SNOM(理论与应用)

1
第2章
动力学方程的类比——模型引入的可行性
在量子隧穿的模型中,非相对论形式的动力学方程是著名的 Schrö dinger 方程
(
可变形为
2
2m
2 V ) E
( 2-1 )
(2
2m( E U )
2
) 0
( 2-2 )
此即
(2 k 2 ) 0
( 2-3 )
而对于作为电磁场的光场,又有 Helmholtz 方程
(2 k 2 ) E 0
( 2-4 )
由此,借用 STM 中的 s-波针尖模型,我们可以做如下图的模型
样品表面波函数为周期性的平面场 , 针尖的波函数由于其复杂性 , 我们将其简化 为半径为 R 的球形模型,其允许进入的波的模式为球波.成像信号为这两种模式的 光场的耦合,可以认为是能量在这两种模式的波场中的传递.
( 3-5 )
G 2 ( f x , f y )
( 3-6 )
3
为波矢的水平空间分量. 考虑到光场能量远小于样品的表面激发能量的情形,我们取
k/ / 0
( 3-7 )
为第一 Brillouin 区的原点, 则由如上代换可以直接得到光场的周期平面场的衰 逝部分
E( x, y, z ) E( f x , f y ,0)e
3.2
1s 球波与球形光场的衰逝部分
从众所周知的对量子力学中的球方势阱问题束缚态的求解中,给出在
ra
时,势阱外存在解
R( r ) Bk ' l
( 3-19 )

2k ' r
K
l
1 2
(k ' r )
( 3-20 )
其中
5
k'
2m(V E )
( 3-21 )
而 Bk 'l 为归一系数.应用到 STM 中,我们常考虑的模型是针尖的 1s 球波部分,即考 虑解 l 0 的情形.此时
z
2

2 ( f x 2 f y 2 ) 1
( 3-18 )
其中指数部分的宗量为实数 .这表明 ,振幅随深度的增加呈指数规律衰减 ,即该 波只局域在物体表面而不能向远处传播,形成局域在物体表面的近场隐失波. 从以上分析可以看到，从量子力学得到的 Bloch 定理可以直接推广为光场 的形式.
z 2

2 ( f x 2 f y 2 ) 1 i 2 ( f , f )( x , y ) x y
e
df x df y
( 3-8 )
这也称为光场波函数的 Bloch 形式.另外,对此也可以使用 Fourier 变换加以讨论. 当光和物体发生相互作用后 , 在物体表面形成携带物体信息的光场分布 ,可以使 用该场的复振幅
E ( f x , f y ,0)
的分布特性来表示样品.Fourier 变换给出
E ( x, y,0) E ( f x , f y ,0)e
i 2 ( f x , f y )( x , y )
( 3-9 )
df x df y
( 3-10 )
f x 和 f y 分别为沿 x 和 y 方向的空间频率分量,反比于物体的结构尺寸 .当光传播
R( r ) kR ekR
e 0 k r r0
kr r
( 3-22 )
是势阱外的衰逝部分,为一个渐进的球波形式. 若做与光场 Bloch 形式引入中相同的类比,可得球形光场的 1s 衰逝形式应 形如
E kR ekR
0 e k r r0
k r r
( 3-23 )
两种模式很容易便可以做形式转换.事实上,由数学知道
为空间总频率.代入得
E ( f x , f y , z ) E ( f x , f y ,0)e
于是
E ( x, y, z ) E ( f x , f y , 0)e
iz 2
iz
2

1 2 ( f x 2 f y 2 )
( 3-13 )

1 2 ( f x 2 f y 2 ) i 2 ( f , f )( x , y ) x y
关键词： STM 近场光学 SNOM 含时微扰
I
Abstract
The essay makes an analog between STM and SNOM, compares the Schrö dinger ’s equation with Helmholtz’s equation, and introduces the methods of STM to SNOM, thus gives a new approach of the image -forming principle and the calculation of resolution ratio.
到探测平面 z 时，复振幅和空间频谱满足同样的关系.另外光场分布 E ( x, y,0) 满 足标量 Helmholtz 方程
(2 k 2 ) E 0
( 3-11 )
其中
k k x 2 k y 2 k z 2 2 fx2 f y2 fz2 2

