两个基本计数原理(加法原理和乘法原理)讲课教案
高中数学 1.1 两个基本计数原理教案1 苏教版选修2-3-苏教版高中选修2-3数学教案
.每个“接受单位”至多接受一个被分配元素的问题方法是 ，这里 .其中 是“接受单位”的个数。至于谁是“接受单位”，不要管它在生活中原来的意义，只要 .个数为 的一个元素就是“接受单位”，于是，方法还可以简化为 .这里的“多”只要 “少”
图见书本第7页
分析略
例3为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某设置的信箱中，
1密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
2密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样的密码共有多少个？
3密码为4-6位，每位均为0到10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？
分析: (1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,
第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1 = 5种不同的方法;第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2 = 4种不同的方法;所以,根据分类原理,得到不同选法种数共有N = 5 + 4 = 9种。
(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,
教学重点
教学难点
分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用理解
利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：
学生探究过程：
湘教版高中数学选修2-2《两个基本计数原理》教案
《两个基本计数原理》教案一、教学目标1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.二、教学重难点1、理解分类计数原理与分步计数原理2、会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题三、教学过程一、问题情况问题1:.从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 问题2:如图,由A 村去B 村的道路有3条，由B 村去C 村的道路有2条.从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法?要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识. 排列组合是一种重要的数学计数方法. 总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.二、学生活动探究：你能说说以上两个问题的特征吗？三、数学构建一、分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法.那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.分类记数原理的另一种表述:做一件事情，完成它可以有n 类办法,在第一类办法中有1m 种不同的方法,在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.问题1解答：分析:从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法;第二类方法,乘汽车，有2种方法;第三类方法,乘轮船,有3种方法.所以，从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法.问题2解答：分析:从A 村经B 村去C 村有两步：第一步,由A 村去B 村有3种方法,第二步,由B 村去C 村有2种方法,所以，从A 村经 B 村去C 村共有 3 ×2 = 6 种不同的方法.四、数学运用例 1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，（1）从书架上任取1本书，有多少种取法？（2）从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少不同的取法？分析:(1)从书架上任取1本书，有三类办法：第一类办法, 从第1层中任取一本书, 共有 1m = 4 种不同的方法; 第二类办法, 从第2层中任取一本书, 共有2m = 3 种不同的方法;第三类办法：从第3层中任取一本书,共有3m = 2 种不同的方法.所以, 根据分类记数原理, 得到不同选法种数共有N = 4+3+2= 9 种.点评:解题的关键是从总体上弄清楚这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”.“分类完成”用A 村B 村C 村北 南 中 北 南“分类记数原理”;“分步完成”用“分步记数原理”.例2 在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据分类记数原理共有 1 +2 +3 +4 + 5 + 6 + 7 + 8 =36 (个).分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类,在每一类中满足条件的两位数分别有 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.则根据分类记数原理共有 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36 (个).二、分步记数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法.例 3 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)？首位数字不为0的号码数有多少？首位数字是0的号码数又有多少？分析:按号码位数,从左到右依次设置第一位、第二位、第三位、第四位,需分为四步完成： 第一步,1m =10;第二步,2m = 10; 第三步,3m =10，第四步，4m = 10.根据分步记数原理, 共可以设置N = 10×10×10 ×10 =410种四位数的号码.答:首位数字不为0的号码数有N =9×10×10 ×10 = 9×310种,首位数字是0的号码数有N = 1×10×10 ×10 =310种.由此可以看出,首位数字不为0的号码数与首位数字是0的号码数之和等于号码总数. 分类记数原理中的“分类”要全面, 不能遗漏; 但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法.若完成某件事情有n 类办法, 即它们两两的交为空集,n 类的并为全集.分步记数原理中的“分步”程序要正确.“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n 步,则必须且只需依次完成这n 个步骤后,这件事情才算完成在运用“分类记数原理、分步记数原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准.在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏.练习：练习1 如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？投影完成解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m= 3种,1第二步,m= 2种,2第三步,m= 1种,3第四步,m= 1种.4所以根据分步记数原理, 得到不同的涂色方案种数共有N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种.练习2如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？解:从总体上看由A 到B 的通电线路可分三类,第一类, 1m = 3 条，第二类,2m =1条，第三类,3m =2×2 = 4条.所以, 根据分类记数原理, 从A 到B 共有N = 3 + 1 + 4 = 8条不同的线路可通电.点评: 我们可以把分类记数原理看成“并联电路”;分步记数原理看成“串联电路”.五、课堂小结1．主要学习了分类记数原理和分步记数原理2.两个原理的异同点：共同点是：它们都是研究完成一件事情,共有多少种不同的方法.不同点是：它们研究完成一件事情的方式不同,分类记数原理是“分类完成”,即任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事.分步记数原理是“分步完成”, 即这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情.这也是本节课的重点.A B。
