质特别是平行的性质是解题关键．3.已知关于x 的一元二次方程mx2+（3m+1）x+3＝0．（1）求证：该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3与x轴交于A、B两个整数点（点A在点B左侧），且m 为正整数，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y＝mx2+（3m+1）x+3 与y 轴交于点C，点B 关于y 轴的对称点为D，设此抛物线在﹣3≤x≤﹣之间的部分为图象G，如果图象G 向右平移n （n＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．【分析】（1）先求出根的判别式△，判断△的取值范围，即可得证；（2）根据求根公式表示出两根，由题意，求出m 的值，可得抛物线的解析式；（3）点求出点A，B，C，D 的坐标，根据待定系数法求出直线CD 的解析式，设平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），根据点在直线上，求出取值范围即可．【解答】（1）证明：由根的判别式，可得：△＝（3m+1）2﹣4×m×3＝（3m﹣1）2，∵（3m﹣1）2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根；（2）解：令y＝0，那么mx2+（3m+1）x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣，∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数，∴m＝1，∴抛物线的解析式为：y＝x2+4x+3；（3）如图，∵当x＝0 时，y＝3，∴C（0，3），∵当y＝0 时，x1＝﹣3，x2＝﹣1，又∵点A 在点B 的左侧，∴A（﹣3，0），B（﹣1，0），∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D（1，0），设直线CD 的解析式为：y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CD 的表达式为：y＝﹣3x+3，又∵当x＝﹣时，y＝，∴点E（﹣，），∴平移后，点A，E的对应点分别为A′（﹣3+n，0），E′（﹣+n，），当直线y＝﹣3x+3 经过点A′（﹣3+n，0）时，得：﹣3（﹣3+n）+3＝0，解得：n＝4，当直线y＝﹣3x+3经过点E′（﹣+n，），时，得：﹣3（﹣+n）+3＝，解得：n ＝，当抛物线与直线相切情况，此时n＝∴n 的取值范围是≤n≤．【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，抛物线与x 轴的交点及二次函数的图象的性质，熟知抛物线与x 轴的交点坐标的横坐标即相应的一元二次方程的解是解决此题的关键．4．已知关于x 的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次方程y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 的图象经过坐标原点，求抛物线的解析式；（3）在直角坐标系xOy 中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b 的取值范围．【分析】（1）本题中，二次项系数m 的值不确定，分为m＝0，m≠0 两种情况，分别证明方程有实数根．（2）抛物线经过原点，c＝0，列出方程即可解决．（3）列出方程组，有两个交点，△＞0，即可求出b 的取值范围．【解答】解：（1）分两种情况讨论．①当m＝0 时，方程为x﹣2＝0，x＝2．∴m＝0 时，方程有实数根．②当m≠0 时，则一元二次方程的根的判别式△＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣2）＝9m2﹣6m+1﹣8m2+8m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，∴m≠0 时，方程有实数根．故无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．综合①②可知，m 取任何实数，方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2＝0 恒有实数根；（2）∵抛物线y＝mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2 经过原点，∴2m﹣2＝0，∴m＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x．（3）函数图象如图所示，由消去y 得到x2﹣3x﹣b＝0，∵两个函数图象有两个交点，∴△＞O，∴9+4b＞0，∴b＞﹣时直线y＝x+b 与（2）中的函数图象只有两个交点．【点评】本题考查了一元二次方程的根的情况，二次函数与对应的一元二次方程的联系，讨论一次函数与二次函数图象交点的情况，记住两个函数图象有两个交点，说明方程组有两组解，利用判别式解决问题，属于中考常考题型．5.已知关于x 一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根（1）求k 取值范围；（2）当k 最小的整数时，求抛物线y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3 的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（3）将（2）中求得的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到x 轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m 有三个不同公共点时m 值．【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3＝0 有两个不相等的实数根，可知根的判别式△＞0，即可求出k 的取值范围；（2）根据k 的取值范围可得当k＝0 时，为k 最小的整数，进而可求出顶点坐标以及它与x 轴的交点坐标；（3）（2）画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过原二次函数与x 轴的交点A（即左边的交点），可将A 点坐标代入直线的解析式中，即可求出m 的值；②原二次函数图象x 轴以下部分翻折后，所得部分图象仍是二次函数，该二次函数与原函数开口方向相反、对称轴相同、与x 轴的交点坐标相同，可据此判断出该函数的解析式，若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x 的一元二次方程，那么该方程的判别式△＝0，根据这一条件可确定m 的取值．