立体几何中的向量方法(系统)

⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
练习 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
一. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / ① a u a u 0 ；
u
a
α
② a∥AC ③ a x AB y AD
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
PA (1, 0, 1), DE (0, 1 , 1) 22
Z DB =(1,1，0)
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1) P
则n DE, n DB
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
1,
1
x y 0
PA n 0 PA n
而PA 平面EDB
A
D
所以，PA// 平面EDB
X
E
C Y
B
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1，0) 22
PA (1, 0, 1), DE (0, 1 , 1) 22
Z DB =(1,1，0)
设PA xDE yDB
l
平面 α的向量式方程
a
a AP 0
P
A
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例例22.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
E(3,3,3),
F(2,2,0), G(0,4,2),
几何法呢？
AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)
AE = 3 FG AE // FG 2
AE与FG不共线
A
AE//FG
EG
D
C
F
Y
B
X
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的中点，
一、方向向量与法向量 １．直线的方向向量
如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量。
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量
•l
A•
P
a
直线ｌ的向量式方程 AP t a
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面
的法向量
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1，0)
22
DE (0, 1 , 1) DB =(1,1，0)
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y,1)
D
则n DE, n DB
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
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∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
总结:如何求平面的法向量
⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
Z
P
22
E
所以PA 2EG，即PA // EG
而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB
所以，PA// 平面EDBA
X
D
G
B
C Y
解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1), B(1,1，0) 22
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即PA 2DE DB
于是PA、 DE、 DB共面
而PA 平面EDB 所以，PA//平面EDB A
X
D
C Y
B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
二、垂直关系：
(1) l m a b a b 0
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
(1)求证：PA//平面EDB.
Z
P
解1 立体几何法
E
D
C Y
A
G
B
X
解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
E(0, 1 , 1 ) 22
G( 1 ,1，0) 22
PA (1, 0, 1), EG (1 , 0, 1)
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
u
α
v
β
例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点， DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
证 ：如图所示, 建立 Z
空间直角坐标系. A(6,0,0), P
A
于是
1 2
y
1 2
0
n
1,
x y 0
1,
1 X
E
C Y
B
用向量方法解决几何问题
因为方向向量与法向量可以确定 直线和平面的位置，所以我们可以利 用直线的方向向量与平面的法向量表 示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角、距离等位置关系.
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则