大学物理经典课件——刚体力学

解：
M FR 0.5Rt
d M J J dt M 0 J dt 0 d
t
o

F
得
50tdt 25rad/s
0
1
一、力矩作功
刚体中质元mi 在外力F作用下，
运动了ds，则外力矩作功：
dA F ds F rd M i d
推广：对整个刚体合外力矩M作功
二、刚体定轴转动角动量
o
2


vi
mi :
总角动量
Li mi ri
L Li mi ri 2 J
或
L J
J为常量
o ri
mi
转动定理
d d( J ) dL M J J dt dt dt
转动定理更普遍形式
dL d dJ M J dt dt dt
ri
mi
r2
m1
r1
m2
2.连续分布
小质元 dm
则
o
dJ r dm
2
o
J r 2 dm
r
dm
取决于三个因素： 1.m的大小；2.m的分布；3.转轴位置
o
例：杆M 绕端点转动，子弹m从a处打入，求系统的J。
M
解：
J总 J 杆 J 子弹
1 2 Ml ma 2 3
a
l
四、转动定理的应用
回转运动: 1.不受外力矩时： 陀螺仪（ P112面）
2.受到外力矩时： 进动
2.系统（一般是质点 — 刚体系统）
如果 M i外 0, 则 Li 恒量


两刚体 J110 J 220 J11 J 22
因此，开始不旋转的物体，当 其一部分旋转时，必引起另一 部分朝另一反方向旋转。
z
vi
mi
刚体上质元mi 相对于转轴的角动量为：
l i mi ri2
则L li mi ri2 ( mi ri2 )
i i i
L

li
i i
mi ri2 (

i
mi ri2 )
定义：刚体对于转轴的转动惯量J为：
J mi ri2
Pm1 mv
PM1 0
l 3m 2 v Pm2 m( ) 2 3m M
(动量减少）
PM 2 0
Pm2 Pm1
这是因为轴对杆有一作 用力！（也是一冲力， 被动约束力）。 ii）碰撞过程中，机械能 是否守恒？ 答：不守恒！因为是完 全非弹性碰撞，产生永久形变。
例：已知匀质杆m2，L；轻绳长l连接小球m1。初杆静止，将球拉开
说明：中学内容中定滑 轮仅为一连接件， 绳中张力处处相同，但 现在滑轮转 动不可忽略，绳各处张力不同！
1 2 mr , 2
T
T

T1 T1

a
T2 T2
m
mg
2m
2mg
解：设整体顺时针运动，即两滑轮转轴正向向内。右质点2m正向向下，
左质点m正向向上，受力分析如 图。
右质点 左质点
2mg T2 2ma T1 mg ma
T
T
右滑轮 左滑轮
关联方程
m 2 T2 r Tr r 2 m 2 Tr T1r r 2 a r

T1 T1

a
T2 T2
m
2m
解出
mg 11 T mg 8
2mg
例2：已知滑轮R 0.1m，J 1103 kg m2，绕中心轴转动。F 0.5t
(SI )(方向如图），初始静止。求t 1秒时 ？
mgl cos (向内） 2
即
积分得
d d

轴力矩
M 0
mgl cos M 3g 2 cos (与 有关） 1 2 J 2l ml 3


0
d d
0
0
3g cos d 2l
得

3g sin l
解法2：用刚体定轴转动的动能定理
方向：右手螺旋，图中向上(沿转轴方向) 2.外力F不在转动平面内，将其分解为F和F||
F|| : 平行于转轴的力，对刚体转动不起作用； F : 垂直于转轴的力（即在转动平面内），其力矩由（*）定义
M r F
3. 刚体同时受几个力矩时，总力矩为 M M 1 M 2 ... M n
刚 体 力 学
本章教学要求： 了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的 概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在 绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。了解进动 的概念。
本章重点： 刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动 情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动 问题 本章难点： 刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律
)
o

参考方向
可用，，， 描写刚体运动 角速度矢量，方向由右手螺旋法则决定，且
只可能有两个方向，即沿转轴正向或逆转轴方向。因而，
可用投影量（正负）表示。 设刚体上某质元mi离转轴距离为ri , 则其线速度vi 与角速度的关系是 o
vi ri
例：已知杆质量m，长l，绕一端点转动，
1 J ml 2，初水平静止，求位于任意 3
N
角时，、为多少？
受力：轴支持力N、重力mg
) n
t
而

mg
解法1：用转动定理求
重力矩
l r 2 M
F mg cos
d d d d dt d dt d
3g sin l
由机械能守恒可求得
求导可得
d 3g cos dt 2l
一、质点定点转动的角动量L
L r mv
o


v
m
大小
因而
L rmv mr 2 J
L J (角动量）类似mv （动量）
r
o
由于r F称为力矩，所以r mv 又称为动量矩，即角动量又称为动量矩。
碰撞后角动量
L2 J
(2)
且
l M J J m J M m( )2 l 2 2 12 (3)
mv

碰撞过程中，M的重力矩为零，m的重力矩忽略不计。由角动量守恒，得
6mv (3m M )l
问：i）碰撞过程中，水平动量是否守恒？为什么？ 碰撞前水平动量 碰撞后水平动量
则 L J
i
dL 由于M ，则 dt dL d M J J
dt dt
外力矩的代数和
——合外力矩
形似
F ma
M J
刚体受合外力矩：
刚体的转动惯量：
i
M M i ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
J mi ri
i
N
力矩作功：
A Md
0