【解答】解：（1）由题意，得△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0，∴k＞﹣1，∴k 的取值范围为k＞﹣1；（2）∵k＞﹣1，且k 取最小的整数，∴k＝0．∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），∵y＝x2﹣2x﹣3 的图象与x 轴相交，∴0＝x2﹣2x﹣3，∴解得：x＝﹣1 或3，∴抛物线与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）；（3）翻折后所得新图象如图所示．平移直线y＝x+m 知：直线位于l1 和l2 时，它与新图象有三个不同的公共点．①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），∴0＝﹣1+m，即m＝1．②当直线位于l2 时，此时l2 与函数y＝﹣x2+2x+3 的图象有一个公共点，∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m＝0 有两个相等实根，∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，即m＝．当m＝时，x1＝x2＝满足﹣1≤x≤3，由①②知m＝1 或m＝．【点评】此题考查了二次函数图象与坐标轴交点及顶点坐标的求法、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．6.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+mx+n经过点A（﹣1，a），B（3，a），且最低点的纵坐标为﹣4．（1）求抛物线的表达式及a 的值；（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D，点P 是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围．【分析】（1）根据点A、B 的坐标可以得到对称轴方程为x＝1，结合已知条件得到该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），则易求该抛物线的解析式；（2）通过图象可以看出点B 纵坐标t 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx+n过点A（﹣1，a），B（3，a），∴抛物线的对称轴x＝1．∵抛物线最低点的纵坐标为﹣4，∴抛物线的顶点是（1，﹣4）．∴抛物线的表达式是y＝2（x﹣1）2﹣4，即y＝2x2﹣4x﹣2．把A（﹣1，a ）代入抛物线表达式，求出a＝4；（2）∵抛物线顶点C（1，﹣4）关于y 轴的对称点为点D，∴D（﹣1，﹣4）．求出直线CD 的表达式为y＝﹣4．求出直线BD 的表达式为y＝2x﹣2，当x＝1 时，y＝0．所以﹣4＜t≤0．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与几何变换．需要学生具备画图的能力和识别图形的能力，要熟练掌握．7.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y＝mx2﹣2mx+m﹣4（m≠0）的顶点为A，与x 轴交于B，C两点（点B在点C左侧），与y轴交于点D．（1）求点A 的坐标；（2）若BC＝4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C，D 之间的部分记为图象G（包含C，D 两点）．若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．【分析】（1）把一般式配成顶点式即可得到A 点坐标；（2）已知BC＝4，由（1）可知抛物线对称轴为x＝1，所以可知B 点坐标，将其代入抛物线方程可求得m 的值，于是得到抛物线解析式；②由m＝1即可得到B（﹣1，0），C（3，0），再求出D（0，﹣3），画出抛物线，通过画图可得当k＞0 时，直线y＝kx+b 过A、C 时，k 最大；当k＜0，直线y＝kx+b 过A、D 时，k 最大，然后分别求出两直线解析式即可得到k 的范围．【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx+m﹣4＝m（x﹣1）2﹣4，所以抛物线的顶点A的坐标为（1，﹣4）；（2）①∵BC＝4，抛物线的对称轴为x＝1，点 B 在点C 左侧，∴点B坐标为（﹣1，0），点C坐标为（3，0），将B（﹣1，0）代入y＝m（x﹣1）2﹣4，得：0＝4m﹣4，解得m＝1所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；②B（﹣1，0），C（3，0），当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则D（0，﹣3），如图，当直线y＝kx+b 过A、C 时，直线解析式为y＝2x﹣6；当直线y＝kx+b 过A、D 时，直线解析式为y＝﹣x﹣3，所以若过点A 的直线y＝kx+b（k≠0）与图象G 有两个交点，k 的取值范围为0＜k≤2 或﹣1≤k＜0．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和一次函数图象的性质．8.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．，（1） 求抛物线的表达式；（2） 抛物线 y ＝﹣x 2+bx +c 在第一象限内的部分记为图象 G ，如果过点 P （﹣3，4）的直线 y ＝mx +n （m ≠0）与图象 G 有唯一公共点，请结合图象，求 n 的取值范围．【分析】（1）将点 A 、B 坐标代入二次函数解析式即可求得；（2）如图，先求出直线 PB 解析式．从而知其与 y 轴的交点 E ，由图象知过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象 G 有唯一公共点，据此解答可得．【解答】解：（1）将 A 、B 两点的坐标代入抛物线的表达式中，得：， 解得∴抛物线的表达式为 y ＝﹣x 2+2x +3．（2）设抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 与 y 轴交于点 C ，则点 C 的坐标为（0，3）．