图论-中国科学院数学研究所
关于图论课程教学中对染色问题的研究
Advances in Education教育进展, 2023, 13(10), 7943-7946Published Online October 2023 in Hans. https:///journal/aehttps:///10.12677/ae.2023.13101233关于图论课程教学中对染色问题的研究初亚男，赵操苏州科技大学数学科学学院，江苏苏州收稿日期：2023年9月18日；录用日期：2023年10月17日；发布日期：2023年10月24日摘要图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题，是离散数学的重要分支。
它在计算科学、社会科学和自然科学等多个领域都有广泛应用。
本文主要研究广义Petersen图的非正常点染色问题，构造满足条件的染色方式。
旨在帮助学生更好地理解图论基本概念，掌握图论中的基本技巧方法，从而培养学生科学解决问题的能力。
关键词非正常染色，广义Petersen图，邻点Research on Coloring Problem of GraphTheory in Curriculum TeachingYanan Chu, Cao ZhaoSchool of Mathematical Sciences, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou JiangsuReceived: Sep. 18th, 2023; accepted: Oct. 17th, 2023; published: Oct. 24th, 2023AbstractGraph theory, which originated from the famous Seven Bridges problem, is an important branch of discrete mathematics. It has extensive applications in many fields such as computing science, so-cial science and natural science. In this paper, we mainly study improper coloring of generalized Petersen graphs and construct a coloring with certain requirement. It aims to help students un-derstand the basic concepts and skills in graph theory, so as to guide student to develop the ability of solving scientific problems.KeywordsImproper Coloring, Generalized Petersen Graph, Neighbors初亚男，赵操Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0)./licenses/by/4.0/1. 引言随着计算机科学的飞速发展，图论作为离散数学的一个重要分支，越来越成为各个领域研究的热点。
图论讲义1图路树
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
证明：按每个顶点的度来计数边，每条边恰数了两次。 推论 1.1.1 任何图中，奇度顶点的个数总是偶数（包括 0）。 4. 子图
子图(subgraph)：如果V (H ) ⊆ V (G) 且 E(H ) ⊆ E(G) ，则称图 H 是 G 的子图，记为 H ⊆G。
生成子图(spanning subgraph): 若 H 是 G 的子图且V (H ) = V (G) ，则称 H 是 G 的生成子图。
范更华-图论及其应用
旅行推销员问题
问题提出: 一个推销员从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计
最优旅行路线。(费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。机票价作 为每条边的权。
旅行推销员问题
求解 : 在图中求一个圈过每点恰好一次 ,
且边的权之和最小。(最优哈密顿问题；比
在一个计算机光纤网络中，给传输信道 分配波长，两信道若有公共部分，必须得到 不同的波长。要求使用尽可能少的波长。
波长分配问题转化为图论问题
每条信道看作图的一个点。两点间有边
相连当且仅当它们对应的信道有公共部
分。波长问题等价于所构造图的点着色
问题：
给图的每个点着色，有边相连的点
须着不同的颜色。所用颜色尽可能少。
1735年, 欧拉(Euler) 证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为图论问题 : 求 图中一条迹 (walk), 过每条边一次且仅一次 . 后人将具有这种性质的迹称为欧拉迹,闭的欧拉 迹也称为欧拉回路.
欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为 2( 若为 0, 则存在欧拉回 路,这种图称为欧拉图,也称为偶图)
图的例子
交通网
互联网
计算机处理器连接方式
集成电路板
分子结构图
分子间相互作用及信息传递
具体应用
大型高速计算机：处理器的连接方式
互联网：信息传输及控制管理
大规模集成电路：布局、布线 数据库技术：数据的存储、检索 理论计算机科学： 子图理论对计算机算法研究的应用
具体应用
DNA序列分析：图的欧拉回路问题 机器智能与模式识别：图的同构 通讯网络：连通性，可靠性 印刷电路板检测: 12万5千次降为4次(《美国科学》 Scientific American, 9 (1997), 92-94 )
(课件)图论讲义
图论与网络流理论（Graph Theory and Network Flow Theory）讲授：高随祥中科院研究生院专业基础课学时/学分：60/3本课程适合基础数学、应用数学、计算数学、运筹学与控制论、概率论与数理统计各专业的硕士学位研究生作为专业基础课，也可供物理学、化学、天文学、地学、生物科学、计算机科学与技术、计算机软件、管理科学与工程以及通信、信号等学科专业的硕士研究生选修。
主要讲授图论与网络流理论的基本概念、方法和定理，介绍该领域重要的问题以及典型的算法，展示图论与网络流模型及方法的广泛应用。
为学习者将来从事有关方面的理论研究打下基础，也为进行应用性研究提供一种有力的工具。
内容提要第一章 图的基本概念图的基本概念；二部图及其性质；图的同构；关联矩阵与邻接矩阵。
路、圈与连通图；最短路问题。
树及其基本性质；生成树；最小生成树。
第二章 图的连通性割点、割边和块；边连通与点连通；连通度；Whitney定理；可靠通信网络的设计。
第三章 匹配问题匹配与最大匹配；完美匹配；二部图的最大匹配；指派问题与最大权匹配。