《两个计数原理》课件
例题演练
- 一家公司有5名员工，其中2名男性和3名女性， 公司要选出一名发言人，那么有多少种不同的选 择方案？
加法原理
活动A 是 否 否
活动B 否 是 否
活动C 否 否 是
某购物中心为了吸引顾客，推出了3个活动，每个顾客只能选其中一个参加，假设有100名顾客来到购 物中心，那么最多有多少人能参加活动？
乘法原理
1
定义
- 什么是乘法原理理？
- 一支乐队有4名演奏者和3支乐器， 演奏者必须担任其中的一项，那么有
多少种不同的演奏方案？
加法原理
定义
加法原理是指在一系列互斥的事件中，每个事件 都有若干种可能的选择，那么所有事件的选择方 案的总数等于每个事件选择方案数的总和。
《两个计数原理》PPT课 件
在数学中，有两个重要的计数原理，分别是乘法原理和加法原理。
乘法原理
定义
乘法原理是指在多个事件中，每个事件都有若干种可能的选择，那么所有事件的选择方案的 总数等于每个事件选择方案数的乘积。
例题演练
如果一位参赛者需要有3个不同的场馆训练，场馆共有4个，那么有多少种不同的训练方案？
两个基本计数原理教案
§1.1两个基本计数原理【学习目标】：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理：②会利用两个原理分析和解，决一些简单的应用问题；【学习过程】一、情境引入：问题从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。
一天中，火车有4班, 汽车有2班，轮船有3班。
那么一天中乘坐这些交駁工具从甲地到乙地共有多少种不同的泄法？问题2：如图，由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C 村，共有多少种不同的走法？二、新课导学：1. 分类计数原理（又称为加法原理）：完成一件事，有n类办』去，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有业种不同的方法，……,在第n类办法中有g种不同的方法.那么完成这件事共有_____________________________________ ____________________________________ 种不同的方法.2. 分步计数原理（又称为乘法原理）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有uh种不同的•方法，做第二步有业种不•同的方法,……，做第n步有叫种不同的方法.那么完成这件事有_____________________________________________________ 种不同的方法.思考1:分类计数原理与分步计数原理的共同点，区别：三. 例题欣赏：例1. 一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?例2・（1）在图（1）的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法?(2)在图(2)的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法例3・为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码，在某网站设置的信箱中，(1) 密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？(2) 密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1个，这样•的密码共有多少个？(3) 密码为牛6位，每位均为0到9这10个数字中的一个，这样的密码共有多少个？例4・如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次,不同的涂色方案有多少种？变题1：如图，要给地图A. B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？变题2：若颜色是2种，4种，5种又会什么样的结果呢？【针对训练】班级姓名_______________ 学号1. 某中学的一幢5层教学楼有3处楼梯口，问从1楼到5楼共有____________________ 不同的走法？2. 在1~20共20个整数中取两个数相加，使英和为偶数的不同取法共有 ____________________ 种？3. 四需研究生各从A、B、C三位教授中选一位作自己的导师，共有___________________ 种选法：三名教授各从四劣研究生中选一位作自己的学生，共有 ______________ 种选法。
高中数学11两个基本计数原理教案1苏教版选修231
两个基根源理分 加法 数原 第一理与分步乘法数原理知 与技术：①理解分 加法 数原理与分步乘法 数原理；②会利用两个原理剖析和解决一些 的 用 ；讲课目程与方法：培育学生的 概括能力；感情、 度与价 ：引 分 数原理与分步 数原理学生形成 “自主学 ”与“合作学 ”等优异的学 方式讲课要点 分 加法 数原理与分步乘法 数原理的 用理解讲课 点利用两个原理剖析和解决一些 的 用教具准 ：与教材内容相关的 料。
讲课 想：引 学生形成“自主学 ”与“合作学 ”等优异的学 方式。
讲课 程：学生研究 程：1.从甲地到乙地，可以乘火 ，也可以乘汽 ， 可以乘 船。
一天中，火有 4 班, 汽 有 2 班， 船有 3 班。
那么一天中乘坐 些交通工具从甲地到乙地共有多少种不一样样的走法 ?剖析 : 从甲地到乙地有 3 方法,第一 方法 , 乘火 ，有 4种方法 ; 第二 方法 , 乘汽 ，有 2种方法 ;第三 方法 ,乘 船 , 有 3 种方法 ;因此从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法。
2. 如 , 由 A 村去 B 村的道路有3 条，由 B 村去 C 村的道路有 2 条。
从 A 村B 村去C 村，共有多少种不一样样的走法 ?北北A中 B南 C南剖析: 从A 村 B 村去 C 村有 2步,第一步 , 由 A 村去 B 村有 3 种方法 ,第二步 ,由 B 村去 C 村有 3 种方法 ,因此 从 A 村 B 村去 C 村共有 3 ×2=6 种不一样样的方法。
分 数 原理 完成一件事，有n 法 , 在第一 法中有 m 种不一样样的方法 , 在第二1法中有 m 2 种不一样样的方法，⋯⋯，在第 n 法中有 m n 种不一样样的方法。
那么完成 件事共有N=m1+m 2+⋯+m n种不一样样的方法。
分步 数原理 完成一件事，需要分成n 个步 ，做第一步有 m 1 种不一样样的 方法，做第 二步有 m 种不一样样的方法，⋯⋯，做第 n 步有 m 种不一样样的方法，那么完成 件事有2nN=m1× m 2×⋯× m n种不一样样的方法。
高考数学复习-分类加法计数原理与分步乘法计数原理教案(说课赛课)
高考数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理教学目的 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.教学重点分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解教 具多媒体、实物投影仪教学过程一、引入课题今天我们来学习两个计数原理：分类加法计数原理和分类乘法计数原理。
这两个原理不仅是我们解决计数问题的依据，也是我们学习排列组合和概率论的基础。
二、引出两个原理问题1: 重庆的王先生欲回老家广州过年，从重庆到广州可以乘坐火车或者汽车，一天中，火车有３班，汽车有２班，问从重庆到广州共有多少种不同的走法？分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从重庆到广州，所以，共有3+2=5种不同的走法。
