中国古代有趣的、神奇的幻方
神奇的幻方
神奇的幻方标签：杂谈相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常大肆泛滥。
洪水冲毁房舍，吞没田园，给两岸人民带来巨大的灾难。
于是，每当洪水泛滥的季节来临之前，人们都抬着猪羊去河边祭河神。
每一次，等人们摆好祭品，河中就会爬出一只大乌龟来，慢吞吞地绕着祭品转一圈。
大乌龟走后，河水又照样泛滥起来。
后来，人们开始留心观察这只大乌龟。
发现乌龟壳有9大块，横着数是3行，竖着数是3列，每一块乌龟壳上都有几个小点点，正好凑成从1到9的数字。
可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思。
有一年，这只大乌龟又爬上岸来，忽然，一个看热闹的小孩惊奇地叫了起来："多有趣啊，这些小点点不论是横着加，竖着加，还是斜着加，算出的结果都是15！"人们想，河神大概是每样祭品都要15份吧，赶紧抬来15头猪和15头牛献给河神……果然，河水从此再也不泛滥了。
这个神奇的故事在我国流传极广，甚至写进许多古代数学家的著作里。
乌龟壳上的这些点点，后来被称作是"洛书"。
一些人把它吹得神乎其神，说它揭示了数学的奥秘，甚至胡说因为有了"洛书"，才开始出现了数学。
撇开这些迷信色彩不谈，"洛书"确实有它迷人的地方。
普普通通的9个自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加和是15的8个算式，全都包含在一个图案之中，真是令人不可思议。
在数学上，像这样一些具有奇妙性质的图案叫做"幻方"。
"洛书"有3行3列，所以叫3阶幻方。
它也是世界上最古老的一个幻方。
构造3阶幻方有一个很简单的方法。
首先，把前9个自然数按规定的样子摆好。
接下来，只要把方框外边的4个数分别写进它对面的空格里就行了。
根据同样的方法，还可以造出一个5阶幻方来，但却造不出一个4阶幻方。
实际上，构造幻方并没有一个统一的方法，主要依靠人的灵巧智慧，正因为此，幻方赢得了无数人的喜爱。
历史上，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝的著名数学家杨辉。
神奇的幻方小课题研究报告
神奇的幻方小课题研究报告神奇的幻方小课题研究报告【导语】幻方，是指一个矩阵中的每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等的特殊矩阵。
它以其独特的数学性质和趣味性，吸引了众多数学爱好者的关注。
本文将深入探讨幻方的原理、发展以及应用，帮助读者全面了解这一神奇的数学现象。
【概述】幻方最早可以追溯到中国古代的《周髀算经》中，其中详细介绍了3阶幻方的构造方法。
随后，幻方的研究逐渐发展起来，并在各个国家和时期都有所贡献。
幻方独特的数学性质使其成为数学和逻辑的重要研究对象，同时也被广泛应用于密码学、游戏以及图像处理等领域。
【主体】一、幻方的基本原理幻方的基本原理是通过排列数字，使得矩阵中的每一行、每一列和每一条对角线上的数字之和都相等。
在初步了解幻方之后，我们可以通过以下步骤来构造一个简单的3阶幻方：1. 将数字1放在矩阵中间的行、最左侧的列。
2. 将数字2放在数字1的上方。
3. 将数字3放在数字2的右上方。
4. 依次类推，将数字4至9依次放入矩阵中，直至填满整个矩阵。
二、幻方的发展历程幻方最早出现在中国古代，《周髀算经》中记载了3阶幻方的构造方法。
在随后的历史中，欧洲的数学家也开始对幻方进行研究，如德国数学家Euler以及瑞士数学家Lagrange等。
在18世纪，Lagrange提出了一个重要的定理——拉格朗日定理，即任何一个正整数都可以表示为4个平方数之和。
而这一定理与幻方之间的联系被后来的数学家进一步研究和发展。
三、幻方的应用领域1. 密码学：幻方可用于密码学中的加密和解密过程，通过将明文和密文映射到一个幻方上，实现信息的保密性。
2. 游戏：幻方被广泛用于各类数字游戏中，如数独、魔方等。
通过排列和填充数字，玩家需要根据幻方的规则来达到游戏目标。
3. 图像处理：幻方可以用于图像生成和编码，通过将图像的像素值与幻方矩阵的数字对应，实现图像的压缩和解压缩。
【总结与回顾】通过本文的探讨，我们对幻方的原理、发展和应用有了更深入的理解。
神奇的幻方230
探索
（3）你能否改变上述幻方中 数字的位置，使它们仍然满 足你发现的哪些相等关系吗? （4）在你构造的幻方中，最 核心位置是什么？有没有 “成对”的数？这是一般规 律吗？
典故
研究
尝试 探索
4 9 2 3 5 7 8 1 6
8 3 4 1 5 9
6 7 2
6 1 8 7 5 3 2 9 4
2 7 6 9 5 1 4 3 8
典故
研究
尝试 探索
法国数学 家梅齐利 亚克创造 了一种构 造奇数阶 幻方的方 法-----阶 梯法
3 2 1 4 7 5 8 6 9 1 4 2
3 6 5 8 7 9
典故
研究
尝试 探索
（1）你能发现哪些相等的关 典故 系？横行、竖行、斜对角的三 个数之和分别是多少？ 研究 （2）如果把和相等的每一组 数分别连线，这些连线段会构 尝试 成一个怎样的图形？描述你得 到的图形有什么特点？
三阶幻方，具有一个十分“漂亮” 据说夏禹治水时，在黄河支流洛水中浮现 的性质：每一横行、每一竖列和对角线 出一只大乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古 上的三个数的和都相等.不信，我们来 人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被夏禹王彻 验证一下 . 底制服 .后人称之为 "洛书"，即现在的三阶幻方.
