初中数学重点梳理：正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理
知识定位
解三角形在初中几何或者竞赛中占据非常大的地位，它的有关知识是今后我们学习综合题目或者三角形综合的重要基础。

其中解三角形里面的正弦定理与余弦定理和证明及其基本应用；向量方法证明余弦定理的证明性质以及应用，必须熟练掌握。

本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中正弦定理与余弦定理相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理
1、 三角形常用公式：
A ＋
B ＋
C ＝π；S ＝
21ab sin C ＝21bc sin A ＝＝2
1
ca sin B ； 2、三角形中的边角不等关系:A>B ⇔a>b,a+b>c,a-b<c ；； 3、正弦定理：
A a sin ＝
B b sin ＝C
c
sin ＝2R （外接圆直径）； 正弦定理的变式：⎪⎩
⎪
⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2；
a ∶
b ∶
c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ．
4、正弦定理应用范围：
①已知两角和任一边，求其他两边及一角． ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角．
③几何作图时，存在多种情况．如已知a 、b 及A ，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数．
已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况： (1)A 为锐角
b
a
b
a
a
b
a
B
A
C
A
C
A
B
a=bsin A bsin A<a<b a b ≥ 一解 两解 一解
(2)A 为锐角或钝角
当a>b 时有一解. 5、余弦定理：
a 2=
b 2+
c 2-2bccosA ．c 2=a 2+b 2-2abcosC ．b 2=a 2+c 2-2accosB ． 若用三边表示角，余弦定理可以写为
、
6、余弦定理应用范围：
（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角； （2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边． 7、三角形面积公式：
8、余弦定理的向量证明：
2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.
证明：（证法一）
如图，2
c BC =()()
AC AB AC AB =-•- 2
2
2AC AC AB AB =-•+
22
2cos AC AC AB A AB =-•+
2
2
2cos b bc A c =-+
即222
2cos a b c bc A =+-
同理可证 222
2cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-
（证法二）
已知ABC ∆中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，
222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++
222cos b c bc A =+-， 即 2222cos a b c bc A =+-
同理可证 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-
例题精讲
【试题来源】
【题目】在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3
a c
b A C π
+=-=
．求sin B 值．
【答案】39
sin 8
B =
【解析】 解：由正弦定理及角变换求解．由2a c b +=，
得 sin sin 2sin A C B +=．再由三角形内角和定理及3
A C π
-=
得
2,3232
B B A
C ππ=
-=-， 所以231sin sin(
)cos sin 32222
B B B
A π=-=+， 31sin sin()cos sin 322222
B B B
C π=-=-，
又sin 2sin
cos 22
B B
B =，代入到sin sin 2sin A
C B +=中得 3cos
4sin cos 222B B B =，由cos 02B
>得3sin 24B =
， 从而13
cos
24
B =， 所以39
sin B =
．
【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知ABC ∆的三个内角,,A B C 满足：2A C B +=，
112
cos cos cos A C B
+=-，求cos
2
A C
-的值． 【答案】2
cos
22
A C -= 【解析】 解：由题设知060
B =，0120A
C +=，
设2
A C
α-=
，则2A C α-=， 可得0
60,60A C αα=+=-代入条件中得
0011
22cos(60)cos(60)
αα+=-+-221313
cos sin cos sin αααα=--+
化简得
22cos 2213
cos sin 44
α
αα=--
即2
422cos 320αα+-=，
从而求出2cos 2α=
即2
cos 22
A C -= 【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂练习 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】在ABC ∆中，已知466
,cos 36
AB B =
=，AC 边上的中线5BD =，求sin A 值． 【答案】70
sin 14
A =
【解析】 解：以B 为原点，BC 为x 轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A 在第一象限．
由30sin 6B =
，得4646(
cos ,sin )33BA B B =445
(,)33
=． 设(,0)BC x =，则4325
(,)6x BD +=， 由5BD =
求出2x =（另一负值舍去）．于是由数量积得
314cos 14
BA CA A BA CA
⋅=
=
， 所以70sin A =
．