由问题1引出分类加法计数原理：完成一件事情，有两类办法，在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有n 种不同的方法，那么完成这件事共N=m+n 种不同的方法.（也称加法原理）（板书）追问：如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共多少种不同的方法？.（口述）回答：有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种方法。
问题2：王先生在广州过完年后要去北京拜访朋友．第一天他必须乘火车去天津办一件事，然后次日再乘汽车到北京。
一天中，广州到天津的火车有３班，天津到北京的汽车有２班，问王先生从广州到北京一共有多少种走法？分析:因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，从广州到天津需乘一次火车再接着乘一次汽车就可以了，共有错误!未找到引用源。
种不同走法由问题2引出分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法.那么完成这件事共有N=m+n 种不同的方法.（也称乘法原理）（板书）追问：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有 错误!未找到引用源。
加法原理和乘法原理教案设计
加法原理和乘法原理教案设计加法原理和乘法原理(二)教学目的：1.进一步理解两个基本原理.2.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题教学重点：两个基本原理的进一步理解和体会教学难点：正确判断是分类还是分步，分类计数原理的分类标准及其多样性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法3.原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以.分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分”是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是:,这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”二、讲解范例：例1在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?解:取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.例2在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8,…,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.例3如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许xxhttp:///温馨提示：欲查找更多相关内容，请使用相关文章和本页面下边“上一篇”和“下一篇”按钮查找。
数学 加法原理和乘法原理教学设计
加法原理和乘法原理教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理．难点：加法原理和乘法原理的准确应用．教学用具投影仪．教学过程设计（一）引入新课从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．今天我们先学习两个基本原理．（二）讲授新课1．介绍两个基本原理先考虑下面的问题：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m 种不同的方法．n请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）：问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C 村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C 村共有3×2=6种不同的走法．一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．2．浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．看下面的分析是否正确（打出片子——题1，题2）：题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B 村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5．题中的分析是错误的．从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．（此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．也就是说：类类互斥，步步独立．（在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）（三）应用举例现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）（1）从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N =4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.（四）归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：分类时用加法原理，分步时用乘法原理．应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．（五）课堂练习P222：练习1～4．（对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）（六）布置作业P222：练习5，6，7．补充题：1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数）2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．（提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式）3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？（提示：可以用下面方法来求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数）4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）。
《两个基本计数原理的应用(1)》示范课教案【高中数学苏教版】
第七章计数原理7.1.2 两个基本计数原理的应用（第1课时）◆教学目标1.理解两个基本计数原理，能正确区分“类”和“步”，能正确使用两个原理解决简单计数问题；2.掌握分类计数原理和分步计数原理的区别和联系．◆教学重难点教学重点：正确选择加法原理或乘法原理解决问题．教学难点：综合使用加法原理和乘法原理解决问题.◆教学过程一、情境引入前面我们学习了两个计数原理：分类计数原理和分步计数原理．分类计数原理（加法原理）：如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯+m n种不同的方法．分步计数原理（乘法原理）：如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1∙m2∙⋯∙m n种不同的方法．我们知道，加法原理中，类与类不相交，每一类方式中的每一种方法都可以完成指定事情，乘法原理中，步与步有关联，只有所有的步骤都完成，才能完成指定事情，缺一不可．应用这两个原理解决问题时，都要先分清“要完成的一件事”是什么，然后再根据事情确实是分类还是分步，那么具体在应用中又如何准确的进行分类和分步呢，下面我们通过几个例子来进行探究．二、应用举例例1.（1）在如图所示的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？