与圆有关的轨迹问题
求与圆有关的轨迹方程的方法及例题
求与圆有关的轨迹方程［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。
（1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。
（2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M （x, y），已知曲线上的点为N （x o, y o）,求出用x，y表示x o, y o的关系式，将（x o，y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。
（3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
（4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。
（5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。
［讲解设计］重点和难点例1 已知定点A (4, 0)，点B是圆x2+y2=4上的动点，点P分AB的比为2: 1，求点P的轨迹方程例2自A (4, 0)引圆x2+y2=4的割线ABC ,求弦BC中点P的轨迹方程例3 已知直角坐标平面上的点Q （2, 0）和圆C :x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数・c 0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
（1994年全国高考文科题）例4 如图，已知两条直线l i：2x-3y+2=0，I2: 3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与l i，I2都相交，并且l i与I2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24，求圆心M的轨迹方程。
（1983年全国高考题）练习与作业1．已知圆C1：（x+1）2 + y2=1 和C2：（x-1）2 + （y-3）2=10，过原点O的直线与C i交于P，与C2交于Q,求PQ线段的中点M的轨迹方程。
2 •已知点A (-1 , 0)与点B (1 , 0) , C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长到D，使|CD|=|BC| ，求AC 与OD(O 为坐标原点)的交点P 的轨迹方程。
与圆有关的轨迹问题
A
Q M O 与圆有关的轨迹问题
1、 已知：点P 是圆2216x y +=上的一个动点，点A 是x 轴上的定点，坐标为（12，0），当P 点在圆上运动时，求线段PA 的中点M 的轨迹方程
2、 圆22(5)(4)6x y -+-=内一定点A (4,3)，在圆上作弦MN ，使90MAN ∠=，求弦MN 中点P 的轨迹方程
3、 求与y 轴相切，且与圆2240x y x +-=也相切的圆P 的圆心的轨迹方程
4、 如图，已知定点A （2,0），点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的
平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程
5、 由点P 分别向两定圆221:(2)1C x y ++=及圆222:(2)4C x y -+=所引切线段长度之比为1：2，求点P
的轨迹方程
6、已知与22:2210C x y x y +--+=相切的直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，O 为坐标原点，(),2,2OA a OB b a b ==>>.
1求线段AB 中点P 的轨迹;。
与直线和圆有关的轨迹问题
（定义法）
例2.已知点A(1,0), B(1,0),C是圆x2 y2 1上的 动点, 连接BC并延长至D点,使 | CD || BC |,求直 线AC与 直 线OD的 交 点P的 轨 迹 方 程.
直线与圆方程的综合问题
例6.已知圆C : x2 y2 2x 4 y 3 0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距的绝对值相等, 求此切线方程； (2)从圆C外一点P( x1, y1 )向圆引一条切线,切点为 M , O为坐标原点,且有 | PM || PO |, 求使 | PM | 最小 时的P点坐标.
（转移法）
练 习:已 知 线 段AB的 端 点B的 坐 标 为(1,2),端 点A 在圆x2 y2 4上运动,求线段AB中点M的轨迹 方 程.
例3.过 点A(0,1)作 直 线 交圆M : ( x 2)2 y2 1于 点 B、C,在 线 段BC上 取 点P,使 | BP |:| PC || AB |:| AC |,求 点P的轨迹方程.
(a 2)(b 2) 2 (2)求线段AB中点的轨迹方程.
总结：
1.求轨迹方程的方法,主要有定义法、转移法、参数法、几 何法、交轨法.
2.(1)求两条直线、直线与曲线的交点的轨迹,首先选用 的是交轨法。
(2)K参数法是选取直线的斜率作为参数。 (3)由于圆的几何性质特别明显,几何法是众多方法中最 简单的.
(参数法)
例4.直 线 l1
:
y
2(x t
与圆有关的轨迹问题 -高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
与圆有关的轨迹问题知识点1 5种定义形式的圆1、“定义圆”：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合.数学语言描述为：在平面内，{|}M MA r =，其中M 为动点，A 为定点，0r >为定值.2、“斜率圆”：在平面内，与两定点斜率之积为-1的点的集合（除去定点所在垂直于x 轴的直线与曲线的交点）.数学语言描述为∶在平面内，{|1}MA MB M k k ⋅=-，其中M 为动点，A ，B 为定点.且点M 的横坐标不等于A ，B 的横坐标.3、“平方圆”：在平面内，到两定点距离的平方和为定值的点的集合.数学语言描述为：在平面内，22{|}M MA MB λ+=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值.注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]2224a cb d x y ac bd λ++-+-=--+-，此时221[()()]2a cb d λ>-+-.4、“向量圆”：在平面内，与两定点形成向量的数量积为定值的点的集合.数学语言描述为∶在平面内，{|}M MA MB λ⋅=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值 注：若(,).(,)A a b B c d ，则点M 的轨迹方程为22221()()[()()]224a cb d x y ac bd λ++-+-=+-+-，此时221[()()]4a cb d λ>--+-.特别地,若A ，B 为定点，且0MA MB ⋅=，则点M 的轨迹是以AB 为直径的圆拓展：“角度圆”：在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合.（角度可用向量的夹角公式表示） 5、“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定值的点的集合. 数学语言描述为：{|}MAM MBλ=，其中M 为动点，A ，B 为定点，λ为定值，λ>0且λ≠1. 注：当1λ=时，M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线. 6、这些圆彼此之间的联系：（1）斜率圆可以看成向量圆的特例，即两向量互相垂直时可以转化为两直线斜率之积等于-1,需要注意斜率不存在的情形.也就是说数量积为零比斜率之积为-1更一般. （2）比值圆与平方圆是一样的，都是用两点间距离公式求解.知识点2 注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别1、“轨迹”是图形，“轨迹方程”是方程.2、求轨迹方程后要检验求轨迹方程后一定要注意检验轨迹的纯粹性和完备性，在所得的方程中删去或补上相应的特殊点，以保证方程的解与曲线上的点具有一一对应关系.考点一 直接法求轨迹解题方略：直接法是指将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式，然后化简而求出动点轨迹方程的一种方法．此法的一般步骤∶建系、设点、列式、化简、限制说明.注：（1）根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等） （2）根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程。
