2020版试吧高中全程训练计划数学理天天练5
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理) 月月考(三)
如图，点A ，B ，C ，E 在右侧面的投影为正方形，右侧面的投影为斜向下的正方形对角线，DE 在右侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线．故选D.＋1与直线l 2： )⎭⎪⎫12 ⎫1正方形ABCD和等腰直角三角形分别是AC，DE的中点，将△内)，则下列说法一定正确的是折起后的图形如图所示，取CD的中点AC，CD的中点，，∴平面MON∥中，AB＝3，BC所在的直线进行任意翻折，在翻折过程中直线包含初始状态)为()，所以AE与CD所成的角为＝2，EAB＝BEAB＝52，所以O1A＝2，所以△ABC径的圆，所以OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC的距离为2OO 1＝2 2.8．[2019·长沙高三测试]某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．47D ．8 答案：C 解析：由三视图可知，该几何体为如右图所示的三棱锥，其中PB ⊥平面ABC ，底面三角形为等腰三角形，且AB ＝4，PB ＝4，CD ⊥AB ，CD ＝23，所以AB ＝BC ＝AC ＝4，由此可知四个面中面积最大的为侧面P AC ，取AC 中点E ，连接PE ，BE ，则AC ⊥平面PBE ，所以PE ⊥AC ，PE ＝BE 2＋PB 2＝27，S △P AC ＝12·AC ·PE ＝47，故选C.9．[2019·湖北省重点中学联考]设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝01PF ＝，则△2 由题意知，|PF 11：＝：3＝5，显然，PF 1|2＋PF 1F 的面积为1×C1，B1D1交于点∥A1C1，且A1C1 EDF.16．[2019·广西南宁二中、柳州联考]如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE 沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.答案：①②解析：如图，①易证ABCE为矩形，连接AC，则N在AC上，连接CD，BD，易证在△ACD中，MN为中位线，MN∥DC，又MN ⊄平面DEC，∴MN∥平面DEC.①正确．②由已知，AE⊥ED，AE⊥EC，∴AE⊥平面CED，又CD⊂平面CED，∴AE⊥AD，∴MN⊥AE，②正确．③MN与AB异面．假若MN∥AB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE⊂平面MNBA，AD⊂平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾．③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．＝A1E＝2，BE.四边形C1FGB1是平行四边形．)如图，在四棱锥PP AD⊥底面ABCD中，AB＝BC＝；上，且二面角M-P〈由已知可得OB→n＝23|a－4|－4)2＋3a2＝4PC→n＝所成角的正弦值为3 4.。
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练5
天天练5 基本初等函数小题狂练⑤一、选择题1．[2019·杭州模拟]若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，则( )A ．f (2)<f (1)<f (4)B ．f (1)<f (2)<f (4)C ．f (2)<f (4)<f (1)D ．f (4)<f (2)<f (1) 答案：A解析：∵二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象开口向上，∴在对称轴处取得最小值，且离对称轴越远，函数值越大．∵函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝2，∴f (2)<f (1)<f (4)，故选A. 2．[2019·昆明模拟]已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(0,4]D ．[0,4) 答案：B解析：因为函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f (x )＝1，其定义域是实数集R ；当m >0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述．实数m 的取值范围是0≤m ≤4.3．[2018·全国卷Ⅲ]下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A ．y ＝ln(1－x )B ．y ＝ln(2－x )C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x ) 答案：B解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象．故选B.4．[2019·丰台模拟]已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1,3]上的值域为( )A ．[0,12] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12 答案：B解析：因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，所以f (0)＝0，所以b ＝0.因为f (－x )＝f (－1＋x )，所以函数f (x )的图象的对称轴为直线x ＝－12，所以a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12上为减函数，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，3上为增函数，故当x ＝－12时，函数f (x )取得最小值－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，故函数f (x )在[－1,3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12，故选B.5．[2019·辽宁省实验中学分校月考]函数y ＝16－2x 的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,4]C ．[0,4)D ．(0,4) 答案：C解析：函数y ＝16－2x 中，因为16－2x ≥0，所以2x ≤16.因此2x ∈(0,16]，所以16－2x ∈[0,16)．故y ＝16－2x ∈[0,4)．故选C.6．[2019·云南昆明第一中学月考]已知集合A ＝{x |(2－x )(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4 答案：D解析：由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.7．[2019·福建连城朋口中学模拟]若函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1，＋∞) 答案：B解析：令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必为增函数，故a >1.综上所述，1<a <2.故选B. 8.[2019·重庆第八中学月考]函数f (x )＝ax ＋bx 2＋c的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，c >0B ．a >0，c <0C ．a <0，c >0D ．a <0，c <0 答案：A解析：由f (0)＝0，得b ＝0，f (x )＝axx 2＋c .由x >0时，f (x )>0，且f (x )的定义域为R ，故a >0，c >0.故选A.二、非选择题9．(lg2)2＋lg5×lg20＋( 2 016)0＋0.02723-×⎝⎛⎭⎪⎫13－2＝________.答案：102解析：(lg2)2＋lg5×lg20＋( 2 016)0＋0.027－23×⎝⎛⎭⎪⎫13－2＝(lg2)2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋1＋[(0.3)3]23-×9＝(lg2＋lg5)2＋1＋10.09×9＝1＋1＋100＝102.10．若函数y＝x2＋bx＋2b－5(x<2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________．答案：(－4，＋∞)解析：函数y＝x2＋bx＋2b－5的图象是开口向上，以直线x＝－b2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－b2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b2<2，解得b>－4，所以实数b的取值范围为(－4，＋∞)．11．[2019·江西自主招生]方程log3(1＋2·3x)＝x＋1的解为__________________．答案：0解析：由方程log3(1＋2·3x)＝x＋1可得1＋2·3x＝3x＋1，化简可得3x＝1，故x＝0.12．[2019·浙江新昌中学、台州中学等校联考]约翰·纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数．后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系，即a b＝N⇔b＝log a N.现在已知2a＝3,3b＝4，则ab＝________.答案：2解析：∵2a＝3,3b＝4，∴a＝log23，b＝log34，∴ab＝log23·log34＝ln3ln2·ln4ln3＝ln4ln2＝2.课时测评⑤一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x 2＋x －2，则f (0)＋f (1)＝( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1 答案：A解析：由于函数f (x )为奇函数，故f (1)＝－f (－1)＝－(2－1－2)＝1，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝1.故选A.2．[2019·江西赣州模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，f (x ＋4)，x ≤0，则f (－2 018)＝( ) A ．0 B ．1 C ．log 23 D ．2 答案：B解析：∵x ≤0时，f (x )＝f (x ＋4)， ∴x ≤0时函数是周期为4的周期函数．∵－2 018＝－504×4－2，∴f (－2 018)＝f (－2)． 又f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)＝log 22＝1.故选B.3．若函数y ＝f (x )的定义域为[2,4]，则y ＝f (log 12x )的定义域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 B ．[4,16] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，14 D ．[2,4] 答案：C解析：令log 12x ＝t ，则y ＝f (log 12x )＝f (t )，因为函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，所以y ＝f (t )的定义域是[2,4]，即2≤t ≤4，所以2≤log 12x ≤4，解得116≤x ≤14，所以y ＝f (log 12x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤116，14. 4．[2019·福州名校联考]已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案：C解析：由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.5．[2019·广西两校联考(二)]已知函数f (x )＝121,02,0x x log x x ⎧⎫⎛⎫≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪⎪>⎪⎪⎩⎭则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：D解析：因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1221log 6＝2－21log 6＝22log 6＝6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 216＝2＋6＝8.6．[2019·西安质检]若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，2答案：D解析：通解 因为函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.解2m ＋1≥0，得m ≥－12；解m 2＋m －1≥0，得m ≤－5－12或m ≥5－12； 解2m ＋1>m 2＋m －1，得－1<m <2. 综上所述，5－12≤m <2.优解 分别取m ＝－2,2,0检验，可排除A ，B ，C ，从而选D.7．[2019·河南周口模拟抽测调研]已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213-，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3513-，c ＝log 3232，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案：B解析：∵y ＝x 13-是单调递减函数，且0<12<35，∴a >b >1.∵c ＝log 3232＝1，∴c <b <a .故选B.8．[2018·全国卷Ⅰ]设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案：D解析：方法1：①当⎩⎨⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎨⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．③当⎩⎨⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎨⎧x ＋1＞0，2x ＞0，即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D.方法2：∵ f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x ＞0，∴ 函数f (x )的图象如图所示．由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .此时x ≤－1.当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．故选D.二、非选择题9．已知函数f(x)是R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)＝2x－1，则方程f(x)＝log7|x－2|解的个数是________．答案：7解析：由于函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝4.在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝log7|x－2|的图象，从图象中不难看出，其交点个数为7.10．[2019·山东烟台海阳一中模拟]已知函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]，则实数m的取值范围为________．答案：[2,4]解析：函数f(x)＝2|x－2|－1的对称轴为直线x＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f(x)＝2|x－2|－1在区间[0，m]上的值域为[0,3]且函数关于直线x＝2对称，f(0)＝f(4)＝3，f(2)＝0，所以结合图象可知m∈[2,4]．11．已知函数f(x)＝e x－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切实数x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为f(x)＝e x－(1e)x，且y＝e x是增函数，y＝－(1e)x是增函数，所以f(x)是增函数．由于f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立⇔(t ＋12)2≤(x ＋12)2min ⇔(t ＋12)2≤0⇔t ＝－12.即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立．。
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 20
A．11B．12
C．13D．14
答案：C
解析：观察所给数列的项，发现从第3项起，每一项都是它的前两项的和，所以x＝5＋8＝13，故选C.