第四章 欧拉图与哈密尔顿图欧拉图；中国邮递员问题；哈密尔顿图；旅行商问题。
第五章 支配集、独立集、覆盖集与团支配集、点独立集、点覆盖集、边覆盖集与团的概念及其求法。
第六章图的着色问题点着色；边着色；平面图；四色猜想；色多项式；色数的应用。
第七章网络流理论有向图；网络与网络流的基本概念；最大流最小割定理；求最大流的标号算法；最小费用流问题；最小费用最大流；网络流理论的应用。
主要参考书[1] J.A. Bondy and U.S. Murty, Graph theory with applications, 1976, 有中译本（吴望名等译）。
[2] B.Bollobas, Modern graph theory (现代图论)，科学出版社，2001。
[3] 蒋长浩，图论与网络流，中国林业出版社，2001。
科大组合与图论专业三十五年
科大组合与图论专业三十五年------为科大校庆五十周年而写李乔、李炯生、徐俊明中国科学技术大学组合与图论专业从李乔发表的第一篇论文算起，经历了整整35年。
在这35年里，逐渐形成了自己的研究特色：组合矩阵论和组合网络理论。
发表学术论文300余篇，专著和教材16部。
获得1993年国家教委科技进步一等奖（合作）和2003年安徽省自然科学二等奖。
培养硕士研究生57名，博士研究生26名，进站博士后5名，接收国内高校青年进修和访问学者9名。
回忆这段历史，科大组合学与图论专业的创立和发展大体上分为三个阶段。
一、创立阶段（1973-1985）中国科学技术大学数学系的组合学与图论研究始于上世纪七十年代初。
北京大学段学复教授向曾肯成建议：国内可由科大牵头研究组合与图论。
李乔和冯克勤凭借代数方面的深厚功底开始涉及组合与图论，在国内率先开展代数图论研究。
1973年，李乔在《中国科学技术大学学报》上发表的“关于偶图的极大对口”是本专业第一篇学术论文。
随后，李乔和冯克勤合作完成了 “关于树和其他图的联系矩阵”、“图的谱性质的若干结果”和“论图的最大特征根” 3篇论文，分别发表在《中国科学技术大学学报》（1976，1979）和《应用数学学报》（1979）上。
这些论文是国内代数图论研究最早的学术论文，现成为此研究领域的经典论文之一。
在此期间，李乔和冯克勤还从数学角度介入当时国内兴起的“量子化学的图论研究”，成为国内最早开展此项研究的学者。
1977年8月在上海举行的全国第一次量子化学学术会议上，李乔介绍了他与冯克勤在这方面的研究成果。
组合学是经典的数学分支，被人熟知。
图论是组合学的一个活跃分支，但当时数学界对它还不大了解。
1977年底，李乔对数学系师生做了题为《图论》的介绍性报告。
他以图论语言简洁证明“在任意六人中必存在三人, 要么都相识,要么都不相识”为开场，来介绍图论，生动有趣。
正是这个报告引起了不少人对图论的兴趣。
在此以前，国内出版的图论教材只有李修睦于1962年译自法国图论专家C.Berge的《图的理论及其应用》。
图论的发展及其在现实生活中的几个应用资料
图论的发展及其在生活中的应用数学与应用数学张佳丽指导教师刘秀丽摘要主要介绍了图论的起源与发展及其生活中的若干应用，如：渡河问题、旅游推销员问题、最小生成树问题、四色问题、安排问题、中国邮递员问题。
同时也涉及到了几种在图论中应用比较广泛的方法，如：最邻近法、求最小生成树的方法、求最优路线的方法等。
关键词图论生活问题应用Graph Theory Development and the Application in LifeMathematics and applied mathematics Zhang JialiTutor Liu XiuliAbstract This paper mainly introduces the origin and development of graph theory and its several applications in our life, such as: crossing river problem, traveling salesman problem, minimum spanning tree problem, four color problem，arrangement problem，Chinese postman problem．It also researches several methods that are more widely applied in graph theory, for example: the method of most neighboring, the method of solving the minimum spanning tree，the method of the best route，and so on．Key words graph theory life problem application引言图论是一门古老的学科，是数学中有广泛应用的一个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数分析等有着密切的联系．图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系．事实上，任何一个包含了二元关系的系统都可以用图论来模拟．而且,图论能把纷杂的信息变的有序、直观、清晰．由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要．图论在自然科学、社会科学等各个领域都有广泛的应用．随着科学的发展，以及生产管理、军事、交通运输等方面提出了大量实际的需要，图论的理论及其应用研究得到飞速发展。
图论的历史发展研究
ａｒｅ ｄｅｔａｉｌｅｄ ｓｎｌｄｉｅｄ．ＡＲｅｒ ｍｅ ｓｕｂｊｅｃｔ ｏｆ Ｇ］隐ｐｈ也ｅｏＤ，ｗａＳ ｆｏｍｅｄ，ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ
ｍａｔｌｌｅｍａｔｉｃｉａＩｌｓ ｗｈｏ ｓｈｏ、Ⅳｅｄ ｉＩｌｔｅｎｓｅ ｃｕｒｉｏｓ时ｏｆ Ｇｒａｐｈ廿ｌｅｏ巧ｅｍｅ唱ｅｄ ｕＩｌｄｅｒ也ｅ
山东大学硕士学位论文
摘要
图论既是一个历史悠久又是一个近些年飞速发展的数学分支，图的理论及其 在各个领域的广泛应用越来越受到数学界和其他科学界的重视。本文就是在对图 论发展史籍资料收集和整理的基础上，以时间顺序为主线，以图论思想的发展进 程为经，以数学家的工作贡献为纬，对图论思想的历史发展进行了全面的分析与 研究。主要成果如下：
五、介绍了图论的飞速发展和广泛应用。概括性的介绍了由图论繁衍出的众 多数学分支，并从自然科学、社会科学、运输交通等方面详细论述了图论在２０
山东大学硕士学位论文 世纪以来的发展状况，多角度的呈现了图论在近代飞速发展的良好态势。
本文通过研究图论的历史起源和发展进程，理清了图论的发展历程中各个阶 段的成长脉络和突出成就，可以为图论的学习者和爱好者提供有益的参考资料， 对高等院校数学教育工作者进行图论的教学和研究也有一定的借鉴意义。