一般地，一个n行n列的正方形方 格中，每一横行、每一竖列和对角线上 的数字和都相等，这样的数字方阵称为 n阶幻方.
4 3 8 9 5 1 2 7 6
2 9 4 7 5 3 6 1 8
6 7 2 1 5 9 8 3 4
8 1 6 3 5 7 4 9 2
试将2、3、4、5、6、7、 这9个数可以由原来9个 8、9、10填入到3×3的方格 研究 数怎么变过来？ 中，使得每行、每列、每条 对角线上的三个数之和相等。 尝试 5 10 3 4 6 8 9 2 7
神奇的幻方 ppt课件
AC
DB
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方； B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方； D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
1
6
2
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8 16
21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
24
20
25
4 5
10
四阶幻方构成方法
一字排开 对角不动 上下交换 左右更替
15 14
12
9
8
5
32
六阶幻方构成
把1－36中，中间的16个数 (11-26)填到四阶幻方中
26 12 13 23 15 21 20 18 19 17 16 22 14 24 25 11
❖ 其余的数写成对 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 36、35、34、33、32、31、30、29、28、27
1 9 34 33 32 2
6
31
10
27
30
7
29
8
35 28 3 4 5 36
❖ 这种排列方式的纵横图称为n 阶纵横图， 或n阶幻方。
三阶幻方，具有一个十分“漂亮”的性质
洛书
492 357 816
关于幻方的神话故事
关于幻方的神话故事在遥远的古代，有一个神秘而古老的传说，关于一个天界的守护神之间的斗争，他们用一种被称为幻方的奇妙仪式来决定胜负。
这些守护神分别代表着天地四方的元素力量，他们之间的较量被称为“幻方赛”。
故事的开始是在一个混沌的时代，人类的生活被一连串的自然灾害所困扰。
干旱、洪水、瘟疫无时无刻不在威胁着他们的生存。
天界的守护神们看到了这一切，决定为人类解决这个困扰已久的麻烦。
于是，五位守护神们集结在一起，商讨着如何解决这个问题。
经过长时间的研究和讨论，他们决定通过一场较量来决定彼此间的力量，以确定哪一位守护神能够拯救人类于水火之中。
这场较量就是后来被称为“幻方赛”。
幻方是一种魔法术式，利用了数字的神秘力量。
五位守护神分别代表一方元素：火、水、木、金、土。
每个守护神被赋予了一副守护幻方，这是一个3x3的方阵，每个方格填上了数字1到9。
通过调整数字的排列顺序，使得每一行、每一列和对角线的和都相等，这样守护神们便能够释放出强大的力量。
为了使比赛更加公平，五位守护神决定在一个神秘的竞技场中展开幻方赛。
他们被囚禁在不同的方位，无法直接干涉对方。
而幻方的力量会渗透整个竞技场，给予守护者们力量的增幅。
他们需要通过巧妙地调整幻方中的数字来夺取胜利。
当幻方赛开始时，竞技场中充斥着一种神秘而激烈的氛围。
守护者们集中精神，专注于调整幻方中的数字。
他们四下观望，寻找机会来扰乱对方的步伐。
毫无疑问，这场幻方赛将决定谁将成为人类的拯救者。
数小时过去了，竞技场中弥漫着一股燃烧的能量。
每个守护神都在不断尝试着不同的数字排列方式，希望发现那个能够使幻方完美的组合。
因为他们都知道，只有找到这个完美的组合，才能够释放出最强大的力量。
当第一位守护神成功地调整出一个完美的幻方时，整个竞技场开始发生剧烈的变化。
光芒四溢，迎面而来的能量让人们目眩神迷。
人们开始感受到一股强大的力量，他们已经能够预感到人类的困境即将烟消雾散。
在接下来的几个小时里，每一位守护者都成功地调整出了自己的完美幻方，释放出了强大的能量。
中国的精彩幻方
中国的精彩幻方中国的精彩幻方1.玉挂幻方上海陆家嘴公园陆深墓出土文物中有一件玉挂，其反面是一个4阶泛对角幻方，这填补了中国古代泛对角幻方的一个空白……2.安西王府幻方铁板之研究据杨勇先改写陕西历史博物馆二楼展厅陈列着一块刻着印度——阿拉伯数码的铁板，这是1957 年在西安东郊元代安西王府遗址出土的。
经专家鉴定，它是一个六阶幻方。
这个幻方每行、每列及两条对角线上的6 个数之和都相等，都是111 .比如第一行的六个数之和就是28+1+3+31+35+10=111这个幻方铁板是我国数学史上应用阿拉伯数字的最早实物资料，也是元代西安接受阿拉伯文化影响的具体体现。
笔者对这个幻方进行了仔细研究，发现这个六阶幻方不是普通的幻方，它还具有两个独特的性质。
第一，该幻方还是一个二次幻方。
幻方中第一行和第六行中六个数的平方和也相等：28^2+4^2+3^2+31^2+35^2+10^2=309527^2+33^2+34^2+6^2+2^2+9^2=3095第一列和第六列中六个数的平方和也相等：28^2+36^2+7^2+8^2+5^2+27^2=294710^2+1^2+30^2+29^2+32^2+9^2=2947而一般的幻方根本不具有这个特性。
第二，这个幻方去掉最外面一层，中间剩下的部分仍然是一个四阶幻方。
这个四阶幻方由 11 到 26 这 16 个数组成，其每行，每列及两条对角线上的 4 个数之和都是 74 .比如18+21+24+11=7420+15+14+25=7421+12+26+15=7424+17+19+14=74更为奇特的是，这个4阶幻方还是一个完美幻方。