3．[2019·河南郑州模拟]已知数列1，，，，…，，则3是这个数列的()
天天练20数列的概念及表示
小题狂练⑳小题是基础 练小题 提分快
一、选择题
1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()
A．－1，－2，－3，－4，…
B．－1，－，－，－，…
C．－1，－2，－4，－8，…
D．1，，，，…，
答案：B
解析：A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.
C．0D．(－1)n
答案：A
解析：因为数列{an}是常数列，所以a＝a2＝＝，即a(a＋1)＝a2－2，解得a＝－2，故选A.
二、非选择题
9．已知数列{an}中，an∈，an＋1＝＋a，则数列{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．
答案：递增
解析：∵an＋1－an＝a－an＋＝(an－1)2－，又0<an<，∴－1<an－1<－，∴(an－1)2>，即(an－1)2－>0，∴an＋1－an>0，即an＋1>an对一切正整数n都成立，故数列{an}是递增数列．
5．[必修5P31例3改编]在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a4＝()
A.B.
C.D.
答案：B
解析：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝，a4＝.
6．[2019·内蒙古阿拉善左旗月考]已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，则a2 018等于()
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 3
答案：
解析：∵函数f(x)的定义域为(－1,0)，
∴由－1<2x＋1<0，解得－1<x<－.
∴函数f(2x＋1)的定义域为.
课时测评③综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
解法二因为f(x)＋1＝x＋，设g(x)＝f(x)＋1＝x＋，易判断g(x)＝x＋为奇函数，故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2，所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.
2．下列所给图象是函数图象的个数为()
A．1 B．2
解析：函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为的解集，解得1＜x＜2，所以函数f(x)的定义域为(1,2)．故选A.
5．[2019·福建省六校联考]下列函数中，满足f(x2)＝[f(x)]2的是()
A．f(x)＝lnxB．f(x)＝|x＋1|
C．f(x)＝x3D．f(x)＝ex
答案：C
解析：解法一对于函数f(x)＝x3，有f(x2)＝(x2)3＝x6，[f(x)]2＝(x3)2＝x6，所以f(x2)＝[f(x)]2，故选C.
天天练3函数的概念及表示
小题狂练③小题是基础 练小题 提分快
一、选择题
1．[2019·惠州调研]已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝()
A．2B．－2
C．4D．－4
答案：D
解析：解法一由已知得f(a)＝a＋－1＝2，即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
答案：f(x)＝－x－(x≠0)
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 4
C．－1－e D．e＋1答案：A解析：∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴f(x)的图象关于原点对称．∵当x≥0时恒有f(x)＝f(x＋2)，∴函数f(x)的周期为2.∴f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选A.8．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是()A．0<f(1)<f(3) B．f(3)<0<f(1)C．f(1)<0<f(3) D．f(3)<f(1)<0答案：C解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，所以函数f(x)在(－2,2)上单调递减，所以f(－1)>f(0)>f(1)，即f(1)<0<f(3)．故选C.二、非选择题9．已知f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，则f(0)＋m＝________.答案：2解析：∵f(x)是定义在[m－4，m]上的奇函数，∴m－4＋m＝0，解得m＝2，又f(0)＝0，∴f(0)＋m＝2.10．已知定义在R上的函数f(x)满足：∀x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，f(x＋1)＝f(5－x)成立．若f(－2)＝－1，则f(2 018)＝________.答案：1解析：由题意得f(x)＝f(6－x)＝－f(x－6)，即f(x－6)＝－f(x)，则f(x－12)＝－f(x－6)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为12.故f(2 018)＝f(12×168＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝1.11．已知函数y＝f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减．若f(a)<f(2)，求实数a的取值范围为________．答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：∵y＝f(x)是偶函数，∴f(a)＝f(|a|)．2)＝0(a>0且a≠1)在(－2,6)内有的图象与y＝log a(x＋2)的图象在(－2,6)。
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 43
6．[2018·全国卷Ⅰ]已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集为.
解法二由可取A，B两点的坐标分别为，.
由两点间的距离公式可得|AB|＝.
解法三设A，B两点所对应的参数分别为tA，tB，
将代入x2＋y2－4y＝0，并化简整理得t2＋t－3＝0，从而因此|AB|＝＝.
3．[2018·全国卷Ⅰ]选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
解析：(1)＋＋＝(x＋2y＋3z)＝6＋＋＋≥6＋2＋2＋2，当且仅当x＝y＝z时，等号成立．所以＋＋的最小值为6＋2＋2＋2.
(2)证明：由柯西不等式得(12＋22＋32)(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2＝1，所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当＝＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．
5．[2019·唐山模拟]已知定义在R上的函数f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*，若存在实数x使f(x)<2成立．
(1)求实数m的值；
(2)若α，β>1，f(α)＋f(β)＝6，求证：＋≥.
解析：(1)∵|x－m|＋|x|≥|x－m－x|＝|m|，
∴若存在实数x使|x－m|＋|x|<2成立，则|m|<2，解得－2<m<2.
∵m∈N*，∴m＝1.
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理) 周周测 3
周周测3导数及应用测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·长沙模拟]满足f(x)＝f′(x)的函数是()A．f(x)＝3＋x B．f(x)＝－xC．f(x)＝ln x D．f(x)＝0答案：D解析：若f(x)＝0，则f′(x)＝0，从而有f(x)＝f′(x)．故选D.2．[2019·东城模拟]若直线y＝－x＋2与曲线y＝－e x＋a相切，则a的值为()A．－3 B．－2C．－1 D．－4答案：A解析：由于y′＝(－e x＋a)′＝－e x＋a，令－e x＋a＝－1，得切点的横坐标为x＝－a，所以切点为(－a，－1)，进而有－(－a)＋2＝－1，故a＝－3.3．已知函数f(x)＝14x2＋cos x的图象在点(t，f(t))处的切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的大致图象是()答案：A解析：由于f(x)＝14x2＋cos x，∴f′(x)＝12x－sin x，∴f′(－x)＝－f′(x)，故f′(x)为奇函数，即g(t)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B、D，又当t＝π2时，g⎝⎛⎭⎪⎫π2＝π4－sinπ2＝π4－1<0，排除C，故选A.4．[2019·海南农垦月考]已知3a＝5b＝c，且1a＋1b＝2，则⎠⎛c(x2－1)d x＝()A．±2 2 B．2 2湖南长沙长郡中学模拟]已知函数，a](a>0)，使得方程e，＋∞)，e e]上的值域为.＝[f(x)]2＋tf(x)＋2的零点个数为的方程[f(x)]2＋tf(x)＋2＝0有4个解．所以1x 2－x 2＋2ln x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2.。
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(文)天天练6
天天练6函数图象及应用小题狂练⑥一、选择题1．已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(|x|)答案：C解析：由图②知，图象关于y轴对称，对应的函数是偶函数．对于A，当x>0时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后向左平移1个单位长度得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知C 正确．3．[2019·湖北四地七校联考]函数y ＝ln|x |－x 2的图象大致为( )答案：A 解析：函数y ＝ln|x |－x 2的定义域为{x |x ≠0}且为偶函数，所以排除选项B ，D.又当x >0时，y ＝ln x －x 2，y ′＝1x －2x ，令y ′＝0，解得x ＝22，或x ＝－22(舍去)．则当0<x <22时，函数y＝ln|x |－x 2单调递增；当x >22时，函数y ＝ln|x |－x 2单调递减．故选A.4．[2019·咸宁模拟]已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是图中的( )答案：B 解析：通解 因为y ＝a x 与y ＝log a x 互为反函数，而y ＝log a x 与y ＝log a (－x )的图象关于y 轴对称，根据图象特征可知选B.优解 首先，曲线y ＝a x 只可能在x 轴上方，曲线y ＝log a (－x )只可能在y 轴左边，从而排除A ，C ；其次，y ＝a x 与y ＝log a (－x )的增减性正好相反，排除D ，选B.5．[2019·重庆六校联考(一)]函数f (x )＝sinπx x 2的大致图象为( )答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπx x 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足，故选D.6．[2019·福建省高三毕业班质量检查测试]已知a ＝0.40.3，b＝0.30.4，c ＝0.3－0.2，则( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <b <c答案：A解析：通解 因为函数y ＝0.3x 在R 上单调递减，所以0<0.30.4<0.30.3<1<0.3－0.2.又0<0.30.3<0.40.3<1，a ＝0.40.3，b ＝0.30.4，c ＝0.3－0.2，所以b <a <c .故选A.优解 因为a 10＝0.43＝0.064，b 10＝0.34＝0.008 1，c 10＝0.3－2＝1009>1，所以b <a <c .故选A.7．[2018·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )答案：B 解析：∵ y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e >1，排除C 选项．故选B.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案：D解析：|f (x )|＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0的图象如图，由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax ≤|f (x )|，则a ≤0，且ax ≤x 2－2x (x <0)，即a ≥x －2对任意x <0恒成立，所以a ≥－2.综上，－2≤a ≤0.故选D.二、非选择题9．[2019·烟台模拟]如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f (x )的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f (x )的解析式为____________．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0解析：当－1≤x ≤0时，设解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧ －k ＋b ＝0，b ＝1，得⎩⎨⎧ k ＝1，b ＝1，∴y ＝x ＋1.