6 结构位移计算结构力学
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第六章
结构位移计算
⒈ 本章的主要内容
本章从功的概念出发，介绍力学的一 个普遍原理——虚功原理。并利用这个原 理推导出了结构位移计算公式。
本章将着重介绍代替位移计算公式 中的积分运算的方法——图乘法。
此外，本章还将介绍： 静定结构在温度变化、支座移动时的 位移计算;线弹性结构的四个互等定理。
⒉ 本章的重点与难点
三、刚体体系的虚功原理
刚体体系处于平衡的充要条件是： 对于任何为支承约束条件和变形连续
条件所允许的微小的虚位移，所有外力所 作的虚功总和为零。
即:W外 0
刚体体系的虚功原理：刚体系处于平衡的充要条件 是所有外力在任意为支承约束条件和变形连续条件所允 许的微小的虚位移上所作的虚功总和为零。
例 要求利用刚体体系的虚功原理来计算RB？
注意：应用虚功原理时需要两个状态：
位移状态；力状态
外力
虚设的力状态
QMN
内力
一、外力
外力虚功方程：
虚设的力状态
二、内力
变形虚功方程：
外力虚功方程： 变形虚功方程：
——由上式即可求出位移△K
单位荷载法：
在虚设的力状态中，在拟求位移处沿拟 求位移方向施加一个单位荷载，以使该单 位荷载所作的虚功恰好等于拟求位移，这 种计算位移的方法称为单位荷载法。
—— 变形体系的虚功方程
几点说明：
⒈ 没有涉及到材料的物理性质。 ⒉ 如无变形（刚体），则 W外=0。 ⒊ 两种状态
—— 虚位移原理
——虚力原理
§6-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法 平面杆件结构的虚功方程:
—— 虚力原理 求位移
求任意指定点K沿任一指定方向k-k上的位移△k？
γ
△
QMN
位移状态（实际位移状态） 力状态（虚拟力状态）
系的两种彼此无关的状态。
△ 11
△ 21
1
P2
2
B
△ 12
△ 22
虚功有正有负，为什么？注 功，意只：是虚强功调并作不功是过不程存中在位的
移与力彼此无关。
（3）广义力及广义位移
作
功
力： 集中力、力 偶、一对集中力、一对力偶------统称为广义力
的
两 因
位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移---统称为广义位移
1 着眼于力：
外力
力 ( P1 P2 q M R1 R2 R3 )
内力
(MNQ)
力状态
又因为：
⑴ 任何相邻微段 的相邻截面上内 力大小相等，方 向相反。
⑵ 虚位移是满足 变形连续条件。
即W总 W外 W内
所有微段截面上W内 0
故 W总 W外
2 着眼于位移：
刚体位移
位移
变形位移
C D
C
D
ABDC
⒊ 相对线位移： ⒋ 相对角位移：
注意： 相对线位移--与某两个点对应 相对角位移--与某两个截面对应
三、引起结构位移的原因：
荷载、温度改变 T、支座移动 c、制造误差 等
为什么要计算 位移?
四、位移计算的目的
⒈ 校核结构的刚度； 使结构的变形（一般由结构上的最大位
移控制）限制在允许的范围内。 ⒉ 结构施工中的需要； ⒊ 为超静定结构的内力分析打下基础； ⒋ 结构的动力计算和稳定性计算的需要。
重点：掌握计算位移的基本方法 ——单位荷载法。 熟练正确地运用图乘法。
难点：虚拟状态的建立；各类图形的图乘。
⒊ 本章的教学安排
计划用五至六次课（十至十二节 课）的时间，讲完本章§6-1到§6-8的 内容。*§6-9的内容不作要求。
⒋ 本章在本书中的地位
要计算静定结构的位移，必须先求 出静定结构的内力。因此本章可以说是 对前面所学的各类静定结构内力计算的 复习。同时，位移计算又是下章即将开 始学习超静定结构的基础。
素
A
1P1
2
B
（4）虚功的两种状态
△ 11
△ 21
虚设力状态 虚设位移状态
A
1
P2
2
B
△ 12
△ 22
二、虚位移、虚力的概念
q
FP
△
△1
状态1
状态2
虚位移：与对应的力状态无关的位移，△→ FP
虚 力：与对应的位移状态无关的力， FP → △ 虚 功：彼此无关的位移与力的乘积， FP △ -------- 可正可负 实 功：力与其本身引起的位移的乘积， FP △1 ---- 恒为正
§6-2 变形体体系的虚功原理
先复习功的概念 功：力与在其方向上 的位移的乘积。
P
P
P P
A
B
△
集中力作的功
d
P P
力偶作的功
一、外力虚功、广义力及广义位移
（1）位移的双脚标符号含义
P1
P2
A
1
2
B
Δk j
△11
△ 12
△21
△ 22
产生位移的原因 位移发生的位置
位移的大 小
A
1P1
2
B
△ 11