抛物线 y ＝﹣x 2+2x +3 的顶点坐标为（1，4）．设直线 PB 解析式为 y ＝kx +b ，将点 P （﹣3，4）、B （3，0）代入，得：，∴直线 PB 的表达式为，∴与 y 轴交于点 E （0，2）．∵直线 PD 平行于 x 轴，∴与 y 轴交于点 F （0，4）．由图象可知，当过点 P 的直线与 y 轴交点在 C 、E （含点 C ，不含点 E ）之间时，与图象G 有唯一公共点，另外，直线 PD 与图象 G 也有唯一公共点，但此时 m ＝0．∴n 的取值范围是 2＜n ≤3．【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及二次函数图象上的点的坐标特征，根据函数图象得出过点的直线与图象 G 有唯一公共点时，与 y 轴交点的范围是解题的关键，9. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C 1：y ＝x 2+bx +c 与 x 轴交于点 A ，B （点 A 在点 B 的左侧），对称轴与 x 轴交于点（3，0），且 AB ＝4．（1） 求抛物线 C 1 的表达式及顶点坐标；（2） 将抛物线 C 1 平移，得到的新抛物线 C 2 的顶点为（0，﹣1），抛物线 C 1 的对称轴与两条抛物线 C 1，C 2 围成的封闭图形为 M ．直线 l ：y ＝kx +m （k ≠0）经过点 B ．若直线 l 与图形 M 有公共点，求 k 的取值范围．，解得：【分析】（1）利用对称轴与x轴交于点（3，0），AB＝4可得A，B坐标，将A，B坐标代入y＝x2+bx+c 可得解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）利用平移后的C2的顶点为（0，﹣1），可得抛物线C2的解析式，易得抛物线C1的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点E，当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，代入y＝kx+m（k≠0）可得k BD，将点B（5，0）和点E（3，8）代入y＝kx+m（k≠0）可得k BE，易得k 的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线C1的对称轴与x轴交于点（3，0），∴抛物线C1 的对称轴为直线x＝3．又∵AB＝4，∴A（1，0），B（5，0）．∴解得∴抛物线C1 的表达式为y＝x2﹣6x+5．即y＝（x﹣3）2﹣4．∴抛物线C1的顶点为D（3，﹣4）．（2）∵平移后得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），∴抛物线C2 的表达式为y＝x2﹣1．∴抛物线C1 的对称轴x＝3 与抛物线C2 的交点为E（3，8）①当直线l 过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，得解得k BD＝2．②当直线l 过点B（5，0）和点E（3，8）时，得解得k BE＝﹣4，∴结合函数图象可知，k 的取值范围是﹣4≤k≤2 且k≠0．【点评】本题主要考查了二次函数的性和二次函数图象与几何变换，利用代入法求交点是解答此题的关键．第21页（共21页）。
九年级数学上册专题突破19二次函数和反比例函数解密二次函数与一次函数的交点问题新
解密二次函数与一次函数的交点问题1. 知识载体ymxnmnm≠0）+ （1（）一次函数解析式:为常数且=、2acabyaxbxc :,=为常数且+,+≠0）（（2）二次函数解析式解题思想2.数形结合（把交点问题转化为方程问题求解）解题方法3.求这两个函数的交点坐标或交点个数需要把一次函数解析式和二次函数解析式联立方程组y?mx?n?，整理后得到一个新的一元二次方程，根据判别式来确定交点的个数：?2y?ax?bx?c??一次函数与二次函数有两个交点；0 （1）△＞?二次函数与一次函数有一个交点；）△=0 （2?二次函数与一次函数没有交点。
0 （3）△＜注意：（2）△=0是（1）和（3）的分界点，所以在解决问题时往往利用△=0求出参数的值，从而确定所求范围。
2?2xx?1y?y?x?n，分析两图象的交点个数。
抛物线解析式为：，直线解析式为：例22AxABxymxm在轴交于例题1 （历下区二模）已知二次函数的图象与=﹣2两点（点+、﹣422xyDmxmxmBy轴下方的部分的图象在=﹣1时，将函数=﹣﹣点2的左边），且与轴交于点4。
当+QQx有两个公共与图象沿图象的其余部分保持不变，轴翻折，得到一个新的图象当直线。
b点时，求实数的取值范围。
22mxxxymxmm=0得﹣2+2+，解得﹣4=0==，﹣2，令答案：212mDBAmm ﹣4，，0））（0，∴（2﹣，0），（+2，2BAymxx，﹣0，则﹣3，（﹣30），（1，），顶点为（﹣14）时，﹣当=1=+21x??by Q有两个公共点，因为直线与图象213x?y?bb?A，则当直线点时过22 111x?bb?y?B，，0当直线过）时，（122731?bx?by?2xxy只有一个公共点时，﹣2，与+3当直线=﹣1627331bb根据图象，可得﹣＞＜。
＜或2216Q抛折后直线与翻键题的关，还要注意的点拨：弄清直线与图象的交点个数情况是解法。
b的求切物线相时，2BaxybxA，0），）两点。
二次函数与一次函数交点问题
二次函数与一次函数交点问题1. 一次函数（直线）：情况一：一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 为定值时，通过平移去讨论产生的交点问题． 如：b x y +=2是与x y 2=平行的一组直线。
情况二：当一次函数)0(≠+=k b kx y 中，b 为定值时，此时一次函数过定点(0,b)，可以通过旋转的方式， 从而讨论交点个数问题．如：3+=kx y 是过定点），（30的直线； k kx y +=是过定点），（31-的直线。
2. 一次函数与二次函数交点问题情况一：一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠产生交点，求交点坐标方法。
联立二次函数与一次函数的解析式⎩⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2=-++=n c x ax y ，解此一元二次方程即可。
例：一次函数1+=x y 与二次函数322--=x x y 交于A 、B 两点，求交点坐标。