当x >0时，设解析式为y ＝a (x －2)2－1(a >0)，∵图象过点(4,0)，∴0＝a (4－2)2－1，得a＝14，即y ＝14(x －2)2－1.综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，－1≤x ≤0，14(x －2)2－1，x >0.10．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________.答案：133解析：由图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，所以a ＝b ＝2，又函数y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.11．[2019·泰安四校联考(一)]用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．答案：6解析：f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.12．[2019·山西大同一中模拟]已知f (x )＝(x ＋1)·|x －1|，若关于x 的方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围为____________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，54 解析：因为f (x )＝(x ＋1)|x －1|＝⎩⎨⎧x 2－1，x ≥1，1－x 2，x <1，在同一平面直角坐标系内作出y ＝f (x )，y ＝x ＋m 的图象，如图，当直线与抛物线相切时，联立方程组得x 2＋x ＋m －1＝0，Δ＝1－4(m －1)＝5－4m ＝0，解得m ＝54，当y ＝x ＋m 过点(1,0)时m ＝－1，方程f (x )＝x ＋m 有三个不同的实数解就是直线与抛物线有三个交点，由图可知－1<m <54，故填⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，54.课时测评⑥一、选择题 1．[2019·重庆一诊]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C．f(x)＝e－x＋1D．f(x)＝e－x－1答案：D解析：与曲线y＝e x图象关于y轴对称的曲线为y＝e－x，函数y＝e－x的图象向左平移一个单位得到函数f(x)的图象，即f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.2．[2019·广东广州普通高中模拟]定义域为R的函数f(x)＝ax2＋b|x|＋c(a≠0)有四个单调区间，则实数a，b，c满足() A．b2－4ac>0且a>0 B．b2－4ac>0C．－b2a>0 D．－b2a<0答案：C解析：此函数为偶函数，当x≥0时，f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x<0时，f(x)＝ax2－bx＋c.只要当x>0时，顶点在y轴的右侧，f(x)就有四个单调区间，所以－b2a>0.故选C.3．[2019·石家庄摸底考试]现有四个函数：①y＝x·sin x，②y ＝x·cos x，③y＝x·|cos x|，④y＝x·2x的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是()A．①④②③B．①④③②C．④①②③D．③④②①答案：A解析：函数①y＝x·sin x为偶函数，图象关于y轴对称，对应的是第一个函数图象，从而排除选项C，D；对于函数④y＝x·2x，y′＝2x(1＋x ln2)，x>0时，y′>0，函数单调递增，所以函数④y ＝x·2x对应的是第二个函数图象；又x>0时，函数③y＝x·|cos x|≥0，对应的是第四个函数图象，从而排除选项B，故选A.4．[2019·洛阳统考]已知f(x)＝(x－a)·(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的大致图象是()答案：A 解析：由函数f (x )的大致图象可知3<a <4，－1<b <0，所以g (x )的图象是由y ＝a x (3<a <4)的图象向下平移－b (0<－b <1)个单位长度得到的，其大致图象应为选项A 中的图象，故选A.5．[2019·安徽宿州第一次教学质量检测]函数y ＝x 3e x (其中e 为自然对数的底数)的大致图象是( )答案：B 解析：方法一：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x <0时，y <0，排除A ；y ′＝3x 2e x －x 3e x (e x )2＝x 2(3－x )e x ， 当x <3时，y ′>0，当x >3时，y ′<0，∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B.方法二：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x <0时，y <0，排除A ；当x →＋∞时，y →0.故选B. 6.若函数f (x )＝(ax 2＋bx )e x的图象如图所示，则实数a ，b 的值可能为( )A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝1，b ＝－2C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：B解析：令f (x )＝0，则(ax 2＋bx )e x ＝0，解得x ＝0或x ＝－b a ，由图象可知，－b a >1，又当x >－b a 时，f (x )>0，故a >0，结合选项知a ＝1，b ＝－2满足题意，故选B.7．[2018·全国卷Ⅲ]函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )答案：D 解析：方法1：f ′(x )＝－4x 3＋2x ，则f ′(x )>0的解集为－∞，－22∪0，22，f (x )单调递增；f ′(x )<0的解集为－22，0∪22，＋∞，f (x )单调递减．故选D.方法2：当x＝1时，y＝2，所以排除A，B选项．当x＝0时，y＝2，而当x＝12时，y＝－116＋14＋2＝2316>2，所以排除C选项．8．[2019·山东安丘一中段考]已知有四个平面图形，分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x＝t(0≤t≤a)从原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(选项中阴影部分)．若函数y＝f(t)的大致图象如图所示，那么平面图形的形状不可能是()答案：C解析：观察函数图象可得函数y＝f(t)在[0，a]上是增函数，即说明随着直线l的右移，扫过图形的面积不断增大．再对图象作进一步分析，图象首先是向下凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越快，然后是向上凸的，说明此时扫过图形的面积增加得越来越慢．根据这一点很容易判定C项不符合．这是因为在C项中直线l扫到矩形部分时，面积会呈直线上升．二、非选择题9．[2019·江苏扬州模拟]不等式2－x≤log2(x＋1)的解集是______________．答案：{x|x≥1}解析：画出y＝2－x，y＝log2(x＋1)的图象如图所示，由图可知，解集为{x|x≥1}．10．已知点M，N分别是函数f(x)，g(x)图象上的点，若M，N关于原点对称，则称M，N是一对“关联点”．已知f(x)＝－x2＋4x－2，g(x)＝－x2－4x，则函数f(x)，g(x)图象上的“关联点”有________对．答案：2解析：令y＝－x2－4x，得(x＋2)2＋y2＝4(y≥0)，表示圆心为(－2,0)，半径为2的半圆(x轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，再作出函数f(x)的图象，由图可知，满足条件的“关联点”有2对．11．作出函数y＝|x2－2x－1|及y＝|x|2－2|x|－1的图象．解析：解法一：当x2－2x－1≥0时，y＝x2－2x－1当x2－2x－1<0时，y＝－(x2－2x－1)步骤：(1)作出函数y＝x2－2x－1的图象(2)将上述图象x轴下方部分以x轴为对称轴向上翻折(上方部分不变)，即得y＝|x2－2x－1|的图象．解法二：当x≥0时y＝x2－2x－1当x<0时y＝x2＋2x－1即y＝(－x)2－2(－x)－1 步骤：(1)作出y＝x2－2x－1的图象；(2)y轴右方部分不变，再将右方以y轴为对称轴向左翻折，即得y＝|x|2－2|x|－1的图象．。
2020版试吧高中全程训练打算数学理天天练8
天天练 8 导数的概念与几何意义、导数的运算小题狂练⑧ 小题是基础 练小题 提分快 一、选择题1．[2019·重庆巴蜀中学模拟]假设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，那么lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0 答案：B 解析：lim h →0f x 0＋h －f x 0－hh＝lim h →02⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋h－f x 0－h 2h＝2lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝2f ′(x 0)．应选B.2．[2019·河南平顶山调研]设f (x )＝x ln x ，假设f ′(x 0)＝2，那么x 0＝( )A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2 答案：B解析：f ′(x )＝ln x ＋1.因为f ′(x 0)＝2，因此ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.应选B.3．[2019·河南濮阳中学检测]已知f ′(x )是f (x )＝sin x ＋a cos x 的导函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，那么实数a 的值为( ) A.23 B.12 C.34D ．1 答案：B解析：由题意可得f ′(x )＝cos x －a sin x ，由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝24，得22－22a ＝24，解得4．[2019·山东枣庄三中质检]已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且知足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，那么f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e 答案：B解析：由题可得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x ，那么f ′(1)＝2f ′(1)＋1，解得f ′(1)＝－1，因此选B.5．[2019·湖南长沙长郡中学模拟]等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，那么f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215 答案：C解析：f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′，因此f ′(0)＝a 1a 2a 3…a 8＝(a 1a 8)4＝(2×4)4＝212.应选C.6．以下函数中，导函数在(0，＋∞)上是单调递增函数的是( ) A ．y ＝3ln x －x B ．y ＝e x ＋xC ．y ＝3x ＋2D ．y ＝x 3－x 2＋2x 答案：B解析：关于A ，因为y ＝3ln x －x ，因此y ′＝3x －1在(0，＋∞)上是单调递减函数；关于B ，因为y ＝e x ＋x ，因此y ′＝e x ＋1在(0，＋∞)上是单调递增函数；关于C ，因为y ＝3x ＋2，因此y ′＝3在(0，＋∞)上是常函数；关于D ，因为y ＝x 3－x 2＋2x ，因此y ′＝3x 2－2x ＋2在(0，＋∞)上不单调．应选B.7.已知函数f (x )的图象如下图，f ′(x )是f (x )的导函数，那么以下选项正确的选项是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)C ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 答案：C解析：由题意知，(2，f (2))，(3，f (3))两点连线的斜率为f (3)－f (2)3－2＝f (3)－f (2)，而f′(2)、f′(3)别离表示函数f(x)的图象在点(2，f(2))，(3，f＋1)(0－x0)，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；(2)若是过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.(2)设切点为(x0，x30－x0)，那么切线方程为y－(x30－x0)＝f′(x0)(x－x0)．又切线过点(1，b)，因此(3x20－1)(1－x0)＋x30－x0＝b，即2x30－3x20＋b＋1＝0.由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，那么g(x)有三个不同的零点，而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，那么结合图象可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．。
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 14
解析：由题意得ω＋＝2kπ＋(k∈Z)，即ω＝24k＋4(k∈Z)，由ω>0知，当k＝0时，ω取到最小值4.