１．２ Ｌｅｉｂｎｊｚ ｐ吣ｆ．０删莉”ｐｏｓｉｔｉｏｎ ａＩｌａｌｙｓｉＳ．ｔ ｍｅｔｈｏｄ…………………………．．６ １．３ 瞄ｒｃｌｌｈｏｎ’ｐｕｔ ｆ０刑矾恤”仃ｅｅ”ｉｎ ｎｌｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆｐｈｙｓｉｃｓ ｃｏｎｃ印ｔ…………７
１．４ Ｋａｉｌａｉ ｉｎ ｔｌｌｅ ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｃｈｅｍｉｃａｌ ｉｎｄｕｓ缸ｙ ｐｕｔ ｆｏｒｖｖａｒｄ ｍｅ”仃ｅｅ”ｃｏｎｃｅｐｔ……．８
图论课件第一章 图的基本概念
图论起源于18世纪的1736年，标志事件是 “哥尼斯堡七桥问题 数学家欧拉被称为“图论之父”
20世纪30年代出版第一本图论著作
7
目前，图论已形成很多分支：如结构图论、 网络图论、代数图论、拓扑图论等
3、应用状况
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、 化学、环境保护、流体动力学、心理学、社 会学、交通管理、电信以及数学本身等。
22
例4 指出4个顶点的非同构的所有简单图。
分析：四个顶点的简单图最少边数为0，最多边数为6，所以 可按边数进行枚举。
23
(四)、完全图、偶图与补图
1、每两个不同的顶点之间都有一条边相连的简单图称为 完全图 . 在同构意义下，n个顶点的完全图只有一个，记为 Kn
K2
K3
K5
1 容易求出： m (K n (n 1 ) n) 2
(三)、图的同构
在图论中，一个很值得研究的问题是如何比较两个 图的异同，这就是图的同构问题。 定义：设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点 集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：设u1↔u2 v1↔v2, u1,v1 V1, u2,v2 V2; u1v1 E1,当且仅当u2v2 E2, 且u1v1与u2v2的重数相同。称G1与G2同构，记为：
图论及其应用
应用数学学院
1
《图论及其应用》
作者: 张先迪、李正良 购买地点：教材科
2
参考文献
[1] 美，帮迪《图论及其应用》 [2] 美，Gary Chartrand《图论导引》，人民邮电 出版社，2007 [3] Bela Bollobas ，《现代图论》，科学出版社， 2001 中国科学院研究生教学丛书 [4] 美，Fred Buckley《图论简明教程》，清华大学 出版社，2005 李慧霸 王风芹译
数研所标准
数研所标准
数研所，即中国科学院数学与系统科学研究院，是中国科学院下
属研究所之一，成立于1978年。
数研所是我国数学、应用数学、运筹
学与系统科学研究的重要基地，也是我国数学教学与人才培养的重要
力量。
数研所在研究领域涵盖了数学、数理统计、运筹学与管理学、系
统理论与控制论、金融数学等多个学科。
其研究方向包括李群李代数、非线性系统与控制、微分方程与动力系统、图论与组合优化、统计理
论与方法等。
数研所在科学研究、人才培养、学术交流等方面都有一定的贡献
和影响力。
它是国内较早进行数学研究的机构之一，拥有一批优秀的
科研人员和学科团队，进行着创新性的基础研究和应用研究。
数研所
还开设了一系列的学科硕士、博士研究生培养项目，为我国培养了大
批的学术骨干人才。
数研所的标准是根据科学研究的要求和学术规范来制定和遵守的。
这包括在研究项目的选择、研究方法的运用、研究成果的评价和发表
等方面，都有一定的规定和要求。
数研所还积极开展国内外学术交流
与合作，举办学术会议、学术报告等活动，促进学术交流与合作，推
动学科发展。
总的来说，数研所的标准体现了科学严谨、创新性、学术规范等
方面的要求，对于促进学科的发展和培养优秀人才具有重要意义。
兰州大学应用数学博士生导师简介
钟承奎，男，汉族，出生于1958年11月6日，理学博士，安徽省肥西人，现任兰州大学数学与统计学院教授，博士生导师和兰州大学教务处处长。
主要从事非线性泛函分析和无穷维动力系统的研究与人才培养，在拓扑度理论、临界点理论及应用研究方面有较好的基础，并取得了一系列理论性成果，发表SCI论文50多篇，并于1998年获得甘肃省科技进步二等奖，曾多次担任国家自然科学基金及教育部重点项目的主持人。
李万同，男，教授，博士，博士导师，甘肃省会宁县人，1964年10月出生。
1983年考入西北师范大学数学系，1987年6月毕业并获理学学士学位；1990年9月考入北京理工大学应用数学系，师从叶其孝教授，1993年3月毕业并获理学硕士学位；1997年9月至1999年6月在兰州大学数学与统计学基础数学专业攻读博士学位，师从陈文源教授和范先令教授，提前一年毕业获理学博士学位；2004年9月至2005年8月应Shigui Ruan教授的邀请，在美国迈阿密大学访问一年，2006年12月应辛周平教授邀请访问香港中文大学数学研究所。
现任兰州大学“萃英计划”特聘教授，数学与统计学院应用数学和基础数学专业博士生导师，兰州大学数学与统计学院副院长、应用数学研究所所长，甘肃省数学会副理事长兼学术委员会主任，中国石油大学（华东）和山东科技大学兼职教授，国际杂志《Applied Mathematics E-Notes》、《International Journal of Difference Equations》、《Advances in Theoretical and Applied Mathematics》、《Pacific-Asian Journal of Mathematical Sciences》、《Global Journal of Applied Mathematics and Mathematical Sciences》、《Far-East Journal of Mathematics》及《Journal of Applicable Functional Differential Equations》编委，美国数学会会员，美国数学会《数学评论》（Mathematical Reviews）评论员，欧洲数学会《数学评论》（Z. Math.）评论员，《Discrete and Continuous Dynamical Systems》等20余种SCI杂志审稿人及国家自然科学基金、教育部博士点基金通讯评议人。
中国科学院数学研究生课程