解：联立⎩⎨⎧=+=3-2-12x x y x y 整理得：1322+=--x x x即：0432=--x x ∴.1421-==x x ；∴.0521==y y ；∴A （4,5）、B （-1,0）情况二：当n 为何值时，一次函数()0y kx n k =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠只有一个交点？有两个交点？无交点？联立二次函数与一次函数的解析式⎩⎨⎧++=+=c x ax y n kx y b 2 ， 整理为0k)-b (2=-++=n c x ax y ，∵ 二次函数c x ax y ++=b 2与一次函数n kx y +=只有一个交点，两个交点，无交点， ∴ 令0=∆，0>∆，0<∆，即可求得n 的值或范围.例：一次函数n x y +=与二次函数322--=x x y 只有一个交点，求n 的值。
解：联立⎩⎨⎧=+=3-2-2x x y n x y 整理得：n x x x +=--322即：0-332=--n x x令0=∆，即0-3-4-9=）（n ∴421-=n。
一次函数与二次函数相交引出的问题
一次函数与二次函数相交引出的问题
郭奕津
【期刊名称】《初中数语外辅导》
【年(卷),期】2000(000)001
【摘要】中考数学的最后一、两道题一般都是考查代数、几何中多个知识点综合运用能力的试题，考生们常常不知从何下手，丢分较多。
本期起，我刊特别开辟此栏目，精选全国各地中考压轴试题进行精析、精解，帮助你闽过难关，决胜中考!【总页数】2页(P25-26)
【作者】郭奕津
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633
【相关文献】
1.一次函数和二次函数中的“恒成立问题”
2.关于一次函数和二次函数迭代的一些问题
3.一次函数与反比例函数相交问题的再探究
4.精选问题引出新知,明辨重点突破难点——以二次函数单元起始课为例
5.探讨一次函数和二次函数中恒成立问题
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一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x与抛物线y=-x2交于A、B两点.21 (2)记一次函数y=x的函数值为y i,二次函数y=^x2 若y i>y2,求x的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y (x-2) 2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B.(1) 求一次函数与二次函数的解析式；(2) 根据图象，写出满足kx+b>(x-2) 2+m的x的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,点C、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D. (1)求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1, 0), B (3, 0), C (0, -3), 一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点.(1)求一次函数和二次函数的解析式.(2) 当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大?(3) 当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值.(4) 当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0.类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题1如图，一次函数y=x- 1与x轴交点A恰好是二次函数与x的其中一个交点，已知二次函数图2象的对称轴为x=1，并与y轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC,求三角形ABC的面积. 瑞练习1：如图，A (-1，0)、B (2，-3)两点在一次函数y i=-x+m与二次函数y2=a«+bx-3的图象上.(1 )求m的值和二次函数的解析式.(2) 二次函数交y轴于。
一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小1如图，已知直线y=x 与抛物线y=_x 2交于A 、B 两点.21(1) 求交点A 、B 的坐标；(2)记一次函数y=x 的函数值为y i ，二次函数y= — x 2的函数值为y ?2若y i > y 2,求x 的取值范围.类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小 如图，二次函数y= (x-2 ) 2+m 的图象与y 轴交于点C,点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点 A (1, 0)及点B .(1) 求一次函数与二次函数的解析式； (2)根据图象，写出满足 kx+b >( x-2 ) 2+m 的x 的取值范围.练习1:如图所示，二次函数的图象与 x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点 一次函数的图象过点 B 、D . (1 )求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式； 函数值的x 的取值范围.练习2:在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于 A (-1，0)，函数图象交于B 、C 两点.(1) 求一次函数和二次函数的解析式. (2)当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？(3) 当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值. (4)当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0.3： 一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于 A( m, 5)和B (3, n )两点，且点B 是抛物线的顶点. (1)求一次函数和二次函数的表达式； (2)在同一坐标系中画岀两个函数的图象;(3)从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随 x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值?类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