12．[2019·南昌模拟]已知f(x)＝cos2x＋acos在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．
答案：(－∞，－4]
解析：f(x)＝cos2x＋acos＝1－2sin2x－asinx在上是增函数，y＝sinx在上单调递增且sinx∈.令t＝sinx，t∈，则y＝－2t2－at＋1在上单调递增，则－≥1，因而a∈(－∞，－4]．
故选C.
3．[2019·沈阳质检]已知f(x)＝2sin2x＋2sinxcosx，则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间为()
2．[2019·云南大理模拟]函数f(x)＝3sin在x＝θ处取得最大值，则tanθ＝()
A．－B.
C．－D.
答案：D
解析：由题意，函数f(x)＝3sin在x＝θ处取得最大值，∴θ＝2kπ＋(k∈Z)，∴tanθ＝.故选D.
3．[2019·河北大名县月考]函数y＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是()
A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形
B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形
C．两个函数在区间上都是单调递增函数
D．两个函数的最小正周期相同
答案：C
解析：①y＝sin，图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为2π；②y＝sin2x图象的对称中心为，k∈Z，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z，最小正周期为π.故选C.
10．[2019·上海长宁区延安中学模拟]函数y＝tan的单调递增区间为________．
答案：(k∈Z)
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 19
答案：
解析：如图，设＝a，＝b，A(1,0)，B(－1，)．设m＝(x，y)，由m·a＝m·b＝1，
得解得
∴|m|＝＝.
课时测评⑲综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝()
A.B．±
C．±D．±
答案：B
解析：根据a＋λb与a－λb垂直，可得(a＋λb)·(a－λb)＝0，整理可得a2－λ2·b2＝0，即λ2＝＝＝，所以λ＝±，选B.
2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝()
C．2 D．－2
答案：B
解析：∵非零向量m，n满足3|m|＝2|n|，〈m，n〉＝60°，
∴cos〈m，n〉＝.又∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝tm·n＋n2＝t|m||n|×＋|n|2＝|n|2＋|n|2＝0，解得t＝－3.故选B.
4．[2019·辽宁葫芦岛第六高级中学模拟]已知在△ABC中，G为重心，记a＝，b＝，则＝()
二、非选择题
9．[2019·河南南阳一中考试]已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|2a＋b|＝2，则|b|＝________.
答案：4
解析：∵|2a＋b|＝2，|a|＝1，∴(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×|b|×cos120°＋b2＝4－2|b|＋b2＝12，整理得b2－2|b|－8＝0，解得|b|＝4或|b|＝－2(舍去)，∴|b|＝4.
5．[2019·长郡中学选考]在菱形ABCD中，A(－1,2)，C(2,1)，则·＝()
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 15
(sinα－2sinβ)2＝sin2α＋4sin2β－4sinαsinβ＝3.
两式相加，得1＋4＋4(cosαcosβ－sinαsinβ)＝5，
∴cos(α＋β)＝0，∴sin2(α＋β)＝1－cos2(α＋β)＝1.
天天练15三角恒等变换
小题狂练⑮小题是基础 练小题 提分快
一、选择题
1．[2018·全国卷Ⅲ]若sinα＝，则cos2α＝()
A.B.
C．－D．－
答案：B
解析：∵sinα＝，∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.故选B.
2．[2019·成都诊断]已知α为第二象限角，且sin2α＝－，则cosα－sinα的值为()源自课时测评⑮综合提能力 课时练 赢高分
一、选择题
1．[2019·贵阳监测]sin415°－cos415°＝()
A.B．－
C.D．－
答案：D
解析：sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos30°＝－.故选D.
2．[2019·福建莆田第九中学模拟]若tanα＋＝，α∈，则sin的值为()
A．－B.
C.D.
答案：A
解析：∵α∈，∴tanα>1.∴由tanα＋＝，解得tanα＝3.∴sin＝sin2α＋cos2α＝×＝×＝×＝－.故选A.
3．[2019·广州调研]已知α为锐角，cosα＝，则tan＝()
A.B．3
答案：
解析：sin46°·cos16°－cos314°·sin16°＝sin46°·cos16°－cos46°·sin16°＝sin(46°－16°)＝sin30°＝.
2020版试吧高中全程训练打算数学理天天练7
解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如下图．由图知，两个函数图象只有一个交点，因此函数f (x )的零点只有1个．应选B.4．[2019·湖北八校联考]有一组实验数据如下所示：x 2.01 3 4.01 5.1 6.12 y 3 8.01 15 23.8 36.04那么最能表现这组数据关系的函数模型是( ) A ．y ＝2x ＋1－1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2log 2x D ．y ＝x 3 答案：B解析：由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C 不正确．取x ＝2.01，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1>4，代入B 选项，得y ＝x 2－1≈3，代入D 选项，得y ＝x 3>8；取x ＝3，代入A 选项，得y ＝2x＋1－1＝15，代入B 选项，得y ＝x 2－1＝8，代入D 选项，得y ＝x 3＝27，应选B.5．[2019·郑州测试]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x ≤0，2x －a ，x >0(a ∈R )，假设函数f (x )在R上有两个零点，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(－∞，1] 答案：A解析：画出函数f (x )的大致图象如下图．因为函数f (x )在R 上有两个零点，因此f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x ≤0时，f (x )有一个零点，需0<a ≤1；当x >0时，f (x )有一个零点，需－a <0，即a >0.综上，0<a ≤1，应选A.6．设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，那么x 0所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)9．[2019·江苏盐城伍佑中学模拟]已知函数f (x )＝3x －log 2x 的零点为x 0，假设x 0∈(k ，k ＋1)，其中k 为整数，那么k ＝________.答案：2解析：由题意得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝3>0，f (2)＝32－log 22＝12>0，f (3)＝1－log 23<0，∴f (2)f (3)<0，∴函数f (x )＝3x －log 2x 的零点x 0∈(2,3)，∴k ＝2.10．[2019·银川模拟]已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，那么实数a 的取值范围是________．答案：(－2,1)解析：通解 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根别离为x 1，x 2(x 1<x 2)，那么(x 1－1)(x 2－1)<0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.故实数a 的取值范围为(－2,1)．优解 函数f (x )的大致图象如下图，那么f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．11．某创业团队拟生产A ，B 两种产品，依照市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图1)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)(注：利润与投资额的单位均为万元)．假设该团队已经筹到10万元资金，并打算全数投入到A ，B 两种产品的生产中，那么生产A ，B 两种产品可取得的最大利润为________万元．答案：6516解析：由题意可得，生产A 产品的利润f (x )＝k 1x ，生产B 产品的利润g (x )＝k 2x .又f (1)＝0.25＝k 1，g (4)＝2k 2＝2.5，k 2＝54，因此f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝5x 4(x ≥0)．设生产A ，B 两种产品可取得的利润为y 万元，B 产品的投资额为x 万元，那么A 产品的投资额为(10－x )万元，那么y ＝f (10－x )＋g (x )＝14(10－x )＋5x4(0≤x ≤10)，令t(0≤t ≤10)，那么y ＝－14t 2＋54t ＋52＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)，因此当t ＝52，即x ＝254时，生产A ，B 两种产品可取得最大利润，且最大利润为6516万元．12. [2019·四川南充模拟]渔场中鱼群的最大养殖量为m ，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必需留出适当的空闲量．已知鱼群的年增加量y 吨和实际养殖量x 吨与空间率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)，那么鱼群年增加量的最大值是________．答案：km 4解析：由题意，空闲率为1－xm ，∴y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m ，概念域为(0，m )，y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4，∵x ∈(0，m )，k >0，∴当x ＝m 2时，y max ＝km4.课时测评⑦ 综合提能力 课时练 赢高分 一、选择题1．以下函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝log 2|x | B ．y ＝2x －1 C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1 答案：A解析：由于y ＝2x －1，y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝log 2|x |是偶函数又有零点，应选A.2．[2019·安徽淮南模拟]如下图是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时刻t 转变的可能图象是( )答案：C解析：由三视图可知，该容器上部份为圆台下部份是一个与上部份形状相同的倒放的圆台，因此水面高度随时刻的转变为先慢后快再慢的情形．应选C.3．[2019·福州模拟]已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，那么函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：令f (x )＋3x ＝0，那么⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，因此函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.应选C.4．[2019·太原模拟]假设函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点别离在区间(－1,0)和区间(1,2)内，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12 答案：C解析：依题意并结合函数f (x )的图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋(2m ＋1)](2m ＋1)<0，[m －2＋m ＋(2m ＋1)][4(m －2)＋2m ＋(2m ＋1)]<0，解得14<m <12.5．[2019·河北邯郸磁县月考]函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案：B答案：A解析：由f (x )－a ＝0得a ＝f (x )．画出函数y ＝f (x )的图象如下图，且当x ≥3时，函数y ＝f (x )的图象以直线y ＝1为渐近线．结合图象可适当0<a <1时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同的交点，故假设方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是(0,1)．应选A.7．某商店打算投入资金20万元经销甲或乙两种商品．已知经销甲、乙商品所取得的利润别离为P (万元)和Q (万元)，且它们与投入资金x (万元)的关系是：P ＝x 4，Q ＝a 2x (a >0)．假设不管资金如何投入，经销这两种商品或其中的一种商品所取得的纯利润总很多于5万元，那么a 的最小值应为( )A. 5 B ．5C. 2 D ．2答案：A解析：设投入x 万元经销甲商品，那么经销乙商品投入(20－x )万元，总利润y＝P ＋Q ＝x 4＋a 2·20－x .令y ≥5，那么x 4＋a 2·20－x ≥5对0≤x ≤20恒成立．∴a 20－x ≥10－x 2，∴a ≥1220－x 对0≤x <20恒成立．∵f (x )＝1220－x 的最大值为5，且x ＝20时，a 20－x ≥10－x 2也成立，∴a min ＝ 5.应选A. 8．[2019·玉溪模拟]某工厂产生的废气通过过滤后排放，在过滤进程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时刻t (单位：小时)知足p (t )＝p 0230t ，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测适当t ∈[0,30]时，污染物数量的转变率是－10ln2，那么p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln2毫克/升D ．300ln2毫克/升答案：C解析：因为当t ∈[0,30]时，污染物数量的转变率是－10ln2，因此－10ln2＝12p 0－p 030－0，因此p 0＝600ln2，因为p (t )＝p 0230t，因此p (60)＝600ln2×2－2＝150ln2(毫克/升)．二、非选择题9．[2019·贵州黔东南州模拟]已知函数f (x )＝log 2x ＋2x －m 有唯一零点，假设它的零点在区间(1,2)内，那么实数m 的取值范围是____________．答案：(2,5)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数的零点在区间(1,2)内，因此f (1)f (2)<0，即(log 21＋21－m )·(log 22＋22－m )<0⇒(2－m )(5－m )<0，解得2<m <5，因此实数m 的取值范围是(2,5)．10．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝ln x －2x 的零点，那么g (x 0)等于________．答案：2解析：∵f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0，∴x 0∈(2,3)，∴g (x 0)＝[x 0]＝2. 11．[2019·江苏盐城中学模拟]我校为丰硕师生课余活动，打算在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的AMPN 矩形健身场地．如图，点M 在AC 上，点N 在AB 上，且P 点在斜边BC 上．已知∠ACB ＝60°，|AC |＝30米，|AM |＝x 米，x ∈[10,20]．设矩形AMPN 健身场地每平方米的造价为37k S元，再把矩形AMPN 之外(阴影部份)铺上草坪，每平方米的造价为12k S元(k 为正常数)． (1)试用x 表示S ，并求S 的取值范围；(2)求总造价T 关于面积S 的函数T ＝f (S )；(3)如何选取|AM |，使总造价T 最低(不要求求出最低造价)?解析：(1)在Rt △PMC 中，显然|MC |＝30－x ，∠PCM ＝60°，|PM |＝|MC |·tan ∠PCM ＝3(30－x )，∴矩形AMPN 的面积S ＝|PM |·|AM |＝3x (30－x )，x ∈[10,20]，。