（2）在如图所示的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？分析：图（1）电路中模块A、B为并联关系，A中的2只开关、B中的3只开关各自也是并联关系，任意合上1只都可以完成接通电路这一件事，故可根据分类计数原理求解．图（2）中模块A、B为串联关系，要接通A有2个小开关可供选择，要接通B有3个小开关可供选择，而必须同时接通A、B两模块才能完成接通电路这一件事，故可根据分步计数原理求解．解：（1）图中电路要接通，只要在A中的2只开关或B中的3只开关中合上1只即可，根据分类计数原理，共有2+3=5种不同的方法；（2）图中电路要接通必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关，有2种选择；第二步，合上B中的1只开关，有3种选择．根据分步计数原理，共有2×3=6种不同的方法．答：（1）在图示电路中，仅合上1只开关接通电路，有5种不同方法；（2）在图示电路中，仅合上2只开关接通电路，有6种不同方法．例2.如图所示，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条.李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？问题1：①本题目中要完成的“一件事”是什么？②如何完成“这件事”？答案：①要完成的“一件事”是：从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，其中A、B两村之间有3条路，B、C两村之间有2条路，C、D两村之间有3条路．②因为要从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，所以这件事情需要分三个步骤完成：第一步，从A村到达B村，第二步，从B村到达C村，第三步，从C村到达D 村．解：李明从A村出发，依次经过B村，C村，到达D村，分三个步骤来完成：第一步，从A村到达B村，有3条路可选择；第二步，从B村到达C村，有2条路可选择；第三步，从C村到达D村，有3条路可选择；根据分类乘法计数原理，一共有N=3×2×3=18条路可供选择．问题2：以上解法是直接应用分类乘法计数原理，能否用分类计数原理来解决这个问题呢？答案：可以．将这件事情分两个步骤完成：第一步，从A村先经过B村到达C村，第二步，从C村到达D村．解：先考虑李明从A村经过B村到C村：从A村到B村的道路有3条，从B村到C 村的道路有2条，因此李明从A村经过B村到C村可以分成3类，每一类都有2种不同的方法，共有2+2+2=2×3=6条线路可以选择．再考虑从C村到D村，有3条道路可以选择，因此可以认为有3类，共有6+6+6=6×3=18条线路可以选择．因此，整个行程可以理解为共有N=2×3×3=18条线路可以选择．问题3：对比以上通过以上两种解法，试着说一说两个计数原理的联系．答案：两个计数原理本质上是一致的，分步计数原理的本质实际上就是分类加法计数，事实上，可以把第一步的m1种不同的方法看成有m1类，只不过每一类的方法数是相同的，因此可以运用乘法表示加法．这种关系类似于数的运算中，乘法运算本质就是特定条件下加法运算的简化．例3.3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有多少种不同的选法？问题：①该题目中，要完成的“一件事”是什么？②如何完成这件事？答案：①要完成的“一件事”是：让3名同学每人从5本不同电子书中任选1本；②3人要各自选1本电子书，这个事情可以分三步完成，即3人按照第一名、第二名、第三名的顺序依次选书，故不同选法的种数可以用分步计数原理来求解．解：第一步，第一名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法；第二步，第二名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法；第三步，第三名同学从5本不同电子书中任选1本，有5种选法．因此，根据分步计数原理，总共不同的选法种数为5×5×5=125．答：共有125种不同的选法．练习：①有5封不同的信，投到3个不同的信箱，有多少种不同的投法？如果是3封信投到5个信箱呢？②有5个人要报名去参加3项比赛，每人只能报一项，则有多少种不同的报名方法？如果5个人同时参加了3项比赛，那么关于3项比赛的冠军，又有多少种不同可能？答案：①5封信投到3个信箱，完成这一件事可以分成五步，即依次投递第1~5封信，每封信投哪个信箱都有3种选择，根据分步计数原理，则一共有35种不同的投法．反之，若是3封信投递到5个信箱，则每封信都有5种不同的投法，依次投3封信，则一共有53种不同的投法．②5个人报名参加3项比赛，完成这件事情可以分为3步，即依次让每个人去选比赛，均有3种可能，所以根据分步计数原理，一共有35种不同的报名方法．如果是5个人去争夺3项比赛的冠军，因为每项冠军只能有一个人，故这个问题可以看成是3个项目冠军依次来从5个人中选一个当，均有5种选法，所以根据分步计数原理，一共有53种不同的冠军可能．可见，在以上该类型问题中，最重要的是按照完成这件事的步骤，分清楚谁是主动元素，谁是被动位置，比如是信选信箱还是信箱选信，是人选项目还是项目选人．例4.为了确保电子邮件的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码．在某网站设置的邮箱中，（1）若密码为4位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？（2）若密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？分析：（1）确定一个4位数的密码，可以按照先确定第1位、再确定第2位、再确定第3位、最后确定第4位的顺序分步进行，再根据分步计数原理求解．．（2）若密码为4~6位，则这个密码的位数有三类可能，分别为4位、5位、6位，在每一类位数的密码确定中，可以仍按照第1位、第2位、……的顺序依次确定，再根据分步计数原理求出该位数密码的总个数，最后由分类计数原理得出三类密码的总个数．解：（1）设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0~9这10个数字中任取1个，有10种取法．根据分步计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10=10000．（2）设置的密码为4~6位，每位均为0~9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类．其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106．根据分类计数原理，设置由数字0~9组成的4~6位密码的个数是104+105+106=1110000．答：满足条件的密码的个数分别为10000和1110000．三、课堂练习1.如图，从甲地到乙地有3条公路，从乙地到丙地有2条公路，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路，问：（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？（2）从甲地到丙地共有多少种不同的走法？解：（1）从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路，根据分步计数原理，从甲地经过乙地到丙地的不同走法数量为3×2=6；（2）从甲地到丙地的路分两类，第一类，不经过乙地，共有2条路，第二类，经过乙地，由（1）知共有6条路，根据分类计数原理，从甲地到丙地的不同走法数量为2+6=8．答：（1）从甲地经乙地到丙地有6种不同的走法；（2）从甲地到丙地共有8种不同的走法．2.“要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？”尝试用多种方法来解决这个问题，并说明各种方法的不同之处．解：方法一，分类解决这个问题，第一类，“甲在左”时，不同的挂法有“甲乙、甲丙”2种，第2类，“乙在左”时，不同的挂法有“乙甲、乙丙”2种，第3类，“丙在左”时，不同的挂法有“丙甲、丙乙”2种，所以不同的挂法共有2+2+2=6种．方法二，从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步计数原理，不同挂法的种数为N=3×2=6．方法三，第一步，从3幅画中选出2幅，有3种选法：甲乙、甲丙、乙丙，第二步，将选出的两幅画挂好，分别有2种挂法，所以共有3×2=6种挂法．这种方法的核心就是先选出两幅画，再按指定位置挂好．这三种方法中，方法一是按左边画的不同分类求解，方法二是分步求解，先选左边的画，再选右边的画，两种方法本质是一样的，体现了乘法原理可以看成特定条件下加法原理的简化的这个关系，方法三是先选两幅画，再分左右挂，体现了“先选后排”解决问题的思想．四、梳理小结问题1：简单总结一下两个计数原理的区别和联系．问题2：回顾用两个计数原理解决计数问题的过程，尝试说一说其中的要点都有哪些？答案：用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要仔细分析两点：（1）要完成的“一件事”是什么；（2）需要分类还是需要分步．分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类计数原理求和，得到总数.分步要做到“步骤完整”，即完成了所有步骤，恰好完成任务．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．五、课后作业教材P57，习题7.1理解·感受第2,4,5,6题，思考·运用第9题。
