上海高中数学数列的极限(2020年整理).pdf

7.6 数列的极限

课标解读：

1、理解数列极限的意义；

2、掌握数列极限的四则运算法则。 目标分解：

1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无

限地趋近于某个常数

a (即|

|a a

n

−无限地接近于0)，那么就说数列

{}n a 以a 为极限。

注：

a 不一定是{}n

a 中的项。

2、几个常用的极限：①

C

C n =∞

→lim (C 为常数)；②01lim

=∞→n n ；③

)

1|(|0lim <=∞

→q q n n ；

3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，

当

a

a n n =∞

→lim ，

b

b n n =∞

→lim 时，b

a b a n n n ±=±∞

→)(lim ；

b

a b a n n n ⋅=⋅∞

→)(lim ；)0(lim

≠=∞→b b a

b a n n n

4、两个重要极限：

①

⎪⎩

⎪⎨⎧<=>=∞→00100

1lim c c c n

c n 不存在

②⎪⎩

⎪⎨

⎧−=>=<=∞→11||111||0

lim r r r r r n

n 或不存在 问题解析： 一、求极限：

例1：求下列极限：

(1)

3

21

4lim

22

+++∞→n n n n

(2)

2

4

323lim n n n

n n −+∞→ (3)

)(lim 2n n n n −+∞

→

例2：求下列极限：

(1) )23741(lim 2222n

n n n n n −++++∞→ ；

(2)

])

23()13(1

1181851521[lim +⨯−++⨯+⨯+⨯∞→n n n 例3：求下式的极限：

)2

,0(,sin cos sin cos lim πθθθθθ∈+−∞→n n n n n

二、极限中的分数讨论：

例4：已知数列

{}n a 是由正数构成的数列，31=a ，且满足

c a a n n lg lg lg 1+=−，其中n 是大于1的整数，c 是正数。

(1) 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；

(2) 求1

122lim +−∞→+−n n n

n n a a 的值。

三、极限的应用：

例5：已知p 、q 是两个不相等的正整数，且2≥q ，求1

)11(1

)1

1(lim −+−+∞→q

p n n

n 的值。

知识内化：

1、=++++∞→n

n n 212

lim __________________。

2、=+−+++++∞

→])

1(23)1(1)1(1[lim n n n n n n n n ______________。 3、=⋅−⋅−−−+∞→1113

232lim n n n

n n n n ___________________。 4、下列四个命题中正确的是（ ） A 、若22

lim A a n n =∞

→，则A a n n =∞

→lim

B 、若0>n a ，A a n n =∞

→lim ，则0>A

C 、若A a n n =∞

→lim ，则22

lim A a n n =∞

→

D 、若0)(lim =−∞

→n

n n b a ，则n n n n b a ∞

→∞→=lim lim

5、已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，其中q p >且1≠p ，1≠q ，

设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求1

lim −∞→n n

n S S 。

能力迁移：

1、数列{}n a 、{}n b 都是无穷等差数列，其中31=a ，21=b ，2b 是2a 与3a 的等差中项，且

21lim

=∞→n

n n b a ，求极限)1

11(

lim 2211n n n b a b a b a +++∞→ 的值。 基本练习：

一、填空题：

1. =−+∞→3

22lim

22n b n

n n ___________________。 2. 若n

n x )12(lim −∞

→的极限存在，则实数x 的取值范围__________________。

3. 1)1

1

(

lim 2=−−−+∞→b an n n n ，则a =______________，b =____________________。 4. 数列{}n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点)1,

(−n n a a 在直线03=−−y x 上，