即各条泛对角线上的4个数之和也都是 74 .比如18+15+19+22+7423+21+14+16=7411+23+26+14=74具有这个性质的幻方是很少见的。
可以想象，要设计这样的幻方，其难度也是非常大的。
3.澳门回归纪念碑特别说明：由于各方面情况的不断调整与变化，中小学教育网所提供的所有考试信息仅供参考，敬请考生以权威部门公布的正式信息为准。
【转帖】幻方的来源及神奇传说
【转帖】幻⽅的来源及神奇传说说明：原帖来⾃：/幻⽅1—幻⽅的来源及神奇传说根据记载，传说夏禹治⽔时, 在洛⽔⾥出现了⼀只⼤乌龟, 龟背上刻有奇特的图案（如图），古代⼈们把这个图取名为“洛书”，也有的称作“河图”，我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
这个图实际上就是将1-9这九个数字写成三⾏三列，使每⾏、每列及两条对⾓线上三个数的和都等于15（如下图）。
这样的3×3的图我们称为三阶幻⽅。
由于此图共有九个数字，所以汉代的徐岳把他称为九宫算(或九宫图)。
九宫算在汉代之后⼜有很⼤的扩展，成为纵横均为ｎ⾏的纵横图也就是n阶幻⽅。
幻⽅最早记载于我国公元前500年的春秋时期《⼤戴礼》中。
⽽在国外，公元130年，希腊⼈塞翁才第⼀次提起幻⽅。
我国不仅拥⽤幻⽅的发明权，⽽且是对幻⽅进⾏深⼊研究的国家。
公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻⽅，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》⼀书中。
⽽欧洲，直到公元1514 年德国画家Albrecht Dure 才在他著名的铜板画Melencolia 上绘制出了完整的4阶幻⽅。
有趣的是，他连创作年代（１５１４）也镶于这个幻⽅中，⽽且上下左右四个⼩⽅阵的和皆为34（如下图）11514412679810115133216下⾯我们来说说关于“河图”和“洛书”的两个故事吧。
“河图”的说法和我们的祖先伏羲有关。
相传很久以前，洛阳北黄河边上的孟津，有⼀年从黄河⾥爬出了个⼤怪物。
这个怪物异常庞⼤，⼀张嘴就吞下个活⼈，⼀打滚地⾥的庄稼全都遭秧。
从此这⾥⽥地渐渐荒芜，百姓也吃尽苦头，⽆以谋⽣。
怪物闹得⼤家没有活路，只好找来了伏羲。
羲皇听了⼤家的诉说后，忙带上宝剑，来到河边。
那怪物原来是黄河中的龙马，看到羲皇挥舞宝剑站在⾯前，知道逃脱不掉，忙伏地告饶，乞求羲皇放它条⽣路，并承诺：“若放了我，定从黄河⾥拿件宝贝给您!”羲皇听到说：“我不要什么宝贝，只要你答应不再祸害百姓，我就放你。
神奇的幻方心得体会600
神奇的幻方心得体会600在数学领域中，有一个非常有趣而又神奇的概念，那就是幻方。
幻方，顾名思义，是一种可以给人带来神奇感觉的数学方阵。
幻方由整数构成，且每一行、每一列以及对角线之和都相等。
在我学习数学的过程中，我曾经尝试研究幻方这个有趣的数学问题，并希望能够分享一些我对幻方的心得体会。
首先，幻方的起源可以追溯到古代中国，早在公元前2200年左右的商朝时期，古代的中国数学家就开始研究幻方了。
他们认为幻方有着一种神秘的力量，可以给人们带来好运和吉祥。
这使得幻方成为了古代文化和数学的一部分，它在古代壁画、青铜器以及文化艺术品等方面都有广泛的运用。
幻方的研究不仅仅是对数学的探索，也是对智力的挑战。
幻方是一个极具难度的问题，需要我们通过各种方法和技巧来寻找有效的解决方案。
在我研究幻方时，我发现了一些解题的技巧和策略。
首先，我发现了几个基本的幻方，如3阶幻方、4阶幻方等。
通过对这些基本幻方的研究，我可以借鉴它们的一些特点和规律，从而更好地解决更复杂的幻方问题。
其次，我学会了使用代数和数学公式来解决幻方问题。
在研究幻方时，我们可以将幻方的每个元素表示为变量，然后通过建立等式和方程组的方式来解决问题。
这种方法可以使幻方的问题变得更加具体而且可计算，从而提高解决问题的效率。
此外，我还发现幻方与其他数学问题之间的联系和相似性。
例如，幻方与数学中的另一个有趣问题——魔方有许多相似之处。
它们都是通过整数构成的矩阵，并且需要满足一定的限制条件。
因此，在解决幻方问题时，我们可以借鉴魔方的求解方法，从而更好地解决问题。
通过对幻方的研究，我不仅仅学到了数学知识，还提高了自己的逻辑思维和问题解决能力。
在解决幻方问题时，我们需要分析问题、寻找规律，并进行适当的推理和判断。
这培养了我良好的思考习惯和解决问题的能力，对我个人的成长和发展具有积极的影响。
此外，幻方也给我带来了一种挑战和快乐的感觉。
解决一个复杂的幻方问题需要花费大量的时间和精力，但当最终找到答案时，那种成就感是无法言喻的。
中国古代“幻方”与现代“几何魔方”
中国古代“幻方”与现代“几何魔方”幻方是中国古代的一种数学谜题，在正方形网格中填上整数，让每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。
例如下面这个：它在任意方向之和都是”15“。
这是我小时候很喜欢玩的游戏。
汉朝的数术记遗称幻方为九宫算或九宫图。
现在趣味数学家Lee Sallows将数字幻方变成更复杂的几何幻方。
他将新的结构称之为“geomagic square”，并在网上发布了一系列实例。
伦敦大学玛丽女王学院的数学家Peter Cameron相信几何幻方中可能隐藏着更深层的结构。
在Sallows的几何幻方中，网格中的数字被类似俄罗斯方块的几何形状取代，这种形状被称为polyomino。