0
1 刚体的动能增量为： J 2 0 2 mgl 1 1 1 2 2 2 sin J ( ml ) 2 2 2 3
得
mgl mgl cos d sin 2 2
) n
t

mg
3g sin l
2
3g sin l
一定角度，使球、杆做 完全弹性碰撞。 问：试设计l长，使碰后球刚好停住。
l
解：设碰撞前球速v0，碰撞后杆角速度为
L
m1 m2
角动量守恒
来自百度文库
m1v0l J 棒 （） 1 1 J 棒 m2 L2 (已知） 3
1 1 2 m1v0 J 棒 2 2 2 (2)
机械能守恒
2
(1) 有 (2)
mvl mv J 棒 2
'

注意：对于质点，刚体系统的碰撞，t短，内力矩大，外力矩忽略不计， 因而角动量守恒。在此情况下，一般不能满足动量守恒，机械能不一定 守恒。
例：杆质量M，长l，绕中点转动，J
初速水平v，射入下端，问 ？ 解：碰撞前角动量
M 2 l ，开始竖直静止。子弹m， 12
M
l 2 (1)
L1 mv
则
M
i外

d Li dt
角动量守恒定理
1.单个刚体，当M 0时，J 恒量
推广到非刚体，则有J ， 或者 J ， ，但J11 J 22

F



F
实际生活中的一些现象
Ⅰ、芭蕾舞演员的高难动作
高！
高！
艺术美、人体美、物理美相互结合
Ⅱ当滑冰、跳水、体操运
动员在空中为了迅速翻转 也总是曲体、减小转动惯 量、增加角速度。当落地 时则总是伸直身体、增大 转动惯量、使身体平稳落 地。
2 2 2 1 0 2 1 0
2 J 棒 2
三、角动量定理
Mdt dL
积分上式
类似Fdt称冲量，Mdt称冲量矩
L2

t2
t1
Mdt dL L2 L1 J 2 J 1
L1
角动量定理（动量矩定理）：刚体受冲量矩等于刚体角动量增量 推广到系统（可以有几个刚体或刚体、质点组成的系统） :
M M i外 L Li
dL M dt
z
一、刚体受力矩 1.外力Fi 在转动平面内。Fi 对转轴力矩 M i ri Fi (*)
ri : 转动平面与转轴交点o指向力的作用点的矢量。
Fi
Fin
Fi
i
大小：M iz ri Fi sin i ri Fi
( Fi Fi sin i : 力的切向分量）

其大小为
切向加速度
法向加速度
vi ri
at ri
an ri 2
o
vi P ri mi
)

参考方向
质点系角动量定理的一般形式
dL M外 dt
在转轴（z轴）上分量
dLz Mz dt M z : 合外力矩在z轴方向分量； Lz : 刚体绕z轴的角动量。
上式略去下标，简写为
i)常用于研究刚体 质点构成的系统；
m
ii)质点作受力分析，刚体 作力矩分析。质点运动 方向与刚体转动
方向要协调。（即刚体转轴正向与质点运动正向自洽）；
iii)对质点用牛顿定律列方程，对刚体用转动定律列方程； iv)关联方程 a R
例：已知定滑轮质量m，半径r， J
各绕中心轴转动，两质点m，m用 2 轻绳连接，由静止释放。 求：两滑轮之间张力T .
d 3g d 2 cos dt l dt d 3g cos dt 2l
上式对t求导数
得
(
d ) dt
解法3：用机械能守恒求解
研究对象：棒和地组成的系统。 在转动过程中，只有保守
N
) n
t

内力（重力）作功。
mg
水平状态机械能
E 0
角时机械能
J 2 l E mg sin 2 2
三、刚体转动动能定理
d dA Md J d J d dt 2 2 J 2 A dA Md J d (2 12 ) Ek 2 Ek1 1 1 2
合外力矩作功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
刚体有一质量中心，刚体的重力势能为其质量集中于质心 点的重力势能。
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刚体：不发生形变的物 体（理想模型） 刚体运动形式：平动 转动（绕某轴线转动） （固）定轴转动，定轴 可以穿过刚体，也可以 在刚体之外。
o
任一垂直于转轴的平面 称为转动平面。 设某个转动平面与转轴 交于o点， 则该转动平面上所有质点均
绕o点作圆周运动（半径不 同）。

vi P ri mi
由于各力矩也只有两个 方向（沿转轴或逆转轴 ），因而可用投影代数
和表示：
M z M iz ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
i
略去下标，
M M i ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
i
二、刚体定轴转动角动量，转动定律
2
上式即为刚体定轴转动定理：刚体
讨论
受合外力矩等于刚体对同一转轴
的转动惯量与角加速度的乘积。
i) 刚体产生角加速度原因是受外力矩M 作用。M 与
是投影量（代数量），同正负。
ii) M与J是对同一转轴而言的，J是大于零的。
三、转动惯量J——刚体转动惯性 1.分立质点
J mi ri 2
o
dA Md
M 与d同向，dA为正；否则为负。
可以证明，内力矩作功之和为零。
当刚体由1 2位置，外力矩作功：
A dA Md
1
2
功 — —力矩的角积累（空间积累）效应。
二、转动动能
1 1 mi vi2 mi ri2 2 2 2 1 1 总转动动能： Ek Eki mi ri 2 2 J 2 2 2 mi： Eki