《复变函数》作业参考答案

12． sin(2z 3 ) 2z 3 (2z 3 )3 ... (1)n (2z 3 )2n1 ... ；
3!
(2n 1)!
13．
s
in z
z
6
3
1 z3
z3 3!
... (1)n
z 6n3 ... ； (2n 1)!
14.
z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dz 1
|z|1 (2z 1)( z 2)
证明：在| z | 1上，由| f (z) || z 4 3 | 4 6 | g(z) || 6z | 得， z4 6z 3 0 在单位圆内只有一个根，在
利用在| z | 2 上，由| f (z) || z 4 | 24 16 15 | 6z | | 3 || g(z) || 6z 3 | 得，z4 6z 3 0 在| z | 2 有
对 38、对
二．填空题
1． 2i ；
2． 1 ； (1 z)2
3．
ez Res(
zn
,0)
0 2i(n 1)!
n0； n0
dz 2i
4．
|zz0|1 (z z0 )n
0
5．整函数；
n 1 n 1；
6．亚纯函数。
7. z i ；
8． sin2 z cos2 z 1
9．1；
10． z i,i
4 个根，所以方程 z4 6z 3 0 在1 | z | 2 内仅有 3 个根。
5. 证明：由于 u(x, y) 等于常数，而函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内解析，所以实部是可微的，并且
有 u(x, y) 0, u(x, y) 0, 再利用柯西-黎曼条件，得
2
|z|1
z z
/(z (1/
2) 2)
dz
1 2
2i(z(z
2))
|n1/ 2
5 .i 4
；
15. f (z)
1
11 11
1 1 1 zn
.
(z 1)(z 2)
z 1 1 21 z
z n1 z n1 2 n0 2n
z
2
16.因为孤立奇点 z 0 是可去奇点，所以留数等于 0。
17. 先将 D 保形变为上半单位圆，再变为第一象限，最后变为上半平面：
x
y
v(x, y) 0, v(x, y) 0,
x
y
从而其虚部也是常数，故函数恒等于常数。
6. 证明：由于 u(x, y) 等于常数，而函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在区域 D 内解析，所以虚部是可微的，并
且有 v(x, y) 0, v(x, y) 0, 再利用柯西-黎曼条件，得
《复变函数》作业参考答案
一．判断题
1.对； 2．对；3．对；；4．对； 5．对； 6．对； 7．对； 8．对； 9．对； 10 错； 11．对； 12．对
13．对 14．对；15．对； 16．对；17．错；18．对；19．错；20．对；21．对； 22．错； 23．对；24．错。
25、错 26、对 27、错 28、错 29、对 30、对 31、对 32、错 33、对 34、对 35、对 36、对 37、
dz. i)
2i
9
z
z
2
5 z i
2．求 e z1 sin zdz 1
dz
0) 1) 1; 。
|z|1
2i |z|3 (z 1)( z 4)
3．1 个。
1 dz 0
4． |z|1 cos z
5．
f
(z)
1 (z 1)( z 2)
1 z2
1 z 1
1 1 2 1 z/2
| |
z z
|2 1 1|2
|
zz z 1|2
；
1 i n 1 i n cosn i sin n cos(n ) i sin(n )
2 2
4
4
4
4
10． 2 coscosn 4
11． lim 2 i n 0 n 6
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20．1 个。
21.先将
D 平移的保形变为带形区域：
z1
z
2
i, D1
{z
:0
Im z
}， 2
再将 D1 保形变为带形区域： z2 2z1, D2 {z : 0 Im z } 最后利用指数函数 w e z2 保形变为上半平面，所以
2(z i)
we 2 .
四．证明题 1．若函数 f(z)在 z0 处可导，则 f(z)在 z0 连续。 证明：直接利用定义。
1 1 z
1 2
n1
zn 2n
zn
n1
。
6．1 个。
7． f (z) 32 7 1 d 2i(3z 2 7z 1) ， f '(z) 2i(6z 7), f '(1 i) (26i 12.
C z 8． Re s( f (z),) 0
9．
z z
1 1
(z 1)(z 1) | z 1|2
19.解析区域是
z
i 2
，
f
'(z)
24z 6
10z 4 4z 2 (4z 2 1)2
24z
1
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20.模： 2 ，幅角： 2k 5 , 4
11．
Res(
e z
z n
,0)
0 2i(n 1)!
n0； n0
12． lim z n 1 ie ； n
13． 2 ；
14． f (z) (x02 2x0 y0 ) i(1 sin(x02 y02 ),
15． lim z1 z2 ... zn
n
n
16．0；
17、实部 a3 3ab2 ，虚部 b3 3a2b 。 18.内点集合 0 | z 1| 2 ，边界点集合是 z 1,| z 1| 2 。
21.收敛区域是： |
z
| 1 ，和函数是：
f
(z)
1。 z2 1
22. z
0 是函数 sin z z
的
可去
极点，而
f
(z)
z
1 3
1
在
z
1处有
1
阶极点。
23.0，0．
24. u(x, y) v(x, y) , u(x, y) v(x, y) .
x
y
y
x
三．计算题
1．
|z|2 (9
z z 2 )( z
即可。
3．若整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部且 f (0) 0，则 f (z) 0(z C) 。
证明：由于整函数 f(z)将复平面映照为单位圆内部且 f (0) 0，则整函数 f(z)是一个有界整函数，由刘维尔定
理知道， f (z) 0(z C) 。
4．证明方程 z4 6z 3 0 在1 | z | 2 内仅有 3 个根。
所以
z1 z 2 ，
z2
1 1
z1 z1
，
w
z
2 2
，
w (1 z 2 )2 . 1 z2
18．
|z|2 (9
z z 2 )( z
dz. i)
2i z 9 z2
5 z i
19．求 e z1 sin zdz 1
dz
0) 1) 1; 。
|z|1
2i |z|3 (z 1)( z 4)
x
y
u(x, y) v(x, y) 0, u(x, y) v(x, y) 0,
x
y
y
x
从而其实部也是常数，故函数恒等于常数。
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2．若数列{zn} 收敛，则{Re zn} 与{Im zn} 都收敛。
证明：利用不等式:
| xn x0 |,| yn y0 | | xn x0 |2 | yn y0 |2
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