Geomagic square: Inner cell missingIn a geomagic square, each digit is replaced by a "polyomino" made up of different numbers of identical squares. There must be a way to combine the polyominos in each row, column and diagonal to build a single master shape, or target.This is a "normal" 3 × 3 geomagic square, meaning that the polyominos form the natural progression "1, 2, 3…" It is one of 4370 normal geomagic squares, not including rotations and reflections, that can be formed for which the target is a 4 × 4 square with a missing inner cell.Geomagic square: Corner cell missingA second normal geomagic square, this time the target is a 4 × 4 square missing one corner cell. It is one of 27,110 normal squares with the same target. By comparison, there are 16,465 normal squares for which the 4 × 4 target is missing an edge cell.Rare squareIn this geomagic square, all the polyominos have the same area. This type is much rarer than those formed using unequal polyominos.Geomagic squares go 3DIn this square, the target is a 3 × 3 × 3 cube. Note that the polyomino size forms the consecutive series of odd numbers "1, 3, 5, 7, 8, 13, 15, 17" while their shapes are derived from a formula for creating magic squares devised by the 19th-century French mathematician Édouard Lucas.Unlike the previous geomagic squares in this gallery, this one was not devised by Lee Sallows, who first came up with the concept. Instead, another recreational mathematician, Aad van de Wetering of Driebruggen, the Netherlands, submitted it to the Dutch mathematics periodical Pythagoras.Impossible geomagicSome geomagic targets really are 3D. But in this one, the target is an "impossible figure", a two-dimensional object that the visual system interprets as a projection of a 3D object, even though such an object can't actually exist.Smallest possible geomagic squareFinding smaller geomagic squares is harder than larger ones, because the larger squares give you more options. Indeed, before launching his website of geomagic squares, Lee Sallows was unable to come up with an example of the smallest possible version – a 2 × 2. But shortly after his site went live, fellow square-hunter Frank Tinkelenberg sent him an example, as shown here.更多有关“几何魔方”的资讯：。
关于幻方,我国史书上记载着不少神话故事
关于幻方，我国史书上记载着不少神话故事。
传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，图中的黑白圈四十五个，用直线连成九个数，后人称它为“洛书”（见图一）。
图一
如果把“洛书”上的九个数，填在图二中的九个小方格内，则发现图中的每行、每列、两条对角线上的三个数的和都等于15，所以引起了人们的极大兴趣。
许多人提出，对图中九个方格，还有没有别的填法？ 4×4的十六个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？
4 9 2
3 5 7
8 1 6
图二