、数学类数学（0701）一级学科课程设置一览表课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分学科基础课S070100J01抽象代数Abstract Algebra80/4S070100J02李群和李代数Lie Groups and Lie Algebras80/4S070100J03代数拓扑Algebraic Topology80/4S070100J04微分流形Differentiable Manifolds80/4S070100J05黎曼曲面Riemann Surfaces80/4S070100J06微分几何Differential Geometry80/4S070100J07泛函分析Functional Analysis80/4S070100J08偏微分方程概论Introduction to Partial Differential Equations 80/4S070100J09随机数学概论Introduction to Mathematics of Randomness80/4S070100J10最优化计算方法Optimization Computing Methods80/4S070100J11数值分析Numerical Analysis80/4数学二级学科课程设置一览表1、基础数学（070101）课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分专业基础课S070101J01解析数论Analytic Number Theory60/3S070101J02表示论引论Introduction to Representation Theory60/3S070101J03交换代数与同调代数Commutative Algebra and Homological Algebra 80/4S070101J04代数几何Algebraic Geometry60/3S070101J05算术代数几何Arithmetic Algebraic Geometry60/3S070101J06微分拓扑Differential Topology60/3S070101J07黎曼几何Riemannian Geometry60/3S070101J08算子理论Operator Theory60/3S070101J09动力系统Dynamical Systems80/4S070101J10几何分析基础Foundation of Geometric Analysis60/3S070101J11非线性泛函分析Nonlinear Functional Analysis80/4S070101J12近代复分析Modern Complex Analysis60/3S070101J13近代实分析Modern Real Analysis60/3专业课S070101Z01代数表示论选讲Topics on Representation Theory60/3S070101Z02代数数论选讲Topics on Algebraic Number Theory60/3S070101Z03微分几何选讲Topics on Differential Geometry60/3S070101Z04子流形的几何Submanifold Geometry60/3S070101Z05李群的表示论Representation Theory of Lie Groups60/3S070101Z06变分方法及其应用Variational Method and Its Applications 60/3S070101Z07几何测度论Geometric Measure Theory60/3S070101Z08常微分方程的几何理论Geometrical Theory in Ordinary Differential Equations 60/3S070101Z09测度论Measure Theory60/3S070101Z10椭圆型方程Elliptic Differential Equations60/3S070101Z11抛物型方程Equations of Parabolic Type60/32、计算数学（070102）课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分专业基础课S070102J01微分方程数值解Numerical Solutions of Differential Equations80/4S070102J02有限元方法的数学基础The Mathematical Bases of Finite Element Methods80/4S070102J03数值线性代数Numerical Linear Algebra60/3S070102J04科学工程计算概论An Introduction to Scientific and Engineering Computing 60/3S070102J05数值逼近Numerical Approximation60/3S070102J06保结构算法Structure-Preserving Algorithms60/3S070102J07多尺度分析Multiscale Analysis60/3S070102J08反问题中的数值方法Numerical Methods for Inverse Problems60/3专业课S070102Z01有限元方法(2)Finite Element Methods (2)60/3S070102Z02计算机图形学Computer Graphics60/3S070102Z03计算机辅助设计Computer-Aid Design60/3S070102Z04小波分析及其应用Wavelets and Their Applications60/3S070102Z05函数逼近论Approximation Theory of Functions 60/3S070102Z06分形及其应用Fractals and Their Applications60/3S070102Z07并行计算方法引论Introduction to Parallel Computing 80/43、概率论与数理统计（070103）课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分专业基础课S070103J01高等概率论Advanced Probability Theory40/2S070103J02高等数理统计Mathematical Statistics80/4S070103J03线性统计分析Linear Statistical Analysis80/4S070103J04平稳过程与时间序列分析Stationary Stochastic Processes and Time Series Analysis 60/3S070103J05抽样调查Survey Sampling60/3S070103J06试验设计与分析Design and Analysis of Experiments60/3S070103J07随机过程Stochastic Processes60/3S070103J08统计软件Statistics Software60/3专业课S070103Z01随机过程选讲Topics on Stochastic Processes60/3S070103Z02非参数统计Non-parametric Statistics60/3S070103Z03可靠性理论Reliability Theory60/3S070103Z04数理统计选讲Topics on Mathematical Statistics60/3S070103Z05高等随机过程Advanced Course in Stochastic Processes60/3S070103Z06平稳过程与时间序列分析(2)Stationary Stochastic Processes and Time Series