圆中轨迹问题
与圆有关的轨迹问题
例1：设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以 OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．
变式：已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当OP ＝OM 时，求l 的方程及△POM 的面积．
例2：已知BC ＝2，且AB ＝2AC ，求点A 的轨迹．
变式1：若在ABC ∆中，BC ＝2，且AB ＝2AC ，求ABC ∆面积的最大值。
变式2：已知点 (5,0)A - ，直线OA 上（O 为坐标原点）是否存在定点
B （不同于A ），对圆229x y +=上的任意一点P ，使得PB PA
为一常数．
变式3：已知点(2,0),(4,0)A B -，圆22:(4)()16C x y b +++=，P 为圆 上的动点，若
PA PB 为定值，求实数b 的值．
变式4：已知圆)0,1(,1)4(:221Q y x C =++,过点P 作圆C 1的切线，切点为M ， 若PQ PM 2=，求P 点的轨迹方程。
与圆有关的综合问题
与圆有关的综合问题题型一：与圆有关的轨迹问题[典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法[针对训练]1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.题型二：与圆有关的最值或范围问题[例1] (2019·兰州高三诊断)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5][解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝(5－1)2＋(t －4)2≤10sin 45°＝20，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.法二：由于点M (5，t )是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A 、B.当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝22，所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D.选C. [答案] C[例2] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值． 因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， 最小值是(2－3)2＝7－4 3.[方法技巧]与圆有关最值问题的求解策略处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：[针对训练]1．(2019·新余一中月考)直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|，则实数t 的取值范围是________． 解析：由|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|＝|ON ―→－OM ―→|， 两边平方，得OM ―→·ON ―→≤0， 所以圆心到直线的距离d ＝|t |2≤22×2＝1， 解得－2≤t ≤2，故实数t 的取值范围是[－2， 2 ]． 答案：[－2， 2 ]2．已知点P (x ，y )在圆x 2＋(y －1)2＝1上运动，则y －1x －2的最大值与最小值分别为________．解析：设y －1x －2＝k ，则k 表示点P (x ，y )与点A (2,1)连线的斜率．当直线PA 与圆相切时，k 取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0. 由|2k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33.答案：33，－333．(2019·大庆诊断考试)过动点P 作圆：(x －3)2＋(y －4)2＝1的切线P Q ，其中Q 为切点，若|P Q |＝|PO |(O 为坐标原点)，则|P Q |的最小值是________．解析：由题可知圆(x －3)2＋(y －4)2＝1的圆心N (3,4)．设点P 的坐标为(m ，n )，则|PN |2＝|P Q |2＋|N Q |2＝|P Q |2＋1，又|P Q |＝|PO |，所以|PN |2＝|PO |2＋1，即(m －3)2＋(n －4)2＝m 2＋n 2＋1，化简得3m ＋4n ＝12，即点P 在直线3x ＋4y ＝12上，则|P Q |的最小值为点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离，点O 到直线3x ＋4y ＝12的距离d ＝125，故|P Q |的最小值是125.答案：125[课时跟踪检测]1．(2019·莆田模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，若A ，B 是圆O 上的不同两点，以AB 为边作等边△ABC ，则|OC |的最大值是( ) A.2＋62B. 3 C ．2D.3＋1解析：选C 如图所示，连接OA ，OB 和OC . ∵OA ＝OB ，AC ＝BC ，OC ＝OC ，∴△OAC ≌△OBC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°， 在△OAC 中，由正弦定理得OA sin 30°＝OCsin ∠OAC ，∴OC ＝2sin ∠OAC ≤2，故|OC |的最大值为2，故选C.2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．9解析：选D 圆C 1的标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C 2的标准方程为x 2＋(y －b )2＝1，其圆心为(0，b )，半径为1.因为圆C 1和圆C 2只有一条公切线，所以圆C 1与圆C 2相内切，所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，得4a 2＋b 2＝1，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a 2＝4a 2b 2，且4a 2＋b 2＝1，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9.3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为222＋12＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45.