1如图，一次函数y=x- 与x 轴交点A 恰好是二次函数与 x 的其中一个交点，已知2二次函数图象的对称轴为 x=1，并与y 轴的交点为(0，1).( 1)求二次函数的解 析式；(2)设该二次函数与一次函数的另一个交点为 C 点，连接BC ，求三角形ABC的面积.(1)求m 的值和二次函数的解析式.(2)二次函数交y 轴于。
一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）求D点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B（3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
练习1：如图，A （-1，0）、B （2，-3）两点在一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象上．（1）求m 的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y 轴于C ，求△ABC 的面积．变式：已知一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象交于两点A （-1，0）、B （2，-3），且二次函数与y 轴交于点C ，P 为抛物线顶点．求△ABP 的面积．练习2：如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21x 2+bx+c 的图象与一次函数y=21x+1的图象交于B ，C 两点，与x 轴交于D ，E 两点，且D 点坐标为（1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；1.附加题：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点A （3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MN ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．,2.如图，过y 轴上点A 的一次函数与反比例函数相交于B 、D 两点，B （﹣2，3），BC ⊥x 轴于C ，四边形OABC 面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点D 的坐标；（3）当x 在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）3.如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．4.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．。
(完整版)一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=21x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=21x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
中考专题复习7：一次函数与二次函数相交问题
中考专题复习7：一次函数与二次函数相交问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小
如图，已知直线y=x 与抛物线y=2
1x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；
（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=2
1x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．
类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小 如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）求抛物线与x 轴的另一个交点坐标；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．
A B C O x y
练习：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A（-1，0），B （3，0），C（0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B、C两点．
（1）求一次函数和二次函数的解析式．
（2）当自变量x为何值时，两函数的函数值都随x的增大而增大？
（3）当自变量x为何值时，一次函数值大于二次函数值．
（4）当自变量x为何值时，两函数的函数值的积小于0．。
一次函数与二次函数的关系
一次函数与二次函数的关系一次函数和二次函数是数学中常见的两种函数类型，在数学中起到了重要的作用。
它们之间存在着密切的联系和关系。
本文将就一次函数与二次函数的关系展开讨论。
一、定义和特点1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数的图像是一条直线，斜率为a，截距为b。
一次函数的图像呈现线性关系，随着x的变化，y的值也会按一定比例的变化。
2. 二次函数：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
二次函数的图像一般呈现非线性关系，具有曲线的特点。
二、图像关系一次函数和二次函数的图像具有不同的形态，但它们之间存在着一些关系。
1. 平移关系：一次函数和二次函数可以通过平移来相互转换。
通过对一次函数的图像进行水平、垂直方向的平移，可以得到二次函数的图像，反之亦然。
这种平移关系体现了一次函数和二次函数之间的相似性和联系。
2. 变换关系：一次函数和二次函数的图像在作一些变换时也存在关系。
例如，通过改变二次函数的二次项系数a的大小和正负可以改变抛物线的开口方向，使其与直线的趋势更接近，从而与一次函数的图像相似。
三、求解方法1. 交点求解：一次函数和二次函数的图像在某些情况下会相交，求解它们的交点有着重要的意义。
通过联立一次函数和二次函数的表达式，可以得到方程 ax + b = cx^2 + dx + f。