2020版试吧高中全程训练打算数学文周周测5
周周测5三角函数综合测试一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．已知在平面直角坐标系xOy中，α为第二象限角，P(－3，y)为其终边上一点，且sinα＝2y4，那么y的值为( )A. 3 B．－5 C. 5 D.3或5答案：C解析：由题意知|OP|＝3＋y2，那么sinα＝y3＋y2＝2y4，那么y＝0(舍去)或3＋y2＝22，得y＝±5，又α为第二象限角，因此y>0，那么y＝5，应选C.2．[2019·湖北武汉蔡甸区实验高中月考]已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，α，β为锐角三角形的内角，那么( )A．f(cosα)>f(cosβ) B．f(sinα)>f(sinβ)C．f(sinα)<f(cosβ) D．f(sinα)>f(cosβ)答案：C解析：∵奇函数y ＝f (x )在[－1,0]上为单调递减函数，∴f (x )在[0,1]上为单调递减函数，∴f (x )在[－1,1]上为单调递减函数．又∵α，β为锐角三角形的两内角，∴α＋β>π2，∴π2>α>π2－β，∴sin α>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝cos β>0，∴f (sin α)<f (cos β)．应选C.3．[2019·山东烟台模拟]假设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，那么cos 2π3＋2α＝( )A ．－79B ．－13C.13D.79 答案：A解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－cos π3－2α＝－1＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－79.应选A.4．[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，那么( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4 答案：B解析：∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos2x －1－cos2x 2＋2＝32cos2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.5．[2019·辽宁丹东教学质量监测]假设函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，x 03和⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 0，7π6上都是单调递增函数，那么实数x 0的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8 答案：B解析：由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，在原点周围的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，因此⎩⎨⎧x 03≤π6，2x 0≥2π3，解得π3≤x 0≤π2，应选B.6．[2019·广州调研]将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，那么φ的最小值为( )A.π6B.π12C.π4D.π3 答案：A解析：由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，因此2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.7．[2019·武汉模拟]已知f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，那么函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 3C ．－12D ．－32答案：B解析：由已知得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，令2x ＋θ＋π6＝k π，k ∈Z ，其中x＝π2为方程的一个解，代入得θ＝(k －1)π－π6，k ∈Z ，又0<θ<π，因此θ＝5π6，因此f (x )＝－2sin2x ，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上单调递减，因此f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－ 3.8．[2019·河北省五校联考]已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么以下关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度取得C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2答案：C 解析：∵函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，∴y ＝cos(x ＋3φ)是偶函数，∴3φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0,1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3不单调，故D 错误．应选C.9．[2019·吉林梅河口五中月考]假设tan(α＋80°)＝4sin420°，那么tan(α＋20°)的值为( )A ．－35B ．335C.319D.37 答案：D解析：由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan (α＋80°)－tan60°1＋tan (α＋80°)tan60°＝23－31＋23×3＝37.应选D.10．[2019·南宁联考]假设角α知足sin α＋2cos α＝0，那么tan2α＝( ) A ．－43 B.34C ．－34 D.43答案：D解析：解法一 由题意知，tan α＝－2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43，应选D. 解法二 由题意知，sin α＝－2cos α，tan2α＝sin2αcos2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝43，应选D.11．[2019·黄冈质检]已知α＋β＝π6，且3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，那么tan α＝( )A ．－33B. 3C ．－ 3D ．3 3 答案：D解析：由3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0得，3tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－23 ①，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝33，即3(tan α＋tan β)＝1－tan αtan β ②，由①②得tan α＝33，应选D.12．已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部份图象如下图，以下说法正确的选项是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称C ．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度取得函数f (x )的图象D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值与最小值的差为2＋ 3答案：D解析：由函数图象可知，A ＝2，设最小正周期为T ，那么T 4＝π3－π12＝π4，因此T ＝π，因此2πω＝π，即ω＝2，因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2，又|φ|<π2，因此φ＝π3，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.关于选项A ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2sin2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝2sin(－π)＝0，因此f (x )的图象不关于直线x ＝－2π3对称，即选项A 不正确；关于选项B ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－2，因此f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称，即选项B不正确；关于选项C ，因为将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度取得函数图象对应的解析式为y ＝2sin2x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，即选项C 不正确；关于选项D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，因此2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－2，3]，即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值与最小值的差为2＋3，选项D 正确．应选D.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的极点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝________.答案：－12解析：解法一 由已知可得cos θ＝12，sin θ＝32，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θcosπ3－sin θsin π3＝12×12－32×32＝－12.解法二 由已知可得θ＝π3＋2k π，k ∈Z ，因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π＋π3＝－12. 14．[2019·浙江绍兴诸暨中学模拟]3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________.答案：－4 3解析：原式＝3sin12°－3cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos24°sin24°＝43sin (12°－60°)sin48°＝－4 3.15．[2019·惠州二调]已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________.答案：－55解析：解法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1，得5sin 2α＝1，故sin α＝－55.解法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－55.16．[2019·江西赣州崇义中学月考]函数f (x )＝sin x 在区间(0,10π)上可找到n个不同数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，那么n 的最大值等于________．答案：10解析：设f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n ＝k ，那么条件等价为方程f (x )＝kx 在(0,10π)上的根的个数．作出函数y ＝f (x )和y ＝kx 的大致图象，由图可知函数y ＝kx 与y ＝f (x )的图象在区间(0,10π)上最多有10个交点，即n 的最大值为10，故答案为10.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分)[2019·福建惠安惠南中学月考]已知cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值． 解析：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝12213，∴原式＝cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)22(cos α－sin α) ＝2(cos α＋sin α)＝2413.18．(本小题总分值12分)[2019·安徽合肥检测]已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4， 且T ＝π， ∴ω＝2.于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，令2x －π4＝k π＋π2，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x)图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上的单调递增；同理，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2上单调递减． 19．(本小题总分值12分)[2019·湖北襄阳四校模拟联考]设函数f (x )＝cos π2－x cos x －sin 2(π－x )－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)假设f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解析：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(2)∵f (α)＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－1＝3210－1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝35. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8知2α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝－45.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π8＋π4－1＝22sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4－π4－1 ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4sin π4－1 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫35×22＋45×22－1＝－310. 20．(本小题总分值12分)[2019·山西芮城中学模拟]已知向量m ＝(3sin ωx －cos ωx,1)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12，设函数f (x )＝m ·n ，假设函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称且ω∈[0,2]．(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)先列表，再用五点法画出f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象．解析：(1)f (x )＝(3sin ωx －cos ωx,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx ，12 ＝3sin ωx cos ωx －cos 2ωx ＋12＝32sin2ωx －12cos2ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.