因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ.又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)，所以⎩⎨⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.4．(2019·拉萨联考)已知点P 在圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0上运动，则点P 到直线l ：x －2y －5＝0的距离的最小值是( ) A ．4 B. 5 C.5＋1 D.5－1解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，圆心C (2,1)，半径为1，圆心到直线l 的距离为|2－2－5|12＋22＝5，则圆上一动点P 到直线l 的距离的最小值是5－1.故选D. 5．(2019·赣州模拟)已知动点A (x A ，y A )在直线l ：y ＝6－x 上，动点B 在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上，若∠CAB ＝30°，则x A 的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．6解析：选C 由题意可知，当AB 是圆的切线时，∠ACB 最大，此时|CA |＝4.点A 的坐标满足(x －1)2＋(y －1)2＝16，与y ＝6－x 联立，解得x ＝5或x ＝1，∴点A 的横坐标的最大值为5.故选C.6．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题知点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离d ＝21＋m 2的最大值为2，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3.7．(2019·安徽皖西联考)已知P 是椭圆x 216＋y 27＝1上的一点，Q ，R 分别是圆(x －3)2＋y 2＝14和(x ＋3)2＋y 2＝14上的点，则|P Q |＋|PR |的最小值是________．解析：设两圆圆心分别为M ，N ，则M ，N 为椭圆的两个焦点， 因此|P Q |＋|PR |≥|PM |－12＋|PN |－12＝2a －1＝2×4－1＝7，即|P Q |＋|PR |的最小值是7. 答案：78．(2019·安阳一模)在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是________．解析：设满足|MA |＝2|MO |的点的坐标为M (x ，y )，由题意得x 2＋(y ＋3)2＝2x 2＋y 2， 整理得x 2＋(y －1)2＝4，即所有满足题意的点M 组成的轨迹方程是一个圆，原问题转化为圆x 2＋(y －1)2＝4与圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1有交点，据此可得关于实数a 的不等式组⎩⎨⎧a 2＋(a －3)2≥1，a 2＋(a －3)2≤3，解得0≤a ≤3， 综上可得，实数a 的取值范围是[0,3]． 答案：[0,3]9．(2019·唐山调研)已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|PA |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|Q M |的最小值． 解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2. 化简可得(x －5)2＋y 2＝16，故此曲线方程为(x －5)2＋y 2＝16. (2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题知直线l 2与圆C 相切，连接C Q ，CM ， 则|Q M |＝|C Q |2－|CM |2＝|C Q |2－16，当C Q ⊥l 1时，|C Q |取得最小值，|Q M |取得最小值，此时|C Q |＝|5＋3|2＝42，故|Q M |的最小值为32－16＝4.10．(2019·广州一测)已知定点M (1,0)和N (2,0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k . 当k 1k 2＝3时，求k 的取值范围． 解：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 因为M (1,0)，N (2,0)，|PN |＝2|PM |， 所以(x －2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2. 整理得，x 2＋y 2＝2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)＞0，得b 2＜2＋2k 2.① 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2bk 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－21＋k 2.②由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋bx 2＝3，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2， 即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0.③ 将②代入③，整理得b 2＝3－k 2.④由④得b 2＝3－k 2≥0，解得－3≤k ≤ 3.⑤ 由①和④，解得k ＜－33或k ＞33.⑥ 要使k 1，k 2，k 有意义，则x 1≠0，x 2≠0，所以0不是方程(*)的根，所以b 2－2≠0，即k ≠1且k ≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为[－3，－1)∪⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1∪(1, 3 ]．。
与圆有关的轨迹问题
课下探索： 课下探索： 与两个定圆都相切的动圆的圆心的轨迹
（1）与两圆均外切 ）
y A B x
（2）与两圆均内切 ） y
A B x
内切、 外切、 （3）与圆 内切、与圆 外切 4）与圆 外切、与圆 内切 ）与圆A内切 与圆B外切 ）与圆A外切 与圆B内切 （
y y A B x A B x
方法小结 ：与定圆相切的动圆圆心的轨迹情 况复杂， 况复杂， 1.抓牢两个圆心，一个切点，三点一定共线。 1.抓牢两个圆心，一个切点，三点一定共线。 抓牢两个圆心 一定共线 2.抓牢定圆的半径，设出动圆半径作辅助。 2.抓牢 圆的半径 设出动圆半径作辅助。 抓牢定 半径， 动圆半径作辅助 3.抓牢动点到两定点的距离的和与差不放。 3.抓牢动点到两定点的距离的和 不放。 抓牢动点到两定点的距离的
C
Ａ
探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 探索与定圆相切的动圆圆心轨迹要抓牢动 圆圆心到两定点的距离的和与差不放 不放。 圆圆心到两定点的距离的和与差不放。
S A B
C A S S B A B
定点A，同时与定圆 定圆⊙ 结论 ：过定点 ，同时与定圆⊙ B 相 的动圆圆心 的轨迹可能是椭圆 圆心S的轨迹可能是椭圆或 切 的动圆圆心 的轨迹可能是椭圆或双 曲线或直线的一部分。 曲线或直线的一部分。
x