通过解这个方程，可以求得一次函数和二次函数的交点坐标，进而研究它们之间的关系。
2. 最值求解：一次函数和二次函数都有其定义域范围内的最值。
通过求解一次函数的最值和二次函数的最值，比较它们的大小关系，可以进一步研究二者之间的关系。
四、应用场景1. 经济学：一次函数和二次函数可以用来描述经济学中的一些现象。
例如，成本函数和收入函数可以分别为一次函数和二次函数，通过研究它们之间的关系，可以得到经济学中的重要结论，如均衡价格、利润最大化等。
一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习及答案
一次函数与二次函数图象的交点问题专项练习1.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0（m ＞1）。
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
2.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C 。
（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式。
3.已知关于x 的方程mx 2+（3m +1）x +3=0（m ≠0）。
（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值；（3）在（2）的条件下，将关于x 的二次函数y =mx 2+（3m +1）x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请结合这个新的图象回答：当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围。
4.已知一次函数1y kx b=+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）。
二次函数与一次函数结合问题
二次函数与一次函数相结合的专题一、知识点1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）①一般式法：设二次函数为)0(2≠++=a c bx ax y 利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们二次函数经过几个点的坐标，到底需要几个点的坐标就能求出解析式呢就看c b a ,,不知道几个，3个系数都不知道就需要3个点的坐标，2个系数不知道就需要2个点的坐标，1个系数都不知道就需要1个点的坐标。
把坐标带入函数，然后求解方程组得到系数，就可以得到解析式；例：已知二次函数),,(2均为常数c b a c bx ax y ++=的图象经过三点A （2,0），B （0，-6），C （1，-2），求这个二次函数的解析式；解：把A （2,0），B （0，-6），C （1，-2）代入c bx ax y ++=2，得 ⎪⎩⎪⎨⎧-==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==++65126024c b a c b a c c b a 所以二次函数的解析式为：652-+-=x x y②顶点式法：设二次函数为)0()(2≠+-=a k h x a y￥利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们一个条件就是对称轴和顶点坐标，因为在所设的函数中，对称轴就是x=h ，所以顶点坐标是（h,k ）。
只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了h 和k 两个未知数（a,h,k ）的值，需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a ，即求出了解析式；例：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数经过点A （），求这个二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数为5)1(2+-=x a y ，又因为函数经过点A （0,7），把A （0,7）代入函数得 2,75)10(2=∴=+-a a所以二次函数的解析式为：742,5)1(222+-=+-=x x y x y 即③交点式法：设二次函数为)0)()((21≠--=a x x x x a y利用这种方法求解时，往往题目会告诉我们某二次函数与x 轴的两个交点的坐标，所以只需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a ，即求出了解析式；例、已知某二次函数的图象与x 轴相交于两点A （3,0）和B （5,0），且该二次函数经过点C （6,6），求该二次函数的解析式；解：由题意，可设该二次函数的解析式为)5)(3(--=x x a y。
一次函数与二次函数图像的交点问题
A
B
(3)已知点P(m,0)是x轴上的一个动点,过点P作垂直于x轴的直线交(2) 中的二次函数图象于点M,交一次函数y=px+q的图象于点N.若只有当 1<m<5时,点M位于点N的下方,求一次函数y=px+q 的解析式．
C A
解：依题意并结合图象可知，一次函数的图
象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A （0,3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）. (1)求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；
解：∵抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0,3）， ∴m+4=3．∴m=-1． ∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3． ∵抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于点B,C， ∴令y=0，即-x2+2x+3=0 ． 解得x1=-1，x2=3． 又∵点B在点C左侧， ∴点B的坐标为(-1,0)，点C的坐标为(3,0)．
一次函数与二次函数 图像的交点问题
高级教师 萧老师
核心考点 考纲要求 考试题型 中考分值 考查频率
会根据二次
点在函数图 函数解析式
象上的意义； 求其图象与
一次函数、 坐标轴的交
二次函数、 点坐标；会 解答题
4-7分 ★ ★ ★ ★ ★
一元二次方 利用二次函
程
数的图象求
一元二次方
程的近似解.