变形：结构形状的改变 位移：结构各处位置的移动
两者之间的关系：有变形必有位移； 有位移不一定有变形
P
△
有变形有位移
有位移无变形
注意：一般情况下，位移与结构的几何尺寸
相比都是极其微小的
二、位移的种类
⒈ 线位移： A AA'
⒉ 角位移： A
注意： 线位移--与某一个点对应 角位移--与某一个截面对应
因而,从全课程来看，本章是承上启 下的一章，也是十分重要的一章。
⒌ 本次课的内容及要求
⑴ 了解变形、位移的概念及位移的种类 ⑵ 明确位移计算的目的 ⑶ 掌握变形体系的虚功原理（本次课重点）
§6-1 概 述
由于结构是由可变形的固体材料做成的，因此 在外部因素作用下，结构将产生变形和位移。
一、变形与位移之间的关系
L/3 P
A
B
△P
△B △P
虚位移
PP RBB 0
P
B 3
RB
B
0
△B RB
RB
P 3
四、变形体体系的虚功原理 变形体体系处于平衡的充要条件是：
对于任何虚位移，外力所作虚功总和等 于各微段两侧截面上的内力在其变形上所 作的虚功总和，即外力虚功等于变形虚功。
即：W外 W变
按两种途径计算总虚功：
△ 21
A
1
P2
2
B
△ 12
△ 22
（2）外力作的功
P1
P2
实功：力在其本身引起的位移 A
上作的功实。功有
1
2
B
△11
△ 12
△21
△ 22
实功恒为哪正些，为？什么？
A
1P1
2
B
虚任何功原：因力虚（在功如与另该有一力组状力态系无、关温的 度变化、哪支些座移？动等）引起的 A
位移上作的功。 力与位移分别属于同一体
ABD”C”
ABD’C’
刚体位移
变形位移
位移状态
微段平衡，由刚体虚功原理
ຫໍສະໝຸດ BaiduW刚 0
W总 W变
综合1、2得：
C D
位移状态
变形体体系处于平衡的充要条件是：
对于任何虚位移，外力所作虚功总和 等于各微段上的内力在其变形上所作的虚 功总和，或外力虚功等于变形虚功。
平面杆件结构：
力： 位移：
γγ
结构位移计算
⒈ 本章的主要内容
本章从功的概念出发，介绍力学的一 个普遍原理——虚功原理。并利用这个原 理推导出了结构位移计算公式。
本章将着重介绍代替位移计算公式 中的积分运算的方法——图乘法。
此外，本章还将介绍： 静定结构在温度变化、支座移动时的 位移计算;线弹性结构的四个互等定理。
⒉ 本章的重点与难点
三、刚体体系的虚功原理
刚体体系处于平衡的充要条件是： 对于任何为支承约束条件和变形连续
条件所允许的微小的虚位移，所有外力所 作的虚功总和为零。
即:W外 0
刚体体系的虚功原理：刚体系处于平衡的充要条件 是所有外力在任意为支承约束条件和变形连续条件所允 许的微小的虚位移上所作的虚功总和为零。
例 要求利用刚体体系的虚功原理来计算RB？
注意：应用虚功原理时需要两个状态：
位移状态；力状态
外力
虚设的力状态
QMN
内力
一、外力
外力虚功方程：
虚设的力状态
二、内力
变形虚功方程：
外力虚功方程： 变形虚功方程：
——由上式即可求出位移△K
单位荷载法：
在虚设的力状态中，在拟求位移处沿拟 求位移方向施加一个单位荷载，以使该单 位荷载所作的虚功恰好等于拟求位移，这 种计算位移的方法称为单位荷载法。
—— 变形体系的虚功方程
几点说明：
⒈ 没有涉及到材料的物理性质。 ⒉ 如无变形（刚体），则 W外=0。 ⒊ 两种状态
—— 虚位移原理
——虚力原理
§6-3 位移计算的一般公式 ·单位荷载法 平面杆件结构的虚功方程:
—— 虚力原理 求位移
求任意指定点K沿任一指定方向k-k上的位移△k？
γ
△
QMN
位移状态（实际位移状态） 力状态（虚拟力状态）
系的两种彼此无关的状态。
△ 11
△ 21
1
P2
2
B
△ 12
△ 22
虚功有正有负，为什么？注 功，意只：是虚强功调并作不功是过不程存中在位的
移与力彼此无关。
（3）广义力及广义位移
作
功
力： 集中力、力 偶、一对集中力、一对力偶------统称为广义力
的
两 因
位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移---统称为广义位移
1 着眼于力：
外力
力 ( P1 P2 q M R1 R2 R3 )
内力
(MNQ)
力状态
又因为：
⑴ 任何相邻微段 的相邻截面上内 力大小相等，方 向相反。
⑵ 虚位移是满足 变形连续条件。
即W总 W外 W内
所有微段截面上W内 0
故 W总 W外
2 着眼于位移：
刚体位移
位移
变形位移
C D
C
D
ABDC
⒊ 相对线位移： ⒋ 相对角位移：
注意： 相对线位移--与某两个点对应 相对角位移--与某两个截面对应
三、引起结构位移的原因：
荷载、温度改变 T、支座移动 c、制造误差 等
为什么要计算 位移?