∵函数f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，∴2ωπ3－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝32k ＋1，k ∈Z .又∵ω∈[0,2]，∴ω＝1，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π＋π2≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z .(2)列表如下：∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象如图：21．(本小题总分值12分) [2019·黑龙江哈尔滨六中月考]已知函数f (x )＝cos2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将取得的图象横坐标变成原先的2倍(纵坐标不变)，取得y ＝g (x )的图象．假设函数y ＝g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象与直线y ＝a 有三个交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z . 因此函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)将f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得g 1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再将取得的图象的横坐标变成原先的2倍(纵坐标不变)，得g (x )＝cos x 的图象．作函数g (x )＝cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象，作直线y ＝a.依照图象知，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.22．(本小题总分值12分)[2019·江苏常州]如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部份，其中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是图象的一个最高点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图象与x 轴的一个交点，且与点P 相邻．(1)求函数f (x )的解析式； (2)假设将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标都变成原先的14(纵坐标不变)，取得函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．解析：(1)由函数f (x )的图象可知A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝4π，∴ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ. 又∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是函数图象的一个最高点， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. (2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6. 把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，取得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再把所得图象上每一点的横坐标都变成原先的14(纵坐标不变)，取得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．由题意，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )， ∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．。
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 2
C．∃x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立
D．“若sinα≠，则α≠”是真命题
答案：D
解析：“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为假命题，当m＝0时，am2＝bm2，故B错；由于x>0时，x<1，因此x>0时均有3x<4x成立，故C错；“若sinα≠，则α≠”的逆否命题是“若α＝，则sinα＝”为真命题，则D正确．故选D.
因为y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上单调递减，所以0＜4－2a＜1，解得＜a＜2，易知命题乙是命题甲的充分不必要条件，故选A.
6．[2019·安徽联考]命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是()
A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<b
B．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>b
C．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<b
D．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b
答案：C
解析：根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是：若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<b.故选C.
7．[2019·山东诊断]已知命题p：|x＋1|>2；命题q：x≤a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是()
A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)
B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)
C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)
D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)
答案：C
解析：由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题，故选C.
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)天天练 28
天天练28直线与平面的平行与垂直28小题是基础练小题提分快小题狂练○一、选择题1．[2019·湖北省重点中学模拟]设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案：D解析：选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，平行，或垂直，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，因此D正确．故选D.2．有下列命题：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a 在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b∥α，则a∥α；④若直线a∥b，b∥α，则a平行于平面α内的无数条直线．其中真命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4答案：A解析：命题①，l可以在平面α内，不正确；命题②，直线a与平面α可以是相交关系，不正确；命题③，a可以在平面α内，不正确；命题④正确．3．[2019·泉州质检]已知直线a，b，平面α，β，a⊂α，b⊂α，则“a∥β，b∥β”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：因为直线a，b不一定相交，所以a∥β，b∥β不一定能够得到α∥β；而当α∥β时，a∥β，b∥β一定成立，所以“a∥β，b∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．4．已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有()A．0条B．1条C．2条D．无数条答案：B解析：连接AC，A1C1，设D1E与平面AA1C1C相交于点M，在平面AA1C1C内过点M作MN∥AA1交C1F于点N，由C1F与D1E为异面直线知MN唯一，且MN⊥平面ABCD，故选B.5．P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B 两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC答案：C解析：由P A⊥平面ABC⇒P A⊥BC，A正确；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC＝A，可得BC⊥平面P AC，BC⊥PC，即B，D正确．6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有()A．2条B．4条C．6条D．8条答案：C解析：如图，过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线只可能落在平面DEFG内(其中D，E，F，G分别为三棱柱棱的中点)，易知经过D，E，F，G中任意两点的直线共有C24＝6条，故选C.为平行四边形ABCD所在平面外一点，A∥平面EBF时，如图，在正方体ABCD 上，若EF∥平面EF∥平面AB C③正确．11．[2019·青岛模拟]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)解析：如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，又AC∩P A＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.12．[2019·河北定州中学模拟]如图，在正方形ABCD中，E，F 分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的选项序号填到横线上)．①AG⊥△EFH的在平面；②AH⊥△EFH所在平面；③HF⊥△AEF所在平面；④HG⊥△AEF所在平面．答案：①③④解析：根据条件AH⊥HE，AH⊥HF，所以AH⊥平面EFH，故AG不可能垂直平面EFH，所以①错误；②正确；③若HF⊥△AEF所在平面，则HF⊥AF，显然一个三角形中不能有两个直角，错误；④若HG⊥△AEF所在平面，则△AHG中有两个直角，错误，故填①③④.28综合提能力课时练赢高分课时测评○一、选择题1．[2019·重庆六校联考]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案：D解析：对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B，C的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.2．[2019·河北武邑月考]如图，在四棱锥P－ABCD中，△P AB 与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCDC．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD答案：B解析：如图，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P－ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，∴AO⊥PB，CO⊥PB.∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC.∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故A成立．对于选项B，∵AC⊥BD，AC⊥PB，BD∩PB＝B，∴AC⊥平面PBD.设AC∩BD＝M，连接PM，则PM⊥AC，∴PD与AC不垂直．对于选项C，∵PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，∴AC⊥PB.∵AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，∴AC⊥PD，故C成立．对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故D成立，故选B.3．[2019·长沙模拟]如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A、D分别是BF、CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE ＝2BC＝2AF(如图1)．将四边形ADEF沿AD折起，连接AC、CF、BE、BF、CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是()A．AC∥平面BEFB．B、C、E、F四点不可能共面C．若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCDD．平面BCE与平面BEF可能垂直答案：D解析：A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，易证四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B、C、E、F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，易得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥中，下列说法正确的是()⊥平面ABC B．平面ACD⊥平面⊥平面BCD D．平面ACD⊥平面如图，在三棱柱ABC′，A′B′，B′′中取一点作为P)ABC中，已知P上的动点，则下列说法错误的是AEF一定是直角三角形的中心为E，M的中点．由题意可得所成的角．为直角顶点的三角形ABC 上的点，在线段AB ，则实数λ的值为(9.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________．答案：MN ∥平面BB 1C 1C解析：如图，连接AM 并延长，交BB 1的延长线于点P ，连接CP ，则由已知可得AA 1∥BB 1，所以A 1M MB ＝AM MP ＝12，又AN NC ＝12，所以AM MP＝AN NC ＝12，所以MN ∥PC ，故有MN ∥平面BB 1C 1C .10．[2019·黄冈质检]如图，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ； ②EF ⊥PB ； ③AF ⊥BC ； ④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________．答案：①②③解析：①由于P A ⊥平面ABC ，因此P A ⊥BC ，又AC ⊥BC ，因此BC ⊥平面P AC ，所以BC ⊥AF ，由于PC ⊥AF ，因此AF ⊥平面PBC ，所以AF⊥PB；②因为AE⊥PB，AF⊥PB，所以PB⊥平面AEF，因此EF⊥PB；③在①中已证明AF⊥BC；④若AE⊥平面PBC，由①知AF⊥平面PBC，由此可得出AF∥AE，这与AF，AE有公共点A矛盾，故AE⊥平面PBC不成立．故正确的结论为①②③.11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC 的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F ＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.。
2018《试吧》高中全程训练计划·数学(文)天天练6指数函数、对数函数、幂函数Word版含解析
