对数与对数函数专题

对数与对数函数专题

1.对数的概念

如果a x

＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.

2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a

N

＝N ； ②log a a b

＝b (a >0，且a ≠1).

(2)对数的运算法则

如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么

①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N

＝log a M －log a N ； ③log a M n

＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n

＝n m

log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).

(3)换底公式：log b N ＝log a N

log a b (a ，b 均大于零且不等于1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质

a >1 0

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

当x ＝1时，y ＝0，即过定点(1，0)

当x >1时，y >0； 当01时，y <0； 当00 在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

4.反函数

指数函数y ＝a x

(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称.

1.换底公式的两个重要结论

(1)log a b ＝1log b a ；(2)log a m b n

＝n m log a b .

其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R.

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a

，－1，函数图象只在第一、

四象限. 【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)log 2x 2

＝2log 2x .( )

(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数.( )

(3)函数y ＝ln 1＋x

1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( )

(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a

【教材衍化】

2.(必修1P73T3改编)已知a ＝1

3

2-，b ＝log 213，c ＝log 121

3

，则( )

A.a >b >c

B.a >c >b

C.c >b >a

D.c >a >b

3.(必修1P74A7改编)函数y ＝log 23

(2x －1)的定义域是________.

4.计算log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A.0 B.2 C.4 D.6

5.(2019·上海静安区检测)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，且a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )

A.a >1，c >1

B.a >1，0

C.01

D.0

6.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2

＋a ).若f (3)＝1，则a ＝________. 【考点聚焦】 考点一 对数的运算

【例1】 (1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2

＋log 62·log 618

log 64＝________.

【规律方法】 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3.ab ＝N ⇔b ＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x

＋1)，lg(2x

＋5)成等差数列，则x 的值等于( ) A.1

B.0或18

C.18

D.log 23

(2)(2019·成都七中检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a

，则a ＝________，b ＝________.

考点二 对数函数的图象及应用

【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f (x )＝a x

－a －x

(a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )

(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2

A.(0，1)

B.(1，2)

C.(1，2]

D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，12

【规律方法】 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

【训练2】 (1)(2018·湛江模拟)已知函数f (x )＝log a (2x

＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )

A.0

<1 C.0

<1

(2)(2019·日照一中调研)已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧2x ，x<1，

log2x ，x≥1，若方程f(x)－a ＝0恰有一个实根，则实数a 的

取值范围是________.

考点三 对数函数的性质及应用 多维探究

角度1 对数函数的性质

【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )

A.f (x )在(0，2)上单调递增

B.f (x )在(0，2)上单调递减

C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称

D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称

角度2 比较大小或解简单的不等式

【例3－2】 (1)(一题多解)(2018·天津卷)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 121

3，则a ，b ，c 的大小关系为

( )

A.a >b >c

B.b >a >c

C.c >b >a

D.c >a >b (2)若log a (a 2

＋1)

A.(0，1)

B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫12，1 D.(0，1)∪(1，＋∞)