“洛书”就是世界上最早出现的幻方，因为它有3×3个方格，并按要求填1－9九个数，我们称它为三阶幻方。
一般地，在n×n个方格内，填上n×n个连续自然数，并且每行、每列、两条对角线的n个自然数的和都相等，则称它为n阶幻方，图三就是一个四阶幻方。
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 1
5 1
图三
长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不但搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还绘出了如何构造的规则和方法，从而研创了这一组合数学研究的新领域。
杨辉绘出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九九图（九阶幻方）一幅，百子图（十阶幻方）一幅（参见图三）。
图四百子图。
幻方
幻方（一）李明亮幻方是我国古代研究的算术内容之一，在中国，至少已有两千多年的历史了。
它最早被称为“洛书”（就是三行幻方）。
据说，大禹治水时，在洛水看到一只神龟背上有奇特的图案，这就是“洛书”——《周易》称：“河出图，洛出书。
”幻方就是由“洛书”与“河图”发展而来的。
在甄鸾（公元六世纪北周人）注的《数术记遗》一书中，称幻方为“九宫算”。
南宋的杨辉把幻方叫做“纵横图”，并对幻方进行了深入的研究，例如，他构造三行幻方的方法是：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足。
”他还进一步研制出了四至十行的幻方。
在幻方里，每一横行（以下简称行）、每一竖行（以下简称列）、每一对角线上的数的和都相等。
我们把幻方中的这个相等的和称为幻方定数。
组成幻方的数一般是等差数列（按顺序排列的一列数，每相邻的两个数的差都相等）。
如用1、3、5、……15、17这九个数可以制成一个三行幻方。
把n2个数按一定的顺序排成n行n列的方阵，如果每一行、每一行、每一对角线上的数都成等差数列，那么，用这n2个数就可以制成n行幻方。
如用2、4、6，9、11、13，16、18、20也可以制成三行幻方。
一、幻方的制法（一）行数为奇数的幻方的制法（以七行幻方为例）１．选1、2、3、……49这４９个数，把它们按顺序排成７行７列的斜方阵。
排好后，在中间画一个正方形（以中间数２５为中心），使斜方阵中间行（22、23、24、25、26、27、28这一行）和中间列（4、11、18、25、32、39、46这一列）的数都正好落在正方形的对角线上；再把这个正方形平均分成４９个方格，其中２４个是空方格（制n行幻方时，有（n2－１）÷2个空方格）。
如图２．２．把正方形外面的数填入空格。
每个数都填入它所在行或所在列中离它最远的空格中；同一行或同一列中，如果正方形外面有两个或两个以上的数，就先填靠近正方形的数，如先填9和41，后填1和49。
奇妙的幻方
641341 36507810612()2292n阶幻方（标准幻方）.其中，相等的4K型的数叫做幻方具有轮换性.如右图所示的幻方，可以看成是先将五阶幻方的前三行移到下面，再把移动后的左边的三列移到右边以后得到的（反过来移动也行）.这样，随你怎样选取5 X5的一个方块后必然得到一个五阶幻方，这就是幻方的轮换性.幻方的构造方法:学与练（一）1 .奇数阶幻方的构造方法:114221018114222581641225816192152361921513219175132197203112472031142210181142225816412258161921523619215知识要点幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格. 一般地, 在n x n （n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n xn个连续的自然数（注意,这n x n个连续自然数不一定要从1开始），每个数占1格，并使每一行、每一列以及两条对角线上的几个自然数的和都相等，这样排列成的数字图形叫做和叫做幻和，n叫做阶.幻和=幻方内所有数字之和十阶数，奇数阶幻方的中心数=幻和十阶数. 非标准的幻方不限于连续自然数，右图所示即为一个非标准的三阶幻方.幻方分为奇数阶幻方和偶数阶幻方•偶数阶幻方又分双偶数阶幻方和单偶数阶幻方（双偶数，4K+ 2型的数叫做单偶数）.幻方具有对称性.如下图的四阶幻方就具有丰富多彩的对称性. 同一曲线所串连的四个数的和都相等,并且和每行、每列、两条对角线上四个数的和相等，都等于这个幻方的幻和•这就是幻方的对称性.⑴杨辉三阶幻方构造法:我国古代著名数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍的一种排法，它可以简单地归纳为四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”•“九子斜排”即以右图中A、B、C、D任一处为起点，按照从小到大的顺序和确定的方向（图中以A处为起点，从向右向下方向），将1〜9这九个数依次斜排；“上下对易，左右相更”，即将A处与C 处，B处与D处的两个数位置互换；“四维挺出”，即将四边中间的数移到各自箭头所批的位置•这样,个三阶幻方就编排完了.训练⑴①用从1开始的连续自然数组成一个十阶幻方，其幻和是多少?②用“杨辉三阶幻方构造法”及3〜11编排一个三阶幻方，填入右图中.如右图⑴的3 X3的阵列中填入1〜9九个自然数，构成了我们熟知的三阶幻方•现有一个3 X3的阵列如右图⑵，请选择九个不同的自然数填入这九个方格中，使得其中最大数为20 ,最小数大于5, 而且且每行、每492357816列及每条对角线上的三个数④请编出一个三阶幻方，使其幻和为24，填入右图中.