天天练6 指数函数、对数函数、幂函数一、选择题1．2log a (M －2N )＝log a M ＋log a N ，则MN 的值为( ) A.14 B ．4 C ．1 D ．4或12．定义运算a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≤b )b (a ＞b )，则函数f (x )＝1⊗2x 的图象大致为( )3．函数y ＝log(x 2－6x ＋17)的值域是( ) A ．R B.[)8，＋∞C.(]－∞，－3D.[)3，＋∞4．函数y ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x －1的图像关于( ) A ．x 轴对称 B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称5．(2016·珠海一模)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a 6．(2016·郑州一模)已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x 是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断7．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝lg x ，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)8．函数y ＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1的图象大致为( )二、填空题9．lg 52＋2lg2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.10．2－3,3，log 25三个数中最大的数是__________．11．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝__________.三、解答题12．已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[]0，2，求m ，n 的值．1．B 由对数的运算性质可得：(M －2N )2＝MN ，M 2－4MN ＋4N 2＝MN ，(M N )2－5(M N )＋4＝0，M N ＝4或M N ＝1，又M ＞2N ，故MN ＝4.2．A 由a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a (a ≤b )b (a >b )得f (x )＝1⊗2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x ≤0)1 (x >0).3．C 因为x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以由复合函数的单调性可知：函数的值域为(－∞，－3]．4．C y ＝lg 1－x1＋x，由奇函数的定义可知该函数为奇函数，故选C.5．A 由题意，根据指数函数的性质可得0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫25＜⎝ ⎛⎭⎪⎫25＜1，根据幂函数的性质可得⎝ ⎛⎭⎪⎫25＜⎝ ⎛⎭⎪⎫35，∴a ＞c ＞b .6．A 根据题意得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.又由题意知f (x )在(0，＋∞)上是增函数，当m ＝2时，4×29－25－1＝2015，即f (x )＝x 2015，满足题意；当m ＝－1时，4×(－1)9－(－1)5－1＝－4，即f (x )＝1x 4，不满足题意．∴f (x )＝x 2015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，即a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.7．C 由题意可得，a 2＝lg b ≥0⇒b ∈[1，＋∞)．8．D y ＝f (x )＝2xsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2xcos6x4x －1，f (－x )＝2－x cos (－6x )4－x －1＝2x cos6x1－4x ＝－f (x )是奇函数，排除A ，又在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π12上，f (x )＞0，排除B ，当x →∞时，f (x )→0，排除C ，故选D.9．－1解析：lg 52＋2lg2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg10－2＝－1. 10．log 25解析：2－3＝18＜1,3＝3＞1，log 25＞log 24＞2＞3，所以log 25最大．11．－32解析：①当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝0，f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32.②当a ＞1时，函数f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解．所以a ＋b ＝－32. 12．解析：由f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得3y＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，即()3y －m ·x 2－8x ＋3y －n ＝0∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(3y －m )(3y －n )≥0，即32y －(m ＋n )·3y ＋mn －16≤0由0≤y ≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1＋9mn －16＝1×9，解得m ＝n ＝5.。
2020版试吧高中全程训练打算数学理天天练1
天天练1 集合的概念与运算小题狂练①小题是基础练小题提分快一、选择题1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，那么A∩B＝( ) A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}答案：C解析：A∩B＝{1,3,5,7}∩{2,3,4,5}＝{3,5}．应选C.2．[2018·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，那么∁A＝()RA．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案：B解析：∵x2－x－2>0，∴ (x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．在数轴上表示出集合A，如下图．由图可得∁R A＝{x|－1≤x≤2}．应选B.3．[2019·河南质检]已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{2,4,6}，那么A∩(∁U B)＝()A．{1} B．{2}C．{4} D．{1,2}答案：A解析：因为∁U B＝{1,3,5}，因此A∩(∁U B)＝{1}．应选A.4．[2019·武邑调研]已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的Venn图如下图，那么阴影部份所表示集合中的元素共有()A．3个B．4个＝3.10．[2019·南昌模拟]已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，那么集合B的子集的个数为________．答案：8解析：∵集合A＝{1,2,3}，集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，∴B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，∴集合B有3个元素，∴集合B的子集个数为23＝8.11．[2019·石家庄质检]已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|y＝lg(x－2)}，那么A∩(∁B)＝________.R答案：(－2,2]解析：由题意得B＝{x|y＝lg(x－2)}＝(2，＋∞)，∴∁R B＝(－∞，2]，∴A∩(∁R B)＝(－2,2]．12．[2019·辽宁联考]已知集合P＝{x|x2－2x－8>0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，那么a的取值范围是________．答案：(－∞，－2]解析：集合P＝{x|x2－2x－8>0}＝{x|x<－2或x>4}，Q＝{x|x≥a}，假设P∪Q＝R，那么a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]．课时测评①一、选择题1．[2018·全国卷Ⅱ]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，那么A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4答案：A解析：将知足x2＋y2≤3的整数x，y全数列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．应选A.2．[2019·湖南联考]已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x≥0}，B＝{x|1<x≤3}，那么如下图的阴影部份表示的集合为()A．[0,1) B．(0,3]C．(0,1] D．[1,3]答案：C解析：因为A＝{x|x2－3x≥0}＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|1<x≤3}，因此A∪B么()A．P∩Q＝{x∈R|－1<x<3}B ．P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x <3}C ．P ∩Q ＝{x ∈R |－1≤x ≤3}D ．P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x ≤3} 答案：D解析：由1＋xx －3≤0，得(1＋x )(x －3)≤0且x ≠3，解得－1≤x <3，故P ∩Q ＝{x ∈R |－1≤x <3}，P ∪Q ＝{x ∈R |－2<x ≤3}．应选D.8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，那么图中阴影部份表示的集合为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0)∪(1,2]C ．[0,1]D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 答案：B解析：由题意可知阴影部份对应的集合为[∁U (A ∩B )]∩(A ∪B )，A ＝{x |x 2－2x ≤0}＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]，B ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝{y |－1≤y ≤1}＝[－1,1]，∴A ∩B ＝[0,1]，A ∪B ＝[－1,2]，∴[∁U (A ∩B )]∩(A ∪B )＝[－1,0)∪(1,2]，应选B. 二、非选择题9．[2019·无锡联考]已知集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，假设A ∪B ＝R ，那么实数a 的最大值为________．答案：2解析：当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，假设A ∪B ＝R ，那么a －1≤1，∴1<a ≤2；当a ＝1时，易患A ＝R ，现在A ∪B ＝R ；当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，B ＝[a －1，＋∞)，假设A ∪B ＝R ，那么a －1≤a ，显然成立，∴a <1.综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]，那么实数a 的最大值为2. 10．[2019·内蒙古调研]已知集合A ＝{x |0<x <2}，集合B ＝{x |－1<x <1}，集合C ＝{x |mx ＋1>0}，假设A ∪B ⊆C ，那么实数m 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1解析：由A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，得A ∪B ＝{x |－1<x <2}， ∵集合C ＝{x |mx ＋1>0}，A ∪B ⊆C ，①当m <0时，x <－1m ，∴－1m ≥2，∴m ≥－12，∴－12≤m <0；②当m ＝0时，成立；。
2020版《试吧》高中全程训练计划数学(理)月月考(四)
()＝5；n＝2，S＝8，；n＝5，S＝35，a15，满足判断框中的条件，退出循环，输，所以判断框中可以填n>5.＋S △BCD ×d 4)，正四面体的体积等于V ＝13×S △BCD ×h ＝13×S △BCD ×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)，所以d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝h ，转化为求正四面体的高．由点A 向平面BCD 引垂线，垂足为P ，连接BP ，如图．在Rt △ABP 内，根据勾股定理得AP ＝h ＝AB 2－BP 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，故选C. 9．[2019·广西南宁联考]甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知丙的年龄比知识分子大，甲的年龄和农民不同，农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B ．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C ．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D ．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人答案：C解析：由题意可知丙不是知识分子，甲不是农民，乙不是农民，所以丙是农民，丙的年龄比乙小，比知识分子大，所以甲是知识分子，乙是工人，丙是农民，故选C.10．[2019·黑龙江大庆四校联考]已知x ，y 的取值如下表所示. 若y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( )x 0 1 3 4y 2.2 4.3 4.8 6.7A.2.2 B ．2.9C ．2.8D ．2.6答案：D解析：由表格得x －＝14×(0＋1＋3＋4)＝2，y －＝14×(2.2＋4.3＋4.8＋6.7)＝4.5.∵线性回归直线过样本中点(2,4.5)，∴4.5＝0.95×2＋a，∴a＝2.6.故选D.11．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝an(n＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P⎝⎛⎭⎪⎫12<X<52的值为()A.23 B.34C.45 D.56答案：D解析：∵P(X＝n)＝an(n＋1)(n＝1,2,3,4)，∴a2＋a6＋a12＋a12＝1，∴a ＝54，∴P⎝⎛⎭⎪⎫12<X<52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D.12．[2019·贵州黔东南州联考]近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高，在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在[30,40)岁的有2 500人，年龄在[20,30)岁的有1 200人，则m的值为()A．0.013 B．0.13C．0.012 D．0.12答案：C解析：由题意得，年龄在范围[30,40)岁的频率为0.025×10＝0.25，则赞成高校招生改革的市民有2 5000.25＝10 000人，因为年龄在范围[20,30)岁的有1 200人，则m＝1 20010 00010＝0.012.故选C.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：。
2020版试吧高中全程训练打算数学理周周测6