四、位移计算的目的
⒈ 校核结构的刚度； 使结构的变形（一般由结构上的最大位
移控制）限制在允许的范围内。 ⒉ 结构施工中的需要； ⒊ 为超静定结构的内力分析打下基础； ⒋ 结构的动力计算和稳定性计算的需要。
重点：掌握计算位移的基本方法 ——单位荷载法。 熟练正确地运用图乘法。
难点：虚拟状态的建立；各类图形的图乘。
⒊ 本章的教学安排
计划用五至六次课（十至十二节 课）的时间，讲完本章§6-1到§6-8的 内容。*§6-9的内容不作要求。
⒋ 本章在本书中的地位
要计算静定结构的位移，必须先求 出静定结构的内力。因此本章可以说是 对前面所学的各类静定结构内力计算的 复习。同时，位移计算又是下章即将开 始学习超静定结构的基础。
素
A
1P1
2
B
（4）虚功的两种状态
△ 11
△ 21
虚设力状态 虚设位移状态
A
1
P2
2
B
△ 12
△ 22
二、虚位移、虚力的概念
q
FP
△
△1
状态1
状态2
虚位移：与对应的力状态无关的位移，△→ FP
虚 力：与对应的位移状态无关的力， FP → △ 虚 功：彼此无关的位移与力的乘积， FP △ -------- 可正可负 实 功：力与其本身引起的位移的乘积， FP △1 ---- 恒为正
§6-2 变形体体系的虚功原理
先复习功的概念 功：力与在其方向上 的位移的乘积。
P
P
P P
A
B
△
集中力作的功
d
P P
力偶作的功
一、外力虚功、广义力及广义位移
（1）位移的双脚标符号含义
P1
P2
A
1
2
B
Δk j
△11
△ 12
△21
△ 22
产生位移的原因 位移发生的位置
位移的大 小
A
1P1
2
B
△ 11
变形：结构形状的改变 位移：结构各处位置的移动
两者之间的关系：有变形必有位移； 有位移不一定有变形
P
△
有变形有位移
有位移无变形
注意：一般情况下，位移与结构的几何尺寸
相比都是极其微小的
二、位移的种类
⒈ 线位移： A AA'
⒉ 角位移： A
注意： 线位移--与某一个点对应 角位移--与某一个截面对应
因而,从全课程来看，本章是承上启 下的一章，也是十分重要的一章。
⒌ 本次课的内容及要求
⑴ 了解变形、位移的概念及位移的种类 ⑵ 明确位移计算的目的 ⑶ 掌握变形体系的虚功原理（本次课重点）
§6-1 概 述
由于结构是由可变形的固体材料做成的，因此 在外部因素作用下，结构将产生变形和位移。
一、变形与位移之间的关系
L/3 P
A
B
△P
△B △P
虚位移
PP RBB 0
P
B 3
RB
B
0
△B RB
RB
P 3
四、变形体体系的虚功原理 变形体体系处于平衡的充要条件是：
对于任何虚位移，外力所作虚功总和等 于各微段两侧截面上的内力在其变形上所 作的虚功总和，即外力虚功等于变形虚功。
即：W外 W变
按两种途径计算总虚功：
△ 21
A
1
P2
2
B
△ 12
△ 22
（2）外力作的功
P1
P2
实功：力在其本身引起的位移 A
上作的功实。功有
1
2
B
△11
△ 12
△21
△ 22
实功恒为哪正些，为？什么？
A
1P1
2
B
虚任何功原：因力虚（在功如与另该有一力组状力态系无、关温的 度变化、哪支些座移？动等）引起的 A
位移上作的功。 力与位移分别属于同一体
ABD”C”
ABD’C’
刚体位移
变形位移
位移状态
微段平衡，由刚体虚功原理
ຫໍສະໝຸດ BaiduW刚 0
W总 W变
综合1、2得：
C D
位移状态
变形体体系处于平衡的充要条件是：
对于任何虚位移，外力所作虚功总和 等于各微段上的内力在其变形上所作的虚 功总和，或外力虚功等于变形虚功。
平面杆件结构：
力： 位移：
γγ