如右图所示, 在3 X3的阵列中,的和都相等.6，请你在空格中填上适当的数，使方阵的行、列、对角线上的三个数之和均为36.⑥ 把3、4、5、8、9、10、13、14、15编排一个三阶幻方，其幻和是多少?v A I 1 *第一行第三列的位置上填11⑺ 将九个连续自然数填人右图中三行三列的九个方格中，使每一横行、每一竖列及每一条对角线上的三个数之和都等于 51 .⑻ 在右图中的空格中填入不大于 18而且互不相同的偶数（其中已填好一个数），使每行、每列和对角线上三个数之和都等于 30 .⑼ 把1〜9这九个数字填入3 X 3的方格中，这样，每一行的三个数字组成一个三位数，如果要使第二行的三位数是第一行的 2倍，第三行的三位数是第一行的3倍,应怎样填数?⑽ 诸葛亮只有360名士兵，全部驻守在城上，为了迷惑敌人，不论从哪一面观察，都有100名全副武装的士兵守城（如下图所示）•为了打退敌人的围攻，诸葛亮决定抽调一些士兵突袭敌人，并且不论从哪一面看士兵反而增加了 25名，试填出兵力分布图，并求出抽调了多少名士兵？⑵ 罗伯法（用于编排奇数阶连续自然数幻方） ：这是由法国人罗伯总结出的构造奇数阶连续自然数幻方的简单易行的方法. 具体方法如下：先把1 （或最小的数）放在第一行正中；然后按以下规律排列剩下的n 21个数：① 每一个数放在前一个数的右上一格； ② 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； ③ 如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； ④ 如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；⑤如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同④.根据这个规则，可以编一个编排奇数阶连续自然数幻方的 口诀：㈠ 横向叫行竖叫列，从 1开始连续写，1写首行下中间，右列沉底将 2写；㈡ 数顺右上方向走，碰到边框猛回头，上行最左写后数，再沿右上方向走；㈢ 若碰有数下一格，方向不变继续走，碰顶向右掉到底，再按前面规则走。
幻方
所谓“横直斜角，皆三十四数。” 即4行、4列及2条对角线之和等于 “34”。 杨辉“易幻术”是移动数字最少 的一种4阶幻方构图法，简单而又直观。 “九子”者，为奇数阶幻方构 图法；“十六子”者，为偶数阶幻 方构图法。
比比看，谁更快！ 下图中已填 入了3至18这16个 数中的一些数， 请将剩下的数填 入空格中，使每 行、每列、每条 对角线上各 数 的和相等。
2．宇宙飞船上的礼物 1977年，美国发射了旅行者 1号和2 号宇宙飞船，试图与“外星人”建立联 系。如何使地球外智慧生命理解地球人 的意思，这是个很困难的事情，世界各 国的人们纷纷献计献策，美国宇航局采 纳了其中一些。最后飞船上携带有两件 与数学有关的东西，一个是勾股数，另 一个是一个4阶幻方，这个幻方，是耆 那幻方(Jaina Square) 。
三 、 美 丽 的 幻 方
这幅九阶完美幻圆由1至81自然数列填 成，具有如下组合性质： （1）九条圆半径上各九数之和等于369； （2）九个圆周上各九数之和等于369； （3）九条左旋螺线上各九数之和等于369 ； 它是一个全等组合,即“半径=圆环=螺 线”，因此是一个最优化组合幻圆，堪为 一件稀世珍宝。
a
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； dota2ti8分组 ；
根汉正经历着壹场恐怖の挑战,傲仙谷中所有の飘浮岛都被打成了渣子了,光影阵还有大量の宫殿都消失不见了.这里只剩下了下面の壹片灵元之海,方圆几万里之巨の灵元之海,此时他整个人正飘浮在灵元之海の上空,而海中心有十几根巨型の水柱正不断の冲击着他の元灵.天府府主不见了, 那个娘们尔逃掉了,利用这里の传送阵,不知道传送到哪里去了.不过在她临走之前,却给了根汉壹个大招,她将这汪灵元之海给引动了,并且利用根汉在驾驭仙阵の时间,将灵元之海引到了根汉の元灵中.所以根汉才通体变成了金色,而且整个人
关于幻方的小故事
关于幻方的小故事今天来给你们讲个超有趣的幻方小故事。
话说在很久很久以前，有个神秘的国度。
这个国度里的人都对数字有着一种近乎痴迷的热爱。
有一天，国王突发奇想，他想考验一下他的臣民中最聪明的智者。
于是他下令，让工匠在宫殿的大理石地板上刻出一个九宫格，然后对智者说：“你得在这九宫格里填上1到9这九个数字，要求是每行、每列还有两条对角线上的数字加起来都得是同一个数，要是做不到，哼哼，那可就有大麻烦了。
”这个智者呢，一开始也是愁得直挠头。
他在那九个小格子前来回踱步，嘴里不停地念叨着数字。
突然，他眼睛一亮，就像黑暗中看到了曙光一样。
只见他拿起笔，迅速地在格子里填上了数字。
第一行是4、9、2；第二行是3、5、7；第三行是8、1、6。
国王和周围的大臣们赶紧按照要求加起来检验。
神奇的事情发生了，不管是横着加、竖着加还是对角线上加，结果都是15呢。
国王特别高兴，觉得这个智者简直太厉害了，重重地奖赏了他。
从那以后，这个幻方就像是一个神秘的数字宝藏一样，在这个国度里流传开来。
大家都觉得这里面肯定藏着什么宇宙的奥秘或者神灵的旨意。
后来呢，幻方的秘密就慢慢被传播到了其他地方。
人们发现幻方可不仅仅只有3×3这一种规格哦。
还有4×4的、5×5的等等。
就像打开了一扇数字魔法的大门，数学家们开始对幻方进行各种各样的研究。
而且幻方还和很多神秘的东西联系在一起呢。
有人说古代的一些建筑布局可能就暗藏着幻方的原理，仿佛是按照一种神秘的数字力量来构建的。
还有些占卜师觉得幻方能够预测未来，当然啦，这就有点玄乎了。
不过幻方在数学的世界里，那可真是一颗璀璨的明珠，吸引着一代又一代的人去探索它的奇妙之处。