二次函数与一次函数交点问题.doc
课题：一次函数与二次函数的交点及交点的判断目的：掌握一次函数与二次函数的交点坐标的算法会用判别式判断一次函数与二次函数有无交点初步认识函数图像中的集合问题重点：一次函数与二次函数的交点坐标的计算难点：理解函数交点坐标的意义课时：一课时过程：引入(1)看函数图像通过函数特点，性质求解析式⑵ 通过解析式画函数图像通过观察发现在同一坐标系当川图像相交于A,C两点像这种图像相交点经常会应用到例如：连接OC O,A,C三点构成三角形OAC,如果要求三角形OAC的面积应该如何求解呢根据；S = — xOAx y c只要求出C点的坐标就可以求出三角形OAC的面积新课一.求交点坐标分析交点坐标的特点：例如A (1,0)是两函数的交点，该点的意义在于：当即y\ = >2 =纵坐标=o上式说明：当X“时两函数值是相等的。
推导：y\ -=纵坐标如果让风=儿=纵坐标，推导出函数的横坐标，即：2兀2 — 4x + 2 = 2x — 2 =纵坐标观察2? — 4x + 2 = 2兀—2是一个一元二次方程x是满足x =儿的未知数，所以只要解出方程的根就是满足的横坐标2兀2 — 4x + 2 = 2兀一2移项得至ij：2X2-6X +4=0因式分解：(x —l)(x —2)=0解根为X] = iyX2 = 2把T] =1带入任意一个函数得至叽=0即坐标为（1,0）把V] = 1带入任意一个函数得至少]=0即坐标为（2,2）由此得到交点坐标的方法:1:令两函数值相等（解析式等）2：3：解出等式的未知数x4：把未知数x的值带入两函数任意一个（一般是一次函数）5：写出交点坐标（x, y）练习1y} - x2 + 2x -1y2 =1解：令X =歹2 即X2 4- 2x - 1 = X + 1解方程：兀]=1,无2=-2 把坷=l,x2 =—2带入上述函数的到x =2,y2 =-1(-2, -1)即交点坐标为（1,2）练习2j = x1 +3x4-4 Y求歹2=一兀一 1 解：令=?2得交点即x~ + 3x + 4 = —x— I解方程：无解分析：无解说明没有X能满足必=旳也就是没有交点如何能在不计算的情况判断函数有无交点。
二次函数和一次函数的交点问题
二次函数和一次函数的交点问题二次函数和一次函数的交点问题是一个普遍存在于数学和实际应用中的问题。
本文将从交点的定义和求解方法两个方面，给出二次函数和一次函数交点问题的相关参考内容。
一、交点的定义二次函数和一次函数的交点，指的是二次函数和一次函数在坐标平面上的图像相交的点。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为可调参数，a不等于0；一次函数的一般形式为y = mx + k，其中m和k为可调参数，m不等于0。
根据定义，求解二次函数和一次函数的交点，即要找到满足二次函数和一次函数方程组的解。
二、求解方法1. 代入法代入法是一种常用的求解二次函数和一次函数交点的方法。
具体步骤如下：（1）将一次函数方程中的y替换为二次函数方程中的y，得到一个一次方程。
（2）将该一次方程化简，求解出x的值。
（3）将求得的x的值代回到一次函数或二次函数方程中，求解出对应的y的值。
（4）将x和y的值组合起来，即得到二次函数和一次函数交点的坐标。
2. 消元法消元法也是一种求解二次函数和一次函数交点的常用方法。
具体步骤如下：（1）观察二次函数方程和一次函数方程中的x系数是否相等，若不相等则进行消元。
（2）根据二次函数方程中的二次项系数a，将一次函数方程中的x乘以a，使两个方程中的x系数相等。
（3）将经过消元的方程组化简，求解出x的值。
（4）将求得的x的值代回到一次函数或二次函数方程中，求解出对应的y的值。
（5）将x和y的值组合起来，即得到二次函数和一次函数交点的坐标。
3. 图像法图像法是通过绘制二次函数和一次函数的图像，来观察它们的交点位置。
具体步骤如下：（1）将二次函数和一次函数分别绘制在坐标平面上。
（2）观察两个函数图像是否相交，若相交则存在交点。
（3）通过读图的方式或取点的方式，求得二次函数和一次函数交点的坐标。
三、参考内容1. 数学教材：高中数学教材中关于函数的章节，通常会有二次函数和一次函数的交点问题的相关内容，包括交点定义、求解方法和例题等。
二次函数与一次函数结合问题
二次函数与一次函数结合问题二次函数与一次函数相结合的专题一、知识点1、二次函数的解析式求解：（待定系数法）①一般式法：设二次函数为y=ax²+bx+c(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们二次函数经过几个点的坐标。
需要知道a、b、c的值，要求出三个点的坐标，如果只知道两个系数，则需要两个点的坐标，如果只知道一个系数，则需要一个点的坐标。
将坐标代入函数，然后求解方程组得到系数，就可以得到解析式。
