数值分析--chapter3 多项式插值与样条插值

= yn
(2)
其系数行列式是范德蒙德（Vandermode)行列式：
§2.2 多项式插值−−插值多项式的存在唯一性
1 x0 x02 · · · x0n
1 x1 x12 · · · x1n
n i−1
V (x0, x1, · · · , xn) =
1 ...
x2 ...
x...22
··· ...
x...2n
L2(x )
=
(x (x0
来自百度文库
− −
x1)(x − x2) x1)(x0 − x2)
第二个问题，设给定一个函数f ，f 的表达式非常复杂，计算f 的值很不经济。在这种情况下，就要寻找另一个函数p ，它既易 于求值且又是对f 的一个合理的逼近。—— 连续函数的逼近问 题
第三个问题，假定表中给出的数值带有误差。比如当这些值来自 于物理实验时，就可能出现这种情况。现在要寻找一个公式，使 得它可以近似地表示这些数据。—— 离散函数的逼近问题
=
(xi − xj )
i=1 j=0
1 xn xn2 · · · xnn (3)
因为xi 互不相同，所以式(3)不为零，根据解线性方程组的克莱 姆(Cramer)法则，方程组的解ai 存在且唯一，从而p(x)被唯一确 定，这就证得了n次代数插值问题的解是存在且唯一的。
§2.3 多项式插值−−基函数法
(4)
的系数a0, · · · , an.
§3.1 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日(Lagrange)插 值基函数
定义3.1
若存在一个次数为n的多项式lk (x) ，在n个节 点(i = 0, 1, · · · , k − 1, k + 1, · · · , n)上lk (x) 的值为0，在节点xk 上 其值为1, 即lk (x) 满足条件
§2.1 多项式插值−−多项式插值问题的定义
多项式插值的几何意义：
7
6
5
y=p(x)
4
3 y=f(x)
2
1
0
−1
−2
−2
0
2
4
6
8
10
12
Figure 1: 多项式插值的几何意义
§2.2 多项式插值−−插值多项式的存在唯一性
定理2.1 n次插值多项式存在且唯一。
证:设n次多项式p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn是函 数y = f (x)在[a, b]上的n + 1个互异的节点xi (i = 0, 1, 2, · · · , n)上 的插值多项式，则求p(x )的问题就可归结为求它的系
其中Ak 为待定系数。
由条件lk (xk ) = 1 可定Ak ，于是
lk=(xj)=n0=xx(k−x−k(xx−xjj−x0x)0()x(kx−−xx11))······((xxk−−xxkk−−11))((xx−k −xkx+k1+)1·)···(··x(−xkx−n)xn)
(6)
j =k
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
基函数法：由线性空间的基出发，构造满足插值条件的多项式方 法。
用基函数法求插值多项式分两步：
(1)定义n + 1个线性无关的特殊代数多项式（插值基函数）， 用ϕ0(x), · · · , ϕn(x)表示;
(2)利用插值条件，确定插值基函数的线性组合表示的n次插值多
项式
p(x) = a0ϕ0(x) + a1ϕ1(x) + · · · + anϕn(x)
§2.1 多项式插值−−多项式插值问题的定义
定义2.1
设函数y = f (x)在区间[a, b]上有定义，且已知它在n + 1个互异的
点a x0 < x1 < · · · < xn b的函数值y0, y1, · · · , yn,若存在一个 次数不超过n次的多项式p(x) = a0 + a1x + · · · + anxn(其中ai 为实 数) 满足条件
− −
x0 x0
y1
(8)
用L1(x)近似代替f (x)称为线性插值，公式(8)称为线性插值多项 式或一次插值多项式。
§3.2 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日插值多项式
当n = 2时，拉格朗日插值多项式(7)为
L2(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 即
lk (xi ) =
1, i = k, 0, i = k.
(5)
则称lk (x)为节点xi (i = 0, 1, · · · , n)上的拉格朗日插值基函 数。k 为某固定的整数。
§3.1 拉格朗日(Lagrange)插值−−拉格朗日(Lagrange)插 值基函数
很容易找到lk (x)：
lk (x) = Ak (x − x0)(x − x1) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)
记所要求的多项式为Ln (x )：
Ln (x )
=
n j =0
yj lj (x)
=
n j =0
yj
n i =0
x − xi xj − xi
(7)
i =j
当n = 1时，拉格朗日插值多项式(7)为
L1(x) = l0(x)y0 + l1(x)y1 即
L1(x )
=
x x0
− x1 − x1
y0
+
x x1
数ai (i = 0, 1, 2, · · · , n)为未知元的n + 1阶线性方程组：
a0 + a1x0 + a2x02 + · · · + anx0n a0 + a1x1 + a2x12 + · · · + anx1n
= y0 = y1
··· a0 + a1xn
+ a2xn2 + · · · + anxnn
第3章 多项式插值与样条插值
同济大学数学系计算数学教研室
本章和第4章论述的主题: 函数表达的问题
第一个问题，假定已有一个函数的数值表(表3.1).
表 1: x x1 x2 · · · xn y y1 y2 · · · yn 要问：是否能找到一个简单而便于计算的公式，利用它可以精确 地重新算得这些给定点。—— 插值问题
p(xi ) = yi (i = 0, 1, 2, · · · , n)
(1)
则称p(x)为函数f (x)的n次插值多项式。
§2.1 多项式插值−−多项式插值问题的定义
几个常用术语: 插值法——按条件(1)求函数f (x)的近似表达式p(x)的方法 插值条件——条件(1) 插值节点——xi (i = 0, 1, 2, · · · , n) 插值区间——包含插值节点的区间[a, b]