2奇妙的幻方
奇妙的幻方幻方的历史在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
九宫洛书蕴含奇门遁甲的布阵之道。
它是科学的结晶与吉祥的象征，发源于我国古代的洛书——九宫图。
相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。
伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。
后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。
“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。
把这些连在一起的小圆用数目表示出来，得到九个数。
这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶... 后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：S=n(n +1) /2（高斯求和公式）伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治。
圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。
从洛书发端的幻方在数千年后的今天更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。
十三世纪，我国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。
著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究。
如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。
目前，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。
1977年，4阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息与美好祝愿！幻方的构造对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N=4n+2的形式1. n 为奇数时，最简单:(1) 将1放在第一行中间一列;(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按 45°方向行走，如向右上每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
幻方和数阵
知识网络传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n行n列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有：1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷22．数字的奇偶性奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
重点·难点要善于确定所求的和与关键数字间的关系，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；并会对基本解中的数进行适当调整，找到其他的解。
还应注意到，对于不同的数阵图形，关键数字的位置会有所不同。
并且若题目中没有特殊要求，只求出一个基本解即可。
学法指导解数阵图的一般方法：（1）认真分析隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口，一般选择使用次数多的数作为关键数。
奇妙的幻方
(471174) (936 639) 1110 2
• 实在是太奇妙了，因此我们完全有理由在 通常的幻方常数15之外，为河图三阶幻方 定义第2个特殊的幻方常数1110，而且它同 15一样，有8个之多。由此可见，河图三阶 幻方不但在配置9个数字上非常均衡和对称，
北师大版七年级数学上三个问题的解
-2 -1 -6
-7 -3 1 0 -5 -4
3 4 -1 -2 2 6
-6 -5 -10 -11 -7 -3 -4 -9 -8
501
对三阶幻方进一步研究
• 我们对河图给出的三阶幻方进一步研究， 不难发现以下奇妙结果，在把每行、每列 和每条主对角线上的3个数当做3位数正读 和反读的情况下，幻方中间一行、中间一 列、两条主对角线所形成的数正读和反读 相加之和都等于1110，而第1、第3两行数 和第1、第3两列数以及主、副两条折对角 线正读和反读之和折半也等于1110。
3 4 -1
-2 -3 -4
-7
• 就河图给出的幻方，
现在我们以它为例研究 三阶幻方的求法。
首先介绍幻和概念
• 把所有给出数加起来除以 幻方的阶数就是幻和
• 例如河图给出的三阶幻方， 幻和=（1+2+3+4 • +5+6+7+8+9）÷3=15
• 幻和就是三阶幻方中每行、 每列、每条对角线上三个
可见，要准确快速填出三阶幻方，关
键在于：首先确定最中间方格所填的 数——正中间数；其次要确定四个角上 方格中所填的数——四角数。正中间数 和四角数确定后，其余方格中的数由每 行、每列上的三个数之和都等于幻和可 以推算出来。
幻方的起源你知道吗？趣味数学
幻方的起源你知道吗？趣味数学幻方（magicsquare）起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。