x y 变题 2 :已知双曲线的方程为 2 − 2 = 1( a > 0, a b b > 0 ), F1 , F2 分别为左右焦点 , Q 是双曲线上任意 一点 , 从左焦点 F1 作 ∠ F1QF 2 平分线的垂线 , 垂足 为 P , 求点 P 的轨迹方程
F1
O
F2
x
P
M
经过点 A(5,0)且 与 且 例3： C ( x + 5) 2 + y 2 = 49 ：圆 的轨迹方 外 切的圆的圆心 P 的轨迹方程
与圆相关的动点轨迹问题
与圆相关的动点轨迹问题1、 过动点P 向圆222:a y x C =+引两条切线，这两条切线的夹角为定值θ2，求动点P 的轨迹方程。
2、 已知定点()0,4A 和圆4:22=+y x C 上的动点B ，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程。
3、 已知定点()0,3A 和圆1:22=+y x C 上的动点B ，AOB ∠的平分线交AB 于点P ，求点P 的轨迹方程。
4、 已知定点())0,1(,0,1B A -，BC 是圆1:22=+y x C 上的动弦，延长BC 到点D ，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程。
5、 已知定点())0,(,0,0a C B ，P 是PBC ∆的顶点，PB 的中线长为m 到点D ，求：点P 的轨迹方程。
6、 动圆被两条直线03,03=-=+y x y x 截得的弦长依次为8和4，求动圆圆心P 的轨迹方程。
7、 动圆与圆100:22=+y x C 内切，且过点)6,0(M ，求动圆圆心P 的轨迹方程。
8、 已知045,04B )0,4(=∠-APB A ），（，,动点P 的轨迹方程。
9、 已知)0,(),0,(a B a A -,以AB 为斜边作直角三角形，求两锐角的外角平分线的交点P 的轨迹方程。
10、对定点)0,1(A 和第一象限的动点B ，若090=∠OBA ，求OAB ∆的内切圆圆心的轨迹方程，并求内切圆面积的最大值。
11、点)0,(a A 是圆222:r y x O =+内一点)00(<<<r a ，C B ,是圆O 上两动点，且090=∠BAC ，求ABC ∆外心P 的轨迹方程。
12、已知)0,2(A 是圆4:22=+y x O 上一点，在圆上另取两点C B ,，使060=∠BAC ，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程。
13、求两条动直线05=+-m y mx 与05=-+my x 的交点P 的轨迹方程。
14、已知)2,0(A ，圆4:22=+y x O ，S 为过点A 的切线上任意一点，SR 为圆的另一条切线，R 为切点，ASR ∆的垂心为H ，当S 在切线上变动时，求点H 的轨迹方程。
高三数学人教版 二轮复习 圆有关的轨迹问题
圆有关的轨迹问题一、选择题1.圆x2+y2=4，过A〔4，0〕作圆的割线ABC，那么弦BC中点的轨迹方程是〔〕A. 〔x-2〕2+y2=4B. 〔x-2〕2+y2=4〔0≤x＜1〕C. 〔x-1〕2+y2=4D. 〔x-1〕2+y2=4〔0≤x＜1〕2.M是圆C：x2+y2=1上的动点，点N〔2，0〕，那么MN的中点P的轨迹方程是〔〕A. 〔x-1〕2+y2=B. 〔x-1〕2+y2=C. 〔x+1〕2+y2=D. 〔x+1〕2+y2=3.两定点A〔-2，0〕，B〔1，0〕，假设动点P满足|PA|=2|PB|，那么P的轨迹为〔〕A. 直线B. 线段C. 圆D. 半圆4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N分别是直线CD、AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点〔不包括边界〕，记直线D1P与MN所成角为θ，假设θ的最小值为，那么点P的轨迹是〔〕A. 圆的一局部B. 椭圆的一局部C. 抛物线的一局部D. 双曲线的一局部5.两定点A〔-3，0〕，B〔3，0〕，假如动点P满足|PA|=2|PB|，那么点P的轨迹所包围的图形的面积等于〔〕A. πB. 4πC. 9πD. 16π6.复数z满足条件：|2z+1|=|z-i|，那么z对应的点的轨迹是〔〕A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线二、填空题7.在平面直角坐标系xoy中，A，B是圆x2+y2=4上的两个动点，且AB=2，那么线段AB中点M的轨迹方程为______ ．8.自圆x2+y2=4上点A〔2，0〕引此圆的弦AB，那么弦的中点的轨迹方程为______ ．9.动圆M与圆C1：〔x+1〕2+y2=1，圆C2：〔x-1〕2+y2=25均内切，那么动圆圆心M的轨迹方程是______．10.圆x2+y2=4，B〔1，1〕为圆内一点，P，Q为圆上动点，假设∠PBQ=90°，那么线段PQ中点的轨迹方程为______．11.在直角坐标系xOy中，A〔-1，0〕，B〔0，1〕，那么满足PA2-PB2=4且在圆x2+y2=4上的点P的个数为______．12.点A〔0，2〕是圆O：x2+y2=16内定点，B，C是这个圆上的两动点，假设BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程为______ ．三、解答题〔本大题共5小题，共60.0分〕第 1 页13.点P〔2，2〕，圆C：x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．〔1〕求M的轨迹方程；〔2〕当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．14.圆C：〔x+1〕2+y2=8，点A〔1，0〕，P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．〔1〕求曲线E的方程；〔2〕假设直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON 面积的最大值．15.动圆C过定点F2〔1，0〕，并且内切于定圆F1：〔x+1〕2+y2=16．〔1〕求动圆圆心C的轨迹方程；〔2〕假设y2=4x上存在两个点M，N，〔1〕中曲线上有两个点P，Q，并且M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．16.圆N经过点A〔3，1〕，B〔-1，3〕，且它的圆心在直线3x-y-2=0上．〔Ⅰ〕求圆N的方程；〔Ⅱ〕求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．〔Ⅲ〕假设点D为圆N上任意一点，且点C〔3，0〕，求线段CD的中点M的轨迹方程．17.圆O：x2+y2=4及一点P〔-1，0〕，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C．〔1〕求轨迹C的方程；〔2〕假设直线PQ的斜率为1，该直线与轨迹C交于异于M的一点N，求△CMN 的面积．答案和解析【答案】1. B2. A3. C4. B5. D6. A7. x2+y2=38. 〔x-1〕2+y2=1，〔x≠2〕9. ．10. x2+y2-x-y-1=011. 212. x2+y2-2y-6=013. 解：〔1〕由圆C：x2+y2-8y=0，得x2+〔y-4〕2=16，∴圆C的圆心坐标为〔0，4〕，半径为4．设M〔x，y 〕，那么，．由题意可得：．即x〔2-x〕+〔y-4〕〔2-y〕=0．整理得：〔x-1〕2+〔y-3〕2=2．∴M的轨迹方程是〔x-1〕2+〔y-3〕2=2．〔2〕由〔1〕知M的轨迹是以点N〔1，3〕为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为-．∴直线PM 的方程为，即x+3y-8=0．那么O到直线l的间隔为．又N到l的间隔为，∴|PM |==．∴．14. 解：〔Ⅰ〕∵点Q在线段AP的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．