上海高中数学数列的极限(2020年整理).pdf

7.6 数列的极限课标解读：1、理解数列极限的意义；2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a (即||a an−无限地接近于0)，那么就说数列{}n a 以a 为极限。

注：a 不一定是{}na 中的项。

2、几个常用的极限：①CC n =∞→lim (C 为常数)；②01lim=∞→n n ；③)1|(|0lim <=∞→q q n n ；3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，当aa n n =∞→lim ，bb n n =∞→lim 时，ba b a n n n ±=±∞→)(lim ；ba b a n n n ⋅=⋅∞→)(lim ；)0(lim≠=∞→b b ab a n n n4、两个重要极限：①⎪⎩⎪⎨⎧<=>=∞→001001lim c c c nc n 不存在②⎪⎩⎪⎨⎧−=>=<=∞→11||111||0lim r r r r r nn 或不存在 问题解析： 一、求极限：例1：求下列极限：(1)3214lim22+++∞→n n n n(2)24323lim n n nn n −+∞→ (3))(lim 2n n n n −+∞→例2：求下列极限：(1) )23741(lim 2222nn n n n n −++++∞→ ；(2)])23()13(11181851521[lim +⨯−++⨯+⨯+⨯∞→n n n 例3：求下式的极限：)2,0(,sin cos sin cos lim πθθθθθ∈+−∞→n n n n n二、极限中的分数讨论：例4：已知数列{}n a 是由正数构成的数列，31=a ，且满足c a a n n lg lg lg 1+=−，其中n 是大于1的整数，c 是正数。

(1) 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；(2) 求1122lim +−∞→+−n n nn n a a 的值。

三、极限的应用：例5：已知p 、q 是两个不相等的正整数，且2≥q ，求1)11(1)11(lim −+−+∞→qp n nn 的值。

知识内化：1、=++++∞→nn n 212lim __________________。

2、=+−+++++∞→])1(23)1(1)1(1[lim n n n n n n n n ______________。

3、=⋅−⋅−−−+∞→1113232lim n n nn n n n ___________________。

4、下列四个命题中正确的是（ ） A 、若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→limB 、若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>AC 、若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→D 、若0)(lim =−∞→nn n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim5、已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，其中q p >且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n c 的前n 项和，求1lim −∞→n nn S S 。

能力迁移：1、数列{}n a 、{}n b 都是无穷等差数列，其中31=a ，21=b ，2b 是2a 与3a 的等差中项，且21lim=∞→nn n b a ，求极限)111(lim 2211n n n b a b a b a +++∞→ 的值。

基本练习：一、填空题：1. =−+∞→322lim22n b nn n ___________________。

2. 若nn x )12(lim −∞→的极限存在，则实数x 的取值范围__________________。

3. 1)11(lim 2=−−−+∞→b an n n n ，则a =______________，b =____________________。

4. 数列{}n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点)1,(−n n a a 在直线03=−−y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn __________________。

5. 已知n n f +++= 21)(，则=∞→22)]([)(lim n f n f n __________________。

6. 数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则=−∞→nn n S n a 2lim _________________。

7. 设数列{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且2lim =∞→nnn b a ，则n n n na b b b 3221lim +++∞→ 等于______________________。

8、将3133)2(3lim 1=−⋅+−⋅+∞→n n n n n n x n n ，则实数x 的取值范围是__________________。

9、已知数列{}n a ：21，3231+，434241++，…，109102101+++ ，…，那么数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅+11n n a a 的所有项的和为________________。

10、已知等比数列{}n a 的首项1a ，公比q ，且有21)1(lim 1=−+∞→n n q q a ，则首项1a 的取值范围 是__________________。

二、选择题11、已知a 、b 、c 是实常数，且3lim 22=−−∞→b cn c bn n ，则acn can n ++∞→22lim 的值是（ ）A 、2B 、3C 、21D 、612、{}n a 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥−≤≤=1001,210001,1222n nn n n n a n ，则数列{}n a 的极限值（ ）A 、等于0B 、等于1C 、等于0或1D 、不存在13、)]211()511)(411)(311([lim +−−−−∞→n n n 等于（ ）A 、0B 、1C 、2D 、314、已知122lim =+−∞→nnnn n a a ，R a ∈，则a 的取值范围是（ ）A 、0<aB 、2−<a ，2>aC 、22<<−aD 、2<a 且2−≠a 三、解答题 15、已知等差数列前三项为a 、4、a 3，前n 项和为n S ，2550=k S (1)求a 及k 的值；(2)求)111(lim 21nn S S S +++∞→ 16、曲线)0(1:>=x xy C 与直线x y l =:相交于1A ，作l B A ⊥11交x 辆于1B ，作l A B //21交曲线C 于2A ……依此类推。

(1)求点1A ，2A ，3A 和1B ，2B ，3B 的坐标；(2)猜想n A 的坐标，并加以证明；(3)求nn n n n B B B B 11||lim−+∞→17、已知数列}{n a 满足)1)(1()1(1−+=−+n n a n a n 且62=a ，设)(*∈+=N n n a b n n(1)求}{n b 的通项公式；(2)求)21212121(lim 432−++−+−+−∞→n n b b b b 的值。

18、设n T 为数列}{n a 前n 项的和，))(1(23N n a T n n ∈−=。

数列}{n b 的通项公式为)(34N n n b n ∈+= (1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若},,,,{},,,,{321321 n n b b b b a a a a c ∈，则c 称为数列}{n a ，}{n b 的公共项，将数列}{n a 与}{n b 的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：数列}{n c 的通项公式为)(312N n c n n ∈=+；(3)设数列}{n c 中的第n 项是数列}{n b 中的第m 项，m B 为数列}{n b 前m 项的和；n D 为数列}{n c 前n 项的和，且n m n D B A −=；求：4)(lim nnn a A ∞→。