＝34，B ∈(0，π)，因此sin B ＝74，因此S △ABC ＝12ac sin B ＝372，应选B. 解法二 由cos B ＝34，B ∈(0，π)，得sin B ＝74，由正弦定理b sin B ＝csin C及b ＝7，c ＝4，可得sin C ＝1，因此C ＝π2，因此sin A ＝cos B ＝34，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝372，应选B.9．[2019·四川成都模拟]在△ABC 中，BC ＝5，G ，O 别离为△ABC 的重心和外心，且OG →·BC→＝5，那么△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情形都有可能 答案：B 解析：在△ABC 中，G ，O 别离为△ABC 的重心和外心，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，OG ，如下图，那么OD ⊥BC ，GD ＝13AD ，因为OG →＝OD →＋DG →，AD →＝12(AB →＋AC →)，OG →·BC →＝5，因此(OD →＋DG →)·BC →＝DG →·BC →＝－16(AB →＋AC →)·BC →＝5，即－16(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝5，因此AC →2－AB →2＝－30.又BC ＝5，那么|AB →|2＝|AC →|2＋65|BC →|2>|AC →|2＋|BC →|2，由余弦定理得cos C <0，因此π2<C <π，因此△ABC 是钝角三角形．10．[2019·资阳模拟]设e 1与e 2是两个不共线的向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD→＝3e 1－2k e 2，假设A ，B ，D 三点共线，那么k 的值为( ) A ．－94 B ．－49C ．－38D ．－83答案：A解析：由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →.又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，因此BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2，因此3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，因此⎩⎨⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.11．[2019·唐山模拟]已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP3→与向量a ＝(1，－1)共线，假设OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，那么λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1 答案：D解析：设OP 3→＝(x ，y )，那么由OP 3→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3→＝(x ，－x )．假设OP 3→＝λOP1→＋(1－λ)OP 2→，那么有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎨⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，因此4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，应选D.12．[2019·北京西城模拟]已知Rt △ABC 中，A 为直角，AB ＝1，BC ＝2，假设AM 是BC 边上的高，点P 在△ABC 内部或边界上运动，那么AM →·BP →的取值范围是( )A ．[－1,0] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 答案：D 解析：幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”假设把以上这段文字写出公式，即已知三角形三边别离为a ，b ，c 那么此三角形的面积为S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋a 2－b 222.现有周长为10＋27的△ABC 知足sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：7，那么用以上给出的公式求得△ABC 的面积为________．答案：6 3解析：由正弦定理及sin A ：sin B ：sin C ＝2：3：7可知，a：b ：c＝2：3：7，由a ＋b ＋c ＝10＋27，得a ＝4，b ＝6，c ＝27，代入公式S＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤c 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2＋a 2－b 222可得△ABC 的面积为6 3. 16．[2019·山东德州模拟]在△ABC 中，D 为BC 边上一点，AD ＝2，∠DAC ＝60°.假设AC ＝4－CD 且△ABC 的面积为43，那么sin ∠ABC ＝________.答案：3926解析：在△ACD 中，由余弦定理得CD 2＝4＋(4－CD )2－4(4－CD )·cos60°， 解得CD ＝2，故CD ＝AC ＝AD ，因此△ACD 为正三角形，∠C ＝60°. 因此S △ABC ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×BC ×2×32＝43，故BC ＝8.在△ABC 中，由余弦定理得AB ＝64＋4－2×8×2×12＝213，由三角形的面积公式，得12×213×8sin ∠ABC ＝43，因此sin ∠ABC ＝43813＝3926.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解许诺写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤．17．(本小题总分值10分) [2017·全国卷Ⅱ，17]△ABC 的内角，A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，已知sin(A＋C )＝8sin 2B 2. (1)求cos B ；(2)假设a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .解析：此题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用．(1)由题设及A ＋B ＋C ＝π得sin B ＝8sin 2B 2，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，那么ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.因此b ＝2.18．(本小题总分值12分) [2019·衡水模拟]如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c ，且2a cos A ＝b cos C ＋c cos B .(1)求角A 的大小；(2)假设点D 在边AC 上，且BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝2，BC ＝4，求AD 的长．解析：(1)由题意及正弦定理得2sin A cos A ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A .∵sin A ≠0，∴cos A ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，即16＝4＋AC 2－2AC ， 解得AC ＝1＋13，或AC ＝1－13(负值，舍去)． ∵BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝2，BC ＝4， ∴AD DC ＝AB BC ＝12，∴AD ＝13AC ＝1＋133.19．(本小题总分值12分)[2019·河南南阳一中考试]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边别离为a ，b ，c ，且sin B (a cos B ＋b cos A )＝3c cos B . (1)求B ；(2)假设b ＝23，△ABC 的面积为23，求△ABC 的周长．解析：(1)由题意及正弦定理得sin B (sin A cos B ＋sin B cos A )＝3sin C cos B ，∴sin B sin(A ＋B )＝sin B sin C ＝3sin C cos B ，∵C ∈(0，π)，∴sin C >0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝ 3.又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝23，∴ac ＝8.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即12＝a 2＋c 2－2×8×12＝a 2＋c 2－8，∴a 2＋c 2＝20，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝36，∴a ＋c ＝6. 又∵b ＝23，∴△ABC 的周长为6＋2 3. 20.(本小题总分值12分)如下图，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB→＝b .试用a 和b 表示向量OM →. 解析：设OM→＝m a ＋n b ， 则AM→＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b . 又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM→＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12b . ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t2，消去t 得m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.①又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB→＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .22．(本小题总分值12分)。
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解析：令u ＝2－ax ，因为a >0，所以u 是关于x 的减函数，当x ∈[0,1]时，u min ＝2－a ×1＝2－a .因为2－ax >0在x ∈[0,1]时恒成立，所以u min >0，即2－a >0，a <2.
要使函数y ＝log a (2－ax )在x ∈[0,1]上是减函数，则y ＝log a u 在其定义域上必为增函数，故a >1.
综上所述，1<a <2.故选B.
8．[2019·重庆月考]函数f (x )＝ax ＋b x 2＋c
的图象如图所示，则下列结
论成立的是( )
A ．a >0，c >0
B ．a >0，c <0
C ．a <0，c >0
D ．a <0，c <0 答案：A
解析：由f (0)＝0，得b ＝0，f (x )＝ax
x 2＋c .由x >0时，f (x )>0，且f (x )
的定义域为R ，故a >0，c >0.故选A.
二、非选择题
9．(lg2)2
＋lg5×lg20＋( 2 016)2
＋0.0272-
3
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2
＝________. 答案：102
解析：(lg2)2
＋lg5×lg20＋( 2 016)0
＋0.027
2-3
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13－2
＝(lg2)2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋1＋[(0.3)3]
2-
3
×9＝(lg2＋lg5)2＋1＋1
0.09×9＝1＋
1＋100＝102.
10．若函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5(x <2)不是单调函数，则实数b 的取值范围为________．
答案：(－4，＋∞) 解析：函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以直线x ＝－
b
2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函
解析：解法一
①当⎩⎨
⎧
x ＋1≤0，2x ≤0，
即x ≤－1时，f (x ＋1)＜f (2x )
即为2－(x ＋1)＜2－2x ，即－(x ＋1)＜－2x ，解得x ＜1.
因此不等式的解集为(－∞，－1]．
②当⎩⎨
⎧ x ＋1≤0，2x ＞0时，不等式组无解．
③当⎩⎨
⎧ x ＋1＞0，2x ≤0，即－1＜x ≤0时，f (x ＋1)＜f (2x )即1＜2－2x ，解
得x ＜0.因此不等式的解集为(－1,0)．
④当⎩⎨
⎧
x ＋1＞0，2x ＞0，
即x ＞0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．
综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，0)． 故选D. 解法二
∵ f (x )＝⎩⎨
⎧
2－x ，x ≤0，
1，x ＞0，
∴ 函数f (x )的图象如图所示．
由图可知，当x ＋1≤0且2x ≤0时，函数f (x )为减函数，故f (x ＋1)＜f (2x )转化为x ＋1＞2x .
此时x ≤－1.
当2x ＜0且x ＋1＞0时，f (2x )＞1，f (x ＋1)＝1， 满足f (x ＋1)＜f (2x )． 此时－1＜x ＜0.
综上，不等式f (x ＋1)＜f (2x )的解集为(－∞，－1]∪(－1,0)＝(－∞，0)．
故选D.
二、非选择题
9．已知函数f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1]时，f (x )＝2x －1，则方程f (x )＝log 7|x －2|解的个数是________．
答案：7
解析：由于函数f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0.由f (x ＋2)＝－f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝4.在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝log 7|x －2|的图象，从图象中不难看出，其交点个数为7.
10．[2019·山东烟台海阳一中模拟]已知函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]，则实数m 的取值范围为________．
答案：[2,4]
解析：函数f (x )＝2|x －2|－1的对称轴为直线x ＝2，且在(－∞，2]上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．由于函数f (x )＝2|x －2|－1在区间[0，m ]上的值域为[0,3]且函数关于直线x ＝2对称，f (0)＝f (4)＝3，f (2)＝0，所以结合图象可知m ∈[2,4]．
11．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；
(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切实数x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．
解析：(1)因为f (x )＝e x
－(1e )x ，且y ＝e x 是增函数，
y ＝－(1e )x
是增函数，所以f (x )是增函数．
由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．
(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，
所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立⇔f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立⇔x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立⇔t 2＋t ≤x 2＋x
对一切x ∈R 恒成立⇔(t ＋12)2≤(x ＋12)2min ⇔(t ＋12)2≤0⇔t ＝－1
2.。