Analysis（2） 60/34、应用数学（070104）课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分专业基础课S070104J01偏微分方程(2)Partial Differential Equation60/3S070104J02非线性可积系统Integrable System60/3S070104J03数学物理方法Methods of Mathematical Physics60/3S070104J04常微分方程(2)Ordinary Differential Equations (2)60/3S070104J05经典力学与量子力学的数学基础Mathematical Methods of Classical and Quantum Mechanics 60/3专业课S070104Z01编码理论Coding Theory60/3S070104Z02统计力学基础Foundations of Statistical Mechanics60/3S070104Z03金融数学基础Foundations of Mathematical Theory of Finance60/3S070104Z04计算机科学与信息处理Computer Sciences and Information Processing60/3S070104Z05生物数学Biomathematics60/3S070104Z06流体力学的数学基础Mathematical Methods of Hydromechanics60/3S070104Z07调和分析与小波分析Harmonic Analysis and Wavelet Analysis 60/35、运筹学与控制论（070105）课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分专业基础课S070105J01规划论Mathematical Programming80/4S070105J02随机运筹学Stochastic Operations Research80/4S070105J03图与网络流理论Graph Theory and Network Flow Theory 80/4S070105J04线性控制系统理论Linear System Control Theory80/4S070105J05非线性控制系统理论Theory of Nonlinear Control Systems80/4S070105J06随机控制系统理论Theory of Stochastic Control Systems 80/4S070105J07组合优化Combinatorial Optimization80/4S070105J08运筹学通论Principles of Operational Research (OR)60/3S070105J09对策论Game Theory60/3S070105J10决策分析Decision Analysis60/3专业课S070105Z01组合数学与图论Combinatorics and Graphs60/3S070105Z02数理经济学Mathematical Economics60/3二、管理类管理科学与工程（1201）一级学科课程设置一览表课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分学科基础课S120100J01高级管理学Advanced Management60/3S120100J02现代管理数学方法Modern Managerial Mathematics60/3S120100J03微观经济学Microeconomics60/3S120100J04宏观经济学Macroeconomics60/3S120100J05高级运筹学Operations Research60/3S120100J06应用统计Applied Statistics60/3S120100J07计量经济学Econometrics60/3S120100J08生产与运作管理Production and Operation Management 60/3S120100J09技术创新管理Technology Management40/2S120100J10战略管理Strategic Management60/3S120100J11战略信息管理Strategic Information Management60/3S120100J12决策支持系统Decision Support Systems60/3S120100J13决策分析Decision Analysis60/3S120100J14管理系统工程System Engineering in Management40/2S120100J15科技政策S&T Policy40/2S120100J16工业工程与管理Industrial Engineering and Management 60/3S120100J17管理信息系统Management Information System60/3S120100J18项目管理Project Management60/3管理科学与工程（120100）二级学科课程设置一览表课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分专业课S120100Z01企业财务管理Financial Management of Enterprises60/3S120100Z02管理会计学Managerial Accounting60/3S120100Z03市场营销学Marketing60/3S120100Z04当代西方财务管理理论与实务Contemporary Corporate Finance-Theory and Practice 60/3S120100Z05会计学原理Principles of Financial Accounting60/3S120100Z06财务会计Financial Accounting60/3S120100Z07决策财务分析Financial Analysis of Operation Decisions60/3S120100Z08可持续发展的理论与实践Sustainable Development in Theory and Practice 40/2S120100Z09优选学Optimum Seeking Methods40/2S120100Z10国际贸易与金融International Trade and Finance60/3S120100Z11投入产出分析及应用Input-Output Technology and Application60/3S120100Z12金融经济学Financial Economics60/3S120100Z13金融工程Financial Engineering60/3S120100Z14投资分析Investment Analysis40/2S120100Z15物流管理Logistics Management40/2S120100Z16组织行为学Organization