2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题与参考答案

2014年广州市高中数学教师解题比赛决 赛 试 题（2014年4月13日上午9∶00－11∶00）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．请将答案代号填在答题卷的相应位置上．1．设集合{},,M a b c =，{}0,1N =，映射f ：M N →满足()()()f a f b f c +=，则映射f ：M N →的个数为A ．1B ．2C ．3D ．42．直角梯形ABCD 中，AB DC ，2AB CD =，45A ∠=，2AD =.以直线AB 为轴将梯形ABCD 旋转一周所得旋转体的体积为A ．π328 B ．π34 C ．π3210D ．π243．已知()f x 是奇函数，定义域为{},0x x x ∈≠R ，又()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且()10f -=，则满足()f x 0>的x 的取值范围是 A ．()1,+∞B ．()()1,01,-+∞ C ．()0,1 D ．()(),11,-∞-+∞4．已知虚数z =()2i x y -+，其中x 、y 均为实数，当1z =时，yx的取值范围是 A．⎡⎢⎣⎦B．30,⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪⎣⎭⎝⎦C ．⎡⎣D ．)(0,3⎡⎤⎣⎦5．设()2f x x ax b =++，且()112f ≤-≤，()214f ≤≤，则点(),a b 在aOb （O 为坐标原点）平面上的区域的面积是 A ．12 B ．1 C ．2 D ．926．已知向量()2,1=，()1,7=， ()5,1=，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么⋅的最小值是A ．－16B ．－8C ．0D ．47．等比数列{}n a 的公比为q ，则“10a >，且1q >”是“∀*n ∈N ，都有1n n a a +>”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件CDBA8．若不论k 为何值，直线2y kx b k =+-与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是A ．(B ．⎡⎣C ．()2,2-D ．[]2,2-9．已知集合A 、B 、C ，{}直线=A ，{}平面=B ，B A C =，若A a ∈，B b ∈，C c ∈，给出四个命题: ①c a bc b a //⇒⎩⎨⎧⊥⊥；②c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//；③c a bc b a //////⇒⎩⎨⎧；④c a bc b a ⊥⇒⎩⎨⎧⊥//，则正确命题的个数为A ．0B ．1C ．2D ．310．在一次足球预选赛中，某小组共有5个球队进行双循环赛（每两队之间赛两场），已知胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.积分多的前两名可出线（积分相等则要比净胜球数或进球总数）.赛完后一个队的积分可出现的不同情况种数为A ．22B ．23C ．24D ．25二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卷的相应位置上． 11．已知x 是三角形的一个内角，满足231cos sin -=+x x ，则x = * ． 12．已知正三棱锥S ABC -的高为3，底面边长为4，在正三棱锥内任取一点P ，使得P ABC V -12S ABC V -<的概率是 * ．13．对于正整数n 和m ，其中n m <，定义!()(2)(3)()m n n m n m n m n km =----…，其中k 是满足km n >的最大整数，则=!20!1864 * ． 14．有两个向量1(1,0)=e ，2(0,1)=e ，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为12+e e ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232+e e 相同的方向作匀速直线运动，速度为1232+e e ．设P 、Q 在时刻0t =秒时分别在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥时，t = * 秒． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15．（本小题满分12分）若函数21()sin sin cos (0)2f x ax ax ax a =-->的图象与直线y m =相切，若函数()f x 图象的两条相邻对称轴间的距离为4π． （1）求m 的值；（2）若点()0,0A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求点A 的坐标．一个口袋中装有n 个红球（5n ≥且n ∈*N ）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．（1）试用n 表示一次摸奖中奖的概率p ；（2）若5n =，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ，当n 取多少时，P 最大？ 17．（本小题满分14分）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成角的正切值为26. （1）求侧面PAD 与底面ABCD 所成二面角的大小；（2）若E 是PB 中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；（3）在侧面PAD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC . 试确定F 点的位置，并加以证明.18．