又|CP|=|CQ|+|QP |=2，∴|CQ|+|QA |=2＞|CA|=2．第 3 页∴曲线E是以坐标原点为中心，C〔-1，0〕和A〔1，0〕为焦点，长轴长为2的椭圆．设曲线E的方程为=1，〔a＞b＞0〕．∵c=1，a=，∴b2=2-1=1．∴曲线E的方程为．〔Ⅱ〕设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕．联立消去y，得〔1+2k2〕x2+4kmx+2m2-2=0．此时有△=16k2-8m2+8＞0．由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=，x1x2=，．∴|MN|==∵原点O到直线l的间隔d=-，∴S△MON==．，由△＞0，得2k2-m2+1＞0．又m≠0，∴据根本不等式，得S△MON=．≤=，当且仅当m2=时，不等式取等号．∴△MON面积的最大值为．15. 解：〔1〕设动圆的半径为r，那么|CF2|=r，|CF1|=4-r，所以|CF1|+|CF2|=4＞|F1F2|，由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，a=2，c=1，所以，动圆圆心C的轨迹方程是．〔2〕当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|=4，|PQ|=4，四边形PMQN 的面积S=8．当直线MN斜率存在时，设其方程为y=k〔x-1〕〔k≠0〕，联立方程得，消元得k2x2-〔2k2+4〕x+k2=0设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为，，得〔3k2+4〕x2-8x+4-12k2=0 设P〔x3，y3〕，Q〔x4，y4〕，那么四边形PMQN的面积，令k2+1=t，t＞1，上式，令2t+1=z，〔z＞3〕，〔z ＞3〕，∴，∴S＞8〔1+0〕=8，综上可得S≥8，最小值为8．16. 解：〔Ⅰ〕由可设圆心N〔a，3a-2〕，又由得|NA|=|NB|，从而有，解得：a=2．于是圆N的圆心N〔2，4〕，半径．所以，圆N的方程为〔x-2〕2+〔y-4〕2=10．〔Ⅱ〕N〔2，4〕关于x-y+3=0的对称点为〔1，5〕，所以圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为〔x-1〕2+〔y-5〕2=10〔Ⅲ〕设M〔x，y〕，D〔x1，y1〕，那么由C〔3，0〕及M为线段CD 的中点得：，解得：．又点D在圆N：〔x-2〕2+〔y-4〕2=10上，所以有〔2x-3-2〕2+〔2y-4〕2=10，化简得：．故所求的轨迹方程为．17. 解：〔1〕设M〔x，y〕，那么Q〔2x+1，2y〕，∵Q在圆x2+y2=4上，∴〔2x+1〕2+4y2=4，即〔x +〕2+y2=1．∴轨迹C的方程是〔x +〕2+y2=1．〔2〕直线PQ方程为：y=x+1，圆心C到直线PQ的间隔为d ==，∴|MN |=2=，∴△CMN 的面积为==．【解析】1. 解：设弦BC中点〔x，y〕，过A的直线的斜率为k，割线ABC的方程：y=k〔x-4〕；作圆的割线ABC，所以中点与圆心连线与割线ABC垂直，方程为：x+ky=0；因为交点就是弦的中点，它在这两条直线上，故弦BC中点的轨迹方程是：x2+y2-4x=0如图应选B．第 5 页结合图形，不难直接得到结果；也可以详细求解，使用交点轨迹法，见解答．此题考察形式数形结合的数学思想，轨迹方程，直线与圆的方程的应用，易错题，中档题．2. 解：设线段MN中点P〔x，y〕，那么M〔2x-2，2y〕．∵M在圆C：x2+y2=1上运动，∴〔2x-2〕2+〔2y〕2=1，即〔x-1〕2+y2=．应选A．设出线段MN中点的坐标，利用中点坐标公式求出M的坐标，根据M在圆上，得到轨迹方程．此题考察中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考察学生的计算才能，属于根底题．3. 解：设P点的坐标为〔x，y〕，∵A〔-2，0〕、B〔1，0〕，动点P满足|PA|=2|PB|，∴，平方得〔x+2〕2+y2=4[〔x-1〕2+y2]，即〔x-2〕2+y2=4．∴P的轨迹为圆．应选：C．设P点的坐标为〔x，y〕，利用两点间的间隔公式表示出|PA|、|PB|，代入等式|PA|=2|PB|，化简整理得答案．此题考察动点的轨迹的求法，着重考察了两点间的间隔公式、圆的标准方程，属于中档题．4. 解：把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一局部，∵点P是△A1C1D内的动点〔不包括边界〕∴那么点P的轨迹是椭圆的一局部．应选：B．把MN平移到面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与面A1B1C1D1所成角为，求点P的轨迹．点P在面A1B1C1D1的投影为圆的一局部，那么点P的轨迹是椭圆的一局部．此题考察了空间轨迹问题，考察了转化思想，属于中档题．5. 解：设P〔x，y〕，那么|PA|=，|PB|=，∵|PA|=2|PB|，∴〔x+3〕2+y2=4[〔x-3〕2+y2]，即x2+y2-10x+9=0，化为标准式方程得〔x-5〕2+y2=16．即P的轨迹所包围的图形为半径为4的圆，该圆的面积S=π×42=16π．应选：D．设出P点坐标，根据|PA|=2|PB|列出方程整理出P的轨迹方程，判断图形计算面积．此题考察了轨迹方程的求法，属于根底题．6. 解：设复数z=x+yi，x，y∈R，∵|2z+1|=|z-i|，∴|2z+1|2=|z-i|2，∴〔2x+1〕2+4y2=x2+〔y-1〕2，化简可得3x2+3y2+4x+2y=0，满足42+22-4×3×0=20＞0，表示圆，应选：A设复数z=x+yi，x，y∈R，由模长公式化简可得．此题考察复数的模，涉及轨迹方程的求解和圆的方程，属根底题．7. 解：由题意，OM⊥AB，OM ==，∴线段AB中点M的轨迹方程为x2+y2=3，故答案为x2+y2=3．由题意，OM⊥AB，OM ==，即可求出线段AB中点M的轨迹方程．此题考察轨迹方程，考察垂径定理的运用，比拟根底．8. 解：设AB中点为M〔x，y〕，由中点坐标公式可知，B点坐标为〔2x-2，2y〕．∵B点在圆x2+y2=4上，∴〔2x-2〕2+〔2y〕2=4．故线段AB中点的轨迹方程为〔x-1〕2+y2=1．不包括A点，那么弦的中点的轨迹方程为〔x-1〕2+y2=1，〔x≠2〕故答案为：〔x-1〕2+y2=1，〔x≠2〕．设出AB的中点坐标，利用中点坐标公式求出B的坐标，据B在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．此题主要考察轨迹方程的求解，应注意利用圆的特殊性，同时注意所求轨迹的纯粹性，防止增解．9. 解：设动圆的圆心为：M〔x，y〕，半径为R，动圆与圆M1：〔x+1〕2+y2=1内切，与圆M2：〔x-1〕2+y2=25内切，∴|MM1|+|MM2|=R-1+5-R=6，∵|MM1|+|MM2|＞|M1M2|，因此该动圆是以原点为中心，焦点在x轴上的椭圆，2a=4，c=1解得a=2，根据a、b、c的关系求得b2=3，∴椭圆的方程为：．故答案为：．首先根据圆与圆的位置关系确定出该动圆是椭圆，然后根据相关的两求出椭圆的方程．此题考察的知识点：椭圆的定义，椭圆的方程及圆与圆的位置关系，相关的运算问题．10. 解：设PQ的中点为N〔x，y〕，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，那么ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+〔x-1〕2+〔y-1〕2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0．故答案为：x2+y2-x-y-1=0．利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用两点间隔公式求出动点的轨迹方程．