化工传递(第二章)2014

上式在x,y,z方向上的向量为：
Du x x方向 d F x = ρ dxdydz Dθ Du y y方向 d F = ρ dxdydz y Dθ Du z z方向 d F z = ρ dxdydz Dθ
一、用应力表示的运动方程
流体微元上作用力的分析
dF dFB dFs
质量力
表面力
d F x d F B x d F sx
向量形式
u 0
思考题：

三、柱坐标与球坐标系方程
1. 柱坐标系
ρ 1 1 ( ρ ru r ) ( ρuθ ) ( ρu z ) 0 ' θ r r r θ z
θ －时间； r －径向座标； z －轴向座标； θ－方位角； ur , uz , uθ －各方向的 速度分量。
ux ux
ux dA
第二章 动量传递的变化方程
2.2 连续性方程
一、连续性方程的推导 二、连续性方程的分析和简化 三、柱坐标与球坐标系方程
一、 连续性方程的推导
对单组分流体系统（如水）或组成均匀的多组 分混合物系统（如空气）中，运用质量守恒原理进 行微分质量衡算，所得方程称为连续性方程。 质量守恒定律 流入质量速率—流出质量速率＝积累质量速率 采用欧拉观点 在流场中选一微分控制体。
例：变直径管道中流体流动的连续性方程
u x u y u z y z x
ux u y uz dV x x x V V

连续性方程移项
dV
化工传递
相关方程
连续性方程：在传递过程中，对单组分流体流动系统或不考 虑组分浓度变化的多组分流体流动系统进行微分质量衡算所 导出的方程。 运动方程：对流体流动系统进行微分动量衡算所导出的方程。 微分能量衡算方程（简称能量方程）：对流体流动系统进行 微分能量衡算所导出的方程。 微分质量衡算方程或对流扩散方程：对组分浓度变化的多组 分流体流动系统中某一组分进行微分质量衡算所导出的方程。 连续性方程、运动方程、能量方程和对流扩散方程统称 为变化方程。 牛顿黏性定律、傅里叶定律和费克定律统称为本构方程。
一、用应力表示的运动方程
单位质量力
单位质量流体所受到的质量力称为单位质量力， 是一个向量。 X，Y，Z :单位质量流体所受的质量力 z方向上的分量 在直角坐标系x, y,
FB fB = M
X，Y，Z 的单位：N / kg = kg﹒m﹒s-2 / kg = m / s2
若流体只受到重力作用 f B g 如果x，y为一水平面，Z垂直向上
A2 2 u2 A1 1u1
不可压缩流体的连续性方程
A2 u2 A1u1
不可压缩流体圆管流动的连续性方程 2 d1 A1 u2 u1 u1 A2 d2
第二章 动量传递的变化方程
2.3 运动方程
一、用应力表示的运动方程 二、牛顿型流体的本构方程 三、流体的运动方程 四、以动压力表示的运动方程 五、运动方程(N-S方程)的可解性
第二章 动量传递的微分方程
本章先讨论动量传递的基本概念，动量传
递的基本方式：扩散传递和对流动量传递。然
后推导不考虑组分浓度变化的连续性方程和动
量传递的微分方程——运动方程。
2.1 动量传递概述
分子传递 —— 因流场中存在速度 梯度，分子随机运动引 扩散传递 起的动量传递过程。 动量 传递
涡流传递 ——湍流中质点的随机 脉动引起的动量传递。
n 1 1 1 2 2 2 A A A1 A2
A2 2 u2 A1 1u1
d dV d V
dV
V
d mV d
dM d
例：变直径管道中流体流动的连续性方程 不稳定流动系统的连续性方程 dM A2 2 u2 A1 1u1 d 稳定流动系统的连续性方程
ux i u y j+uz k （2-8） ( u) 0
i j k x y z
流体流动的连续性方程
二、 一、 连续性方程的分析和简化 连续性方程的推导
( ux ) ( u y ) ( uz ) 0 各项展开 将式2-7 x y z ux u y uz ( ) ux u y uz 0 （2-9） x y z x y z
其中：∂Ω的正侧为外侧，cos α、cos β、cos γ为 ∂Ω的外法向量的方向余弦。
例：变直径管道中流体流动的连续性方程
un为 u在微元面积dA外法线方向的投影。 侧表面上un=0，
u dA u cos dA u cos dA u cos dA
表面力（又称机械力）
与流体微元相接触的环境 流体（有时可能是固体壁面） 施加于该流体元上的力。是一 种接触力。与力所作用的面积 成正比。
作用在流体表面的力
流体的压力、黏性产生的剪切力均属于表面力，以FS 表示。FS可以分解为两个向量：与作用表面相切，称为 切向表面力或剪切力；与作用表面垂直，称为法向力。
由于流体密度是空间坐标及时间的函数
( x, y, z, )
其随体导数为
D D ux x uy y uz z
密度对时间的局部倒数
密度的对流导数
二、 一、 连续性方程的分析和简化 连续性方程的推导
故连续性方程可写成 （2-10）
v 1
dV
ux u y uz dV x x x V V
ux u y uz x x x V
dV un dA A
高斯（Gauss）定理
高斯定理
设空间有界闭合区域Ω，其边界∂Ω为分片光 滑闭曲面。函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)及其 一阶偏导数在Ω上连续，则
一、 连续性方程的推导
空间M（x,y,z）点处取微元控制体 dV=dxdydz u x, y, z, 该点流速：
ux
( ux ) x
流体密度： x, y,z, 设流体在M点的质量 通量为 u u 在坐标x,y,z方向分量： 微分质量衡算 ux，uy，uz uz 。 u 沿坐标x,y,z方向分量： ux、 u y、
yx ——表示x方向的动量在y方向的通量
r
yx

