文数立体几何大题训练

1.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学

名著，书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵，

将底面为矩形的棱台称为刍童．在如图所示的堑堵

ABM­DCP与刍童ABCD­A1B1C1D1的组合体中，AB

＝AD，A1B1＝A1D1.

(1)证明：直线BD⊥平面MAC；

(2)若AB＝1，A1D1＝2，MA＝3，三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝23

3，求该组合体的体积．

解：(1)证明：由题可知ABM­DCP是底面为直角三角形的直棱柱，

∴AD⊥平面MAB，∴AD⊥MA，

又MA⊥AB，AD∩AB＝A，∴MA⊥平面ABCD，

∴MA⊥BD，又AB＝AD，∴四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，

又MA∩AC＝A，∴BD⊥平面MAC.

(2)设刍童ABCD­A1B1C1D1的高为h，

则三棱锥A­A1B1D1的体积V′＝1

3×

1

2×2×2×h＝

23

3，∴h＝3，

故该组合体的体积V＝1

2×1×3×1＋

1

3×(1

2＋22＋12×22)×3＝3

2＋

73 3＝173 6

.

2.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAB⊥平面ABCD，点E是PD的中点，棱PA与平面BCE交于点F.

①求证：AD∥EF；

②若△PAB是正三角形，求三棱锥P－BEF的体积．

①证明因为底面ABCD是边长为2的正方形，

所以BC∥AD.又因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以BC∥平面PAD.

又因为B，C，E，F四点共面，且平面BCEF∩平面

PAD＝EF，

所以BC∥EF.又因为BC∥AD，所以AD∥EF.

②解由①知，AD∥EF，点E是PD的中点，

所以点F 为PA 的中点，EF ＝12

AD ＝1.又因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，AD ⊥AB ，所以AD ⊥平面PAB ，所以EF ⊥平面PAB .

又因为△PAB 是正三角形，

所以PA ＝PB ＝AB ＝2，

所以S △PBF ＝12S △PBA ＝32

.又EF ＝1，所以V P －BEF ＝V E －PBF ＝13×32×1＝36

.故三棱锥P －BEF 的体积为36

.3.(2018·全国Ⅱ)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点.

(1)证明：PO ⊥平面ABC ；

(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM

的距离.

(1)证明因为PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，

所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3.如图，连接OB .

因为AB ＝BC ＝22

AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，

所以OB ⊥AC ，OB ＝12

AC ＝2.由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB .

因为OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ∩AC ＝O ，

OB ，AC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC .

(2)解作CH ⊥OM ，垂足为H ，

又由(1)可得OP ⊥CH ，

因为OM ∩OP ＝O ，OM ，OP ⊂平面POM ，

所以CH ⊥平面POM .

故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.

由题意可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，

所以在△OMC 中，由余弦定理可得，OM ＝

253，CH ＝

OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.4.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC

边的中点，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，

AC ，DE ，得到如图所示的空间几何体．

(1)求证：AB ⊥平面ADC ；

(2)若AD ＝1，AB ＝2，求点B 到平面ADE 的距离．

(1)证明因为平面ABD ⊥平面BCD ，

平面ABD ∩平面BCD ＝BD ，

又BD ⊥DC ，DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABD .

因为AB ⊂平面ABD ，所以DC ⊥AB .

又AD ⊥AB ，DC ∩AD ＝D ，AD ，DC ⊂平面ADC ，

所以AB ⊥平面ADC .

(2)解因为AB ＝2，AD ＝1，所以BD ＝3.

依题意△ABD ∽△DCB ，

所以AB AD ＝CD BD ，即21＝CD 3

.所以CD ＝ 6.故BC ＝3.

由于AB ⊥平面ADC ，所以AB ⊥AC ，

又E 为BC 的中点，所以AE ＝

BC 2＝32.同理DE ＝BC 2＝32.

所以S △ADE ＝12

×1×＝22.因为DC ⊥平面ABD ，所以V A —BCD ＝13CD ·S △ABD ＝33

.

设点B到平面ADE的距离为d，则1

3

d·S△ADE＝V B—ADE＝V A—BDE＝1

2

V A—BCD＝3

6，

所以d＝6 2，

即点B到平面ADE的距离为6 2 .

5.(2018·全国Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；

(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说

明理由.

(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.

因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，

又DM⊂平面CMD，

故BC⊥DM.

因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，

所以DM⊥CM.

又BC∩CM＝C，BC，CM⊂平面BMC，

所以DM⊥平面BMC.

又DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.

(2)解当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：连接AC，BD，交于点O.因为ABCD为

矩形，所以O为AC中点.

连接OP，因为P为AM中点，

所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，

所以MC∥平面PBD.