此题考察中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程．第 7 页11. 解：设P〔x，y〕，∵A〔-1，0〕，B〔0，1〕，由PA2-PB2=4，得〔x+1〕2+y2-x2-〔y-1〕2=4．整理得：x+y=2．联立，解得：或．∴P点坐标为〔0，2〕或〔2，0〕．即满足条件的P点的个数为2．故答案为：2．设出P点的坐标，由等式求出P点的轨迹方程，和圆的方程联立求解P点的坐标，那么答案可求．此题考察了轨迹方程的求法，考察了方程组的解法，是中档题．12. 解：设M〔x，y〕，连接OC，OM，MA，那么由垂径定理，可得OM⊥BC，∴OM2+MC2=OC2，∵AM=CM，∴OM2+AM2=OC2，∴x2+y2+x2+〔y-2〕2=16，即BC中点M的轨迹方程为x2+y2-2y-6=0．故答案为：x2+y2-2y-6=0．设M〔x，y〕，连接OC，OM，MA，那么由垂径定理，可得OM⊥BC，OM2+MC2=OC2，即可求BC中点M的轨迹方程．垂径定理的使用，让我们在寻找M的坐标中的x与y时，跳过了两个动点B，C，而直达一个非常明确的结果，减少了运算量．13. 〔1〕由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；〔2〕设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的间隔公式求出O到l的间隔，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．此题考察圆的轨迹方程的求法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，训练了点到直线的间隔公式的应用，是中档题．14. 〔1〕根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．〔2〕联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进展求解即可．此题主要考察与椭圆有关的轨迹方程问题，以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用消元法以及设而不求的数学思想是解决此题的关键．，运算量较大，有一定的难度．15. 〔1〕利用条件判断轨迹是椭圆，求出a，b即可得到椭圆方程．〔2〕利用直线MN斜率不存在时，求解四边形PMQN的面积S=8．当直线MN斜率存在时，设其方程为y=k〔x-1〕〔k≠0〕，联立方程得，设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，利用韦达定理，弦长公式，通过PQ⊥MN，推出直线PQ的方程为，设P〔x3，y3〕，Q〔x4，y4〕，求出|PQ|，推出四边形PMQN的面积利用换元法以及根本不等式求解表达式的最值．此题考察轨迹方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的最值的求法，函数的思想的应用．16. 〔Ⅰ〕首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；〔Ⅱ〕求出N〔2，4〕关于x-y+3=0的对称点为〔1，5〕，即可得到圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程；〔Ⅲ〕首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程．此题考察圆的方程，考察参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题．17. 〔1〕设M〔x，y〕，用x，y表示出Q点坐标，代入圆O方程化简即可；〔2〕求出直线l的方程，圆心C到直线l的间隔，利用勾股定理求出弦长|MN|，即可得出三角形的面积．此题考察了轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系，属于中档题．第 9 页。
高中数学与圆有关的轨迹问题与最值问题
b a 1 ，解得 a 1 ， b 2 ，从而 r 2 2 （5 分）
圆 C 方程为： (x 1)2 ( y 2)2 8（6 分）
（Ⅱ）设 M (x, y) ， B(x0
，
y0
)
，则有
1
x0 2
x，
y0 2
y ， （8
分）
解得 x0 2x 1 ， y0 2 y ，代入圆 C 方程得： (2x 2)2 (2y 2)2 8 ， （10 分）
| MA | 2
(x 3)2 y2 2
化简整理得： x2 y2 2x 3 0 ，即 (x 1)2 y2 4 ，
点 M 的轨迹方程 (x 1)2 y2 4 ，轨迹是以 (1, 0) 为圆心，以 2 为半径的圆；
（2）由（1）可知， P(x, y) 为圆 (x 1)2 y2 4 上任意一点， 3x1 ，
（1）求动点 M 的阿波罗尼斯圆的方程； （2）过 P(2,3) 作该圆的切线 l ，求 l 的方程．
【解答】解：（1）设动点 M 坐标为 (x, y) ，则 AM (x 4)2 y2 ， BM (x 1)2 y2 ，
又知 AM 2BM ，则 (x 4)2 y2 2 (x 1)2 y2 ，得 x2 y2 4 ．
专题 05 与圆有关的轨迹问题与最值问题
题型一 轨迹问题
1．动圆 x2 y2 (4m 2)x 2my 4m2 4m 1 0 的圆心的轨迹方程是 x 2y 1 0(x 1) ．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得 [x (2m 1)]2 ( y m)2 m2 (m 0)
3 / 13
【解答】解： ( 1) 由两点式可知，对角线 AC 所在直线的方程为 y 2 2 2 ， x4 04
整理得 y x 2 0 ，
与圆有关的轨迹问题
法 点 关 相3
法方 本基的迹轨求
圆
线物抛
法 义 定2
线直 圆椭
法 译 直1
线曲双
简化
入代
式列
l
点设
系建
义定
法
x
A M
O B y
译直
2
2
.
M BA
BA 2 1
3 1 2 1
译直
A M B M y B
|BM| 2= |MA| 2 |BA| x A
1
A M B
M y B
|BM|= |MA|2 2 |BA| x A
x
P
支右的 线曲双的点焦为�、�以 �为迹轨的�点�以所
7� � � � � � � � � � � 此 因 r +7 � � � � � � 得 可 故 切外 相 �圆 定 与圆 动 为因 r�����即 r为 径 半的 � 圆动 设
A
oC
y
�)0,5-(�心圆的�圆�解
r �
P
7-r
rC M
P 9 4 � y � )5 � x ( C
2
)0,5(A
2
3 1 式变
� r M r
P
r-31
C
9 4 � y � )5 � x ( C 961
2
P
)0,5(A
2
3 2 式变
�
C
009 14 � y � )5 � x ( C
2
P
)0,5(A
2
3 3 式变
B
S
A
B
S
A C
B
S
A
。放不差与和的离距的点定两到心圆圆 动牢抓要迹轨心圆圆动的切相圆定与索探
与圆有关轨迹问题
1.步骤：建系-设点-限制条件-代入-化 简
例1求与点O（0,0），A（3,0）距离之比是 1
的点M的轨迹方程。
2
分析: 建系
设点M(x,y)是轨迹上的任意一点,
限制条件: 代入 化简
| MO | 1 | MA | 2
x2 y2 1 (x 3)2 y2 2
(x 1)2 y2 4
提示：l恒过定点C（a，0），又 OM⊥AB，
故点M为以OC为直径 a2 (x2 y2 r2)
2
4
四.参数法求轨迹 已知方程 x2 y2 2ax 2 3ay 3a2 0
(a 0)
表示圆，求圆心的轨迹方程
设圆心C（x，y）则
x a
y 3a
故 x 3 y 3
C（－1，－6），另一个顶点A在
抛物线
上移动，求此三角
形重心G的轨迹方程.
