二面角习题及答案

二面角

1.如图三棱锥 P-ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =

3

2 ，D 是 BC 的中点，且△ADC 是边长

为 2的正三角形，求二面角 P-AB －C 的大小。 解

2.如图在三棱锥 S-ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直平分SC ，且分别交 AC 、SC 于D 、E ，又SA =AB ，BS =BC ， 求以BD 为棱，BDE 与BDC

解：

3. 如图：ABCD 是矩形，AB =8，BC =4，AC 与 BD 相交于O 点，P 是平面

ABCD 外一点，PO ⊥面ABCD ，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角 M-BD-C 大小。 解：

4.如图△ABC 与△BCD 所在平面垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =0

120，求二面角 A-BD-C 的余弦值。 解：

A

B

A

C

5.已知正方体 AC'，M 、N 分别是BB'，DD'的中点，求截面 AMC'N 与面ABCD ，CC'D'D 所成的角。 解：

6.如图 AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若AC =CD =1，∠ABC =30°，求二面角D AB C --的大小。 解：

7. 三棱锥 A-BCD 中，∠BAC =∠BCD =90°，∠DBC =30°，AB =AC =6，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度数。 解：

9. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为a 的菱形，∠A ＝60°，

D ’

B

D

A

C

B

A

C

M

N

B F

E

A

C

D

D

O

A

B

C

PC ⊥平面ABCD ，PC ＝a,E 是PA 的中点.

(1)求证平面BDE ⊥平面ABCD.(2)求点E 到平面PBC 的距离.(3)求二面角A —EB —D 的平面角大小. 解析：

10. 如图，已知正方体ABCD —A1B1C1D1的棱长为1，E 、F 分别在棱AB 、BC 上，G 在对角

线BD1上，且AE ＝41，BF ＝21

，D1G ∶GB ＝1∶2，求平面EFG 与底面ABCD 所成的二面角的

大小.

11. 如图，设ABC —A1B1C1是直三棱柱，E 、F 分别为AB 、A1B1的中点，且AB ＝2AA1＝2a,AC ＝BC ＝3a. (1)求证：AF ⊥A1C

(2)求二面角C —AF —B 的大小

12．如图1111D C B A ABCD -是长方体，AB=2，11==AD AA ，求二平面C AB 1与1

111D C B A

所成二面角的大小．

13. 在正方体1111D C B A ABCD -中，1BB K ∈，1CC M ∈，且

141BB BK =

，

1

43

CC CM =.．求：平面AKM 与ABCD 所成角的大小．

14. 如图，将边长为a 的正三角形ABC 按它的高AD 为折痕折成一个二面角C AD C --'． （1）若二面角C AD C --'是直二面角，求C C '的长； （2）求C A '与平面CD C '所成的角；

（3）若二面角C AD C --'的平面角为120°，求二面角D C C A -'-的平面角的正切值．

参考答案

解：由已知条件，D是BC的中点

∴ CD =BD =2 又△ADC是正三角形

∴ AD =CD =BD =2

∴ D是△ABC之外心又在BC上

∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，

∴ AB⊥AC，又 PC⊥面ABC

∴ PA⊥AB (三垂线定理)

∴∠PAC即为二面角 P-AB-C之平面角，易求∠PAC =30°

2、解：∵ BS =BC，又DE垂直平分SC

∴ BE⊥SC，SC⊥面BDE

∴ BD⊥SC，又SA⊥面ABC

∴ SA⊥BD，BD⊥面SAC

∴ BD⊥DE，且BD⊥DC

则∠EDC就是所要求的平面角

D

P

C

A

B

E

D

B

A

S

C

设 SA =AB =a ，

则 BC =SB =2a 且 AC = 3 易证 △SAC ∽△DEC ∴ ∠CDE =∠SAC =60° 3、解：取OC 之中点N ，则 MN ∥PO ∵ PO ⊥面ABCD

∴ MN ⊥面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 过 N 作 NR ⊥BD 于 R ，连MR ， 则 ∠MRN 即为二面角 M-BD-C 的平面角 过 C 作 CE ⊥BD 于S 则 RN =2

1

CE 在 Rt △BCD 中，

∴ 58

BD BC CD CE =⋅=

∴ 5

4RN =

2

5

RN MN MRN tan ==

∠ ∴ 2

5

arctan

MRN =∠ 4. 解：过 A 作 AE ⊥CB 的延长线于E ， 连结 DE ， ∵ 面ABC ⊥面BCD ∴ AE ⊥面BCD

∴ E 点即为点A 在面BCD 内的射影

∴ △EBD 为△ABD 在面BCD 内的射影

设 AB =a 则AE =DE =ABsin60°=

a 2

3 ∴ AD =

4

1ABD cos 26=∠， A