Behavior60/3S120100Z17制度经济学Institutional Economics40/2S120100Z18网络经济概论The Economics of Networks60/3S120100Z19人力资源管理Human Resources Management60/3S120100Z20经济控制论Economic Control Theory40/2S120100Z21供应链管理和电子商务Supply Chain Management & E-Commerce60/3S120100Z22电子商务与网络营销Electronic Commerce and Cyber-Marketing 60/3S120100Z23产业组织理论The Theory of Industry Organization60/3S120100Z24国际金融International Finance60/3S120100Z25金融投资学Financial Investments60/3三、计算机科学类计算机科学与技术（0812）一级学科课程设置一览表课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分学科基础课S081200J01数理逻辑Mathematical Logic60/3S081200J02组合数学Combinatorial Mathematics60/3S081200J03计算机算法设计与分析The Design and Analysis of Computer Algorithms 60/3S081200J04排队论Queueing Theory60/3S081200J05高级人工智能Advanced Artificial Intelligence60/3S081200J06计算机体系结构Computer System Architecture60/3S081200J07软件开发和程序设计方法学Software Development and Programming Methodology 60/3S081200J08高级计算机网络Advanced Computer Networks60/3S081200J09计算机视觉与图像理解Computer Vision and Image Understanding60/3S081200J10计算机通信网络安全Computer Communication Network Security60/3S081200J11高级软件工程Advanced Course on Software Engineering60/3S081200J12人机交互界面理论与技术Principle of Human-Computer Interface60/3S081200J13高性能计算机系统High Performance Computer Systems60/3学科综合课S081200Z01先进计算机和软件技术系统讲座Topics in advanced computer and software technology 30/1计算机软件与理论（081202）二级学科课程设置一览表课程类型课程设置码课程名称名称（英文）学时/分专业基础课S081202J01可计算性与计算复杂性Computability and Complexity of Computing60/3S081202J02形式语言与自动机理论Formal language and Automata theory60/3S081202J03编译程序高级教程Compilers: An Advanced Course60/3S081202J04数据库技术Database Technology60/3S081202J05分布式操作系统Distributed Operating Systems60/3S081202J06软件理论基础The Foundations of Software Theory60/3S081202J07软件工程Software Engineering60/3S081202J08软件测试与软件可靠性Software Testing and Software Reliability 40/2S081202J09程序设计语言理论Theory of Programming Languages60/3S081202J10并行处理Parallel Process60/3S081202J11信息论与编码Information Theory and Coding60/3S081202J12人工智能原理The Principles of Artificial Intelligence 60/3S081202J13形式语义学引论Introduction to Formal Semantics60/3S081202J14数值分析Numerical Analysis60/3S081202J15分布式多媒体计算机系统Distributed Multimedia Computer Systems60/3S081202J16计算语言学Computational Linguistics40/2S081202J17现代密码学——理论与实践Contemporary Cryptography——Theory and Practice 60/3S081202J18代数基础与有限域Algebraic Foundations and Finite Fields60/3专业课S081202Z01程序的形式验证Program Formal Validation60/3S081202Z02统计学方法及其工程应用Statistical Methods for Engineers60/3S081202Z03操作系统高级教程Advanced Course of Operating Systems60/3S081202Z04进程代数Process Algebra60/3S081202Z05软件体系结构Software Architecture60/3S081202Z06网络分布计算理论和技术Theory and Technology of Network and Distributed Computing 60/3S081202Z07多元统计分析Multivariate Analysis60/3S081202Z08实时系统理论与方法Theory and Methods of Real-time Systems60/3S081202Z09安全信息系统概论Introdution to Information System Security60/3S081202Z10计算数论Computational Number Theory60/3S081202Z11理论密码学Theoretical Cryptography60/3S081202Z12量子信息处理Quantum Information Processing40/2注：查看以上课程内容，可登陆研究生院教学管理网页。
中国科学院数学与系统科学研究院2020年博士研究生招生
①英语 ②分析与代数 ③最优化方法
只招硕转博生
①英语 ②分析与代数 ③概率统计