小学数学《乘法原理与加法原理》教案
乘法原理与加法原理教案第1课时教案一、情境导入（5分钟）师：在日常生活和生产实践中要经常遇到排队、分数的有关计数问题。
例如，有6名学生和1位老师排成一排照相，如果老师必须在中间，问有多少种站法？某条航线上共有6个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？这种计数问题都涉及到两个基本原理：乘法原理和加法原理。
这一节我们就来讨论这两个基本原理。
二、新授（15分钟）1、学习【知识要点】师：如果做一件事需要分两个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，第二步有m2种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？学生：完成这件事共有N=m1×m2种不同的方法。
师：推广后得到如下更一般的结论：如果做一件事需要分n个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，……，做第n步有m n种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同方法师：如果完成一件事有n类办法，只在选择任何一类办法中的一种方法，这件事就可以完成。
又已知在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有m n种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？学生：完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。
师：强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”下面让我们到实战场上挑战吧。
【例1】从甲地到乙地有2条路可走，乙地到丙地又有3条路可走。
问从甲地经乙地到丙地，可以有多少种不同的走法？出示例1：你首先想到了什么？学生：用乘法原理。
为什么用乘法原理呢？学生：如果用a1，a2表示从甲地到乙地的两条路，用b1，b2，b3表示从乙地到丙地的三条路。
计数原理教案
计数原理教案计数原理是数学中的一个重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过计数原理，我们可以解决许多与排列、组合、概率等相关的问题。
本节课将围绕计数原理展开讲解，帮助学生深入理解这一概念，并掌握相关的解题方法。
一、基本概念。
1. 计数原理的概念。
计数原理是指在一系列事件中，每个事件发生的可能性个数的乘积等于所有事件发生的可能性个数的总数。
计数原理包括加法原理和乘法原理两种基本形式。
2. 加法原理。
加法原理是指如果一个事件可以分解成若干个互不相容的事件之一，那么这个事件发生的可能性个数等于各个互不相容事件发生的可能性个数之和。
3. 乘法原理。
乘法原理是指如果一个事件发生的可能性个数等于m，另一个事件发生的可能性个数等于n，那么这两个事件同时发生的可能性个数等于m与n的乘积。
二、排列与组合。
1. 排列的概念与计算方法。
排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列。
排列的计算方法是n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。
2. 组合的概念与计算方法。
组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑元素的顺序。
组合的计算方法是C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
三、应用实例分析。
1. 生日问题。
假设有5个人，问他们的生日都不相同的概率是多少？这是一个典型的排列问题，根据排列的计算方法可得出答案。
2. 球的排列组合问题。
有红、黄、蓝三种颜色的球各3个，问排成一排有多少种不同的排列方式？这是一个典型的排列问题，根据排列的计算方法可得出答案。
3. 奖学金发放问题。
某班级有10名同学，奖学金要发给其中的3名同学，问有多少种不同的发放方式？这是一个典型的组合问题，根据组合的计算方法可得出答案。
四、练习与作业。
1. 请同学们结合课上所学知识，完成《计数原理》相关练习题。
2. 布置作业，请同学们自行查阅相关资料，总结排列与组合的应用实例，并写出解题思路。
五、课堂小结。
本节课我们学习了计数原理的基本概念，包括加法原理和乘法原理，以及排列与组合的概念和计算方法。
第3讲 加法原理与乘法原理(教案)西师大版四年级下册数学
第3讲加法原理与乘法原理（教案）一、知识目标1.理解加法原理和乘法原理。
2.掌握加法原理和乘法原理的运用。
二、教学重难点1.加法原理和乘法原理概念的理解和应用。
2.加法原理和乘法原理的区别和联系。
三、教学内容1.加法原理–意义：对于两个互不相交的集合A和B，其并集的基数等于A集合的基数加B集合的基数。
–公式表达：$|A \\cup B|= |A| + |B|$–应用实例：班里有20个男生，15个女生，总数为20+15=35人。
2.乘法原理–意义：对于两个有序事件A和B，其组成事件的方案数等于第一个事件的方案数乘以第二个事件的方案数。
–公式表达：$N(A \\cdot B)= N(A) \\times N(B)$–应用实例：小明有4件上衣和3件裤子，问他有几种穿法？答案为$4\\times 3=12$种穿法。
四、教学过程1.学生复习小学数学中的集合概念和基本符号，如集合与元素的定义，集合的运算符号$\\cup$和$\\cap$等。
2.引入加法原理和乘法原理概念，让学生理解两个原理的本质区别。
3.分别讲解加法原理和乘法原理的公式表达，并结合实例让学生操作计算。
4.针对加法原理和乘法原理的应用实例进行课堂练习，让学生学会如何运用加法原理和乘法原理解决实际问题。
5.收集学生的加法乘法应用实例，并适当扩展课程难度，提高学生综合运用两个原理解决复杂问题的能力。
五、教学评价1.教师在课程中通过讲解明确的加法原理和乘法原理概念，帮助学生理解两个原理的本质区别和基本公式表达。
2.教师针对实际应用场景进行了充分的解释，有助于学生理解和应用两个原理。
3.教师在课程中引导学生通过讨论、练习和分享加深理解，并提高学生综合应用加法原理和乘法原理的能力。
六、教学扩展1.引导学生深入了解其他高级数学思维方式，如排列组合、图形数量和多元实际问题的计算方法等。
2.选取课程内容中涉及的实例，引导学生进一步思考和探究，如计算类似情境下每个方案的概率、多个事件共同发生的概率等。
加法原理和乘法原理教案设计
加法原理和乘法原理教案设计第一篇：加法原理和乘法原理教案设计加法原理和乘法原理教案设计【教学目的】1.使学生理解和掌握加法原理和乘法原理并能准确、熟练地运用两个基本原理。
2.加强对学生思维条理性的训练，培养学生分析问题、解决问题的能力。
【教学重点和难点】重点是两个基本原理的应用，难点是对两个基本原理的准确理解。
【教学过程】一、讲授新课加法原理和乘法原理是有关排列、组合问题所遵循的两条基本原理，深入理解和准确运用这两个原理是学好排列、组合这一单元的重要一环。