（本小题满分14分）这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值1x =，1y =，0z =，0n =； （2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）； （3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）； （4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）； （5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； （7）打印n ，z ； （8）程序终止.由语句（7）打印出的数值为 ， . 以下写出计算过程：P DEACB如图，已知过点D (2,0)-的直线l 与椭圆2212x y +=交于不同的两点A 、B ，点M 是弦AB 的中点． （1）若OP OA OB =+，求点P 的轨迹方程；（2）求||||MD MA 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e x f x x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求()f x 的最小值；（2）设不等式()f ax x >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，求实数a 的取值范围；（3）设n *∈N ，证明：1e e 1nnk k n =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑．2014年广州市高中数学教师解题比赛决赛试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11.56π 12.7813.21514. 2三、解答题，本大题共6小题，满分80分． 15．（本小题满分12分） 解：（1）2()sin sin cos f x ax ax ax =-12-1cos21sin 222ax ax -=-12-24ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由题意知，m 为()f x 的最大值或最小值， 所以m =或m =. （2）由题设知，函数()f x 的周期为2π， 所以2a =． 所以()sin 44f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令sin 404x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得44x k ππ+=()k ∈Z ，即416k x ππ=-()k ∈Z ． 因为04162k πππ≤-≤()k ∈Z ， 得1k =或2k =，因此点A 的坐标为3,016π⎛⎫ ⎪⎝⎭或7,016π⎛⎫⎪⎝⎭.16．（本小题满分12分）解：（1）一次摸奖从5n +个球中任选两个，有25n C +种，它们等可能，其中两球不同色有115n C C 种，所以一次摸奖中奖的概率1152510(5)(4)n n C C np C n n +==++．（2）若5n =，一次摸奖中奖的概率59p =， 三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是123380(1)(1)243P C p p =⋅⋅-=． （3）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为123233(1)(1)363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<， 因为2'91233(1)(31)P p p p p =-+=--，所以在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为增函数，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上P 为减函数，当13p =时P 取得最大值． 所以101(5)(4)3n p n n ==++，解得20n =．故当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大． 17．（本小题满分14分）（1）解：连结AC ，BD 交于O ，连结PO .因为P —ABCD 为正四棱锥，所以PO ⊥底面ABCD .作PM ⊥AD 于M ，连结OM ， 所以OM ⊥AD .所以∠PMO 为侧面P AD 与底面ABCD 所成二面角的平 面角.因为PO ⊥底面ABCD ，所以∠P AO 为P A 与底面ABCD 所成的角.所以tan PAO ∠=． 设AB a =，所以,.2a AO MO ==所以.PO =所以tan POPMO MO∠==60PMO ∠=︒．所以侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为60°.（2）解：连结EO ，因为E 为PB 的中点，O 为BD 的中点，所以EO ∥PD .所以∠AEO 为异面直线AE 与PD 所成的角．在Rt ,,PAO AO PO ∆==中，所以PA =，12EO PD ==．由AO ⊥截面PDB ，可知AO ⊥EO . 在Rt △AOE中，tan AO AEO EO ∠==即异面直线AE 与PD 所成角的正切值是1052．（3）证明：延长MO 交BC 于N ，连结PN ，取PN 中点G ，连结EG ，MG .因为P —ABCD 为正四棱锥且M 为AD 的中点，所以N 为BC 中点. 所以BC ⊥NM ，BC ⊥PN .因为NM PN N =，所以BC ⊥平面PMN .因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PMN ⊥平面PBC .因为PM =PN ，∠PMN =60°，所以△PMN 为正三角形. 所以MG ⊥PN . 所以MG ⊥平面PBC . （苏元高考吧： ） 取AM 中点为F ，连结FE ，则由EG ∥MF 且GE =MF ，得到MFEG 为平行四边形， 所以FE ∥MG .所以FE ⊥平面PBC .分 18．（本小题满分14分）解：设n i =时，x ，y ，z 的值分别为i x ，i y ，i z .依题意，01x =，12n n x x -=+， 所以{}n x 是等差数列，且21n x n =+. 因为011,2.n n y y y -==所以{}n y 是等比数列，且n n y 2=． 