①英语 ②运筹学基础 ③应用随机过程
只招硕转博生
同上
①英语 ②运筹学基础 ③图论与组合优化
同上
只招硕转博生
同上
同上
一级学科
系统科学 0711
二级学科
系统理论 071101
系统分析与 集成071102
序
研究方向
23 运筹学及其应用
同上
同上
同上
同上
①英语 ②近世代数 ③现代微分几何或符号计算
同上
同上
①英语 ②分析与代数 ③符号计算或数学物理方 程
①英语 ②近世代数 ③纠错码理论
同上
①英语 ②近世代数 ③符号计算或纠错码理论
①英语 ②分析与代数 ③最优化方法 ①英语 ②分析与代数 ③数学物理方程
只招硕转博生 或直博生
同上
同上
①英语 ②分析与代数 ③数值方法基础
导师
王勇 吴小宁 刘歆 李伟
郭雷
陈翰馥 张纪峰 方海涛 李婵颖 齐波 陈鸽
姚鹏飞
郭宝珠
洪奕光
席在荣 黄一 赵延龙
薛文超
戴彧虹 刘波 张汉勤 姚大成 闫桂英 胡旭东 陈旭瑾 吴凌云
考试科目
备注
①英语 ②偏微分方程（甲）③泛函分析（乙）
①英语 ②微分几何 ③数学物理
①英语 ②分析与代数 ③最优化方法
①英语 ②分析与代数 ③符号计算
①英语 ②偏微分方程（甲）③数值分析
一级学科
二级学科
序
研究方向
37 偏微分方程
38 数学物理
39 人工智能中的优化理论与方法
中科院对数学领域的划分
中科院对数学领域的划分
中科院（中国科学院）对数学领域进行了如下划分：
1. 数论与代数数论：研究数与数的性质、数的分布规律、数的整数解等。
2. 代数学：研究代数结构的性质与变换。
3. 存在性理论与计算复杂性：研究数学中的存在性问题与计算问题。
4. 几何与拓扑学：研究空间与形状的性质与变换。
5. 微分方程与动力系统：研究描述自然与社会现象、物理模型中的微分方程与动力系统。
6. 数学物理方程与非线性分析：研究描述物理系统的数学模型与非线性分析方法。
7. 数学方法与计算数学：研究数学方法在科学与工程中的应用，包括数值计算、优化方法、模拟与建模等。
8. 统计学：研究概率与统计的理论与方法，包括多元统计、贝叶斯统计、时间序列分析等。
9. 运筹学与控制论：研究优化与决策理论，以及系统的模型建立与控制方法。
10. 应用数学与交叉学科：研究数学在其他学科中的应用，如
生物数学、金融数学、图论等。
此外，中科院还设有数学研究所，作为数学领域的研究机构，开展各个方向的研究工作。
中国科学院数学与系统科学研究院2020年硕士研究生招生
6 复杂系统分析与控制、机器学习
7 计算与系统生物学
8 博弈理论与应用
9 量子信息与控制、机器学习
10 控制理论及其应用
1 不确定系统的建模与控制
2 混合动态系统
3 系统与控制
4 系统估计与优化
5 复杂系统，多自主体系统的控制
6 复杂系统
7 不确定系统的建模与控制ຫໍສະໝຸດ 8 不确定系统的建模与控制
考试科目：①101思想政治理论 ②201英语一 ③616数学分析 ④801高等代数
考试科目：①101思想政治理论 ②201英语一 ③616数学分析 ④801高等代数
张文生 郭雷 陈翰馥 张纪峰 方海涛 李婵颖 郭宝珠 姚鹏飞 席在荣 洪奕光 黄一 薛文超 赵延龙 戴彧虹 刘波 张汉勤 闫桂英 胡旭东 陈旭瑾 吴凌云 李邦河 李博 张俊华 张世华 王勇 姚大成 丁超 陈鸽 牟必强
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孙斌勇 丁彦恒 张志涛 李翀 葛力明 尚在久 岳澄波 王友德 李嘉禹 张晓 阮卫东 彭文娟 陈亦飞 潘宣余 吴刘臻 石钟慈 崔俊芝 张林波 陈志明 周爱辉 曹礼群 胡齐芽 许学军 谢和虎 郑伟英 崔涛 毛士鹏 张硕 林群 白中治
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应用数学070104
12 数学物理 13 数学物理及相关大规模科学计算 14 计算代数几何，量子机器学习 15 计算代数几何、量子信息、多项式优化 16 符号计算 17 符号计算 18 符号计算 19 计算代数几何 20 计算代数几何、计算机辅助设计与制造 21 符号计算、自动推理与软件开发 22 符号计算、组合数学 23 自动推理及其应用 24 密码学与计算数论 25 组合、代数、离散分析 26 计算几何、计算机图形学 27 应用几何、应用代数 28 数学物理与非线性微分方程 29 密码学 30 密码与编码 31 密码学 32 优化理论与应用、凸分析 33 人工智能中的优化理论与方法 34 随机微分方程及其数值方法 35 孤立子、可积系 36 机器学习与动力系统 37 软物质材料建模与计算 38 数学物理 39 动力系统 40 非线性动力系统的混沌和分支 41 构造性微分代数几何
2221-数学 2012年高考江苏数学命题组信息及预测
2012年高考江苏数学命题组信息及预测一、数学命题组成员信息命题组成员：（共7人）今年高考命题组组长和秘书长是2011年高考命题组组长和成员！组长主要负责命制应用题（以几何为背景的应用题），秘书长主要负责2012年高考试卷的标准化制图；另有苏州大学一名教授、徐州师范大学一名教授、海安县教育局的教研员等老师！命题组组长：姚天行1、姚天行教授——南京大学数学系。
男，1943年8月生，江苏南通人。
硕士学历，1981年毕业于南京大学数学系代数专业，获硕士学位。
南京市数学会常务理事。
研究方向: 组合数学与图论一、著作1.《经济高等数学》（教材），江苏人民出版社，1990.052.《微积分学引论（上册）》（教材），南京大学出版社，1991.083.《微积分学引论（下册）》（教材），南京大学出版社，1991.124.《数学竞赛题集锦》（编著），南京大学出版社，1992.065.《高等数学复习与试题选解》（编著），南京大学出版社，1993.09二、论文1.On Reid Conj.of Score Sets for Tour，19892.Hamilton图的一个充分条件，南京大学学报数学半年刊，19893.On Optimal Arra of 12 Points，Combi.,Compu.&Complexi Hongkong，19894.两个积分定理的应用，工科数学，合肥工业大学，19895.《规程》机理我们更好的开展教学小组活动，江苏高教，19896.二部竞赛图的得分集，南京大学学报，19907.线图泛圈的一个充分条件，南京大学学报，19918.幂图中包含制定边的Hamilton图，南京大学学报，19919.On Score Vec.& Conn of Tour，Chinese ANN of Math B辑，199210.怎样上好甲类高等数学课，南京大学学报，高等教育科学专辑，199311.百万港元征解余新河数学题的等价命题，南京大学学报，199312.（4，5）一笼的唯一性，南京大学学报，数学半年刊，199413.On 4-Reg.4-chro Graph with Girth 4 of ord 12，南京大学学报数学半年刊，199514.A note on 4-reg，4-chro graphs with girth 4，Graph Theory Notes of New York，199615.13阶4正则4色4围长图的唯一性，南京大学学报，数学半年刊，1996三、讲授课程1.高等数学2.组合数学3.大学数学四、获奖情况1.1995年，获浦口校区十佳教师称号2.1995年，获南京大学课程建设与教学质量二等奖3.1996年，获南京大学教学一等奖五、项目1.1989.1-1991.12，参加国家自然科学基金项目“有向图组合结构的研究”2.1992.1-1994.12，参加国家自然科学基金项目“图与布尔矩阵的研究”3.1993.1-1995.12，参加机江苏省自然科学基金项目“图论与组合最优化的研究”4.1993.1-1995.12，主持国家自然科学基金项目“科技统计研究”5.1995.1-1997.12，参加国家自然科学基金项目“图与有向图的非代数结构”2、葛军教授——现南京师范大学、数学与计算机科学学院副教授、硕士生导师，中国数学奥林匹克高级教练。