重心公式（
x1
x2 3
x3
,
y1 +y2 3
y3
)
三.定义法:
动点运动符合已知曲线的定义，根据 定义求出曲线方程的方法称为定义法。
已知直线 l : y k(x a)及 圆O : x2 y2 r 2
与圆O相交于A、B两点，求当k变动时，弦 AB中点M的轨迹方程。 变式：y=kx+1与圆C：（x-1)2 ( y 1)2 2 3
二.代点法求轨迹方程
例2已知线段AB的端点B（4,3），点A在圆 （x+1）2+y2=4上运动，求线段AB中点M的 轨迹方程
设M(x,y)是轨迹上的任意一
点,A(x0,y0),则
x
4
x0 2
y
3
y0 2
x0 2x 4
圆中的轨迹方程问题
圆中的轨迹方程问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆中的轨迹方程问题一直是数学领域中的经典难题之一，其研究涉及到圆的性质、几何关系等多个方面。
在解决这类问题时，我们常常需要运用代数、几何、解析几何等知识，通过推理和分析来找出问题的解决方案。
让我们来了解一下什么是轨迹方程。
在数学领域中，轨迹方程是描述曲线或者点在运动中的路径的数学方程。
而在圆中的轨迹方程问题中，就是要求找出圆内部或者圆周上点的运动路径的方程。
在圆中的轨迹方程问题中，有一类比较经典的问题就是求解圆的内切方程。
内切方程是指一个点在圆内部的路径方程。
根据圆的性质和几何关系，我们可以通过分析得到内切方程的表达式。
以一个简单的例子来说明，给定一个半径为r的圆，圆心坐标为(a, b)，点P(x, y)在圆内部运动。
我们可以通过利用圆的方程和点到圆心的距离等条件来推导出P点的轨迹方程。
我们知道圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²又因为点P在圆内部，所以P点到圆心的距离不能大于半径r。
即有：√[(x-a)² + (y-b)²] < r在解决圆中的轨迹方程问题时，我们还可以运用解析几何的方法来求解。
通过将问题转化为代数方程组，利用代数方法来解决。
举个例子，假设有一个半径为r的圆，圆心在原点O(0, 0)，一个移动点M(x, y)在圆周上运动。
我们需要求出M点的轨迹方程。
根据圆的定义，M点在圆周上，所以有：x² + y² = r²M点的横纵坐标均为x，y，因此M点在第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标可以分别表示为(x, y)，(-x, y)，(-x, -y)，(x, -y)。
M点的轨迹方程为：(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²) = 0两个圆的轨迹交点可以表示为一个方程组，通过求解方程组的解得到轨迹交点的坐标。
与圆有关的轨迹问题
课题：与圆有关的轨迹问题2010届高三数学调研测试(二)解答题中出现这样一道题目： 18.在等腰ABC ∆中，已知AB AC =,且点(1,0)B -。
点(2,0)D 为AC 中点。
（1）求点C 的轨迹方程（2）已知直线:40,l x y +-=求边BC 在直线l 上的射影EF 长的最大值。
文科班大部分学生对第一小题中的轨迹问题一筹莫展，结合2010年江苏高考考试说明我们可以了解到直线和圆的知识是解析几何中的重中之重，虽然考纲中必做题部分对轨迹方程并没有明确要求，但在样卷的解答题中依然出现了轨迹方程问题，我们还是不能掉以轻心，今天我们利用一节课的时间来研究一下解析几何中简单的一些求轨迹的问题，特别是与圆有关的轨迹问题。
一．回忆解析几何中常见的轨迹:(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线. (2)平面内到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心的圆.(4)平面内到定点的距离与到定直线（定点不在此定直线上）的距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时表示双曲线;当常数等于1时,表示抛物线;当常数大于0而小于1时表示椭圆.定点和定直线分别是圆锥曲线的焦点和相应的准线.(5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.二．例题选讲[例1]已知P(5,0)和圆1622=+y x ,过P 任意作直线l 与圆交于A 、B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹为 ． 解一：探究：M 是弦的中点，可利用垂径定理。
设轨迹上任一点),(y x M ,连结OM 。
0=⋅∴⊥,0505222=+-=+-∴y x x y x x 即）（51616052222=⇒⎩⎨⎧=+=+-x y x y x x 令。
)51600522<≤=+-∴x y x x （方程为 ∴弦AB 的中点M 的轨迹为圆的一部分。
瓜豆原理圆的轨迹问题
瓜豆原理圆的轨迹问题什么是瓜豆原理？瓜豆原理是指一个点沿着一条曲线运动，其轨迹是一个圆。
这个圆称为瓜豆原理圆。
在许多物理问题中，瓜豆原理都是一个重要的概念，它能够帮助我们理解并解决许多实际问题。
理解圆的轨迹圆的轨迹是指一个点在二维平面上的运动轨迹形状。
在瓜豆原理中，圆的轨迹是由一个点绕着一个固定的中心点做匀速的圆周运动形成的。
这个中心点被称为圆心，而固定的距离称为半径。
根据圆的定义，任意一点到圆心的距离都等于半径的长度。
这个性质决定了圆的轨迹是一个闭合的曲线，即从起点开始，经过一段时间后回到起点。
圆的轨迹可以用一条连续的曲线表示，形状是一个完美的圆形。
理解瓜豆原理圆在瓜豆原理中，这个圆的轨迹与物理上的运动有密切的关系。
我们可以通过理解瓜豆原理圆来解决一些与运动相关的问题。
瓜豆原理圆的轨迹是由一个点在二维平面上作圆周运动形成的。
这个运动可以是匀速的，也可以是变速的。
在匀速圆周运动中，点沿着圆的轨迹以恒定的速度旋转，角度的变化是匀速的。
而在变速圆周运动中，点沿着圆的轨迹以不同的速度旋转，角度的变化是不匀速的。
瓜豆原理圆的应用瓜豆原理圆在物理学、工程学以及许多其他学科中有广泛的应用。
在物理学中，瓜豆原理圆被用来描述天体的运动、电子的轨道等。
在工程学中，瓜豆原理圆被用来设计运动设备、机械传动系统等。
瓜豆原理圆的应用还包括航天器的轨道设计、机器人的路径规划等。
通过研究瓜豆原理圆，我们可以更好地理解和预测物体的运动轨迹，从而优化设计和控制。
如何确定瓜豆原理圆的轨迹确定瓜豆原理圆的轨迹需要了解圆的定义和一些相关的数学概念。
在平面几何中，圆是由一组等距离于圆心的点构成的。
在坐标系中，我们可以使用数学方程来描述圆的轨迹。
对于以坐标系原点为圆心的圆，其方程可以表示为： [x^2 + y^2 = r^2] 其中，(r)为圆的半径。
对于以坐标系原点为圆心的圆，其方程可以表示为： [(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2] 其中，((a, b))为圆的中心坐标。
圆轨迹问题