因为n n n n y x z z z +==-10,0， 所以1122n n n z x y x y x y =++⋅⋅⋅+即n z 23325272(21)2nn =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅++⋅． ① 所以23412325272(21)2(21)2n n n z n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅++⋅． ② ①—②得，1322)12(22222223+⋅++⋅-⋅⋅⋅-⋅-⋅-⋅-=n nn n z()12122n n +=-+．依题意，程序终止时：7000n z >，17000n z -≤，即()()121227000,23227000.n nn n +⎧-+>⎪⎨-+≤⎪⎩ 解得8n =，进而7682z =．19．（本小题满分14分）解法1：（1）①若直线l ∥x 轴，则点P 为(0,0)．②设直线():2l y k x =+，并设点,,,A B M P 的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x y B x y M x y P x y ， 由()222,22y k x x y ⎧=+⎨+=⎩消去x ，得 ()2222(21)82410k y k x k +++-=， （*）由直线l 与椭圆有两个不同的交点，可得()()222288(21)410k k k ∆=-+->，所以212k <． （苏元高考吧： ） 由OP OA OB =+及方程（*），得2122821k x x x k =+=-+，()()1212242221ky y y k x k x k =+=+++=+，即2228,214.21k x k k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩消去k ，并整理得，22240x y x ++=（20)x -<<．综上所述，点P 的轨迹方程为22240x y x ++=（20)x -<≤．（2）①当l ∥x 轴时，,A B 分别是椭圆长轴的两个端点，则点M 在原点O 处，所以，||2,||MD MA =||||MD MA = ②由方程（*），得212022,221x x k x k +==-+所以，0|||D MD x x =-=01|||MA x x=-==所以||||MDMA=因为212k<()0,1，所以)||||MDMA∈+∞．综上所述，)||||MDMA∈+∞．解法2：（1）①若直线l∥x轴，则点P为(0,0)．②设直线:2l x my=-，并设点,,,A B M P的坐标分别是112200(,),(,),(,),(,)A x yB x y M x y P x y，由222,22x myx y=-⎧⎨+=⎩消去x，得22(2)420m y my+-+=，（*）由直线l与椭圆有两个不同的交点，可得22(4)8(2)0m m∆=--+>，即28(2)0m->，所以22m>．由OP OA OB=+及方程（*），得12242my y ym=+=+，121228(2)(2)2x x x my mym=+=-+-=-+，即228,24.2xmmym⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩由于0m≠（否则，直线l与椭圆无公共点），消去m，并整理得，22240x y x++=（20)x-<<．综上所述，点P的轨迹方程为22240x y x++=（20)x-<≤．（2）①当l∥x轴时，,A B分别是椭圆长轴的两个端点，则点M在原点O处，所以，||2,||MDMA=||||MDMA=②由方程（*），得12022,22y y mym+==+所以，0|||D MD y y =-=01|||MA y y =-==，所以||||MD MA ==因为22m >(0,1)，所以)||||MD MA ∈+∞．综上所述，)||||MD MA ∈+∞． 20．（本小题满分14分）（1）解：因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-．令()0f x '=，得0x =．所以当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．所以函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增． 所以当0x =时，()f x 有最小值1．（2）解：因为不等式()f x ax >的解集为P ，且{}|02P x x ⊆≤≤，所以对任意[]0,2x ∈，不等式()f x ax >恒成立．由()f x ax >，得()1e xa x +<，（苏元高考吧： ）当0x =时，上述不等式显然成了，所以只需考虑(]0,2x ∈的情况．将()1e xa x +<变形为e 1xa x<-． 令()e 1xg x x =-，则()()21e xx -g x x '=．当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递增．广州市高中数学教师解题比赛试题参考答案 第11页（共7页） 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值e 1-．故实数a 的取值范围为(),e 1-∞-．（3）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x e x -≥，即1xx e +≤． 令k x n=-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n -<-≤， 所以1(1,2,,1)n n k k n k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即(1,2,,1)n k n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭． 所以(1)(2)211211n n n n n n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 因为(1)(2)2111111111n n n e e e e e e e e e ----------+++++=<=---， 所以 1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．。