dy
2.1 动量传递概述
3.对流动量传递
对流动量传递是由于流体的宏观流动引起的。在 流场中取一微元面积 dA , 流体在该微元上的流速为 ux , 且 ux 与微元面垂直，设流体的密度为 ， 则以 对流方式通过 dA 的动量通量为：
dx
一、 连续性方程的推导
根据质量守恒定律，按 x,y,z 3个方向对控制体作质量衡算。 在x方向，左侧面
输入微元的质量流率 ux dydz
在x方向，右侧面
输出微元的质量流率 [ ux + ux x dx]dydz
在x方向，流出与流入微元的质量流率之差为 ( ux ) ( ux ) [ ux dx]dydz u x dydz dxdydz （2-3） x x
不同坐标系中的连续方程
直角坐标系(x,y,z) u x u y u z 0 x y z 柱坐标系(r,θ ,z) 1 1 ru r u u z 0 ， r r r z 球坐标系(r,φ, θ)
拉格朗日观点，M=常数
Du F=M Dθ
微元系统dV，M=ρdV
设某一时刻 ， 微元系统的体积 为 dV=dxdydz
Du dF = ρdV Dθ
dy dx
dz
Du dF = ρdxdydz Dθ
一、用应力表示的运动方程
Du dF = dFi = ρdxdydz Dθ
作用在微元系统上的合外力
微元系统内的动量变化速率； 质量与加速度乘积，称为惯性 力，记作 dFi （外力=惯性力）
一、 连续性方程的推导
同理，可得 y，z方向流出与流入微元控制体
的质量流率之差为：
[uy ( u y ) y dy ]dxdz u y dxdz
( uz ) z
( u y ) y
dxdydz
( uz ) z
（2-4）
dxdydz
ux
( ux ) x
d F y d F B y d F sy
d F z d F B z d F sz
一、用应力表示的运动方程
体积力（又称质量力）
作用在流体微元每一质点上的力。是非接触力 场力 质量力 惯性力 外界力场对流体的作用力， 如重力、电磁力等 由于流体作不等速运动而产生， 如流体作直线加速运动时所产 生的惯性力，流体绕固定轴旋 转时所产生的惯性离心力
1 1 1 2 2 r ur u sin u 0 ， r sin r sin r r
思考题：
请推导出柱坐标系与球坐标系连续性方程
推导方法: ① 取空间微元体(微柱\微球)； ② 对微元体作质量流量衡量计算； ③ 质量衡算，整理即得。
源自文库求随体导数
Dv D v 0 D D
或
1 Dv 1 Dρ 0 v Dθ Dθ （2-11）
代入式（2-10）
体积膨胀速率
速度向量的散度
二、 连续性方程的分析和简化
对于稳态流动
0
式2-7可简化为 （2-12）
对于不可压缩流体 常数
式2-7可简化为 （2-13）
对流传递 ——由于流体质点的宏观流动引起， 是动量的主体流动过程。
2.1 动量传递概述
1.分子动量传递
分子动量传递的通量由牛顿黏性定律描述： dux d（ ux） yx = dy dy
2.1 动量传递概述
2.涡流动量传递
涡流中大小不等的微团在各流层之间交换。 1877年，波希尼斯克（boussinesq）提出了涡流 通量表达式 d( ux ) r
一、用应力表示的运动方程
动量守恒定律 流体运动加速度
F = Ma = M du d( Mu ) = d d
牛顿第二定律—
合外力
动量变化速率 u u
拉格朗日方法
在流场中选一微元 系统（质量一定，体 积和形状变化）
u u
一、用应力表示的运动方程
牛顿第二定律在流体微元上的表达式
d (M u) F dθ
[ uz
dx
dz ]dxdy u z dxdy
（2-5）
二、 连续性方程的分析和简化
控制体内任一时刻的流体质量为 dxdydz 则控制体内的质量累积速率为 w dxdydz （2-6） 式2-3、2-4、2-5、2-6联立，可得 ( ux ) ( u y ) ( uz ) 0 （2-7） x y z 写成向量形式
三、柱坐标与球坐标系方程
2. 球坐标系 ρ 1 1 1 2 2 ( ρr ur ) ( ρ u θ sin θ ) ( ρuφ ) 0 ' θ r r r sin θ θ r sin θ φ
θ －时间； r －径向座标； －方位角； θ－余纬度； ur , uφ , uθ －各方向的 速度分量。
X Y 0
Z g
一、用应力表示的运动方程
因此，作用在微元系统的质量力为
dFB f B ρdxdydz
作用在微元系统的质量力在x, y, z三个方向分量为
d FBx X ρ d xd yd z
d FBy Y ρ d xd yd z
d FBz Z ρ d xd yd z
一、用应力表示的运动方程