请同学们考虑下面两个问题：问题1从甲地到乙地，旱路有3条，水路有2条，间从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从图中很容易找到答案：从甲地到乙地共有5种不同的走法。
问题2由A村到B村的路有3条，由B村到C村的路有2条，问从A 村经过B村到达C村共有多少种不同的走法？从图中不难看出此题的答案是：共有6种不同的走法。
我们从上面两个问题中可以抽象出一般性的规律，得出以下的结论：（一）完成一件工作的两种不同的方式。
问题1和问题2的共同之处在于：它们都是在研究做一件事（或工作）完成它共有多少种不同的方法？这两个问题的不同点是完成工作的方式不同。
问题1中的每条旱路或水路都可以从甲地直接到达乙地，其中旱路和水路只不过是完成从甲地到乙地这件工作的两类不同的办法。
问题2中的从A村到B村的3条路和从B村到C村的2条路的任意一条路都不能把从A村经过B村到达C村这件工作做完，只能完成这件工作的一部分。
问题2中的工作是分两个步骤完成的：第一步从A村到达B村，第二步从B村到达C村。
我们不难总结出：完成一件工作有以下两种不同的方式：第一种方式：用不同类的办法去完成一件工作，每类办法中的任意一种方法都可以从头至尾把这件工作做完。
第二种方式：分成几个步骤去完成一件工作，每个步骤中的任意一种方法只能完成这件工作的一部分，这几个步骤都完成了，这件工作才能做完。
（二）加法原理和乘法原理。
第3讲加法原理与乘法原理(教案)西师大版四年级下册数学
第3讲加法原理与乘法原理（教案）西师大版四年级下册数学在今天的课堂上，我们要学习的是加法原理与乘法原理，这是数学中非常重要的概念。
通过学习这两个原理，同学们可以更好地理解数学中的组合与排列问题。
我们来看加法原理。
加法原理是指，如果要完成一项任务，有m 种方法，完成另一项任务有n种方法，那么完成这两项任务总共有m+n 种方法。
这个原理在实际生活中应用非常广泛，比如我们要安排一次旅行，可以选择不同的交通工具和路线，每种交通工具和路线都有可能成为完成旅行的方法，那么我们就可以用加法原理来计算出完成旅行的总方法数。
练习1：如果小明有3种方法可以选择去学校，小红有4种方法可以选择去图书馆，那么他们两个人一起去学校再去图书馆总共有多少种方法？答案：3×4=12，所以他们两个人一起去学校再去图书馆总共有12种方法。
练习2：如果一部手机有3种不同的解锁方式，一把钥匙有4种不同的开锁方式，那么用这部手机打开这把锁总共有多少种方法？答案：3×4=12，所以用这部手机打开这把锁总共有12种方法。
重点和难点解析：1. 加法原理的应用场景：加法原理主要应用于解决组合问题，即从多个集合中选择元素的方法数。
在实际生活中，比如安排旅行、规划活动等，我们需要考虑不同的交通工具、路线、时间等因素，这时就可以用加法原理来计算完成任务的总方法数。
2. 乘法原理的应用场景：乘法原理主要应用于解决排列问题，即从多个集合中按照一定顺序选择元素的方法数。
在实际生活中，比如安排聚会、设计活动等，我们需要考虑不同的地点、时间、人员等因素，这时就可以用乘法原理来计算完成任务的总条件数。
3. 理解两个原理的区别：加法原理和乘法原理虽然都是解决组合与排列问题的方法，但它们的核心区别在于是否考虑元素的顺序。
加法原理不考虑元素的顺序，只关注方法数；而乘法原理则考虑元素的顺序，关注条件数。
4. 掌握计算方法：在运用加法原理和乘法原理时，我们需要掌握正确的计算方法。
小学数学《乘法原理与加法原理》教案
乘法原理与加法原理教案第1课时教案一、情境导入（5分钟）师：在日常生活和生产实践中要经常遇到排队、分数的有关计数问题。
例如，有6名学生和1位老师排成一排照相，如果老师必须在中间，问有多少种站法？某条航线上共有6个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票？如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价？这种计数问题都涉及到两个基本原理：乘法原理和加法原理。
这一节我们就来讨论这两个基本原理。
二、新授（15分钟）1、学习【知识要点】师：如果做一件事需要分两个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，第二步有m2种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？学生：完成这件事共有N=m1×m2种不同的方法。
师：推广后得到如下更一般的结论：如果做一件事需要分n个步骤进行，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，……，做第n步有m n种不同方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同方法师：如果完成一件事有n类办法，只在选择任何一类办法中的一种方法，这件事就可以完成。
又已知在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2种不同方法，……，在第n类办法中有m n种不同方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？学生：完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同的方法。
师：强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个基本原理的作用：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”下面让我们到实战场上挑战吧。
【例1】从甲地到乙地有2条路可走，乙地到丙地又有3条路可走。
问从甲地经乙地到丙地，可以有多少种不同的走法？出示例1：你首先想到了什么？学生：用乘法原理。
为什么用乘法原理呢？学生：如果用a1，a2表示从甲地到乙地的两条路，用b1，b2，b3表示从乙地到丙地的三条路。
分类加法计数原理和分步乘法计数原理优质课教案
1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理民权高中教材分析:（Ⅰ）两个基本计数原理是计数原理的开头课，学习它所需的先行知识与学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分类加法计数和分步乘法计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.（Ⅱ）正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.（Ⅲ）分类加法计数原理，分步乘法计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.课标要求：知识与技能：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；过程与方法：培养学生的归纳概括能力；情感、态度与价值观：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解授课类型：新授课课时安排：两课时，本节为第一课时实物投影仪教学过程：引入课题从狐假虎威的故事引入。
1 分类加法计数原理（1）提出问题问题1.1：狐狸从草地到小岛有几种逃生方法？问题1.2：你能举出类似的例子吗？探究：你能说说以上两个问题的特征吗？（2）发现新知分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法. 那么完成这件事共有n m N +=种不同的方法.（3）知识应用例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B 两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A 大学B 大学生物学 数学化学 会计学医学 信息技术学物理学 法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？分析：由于这名同学在 A , B 两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择 A , B 两所大学中的一所．在 A 大学中有 5 种专业选择方法，在 B 大学中有 4 种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有 5+4=9（种）.变式：若还有C 大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？探究：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第2类方案中有2m 种不同的方法，在第3类方案中有3m 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有n 类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？一般归纳：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法……在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.理解分类加法计数原理：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2 分步乘法计数原理（1）提出问题问题2.1：狐狸从草地到房子共有几种逃生方法？用列举法可以列出所有可能的路径。