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过每条边至少一次 , 且边的权之和最小 ( 带权
最优欧拉回路问题)
难度: 有多项式算法
(Edmonds, 1985 von Neumann Prize) 应用: 起源于中国邮递（管梅谷，1962）
图论的经典——Ramsey数问题
简单情形: 任意六个人中, 必有3个互相
优旅行路线(行程最短或费用最小)
数学抽象: 城市作为点, 两点间有边相连, 如果对应的城市间有直飞航班。里程或机 票价作为每条边的权。
旅行商问题
问题: 在带权图中找一条回路：过每个点
恰好一次 , 且边的权之和最小 ( 带权最优哈
密顿圈）
难度: 应用: NP--完全问题 投币电话、自动取钞机等
中国邮递员问题
图论及其应用
范 更 华 福州大学离散数学研究中心
离散数学及其应用教育部重点实验室
图论(Graph Theory)
图论研究的对象是图，它由点及连接两
点的线所构成。现实世界中许多问题的数学
抽象形式可以用图来描述。如互联网、交通
网、通讯网、社团网、大规模集成电路、分 子结构等都可以用图来描述。对图的研究形 成了一个专门的数学分支—图论 。
认识, 或三个互相不认识。 数学抽象: 点代表人, 两点相连当且仅
当对应的两人认识。该图要么有三角形, 要么有三个点两两不连。
Ramsey数问题
一般化 : 定义 R(s,t) 为最小整数使得任意
历史与现状。
好的数学问题/猜想
简洁：简短而易理解的陈述
出乎预料：似乎完全不同的概念融于一体
一般性：适用性广，涵盖面宽
核心性：与已知的著名定理和猜想有关联
经久性：久而未决（至少20年）
影响力：解决该问题的尝试产生新概念，新 证明技巧
图论的起源——哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡七桥问题
1735年, 欧拉(Euler)证明哥尼斯堡七桥问题无 解, 由此开创了数学的一个新分支---图论. 欧拉将七桥问题转化为图论问题 : 求图中一条 迹 (walk), 过每条边一次且仅一次（这种性质 的迹称为欧拉迹）。 欧拉定理 : 连通图存在欧拉迹当且仅当图中奇 度数的点的个数至多为2。
中科院系统所曾引领中国图论的发展。
离散数学
以蒸汽机的出现为标志的工业革命促进了 以微积分为基础的连续数学的发展。 以计算机的出现为标志的信息革命将促
进离散数学的发展。
图论分支
图 论
结 构 图 论
极 值 图 论
随 机 图 论
代 数 图 论
拓 扑 图 论
我们将通过图论发展历程中的若
干好问题/猜想，来了解这一学科的
四色问题
四色问题: 对每个平面图，只用4种颜色对其面着 色,使得任何两个有公共边的面得到不同颜色。 Whitney（Wolf 奖得主，微分拓扑学奠基人）和 Tutte（英国皇家学会会员）在四色问题的研究上 有过合作。 1976年,两位计算机专家借助计算机验证,解决了 四色问题。数学家们仍在努力寻找纯推理证明。
பைடு நூலகம்
四色问题
当年,那位学生告诉Morgan教授: 下面的例子说 明3种颜色不够,至少需4种颜色.
四色问题
一百多年来，貌似容易的四色问题让许多一流数学 家栽了跟头。后人评说德国大数学家Minkowski （曾是爱因斯坦的老师）时认为，最让Minkowski 尴尬的不是他曾骂爱因斯坦 “懒虫”，而是他被 四色问题挂了黑板。 1880年前后，Kempe 和Tait分别发表了证明四色问 题的论文，大家都认为四色问题从此也就解决了。 十年后，人们发现这两人的证明都是错误的。
3-正则，3-连通平面图有哈密顿圈（含
所有点的圈）。
哈密尔顿圈问题: 哪些图有哈密顿圈？
带权哈密尔顿圈
哈密顿圈可看成过每个点恰好一次的 回路；若每条边有一个权(weight),求最优
哈密顿圈（总权和最小的哈密顿圈），就
是找一条回路：过每个点恰好一次且行程
最短—旅行商问题。
旅行商问题
问题提出: 一个旅行商从公司出发, 访问 若干指定城市, 最后返回公司,要求设计最
四色问题
Tait的错误在于他认为3-正则，3-连通的
平面图有一个圈包含所有点（哈密顿圈）。
可是他没能证明这一点。半个多世纪后(1946
年)，Tutte给出了第一个不含哈密顿圈的3正则，3-连通平面图，从而宣告了Tait证明 的错误是无法修补的。
图论的经典——哈密顿圈问题
Tait 对四色问题的错误证明在于假定
图论的发展——四色问题
1852年, Morgan教授的一位学生问他: 能否给 出一个理由,为什么只需 4 种颜色，就可给任 意地图的每个国家着色，使得有共同边界的国 家着不同的颜色。 该问题成为数学史上最著名问题之一。将地图 看作一个平面图：国界为边，相交处为点，国 家区域称为面，则该问题可表述为：
图的定义
图的直观定义：点与边 图的抽象定义：一个集合上的二元关系
Petersen 图
点集：5个元素{a,b,c,d,e}的所有2-子集作为点 边集：两点有边相连当且仅当对应的2-子集不交
ab ce
de
ac ad bc
cd
be
bd
ea
图论
图论是离散数学的一个主要分支。 普林斯顿数学系自2008年起，一直有每周一 次的离散数学seminar，邀请世界各地的数学 家作报告，主要侧重图论。
Erdos-Goodman-Posa 猜想 (1966): 存在常数c, n个点的欧拉图可分解成cn 个圈。 Pyber 认为此猜想的解决在目前是不可及的“ out of reach at present”。
路分解猜想
Gallai 猜想： n 个点的连通图可分解成至多 (n+1)/2条路。 Lovasz 定理 ： n 个点的连通图可分解成至多 n/2条路和圈。 Lovasz： 长期从事图论研究，51岁获 Wolf 奖，曾任国际数学联盟主席，多个国家的科 学院院士，曾在微软研究中心任职多年，现 为匈牙利科学院院长。
哥尼斯堡七桥问题
欧拉定理
闭的欧拉迹也称为欧拉回路。
欧拉定理 (图论最古老的定理, 1735年)： 无奇度数点的连通图存在欧拉回路 且可分解成 边不交的圈。
需要多少个圈？ 二百多年来，这个问题一直未能解决。
圈分解猜想
Hajos 猜想： n 个点的欧拉图可分解成至多 n/2 个 圈（欧拉图：无奇度数点的连通图）