平面解析几何高考专题复习

第八章 平面解析几何

第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

1．直线的倾斜角

(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0，π)． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2

x 1－x 2.

3．直线方程

1．利用两点式计算斜率时易忽视x 1＝x 2时斜率k 不存在的情况．

2．用直线的点斜式求方程时，在斜率k 不明确的情况下，注意分k 存在与不存在讨论，否则会造成失误．

3．直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． 4．由一般式Ax ＋By ＋C ＝0确定斜率k 时易忽视判断B 是否为0，当B ＝0时，k 不存在；当B ≠0时，k ＝－A B

.

[试一试]

1．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m 是( ) A ．1 B ．2 C ．－12

D ．2或－1

2

解析：选D 当2m 2＋m －3≠0时，即m ≠1或m ≠－3

2时，在x 轴上截距为4m －12m 2＋m －3＝

1，即2m 2－3m －2＝0，

故m ＝2或m ＝－1

2

.

2．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 解析：∵k MN ＝m －4

－2－m ＝1，∴m ＝1.

答案：1

3．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－4

3，

所以y ＝－4

3x ，即4x ＋3y ＝0.

②若直线不过原点． 设x a ＋y

a ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0

1．求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．

2．求直线方程的一般方法

(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应

注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．

(2)待定系数法，具体步骤为： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求出参数； ④把参数的值代入所设直线方程． [练一练]

1．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π

4，π C.⎣⎡⎦

⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭

⎫π

2，π 解析：选B 设倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，∴0≤θ≤

π

4或3π

4

≤θ＜π. 2．过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0； 当斜率存在时，设其为k ，

则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |

k 2＋1

＝5， 解得k ＝3

4

.

故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0

直线的倾斜角与斜率

1．(2013·秦皇岛模拟)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π

6

B.π3

C.2π3

D.5π6

解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33

，又α∈[0，π)，所以α＝5π

6

.

2．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫

2π3，π则k 的取值范围是________． 解析：当α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4时，k ＝tan α∈⎣⎡⎭⎫3

3，1； 当α∈⎣⎡⎭⎫

2π3，π时，k ＝tan α∈[)－3，0. 综上k ∈[)－3，0∪⎣⎡⎭

⎫

33，1.

答案：[)－3，0∪⎣⎡⎭

⎫

33，1

[类题通法]

1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；

(2)利用三角函数的单调性，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在.

直线方程

[典例] 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为

10

10； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12. [解] (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝

10

10

(0＜α＜π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1

3.

故所求直线方程为y ＝±1

3(x ＋4)．

即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.

(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y

12－a ＝1，

又因为直线过点(－3,4)，