《两个基本计数原理》示范课教案【高中数学苏教版】
第七章计数原理7.1.1 两个基本计数原理1.理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别；2.会运用分类计数原理和分步计数原理分析和解决一些简单的问题；3.经历实际计数问题的解决过程，建构方法并归纳抽象出两个计数原理，提升数学抽象和逻辑推理能力．教学重点：理解分类计数原理和分步计数原理．教学难点：在解决具体问题中，区别使用两个基本计数原理．一、新课导入情境：在生活中，与计数有关的问题是普遍存在的，如电话号码的编排、密码的设定、体育赛事的设计、集成电路的布线安排，以及生物遗传的可能，等等．当数值较小时，我们可以通过列举或数形图解决问题，但是，当数值较大或情况比较复杂时，计数就比较困难，今天我们就来研究这样的计数问题．设计意图：通过设置情境，明确学习目标．二、新知探究问题1：如图，从甲地到乙地有3条公路、2条铁路，那么从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？追问1：从甲地到乙地有几类方式？每一类分别有几种方法？答案：从甲地到乙地有两类方式：第一类：走公路，有3种不同方法；第二类：走铁路，有2种不同方法．追问2：“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？答案：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”．追问3：从甲地到乙地，共有多少种不同的方法？答案：从甲地到乙地共有3+2=5（种）不同的方法．问题2：用一个大写的英文字母或者一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出◆教学目标◆教学重难点◆◆教学过程多少种不同的号码？追问1：完成这件事情有几类方式？每一类分别有几种方法？答案：有两类方式：第一类：用大写英文字母，有26种不同方法；第二类：用一个阿拉伯数字，有10种不同方法．追问2：“不同方法”与“完成这件事”有什么关系？答案：“不同方法”都能独立“完成这件事”，不依赖“其他方法”．追问3：总共能编出多少种不同的号码？答案：共有26+10=36（种）不同的方法．思考：你能由前两个问题归纳出一般结论吗？答案：完成一件事有两类不同方式，在第1类方式中有m种不同的方法，在第2类方式中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法．追问：如果完成一件事不只有两类“不同方式”，每一类方式中还有多种方法，那该如何计数呢？分类计数原理：如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有m n种不同的方法，则完成这件事共有N=m1+m2+……+m n种不同的方法．说明：分类计数原理又称为加法原理．归纳：分类计数原理特点（1）各类方式之间相互独立，都能独立的完成这件事，要计算方法种数，只需将各类方法数相加；（2）要先根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数．设计意图：通过问题、归纳、操作确认、解释说明等环节，得出分类计数原理．问题3：如图，从甲地到乙地有3条道路，从乙地到丙地有2条道路，那么从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？追问1：从甲地经乙地到丙地要分几步？每一步有几种方法？答案：分两步：第一步：先从甲地到乙地，有3种不同方法；第二步：再从乙地到丙地，有2种不同方法．追问2：“每一步”与“完成这件事”有什么关系？答案：“每一步”都不能独立“完成这件事”．追问3：从甲地经乙地到丙地，共有多少种不同的方法？答案：共有3×2=6（种）不同的方法．问题4：春节到了，某同学要与父母一起参加家庭聚会．她有3件不同的上衣，4条不同的裤子，如果把1件上衣和1条裤子看作一种搭配方法，那么共有多少种搭配方法？追问1：完成这件事要分几步？每一步有几种方法？答案：分两步：第一步：先选上衣，有3种不同方法；第二步：再选裤子，有4种不同方法．追问2：“每一步”与“完成这件事”有什么关系？答案：“每一步”都不能独立“完成这件事”．追问3：完成这件事，共有多少种不同的方法？答案：共有3×4=12（种）不同的方法．思考：你能由前面两个问题归纳出一般结论吗？答案：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法．追问1：“分步方法”与“完成这件事”有什么关系？答案：要完成这件事，“各步”中的方法必须依次都完成，步与步之间是连续的，且相互依存．追问2：如果完成一件事需要n个步骤，做每一步都有若干种不同的方法，那么如何计数呢？分步计数原理：如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n不同的方法，则完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法．说明：分步计数原理又称为乘法原理．归纳：分步计数原理特点：（1）各步骤相互依存, 每步都完成才算完成此事；（2）确定一个分步的标准，然后对每步方法计数．设计意图：借助具体问题，使学生理解分步乘法计数原理；通过设问，加深学生对原理的理解．说一说：你能总结出分类计数原理和分步计数原理的区别与联系吗？相同点：都是回答完成一件事的不同方法种数．不同点：分类计数原理针对“分类”问题，各类方式相互独立，每类方式中各种方法相互独立，任何一类中的任何一种方法都能单独完成这件事．分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，各个步骤都完成才算完成这件事.设计意图：明确两个原理的联系和区别，培养学生概括问题的能力．三、应用举例例1 某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．（1）若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？（2）若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？分析：考虑选择分“类”还是分“步”：分类计数原理中每种方法都可以解决这件事情；分步计算原理中连续几个步骤合起来共同完成一件事情．解：（1）选出1名代表有两类方式：第一类：从男生中选出1名代表，有28种不同的选法；第二类：从女生中选出1名代表，有20种不同的选法．根据分类计数原理，共有不同的选法种数是28 +20 = 48．（2）选出男、女生代表各1名，可以分成两个步骤完成：第一步：选1名男生代表，有28种不同的选法；第二步：选1名女生代表，有20种不同的选法．根据分步计数原理，选出男、女生代表各1名，共有不同的选法种数是28 ×20 =560．答：选出1名代表有48种不同的选法；选出男、女生代表各1名，有560种不同的选法．设计意图：学以致用.巩固对两个原理的理解；通过对比两个原理以及不同的解题思路让学生体会到两个计数原理在实际生活中的应用.四、课堂练习1.学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤．(1) 若只吃一种菜或汤，有________种不同的选择；(2) 若要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出________种不同的品种．2.