1、与直线和圆有关的最值问题 理(解析版)

圆锥曲线专题突破一：与直线和圆有关的最值问题

题型一 有关定直线、定圆的最值问题

例1 已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2

＋(y －1)2

的最小值为________．

破题切入点 直接用几何意义——距离的平方来解决，另外还可以将x ＋2y －5＝0改写成x ＝5－2y ，利用二次函数法来解决．

解析 方法一 (x －1)2＋(y －1)2

表示点P (x ，y )到点Q (1,1)的距离的平方．

由已知可知点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以PQ 的最小值为点Q 到直线l 的距离，

即d ＝|1＋2×1－5|1＋22

＝255，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2

＝45. 方法二 由x ＋2y －5＝0，得x ＝5－2y ，代入(x －1)2

＋(y －1)2

并整理可得

(5－2y －1)2＋(y －1)2＝4(y －2)2＋(y －1)2＝5y 2

－18y ＋17＝5(y －95)2＋45，所以可得最小值为45.

题型二 有关动点、动直线、动圆的最值问题

例2 直线l 过点P (1,4)，分别交x 轴的正方向和y 轴的正方向于A 、B 两点．当OA ＋OB 最小时，O 为坐标原点，求l 的方程．

破题切入点 设出直线方程，将OA ＋OB 表示出来，利用基本不等式求最值．

解 依题意，l 的斜率存在，且斜率为负，设直线l 的斜率为k ，则y －4＝k (x －1)(k <0)．

令y ＝0，可得A (1－4

k

，0)；令x ＝0，可得B (0,4－k )．

OA ＋OB ＝(1－4k )＋(4－k )＝5－(k ＋4k )＝5＋(－k ＋4

－k

)≥5＋4＝9.

所以，当且仅当－k ＝4

－k 且k <0，即k ＝－2时，OA ＋OB 取最小值．这时l 的方程为2x ＋y －6＝0.

题型三 综合性问题 (1)圆中有关元素的最值问题

例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2

＋(y ＋2)2

＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 的长最小时，点P 的坐标是________．

破题切入点 将PT 的长表示出来，结合圆的几何性质进行转化．

解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2

－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC

垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩

⎪⎨

⎪⎧

y ＝x ＋2，

y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标

为(0,2)．

(2)与其他知识相结合的范围问题

例4 已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2

＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33

|AB →|，那么

k 的取值范围是________．

破题切入点 结合图形分类讨论．

解析 当|OA →＋OB →

|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到

直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，此时k ＝2；当k >2时，|OA →＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2

＝4存在两交点，

故k <22，综上，k 的取值范围是[2，22)． 【总结提高】 (1)主要类型：

①圆外一点与圆上任一点间距离的最值． ②直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值． ③过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．

④直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题． ⑤两圆相离，两圆上点的距离的最值．

⑥已知圆上的动点Q (x ，y )，求与点Q 的坐标有关的式子的最值，如求ax ＋by ，ax ＋by

cx ＋dy

等的最值，转化为直线与圆的位置关系． (2)解题思路：

①数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与圆的位置关系求解． ②函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解． (3)注意事项：

①准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系；

②涉及切线段长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线组成一个直角三角形．

1．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距

离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|

2

＝

|m ＋5|

2

⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式， 得M 到原点的距离的最小值为|－6|

2＝3 2.

2．已知点M 是直线3x ＋4y －2＝0上的动点，点N 为圆(x ＋1)2

＋(y ＋1)2

＝1上的动点，则MN 的最小值是________．

解析 圆心(－1，－1)到点M 的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d ＝|－3－4－2|5＝9

5

，故点N 到点M 的距离