( 3-12 )
扫描近场光学显微镜 理论与应用
Theory and Application for the Scanning Near-field Optical Microscope
本 文 作 者 ：
指 导 老 师 ：
二○一三年冬
摘 要
本 文通过对 STM 与 SNOM 技术的类比 , 通过对 Schrö dinger 方程与 Helmholtz 方程的比较,将对 STM 的研究方法与模型直接引入 SNOM 的研究,用 一种新的方法给出了 SNOM 的成像原理和分辨率计算.
( 4-1 )
( 4-2 )
对于针尖作用的修正波函数
k 2 2
( 4-3 )
含时波函数用 展开. 完全类比于微扰论中对于电子跃迁几率的计算 , 我们可以 写出类似于跃迁矩阵元的耦合因子
* * 2 M t RekR 2 d t 1 2

2m
( 3-2 )
为电子波波矢, 为功函数, aG 为对不同的倒格基矢的波函数的归一系数. 容易看 出,因子
e
z k // G k 2
2
( 3-3 )
为衰逝部分,周期性相位差则为
e
因而做如下代换
i ( k // G ) x
( 3-4 )
K
其中
2m( E U )

2

ek ( k x , k y , k z ) 2 ( f x , f y , f z )
2
e
i ( k // G ) x
( 3-1 )
其中 x 为在水平方向的位矢, z 为从平面为起点在竖直向上方向的距离. k / / 为二 维平面方向的 Bloch 波矢，其取值范围为相应周期的晶体的第一 Brillouin 区,另 外, G 为相应周期的倒格基矢,而
ik K
2m( E U )
由于探针和样品的耦合作用，两者电磁场之间会发生相互影响,和单独存在 时有所不同。这种差别可以通过时间相关的微扰理论加以给出. 设在时刻零点开 始探测,我们分别用下标 和 表示样品和针尖.在耦合之前,波动方程是定态的
2 k 2
而在 t 0 时,针尖的场开始起作用
i 2 2k 2 0 t
e kr d 2q kr e
k 2 q2 z

2 k 2 1
q k2
2
eiq x
( 3-24 )
分别令
q k/ / G and q 2 ( f x , f y )
( 3-25 )
即给出电子波函数和光场波函数的 1s 球波模式与周期性平面场的统一形式.
6
第4章
用含时微扰计算耦合
时, 其指数部分成为虚宗量.此时在探测平面上发生空间频率满足上式的平面波. 即空间频率的每一分量都可以向前传播形成辐射波或传播波 .上面的因子就是 相位变化因子. 另一方面,如果
2 ( f x2 f y2 ) 1
对应于小尺度结构.光强便成为
( 3-17 )
E ( f x , f y , z ) E ( f x , f y ,0)e
2
第3章
3.1
光场模式的波函数形式
空间周期平面光场的衰逝部分——光场的 Bloch 形式
在 STM 实验中,具有一定周期性的样品表面的电子波函数可由 Bloch 定理与
隧穿模型的衰逝部分的符合得出
( x, z ) ( z ) aG e
G
z k // G k 2
e
df x df y
( 3-14 )
4
这里我们看到, 探测面上的光场分布 E ( x, y, z ) 是平面波乘以因子
e
iz
2

1 2 ( f x 2 f y 2 )
( 3-15 )
后的线性叠加，波的性质和传播方向取决于频率的大小. 当
2 ( f x2 f y2 ) 1
( 3-16 )
III
第1章
引言
扫描进场光学显微镜 (SNOM) 是一种突破光学衍射极限的扫描探针式显微 镜,在分子尺度能够对物质表面进行清晰的, 无损伤的扫描成像,在物理器件制备 与表征,生物分子成像等方面都有广泛的应用. SNOM 是通过对物质表面的衰逝波的探测从而表征物质表面形貌的,其具体 结构是由一个极细的光纤或者微孔波导(尖端直径在几十个 nm 量级)作为探针, 在距离样品表面很近(大约在探测光波长的量级 )的区域,对样品的近场光进行扫 描成像. 其成像原理可用对麦克斯韦方程组加上适当的边界约束条件求解得到 , 这种方法前人已有结论. 关于扫描探针显微术,另一种广为应用的仪器为扫描隧道显微镜(STM),其基 本原理为量子隧穿效应 , 具体的成像理论也已经自成一体 . 由于量子隧穿的电子 波函数与光场的衰逝波具有相似的形式,我们考虑将 STM 的成像理论模型与数 学计算直接引入到 SNOM 的成像原理的研究中,这是一项前人没有做过的工作, 但是已经有了相应的应用与对 SNOM 的结构改造实验.