如图，从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从C村到D村的道路有3条．李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，共有多少条线路可以选择？3.某校学生会由高一年级5人、高二年级6人、高三年级7人组成．(1)选其中1人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委，有多少种不同的选法？参考答案：1.解：(1) 有5+3+2=10种不同的选择．(2) 第一步，配1种荤菜，有3种不同的选择；第二步，配1种素菜，有5种不同的选择；第三步，配1种汤，有2种不同的选择．故共有5×3×2=30种不同的品种．2. 解：先考虑李明从A村经过B村到C村：从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，因此李明从A村经过B村到C村可以分成3类，每一类都有2种不同的方法，共有2+ 2+2=2×3=6条线路可以选择．再考虑从C村到D村，有3条道路可以选择，因此可以认为有3类，共有6+6+6= 6×3=18条线路可以选择．因此，整个行程可以理解为共有N=2×3×3=18条线路可以选择．3.解：(1)从3个年级共5+6+7=18名学生中选出1名代表，共18种选法．(2)从每个年级中各选1人，根据分步计数原理知，共5×6×7=210种选法．五、课堂小结分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题．不同点在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；而分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成了这件事．六、布置作业教材第56页练习第1，2，3题．。
《两个基本计数原理》教学案设计
《两个基本计数原理》教学案设计作者：肖逸扬来源：《新课程·教研版》2012年第01期一、教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理的认识和理解。
难点：加法原理和乘法原理的区别和应用。
三、教学过程(一)探究思考问题一：某人从深圳到广州，可以乘火车，也可以乘汽车，若一天中，火车有5班，汽车有6班。
那么一天中，乘坐这些交通工具从深圳到广州共有多少种不同的走法?你能由此归纳猜想出一个一般的结论吗?分类计数原理(加法原理)：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有()种不同的方法。
问题二：某人从深圳到广州先经停东莞，一天中，若从深圳到东莞有火车8班，从东莞到广州有汽车10班。
那么一天中，乘坐这些交通工具从深圳到广州共有多少种不同的走法?类比分类计数原理，你能由问题二归纳猜想出一个一般的结论吗?分步计数原理(乘法原理)：()(二)披沙拣金这两个基本原理都是研究完成一件事的不同方法的种数问题：(1)比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢?两个基本原理的区别在于：一个()，一个()。
(2)区别分类和分步的依据是什么?分类时各类方法()。
而分步时()。
(三)应用举例例：有一个班级共有42名学生。
其中男生有20名。
(1)若要选派一名学生代表班级参加学代会，有多少种不同的选派方法?(2)若要选派男、女各一名学生代表班级参加学代会，有多少种不同的选派方法?思维过程：①完成的这件事是什么?②如何完成这件事?③属于分类还是分步?(是否独立完成)④运用哪个计数原理?⑤利用相关原理进行计算。
[针对性练习]有一个书架有2层，上层放有6本不同的数学书，下层放有8本不同的语文书。
江苏省淮安中学高三数学《第93课 两个基本计数原理》基础教案
第93课两个基本计数原理一．课标解读理解两个基本计数原理,即加法原理和乘法原理；弄清何时运用加法原理，何时运用乘法原理，并能解决一些较简单的实际问题。
二．课前预习题1.将4封信投入3个信箱中，有种方法.2.用红黄绿三面旗帜中一面或二面或三面能组成种信号.3.书架上有6本不同的书，新买3 本插去，保持原6 本顺序不变，有种不同方法.4.用五张卡片正反面分别写上0和1,2和3,4和5 ，6和7,8和9，从中抽3 张能组成不同的三位数.5,1-9这此数分别作为真数和底数，能得不同的数值.6.12600的正约数有个.7.用0到9这10个数字能组成个没有重复数字的三位数.8.从数字0,1,3,5,7中任取三个不同是数字作为系数,可以组成个不同的一元二次方程20++=,其中有实根的方程有ax bx c个.三．典型例题例1.某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加校学生会.(1)若学校分配给该班1名代表,有多少种不同的选法?(2)若学校分配给该班2名代表,且男,女生各1名,有多少种不同的选法?例2.(1)在图(1)的电路中,只合上一只开关接通电路,有多少种不同的方法?(2)在图(2)的电路中,合上两只开关接通电路,有多少种不同的方法?(1) (2)例3.为了确保电子信箱的安全,在注册时,通常要设置电子信箱的密码.在某网站设置的信箱中,(1)密码为4位,每位均为0到9这10个数字中的一个数字,这样的密码共有多少个?(2)密码为4位,每位是0到9这10个数字中的一个,或是从A到Z这26个英文字母中的1个.这样的密码共有多少个?(3)密码为4～6位,每位均为0到9这10个数字中的一个.这样的密码共有多少个?例4.用4种不同的颜色给地图上色,要求相邻两块涂不同的颜色,共有多少种不同的涂法?班级___________姓名四．课外作业1.一个包内有5本不同的小说书,从两个包内任取一本书的取法有种2.某赛季足球比赛的计分规则是:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,一球队打完15场,积33分,若不考虑顺序,该队胜、平、负的情况共有种3.5名高中毕业生报考三所重点院校,每人报且只报一所院校,则不同的报名方法有种4.某幢9层大楼的底层电梯里上了8名乘客,各自到某一层下电梯,则不同的下法种数为5.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,但在开演前又增加了两个新节目,如果将这两个节目插入原来节目单中,那么不同的插法的种数为6.设异面直线,、上有5个点,b上有6个点,则过,a b上的点可a b a确定的不同的平面个数为__________________7.若集合{,,}N=-,f是M从N到的映射,则满=,集合{1,0,1}M x y z足()()()0++=的映射有___________________个f x f y f z8.在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种植,A B两种作物,每种作物种植一垄.为有利于作物生长,要求,A B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有________种(用数字作答)9.将3种作物种植在如图的5块实验田里,每种种植一种作物,且相邻的实验田不能种同一种作物,不同的种植方法共有___________种(用数字作答)10.从{3,2,1,0,1,2,3}---中任取3个不同的数作为抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的系数,如果抛物线过原点且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条?11.某文艺团体有10人,每人至少会唱歌或跳舞中的一种,其中7人会唱歌,5人会跳舞,从中选出会唱歌与跳舞的各1人,有多少中不同的选法?12.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点颜色不同,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数?13.集合,A B 的并集123{,,}A B a a a ⋃=,当A B ≠时(,)A B 与(,)B A 视为不同的对,则这样的对(,)A B 共有多少对?14.设集合{2,4,6,8},{1,3,5,7,9}A B ==今从A 中取一个数作为十位数字,从B 中取一个数作为个位数字,问:(1)能组成多少个不同的两位数?(2)能组成多少个十位数字小于个位数字的两位数?。