第三章北航 材料力学 全部课件 习题答案

Δl
l
0
F EA(
x
dx )
l
0
F Eb(
dx x)
(a)
由图可知，若自左向右取坐标 x ，则该截面的宽度为
代入式(a)，于是得
b( x)
b1
b2
l
b1
x
Δl F l
1ຫໍສະໝຸດ Baidu
dx Fl ln b2
E
0
δ b1
b2
l
b1
x
Eδ(b2 b1) b1
3-7 图示杆件，长为 l，横截面面积为 A，材料密度为 ，弹性模量为 E，试求自重
化简后，成为
FN1cos30 FN2cos30 Fcosθ 0
FN1 FN2 2Fsinθ
(a)
及
2
3(FN1 FN2 ) 2Fcosθ
(b)
联立求解方程(a)与(b)，得
由此得
tanθ FN1 FN2 (168) 103 0.1925 3(FN1 FN2 ) 3(16 8) 103
y (2ab)
可见，
Δl Δy1 Δy2 a (a b) (2a b)
Δy Δl
(b)
根据 k 的定义，有
5
FN kΔl kΔy
于是得
Δy
FN k
F k
3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为 EA，试计算节点 A 的水平与铅垂
位移。
题 3-10 图 （a）解： 利用截面法，求得各杆的轴力分别为
持。设沿地桩单位长度的摩擦力为 f，且 f = ky2，式中，k 为常数。已知地桩的横截面面积为 A，
弹性模量为 E，埋入土中的长度为 l。试求地桩的缩短量 。
题 3-8 图
解：1. 轴力分析 摩擦力的合力为
根据地桩的轴向平衡，
Fy
fdy
l
l
ky
2 dy
kl 3
0
3
由此得
kl3 F 3
截面 y 处的轴力为
EA
D
EA
故有
ΔD
εD
FD EA
4FD Eπ(D2 d
2
)
8
40.3 02 0 01 03 0.0 6 0109π(0.0602 0.02
0 02）m
1.79105 m0.0179mm
2.计算V 变形后该杆的体积为
故有
V lA (l l) π [(D εD)2 (d εd )2 ] Al(1 ε)(1 ε)2 V (1 ε 2ε) 4
k
3F l3
FN
y fdy
0
y ky2dy ky3
0
3
2. 地桩缩短量计算
截面 y 处微段 dy 的缩短量为
4
（a）
积分得 将式(a)代入上式，于是得
dδ FNdy EA
δ l FNdy k l y3dy kl4
0 EA 3EA 0
12EA
δ Fl 4EA
3-9 图示刚性横梁 AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即
题 3-5 图
FN1 E1ε1A1 200109 4.0104 200106 N 1.6104 N 16kN
FN2 E2ε2 A2 200109 2.0104 200106 N 8103 N 8kN
2.确定 F 及 θ 之值
由节点 A 的平衡方程 Fx 0 和 Fy 0 得
FN2sin30 Fsinθ FN1sin30 0
ΔV
V
V
V
(ε
2ε)
Fl E
(1
2μ)
200103 0.400 80109
m3
(1
2 0.3)
4.00107 m3 400mm3
3-4 图示螺栓，拧紧时产生 l =0.10mm 的轴向变形。已知：d1 = 8.0mm，d2 = 6.8mm，
d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，[ ]=500MPa。试求预紧力 F，并校 核螺栓的强度。
第三章 轴向拉压变形
3-2 一外径 D=60mm、内径 d=20mm 的空心圆截面杆，杆长 l = 400mm，两端承受轴
向拉力 F = 200kN 作用。若弹性模量 E = 80GPa，泊松比 =0.30。试计算该杆外径的改变量
D 及体积改变量V。 解：1. 计算D 由于
ε F ， ε ΔD F
)
4
(
0.006 0.0082
0.029 0.00682
0.008 0.0072
)
2.校核螺栓的强度
σ max
F Amin
4F
πd
2 2
418.65103 N π 0.00682 m2
5.14108 Pa 514MPa
此值虽然超过[σ]，但超过的百分数仅为 2.6％，在 5％以内，故仍符合强度要求。
θ 10.89 10.9
F
FN1 FN2 2sinθ
(16 8) 103 2sin10.89
N
2.12104 N
21.2kN
3-6 图示变宽度平板，承受轴向载荷 F 作用。已知板的厚度为，长度为 l，左、右端
的宽度分别为 b1 与 b2，弹性模量为 E。试计算板的轴向变形。
题 3-6 图
解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为
产生单位轴向变形所需之力）为 k，试求当载荷 F 作用时端点 B 的铅垂位移。
题 3-9 图 解：载荷 F 作用后，刚性梁 AB 倾斜如图(见图 3-9)。设钢丝绳中的轴力为 FN ，其总伸长 为 Δl 。
图 3-9
以刚性梁为研究对象，由平衡方程 M A 0 得
由此得 由图 3-9 可以看出，
FNa FN (a b) F(2a b) FN F
下杆端截面 B 的位移。
3
题 3-7 图 解：自截面 B 向上取坐标 y ， y 处的轴力为
FN gAy
该处微段 dy 的轴向变形为 于是得截面 B 的位移为
dΔy
gAy EA
dy
gy E
dy
ΔCy
g E
l ydy gl2
0
2E
( )
3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷 F，并由作用于地桩的摩擦力所支
3-5 图示桁架，在节点 A 处承受载荷 F 作用。从试验中测得杆 1 与杆 2 的纵向正应
变分别为ε1 = 4.0×10-4 与ε2 = 2.0×10-4。已知杆 1 与杆 2 的横截面面积 A1= A2=200mm2，弹性 模量 E1= E2=200GPa。试确定载荷 F 及其方位角 之值。
解：1.求各杆轴力
解：1.求预紧力 F 各段轴力数值上均等于 F ，因此，
题 3-4 图
由此得
Δl
F E
(
l1 A1
l2 A2
l3 ) A3
4F πE
(
l1 d12
l2
d
2 2
l3
d
2 3
)
1
F
πEΔl
π 210109 0.10103 N 1.865104 N 18.65kN
4(
l1 d12
l2
d
2 2
l3
d
2 3