轨迹问题几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r；同时，到定点的距离等于r的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.初中的此类轨迹问题，轨迹只有两种：线段（直线）和圆弧（圆）第一大类：轨迹为圆一、圆的概念———到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.关键词“定点”和“定长”是我们发现“隐形圆”的关键.具体分类如下：①定点为圆心，相等距离为半径例1、如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________例2、如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______②动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例一、木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）例二、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.③过定点做折叠的可用圆（定点为圆心，对应点到定点的距离为半径）例一、如图，在Rt△ABC中，∠B=60∘，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：__________.二、圆周角及其推论类①圆周角1———直径所对的圆周角等于90°关键词：90°，是我们发现“隐形圆的关键.方法提炼：动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径.例一：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为__________.例二、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若AD=2，线段CP的最小值是__________.例三、如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_________.②圆周角2————同弧所对的圆周角相等. 推论:同弦所对的圆周角相等关键词：“同弧”“同弦“”角等“（也称”定弦定张角”）例1：已知在△ABC中，AC=2，∠ABC=45°，求△ABC的最大面积为____________.例2：如图，边长为3的等边△ABC，D、E为AB、BC上的点，且BD=CE，AD与BE交于点P，连接CP，则CP的最小值为__________:③圆周角3——同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.例：平面内有四个点A、O、B、C，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC长度为整数的值可以是___________三、圆内接四边形，对角互补.例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，BD 分别与AE、AF交于点G、H．若5CE=12CF，AG=13，则HF的长度为___________．第二大类：轨迹为线段平移：轨迹为线段例、如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为（）A 16cm B18cm C20cm D 22c角为定值例：如图，已知点A是第一象限内横坐标为的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．到直线的距离相等的点的轨迹例1：如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连结EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是。
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学霸
数学与圆有关的轨迹问题
定角对定边
旋转线段；在动态图中存在；分类确定一个动点的轨迹的圆周角相等来
性质，等边或同弧所对图中没有圆，根据圆的.2.1.1
学霸数学旋转线段
.1
旋转
绕点
条件：线段A
AB
数学_____
C 'A C 'A MN 'A MN AMN AB N A
D M 60A 20长度的最小值是，则，连接所在的直线翻折，得到沿着一个动点，将边上的
是边上的中点，是，的菱形中，如图，在边长为∆∆=∠
数学_____
C 'A C 'A MN 'A MN AMN AB N A
D M 60A 20长度的最小值是，则，连接所在的直线翻折，得到沿着一个动点，将边上的
是边上的中点，是，的菱形中，如图，在边长为∆∆=∠1
7'A 7MC 2
3ME 21DE E CD ME 'A C 'A M AD 'A 'MA MA min -====⊥==C C MD ，，，于点作取最小值
共线时、、当为直径的圆上，
在以，
数学______
M PQ D P A D C B Q D C B A P 2__M PQ B P 1AB PQ C B Q B A P 2走的路程为运动过程中，中点在停止到运动，当从运动，点从：点问题走的路程为的中点停止后，运动到点：当点；问题且保持运动向点从运动，点向点从点的正方形中，点如图，在边长为→→→→→→=
学霸
数学例题______
M PQ D P A D C B Q D C B A P 2__M PQ B P 1AB PQ C B Q B A P 2走的路程为运动过程中，中点在停止到运动，当从运动，点从：点问题走的路程为的中点停止后，运动到点：当点；问题且保持运动
向点从运动，点向点从点的正方形中，点如图，在边长为→→→→→→=43D C B A P 4
BC AB M B P M 21B M PQ ππ==d d AB 运动时的轨迹、、、由同理，的中点弧
的中点到轨迹是从到时，点到轨迹为圆，故点的距离始终为到中点
学霸数学
定边对定角.2
45
A
5
BC=
∠
=，
条件：090
BOC
A=
∠
时圆心角
的轨迹就是一个圆，此
结论：点
学霸
推广
数学
α
BC，
条件：α2 5
=A
=
∠
的轨迹就是一个圆，此
结论：点
时圆心角
A=
BOC
∠
数学____
BD DAC DCB D 3BC 4AC Rt 的最小值为，则且保证，是三角形内部任意一点，点，中，如图，∠=∠==∆ABC
数学213BD BD E D B AC D 90DAC DCA 90DCA DCB DAC DCB min 00-==∠+∠=∠+∠∠=∠取小最小值，共线时，、、当为直径的圆上
在以，故，
，____
BD DAC DCB D 3BC 4AC Rt 的最小值为，则且保证，是三角形内部任意一点，点，中，如图，∠=∠==∆ABC
数学的最小值为多少？
，则线段，若正方形的边长为于点交连接于点交，连接上两个动点，满足的边是正方形、如图，DH 2H AG BE G BD CF DF AE AD ABCD F E
数学的最小值为多少？
，则线段，若正方形的边长为于点交连接于点交，连接上两个动点，满足的边是正方形、如图，DH 2H AG BE G BD CF DF AE AD ABCD F E =15DH
DH I H D AB H 90BAH ABH 90BAH EAH ABE
EAH DCF DAG BD C A DCF
ABE DCF ABE DF AE min 0
0-==∠+∠=∠+∠∠=∠∠=∠∠=∠∆≅∆=取最小值共线时，、、为直径，当在以，
，故，对称得关于、，得由
数学
所走过的路径长。
，求动点
相交于点
和
，
运动到
边上，以相同的速度从
在
，点
运动到
匀速边上，从
在
，点
的边长为
如图，等边三角形
P
P
CD
AE
C
B
BC
E
B
A
AB
D
6
ABC
数学所走过的路径长。
，求动点相交于点和，运动到边上，以相同的速度从在，点运动到匀速边上，从在，点的边长为如图，等边三角形P P CD AE C B BC E B A AB D 6ABC 334120
P 120APC 60CAE BAE ACD PAC APD BAE
ACD CAD ABE BE AD 000
π==∠=∠+∠=∠+∠=∠∠=∠∆≅∆=d 其运动轨迹角为的轨迹为圆弧，其圆心，点故故，故可得由。