《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。
易十数为体，八九为用，八九不离十。
《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型。
幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。
现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。
幻方是一个丰蕴的知识宝库。
幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。
正可谓“横看成岭侧成峰”。
《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。
发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。
不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。
n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至n2自然数列的n2个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。
《易》九宫学博大精深。
汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。
”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟------此不易之道也”等等。
但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。
同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献。
幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。
自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海，东传日本，西播欧美。
幻方
我的发现
4 3 8 9 5 1 2 7 6
奇妙的幻方
什么是幻方
例如由三行三列九个数字组成的正 方形排列，它的每一行、每一列、每条 对角线上的三个数字的和都是同一个常 数15。这种美妙的正方形排列，在我国 历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵 横图。后来，人们称它为“幻方”。
幻方的传说
据传说，大约公元前00年的时候，位于陕西的洛河 常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。于是，大 禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通 河道，驯服了河水，感动了上天。 事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹, 图上有九个数字。大禹因此得到上天赐给的九种治理天 下的方法。这张图，就是闻名于世的洛书,洛书中每个小 圆圈都代表一个l。
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神奇的幻方
相传在大禹治水的年代里，陕西的洛水常常泛滥成灾．河水泛滥时，又常有一只大乌龟背负着一张神秘的图浮出洛水．
人们经过留心观察，发现乌龟壳分为9块，横3行，竖3列，每小块乌龟壳有几个小点点，正好凑成从1到9这9个数字．可是，谁也弄不懂这些小点点究竟是什么意思．
有一年，这只大乌龟又浮出水面来了，忽然，一个看热闹的小孩大声惊叫起来：“大家看啦，多么有趣啊，这些小点点横着加是15，竖着加也是15，斜着加还是15！”人们想，大概河神要的祭品每样都是15份吧，于是，赶紧抬来15头猪，15头牛和15只羊献给河神，……，果然，河水从此再也不泛滥了．
这个神奇的故事流传很广，乌龟壳上的些点点，后来被称作“洛书”．我们撇开那些迷信色彩不谈，“洛书”确实有它吸引人的魅力．
确实，1～9这9个平平常常的自然数，经过一番巧妙的排列，就把它们每3个数相加的和是15的8算式，全部包含在一个图案中，真是妙不可言．
在数学上，像这样具有奇妙性质的图案叫做“幻方”．“洛书”有3行3列，所以叫3阶幻方．它是世界上最古老的一个幻方．
下面就是这种3幻方（洛方）：
它的三行横的、三列竖的、二列对角钱的三个数之和都等于15．
古今中外的很多数学家都研究过幻方，最先把幻方当作数学问题来研究的人，是我国宋朝著名数学家杨辉．他深入探索各类幻方的奥秘，总结出构造幻方的简单法则，还动手构造了许多极为有趣的幻方，有名的“攒九图”就是他用前33个自然数构造而成的（下图）．攒九图有哪些性质呢？请动手算一算，每个圆圈上的数加起来是多少？每条直径上的数加起来又是多少？
包括大数学家欧拉在内的许多著名数学家也对幻方产生过浓郁的兴趣．
过去，幻方纯碎是一种数学游戏．后来人们在研究中发现了它在许多场合得到了实际应用，并且蕴含着许多深刻的数学原理．数学家进一步深入研究，终于使其成为一门内容极其丰富的新数学分支——组合数学．
但是，幻方也并不神秘．下面请同学们每人自己动手构造一个3阶幻方．请将－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，这9个数分别填入下图方阵的9个空格中，使得横、竖、斜对角线的所有3个数相加，其和为0．并把这8个等于0的算式写出来．。