例如：已知二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c为常数）的图像经过三点A（2,0），B（4，-6），C（1，-2），求这个二次函数的解析式。
解：将A（2,0），B（4，-6），C（1，-2）代入y=ax²+bx+c，得到三个方程：①4a+2b+c=0②16a+4b+c=-6③a+2b+c=-2解方程组得到a=-1，b=5，c=-6，因此二次函数的解析式为y=-x²+5x-6.②顶点式法：设二次函数为y=a(x-h)²+k(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们对称轴和顶点坐标。
在所设的函数中，对称轴就是x=h，因此顶点坐标是（h，k）。
只要告诉我们二次函数的顶点坐标，那么就知道了h和k两个未知数（a，h，k）的值。
需要再告诉我们函数上一个点的坐标就可以求出a，即求出了解析式。
例如：已知某二次函数的顶点坐标为（1,5），且该函数经过点A（0,7），求这个二次函数的解析式。
解：由题意，可设该二次函数为y=a(x-1)²+5，因为函数经过点A（0,7），将A（0,7）代入函数得到：a(-1)²+5=7因此，a=2，所以二次函数的解析式为y=2(x-1)²+5，即y=2x²-4x+7.③交点式法：设二次函数为y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)使用这种方法求解时，通常题目会告诉我们某二次函数与x轴的两个交点的坐标。
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一次函数和二次函数相交的问题
类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小
类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小 如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．
（1）求一次函数与二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围． 练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D
一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D
点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；
（2
函数值的x 的取值范围．
练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．
（1）求一次函数和二次函数的解析式．
（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？
（3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值．
（4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．
练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）
两点，且点B 是抛物线的顶点．
（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；
（3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值
时，二次函数的值大于一次函数的值？
类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
练习1：如图，A （-1，0）、B （2，-3）两点在一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2
+bx-3的图象上．
（1）求m 的值和二次函数的解析式．（2）二次函数交y 轴于C ，求△ABC 的面积．
变式：已知一次函数y 1=-x+m 与二次函数y 2=ax 2+bx-3的图象交于两点A （-1，0）、B （2，-3），且二次函数与y 轴交于点C ，P 为抛物线顶点．求△ABP 的面积．
练习2：如图，一次函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21x 2+bx+c 的图象与一次函数y=21
x+1的图
象交于B ，C 两点，与x 轴交于D ，E 两点，且D 点坐标为（1，0）．
（1）求二次函数的解析式；（2）求线段BC 的长及四边形BDEC 的面积S ；。