【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】ABC ∆内接于单位圆，三个内角,,A B C 的平分线延长后分别交此圆于点111,,A B C ，
C
A
B
1
B C 1
求
1111cos
cos cos 222C A B
AA BB CC ++的值． 【答案】2
【解析】 解：如图连接BA ，则12sin()A AA B =+
2cos
B C
-=， 故1cos
2cos cos sin sin A B C A
AA C -==+， 同理1cos
sin sin B A =+，1cos sin sin C
A B =+，
代入原式得
1111cos
cos cos 222C A B
AA BB CC ++ 2(sin sin sin )
2sin sin sin A B C A B C
++=
=++．
【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】在ABC ∆中，记,,BC a CA b AB c ===，若22299190a b c +-=，
求
cot C
的值．
【答案】5/9
【解析】 解： 由已知得222
19b c +=
，又由余弦定理，得 222
cos a b c C +-=，
所以2255sin c C
C ==， 所以5sin 5sin()
C A B C +=
=
5sin cos cos sin 5
(cot cot A B A B A B +=
=+，
故
cot 5
C =
【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】设非直角ABC ∆的重心为G ，内心为I ，垂心为H ，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．求证：
（１）sin sin sin 0A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅=； （２）tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅=；
（３）cot (cot cot )cot (cot cot )HG C B A GB B C A GC =-+-．
【答案】如下解析
【解析】 证明：（1）由定比分点的向量形式得
11BD AB
IB IC IB IC
b IB
c IC DC AC ID BD AB b c DC AC
+
+⋅+⋅===
+++， 由,IA ID 共线得AI
IA ID ID
=-⋅，
即AB IA ID BD
=-⋅，又ac
BD b c =
+， 所以b c b IB c IC
IA ID a a
+⋅+⋅=-
=- 即0a IA b IB c IC ⋅+⋅+⋅=，由正弦定理可得
sin sin sin 0A IA B IB C IC ⋅+⋅+⋅=．
（2）由
tan ,tan AD AD B C BD DC ==，得tan tan BD C
DC B
=
， 由定比分点公式的向量形式有tan tan tan tan tan tan tan 1tan C HB HC
B HB
C HC B H
D C B C B
+⋅+⋅==
++
． 又HA
HA HD HD
=-．
下面求HA
HD
，tan tan BD HD BD HBD C =⋅∠=，tan AD BD B =⋅，
I
F
D
E
B
H
E
F
所以
HA AD HD
HD HD
-=tan tan tan tan 1tan BD
BD B C B C BD C ⋅-
==-．
由tan tan tan tan()tan tan 1
B C
A B C B C +=-+=-得
tan tan tan tan 1tan B C
B C A
+-=
． 所以tan tan tan HA B C HD A
+=
代入即得证． （3）由（2）知tan tan tan 0A HA B HB C HC ⋅+⋅+⋅=，
所以tan ()tan ()tan ()0A HG GA B HG GB C HG GC ⋅++⋅++⋅+=，
由G 是三角形的重心有0GA GB GC ++=得()GA GB GC =-+代入并利用：
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=整理即得
【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】在非直角ABC ∆中，边长,,a b c 满足a c b λ+=(1)λ>． （1）证明：1
tan
tan 221
A C λλ-=
+； （2）是否存在函数()f λ，使得对于一切满足条件的λ，代数式
cos cos ()
()cos cos A C f f A C
λλ++恒为定
值？若存在，请给出一个满足条件的()f λ，并证明之；若不存在，请给出一个理由 【答案】如下解析
【解析】证明：（1）由a c b λ+=得sin sin sin A C B λ+=，和差化积得
2sin
cos 2sin cos 2222
A C A C
B B
λ+-=
因为
222
A C B
π+=-， 所以有cos cos
22
A C A C
λ-+=， 展开整理得(1)sin sin (1)cos cos 2222
A C A C
λλ+=-，
故1tan tan 221
A C λλ-=+．
（2）从要为定值的三角式的结构特征分析，寻求cos cos A C +与
cos cos A C 之间的关系．
由1
tan tan 221
A C λλ-=+及半角公式得22
1cos 1cos (1)1cos 1cos (1)A C A C λλ---⋅=+++， 对其展开整理得
242(1)(cos cos )4cos cos A C A C λλλ-++=-
即
242(1)(cos cos )
4cos cos A C A C
λλλ-++=-， 即
222cos cos 21cos cos 1
A C A C λ
λλλ+-
+=+， 即
2
22cos cos 112cos cos 1A C A C λ
λλ
λ+-+=--+ 与原三角式作比较可知()f λ存在且22()1
f λ
λλ=-
+ 【知识点】正弦定理与余弦定理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】
【题目】在非钝角ABC ∆中，0
,45AB AC B >=，,O I 分别是ABC ∆的外心和内心，且
2OI AB AC =-，求sin A
【答案】2
sin A =
1sin 22
A =-
【解析】 解：由已知条件及欧拉公式得2
222
OI R Rr ==-，其中,R r 分别为外接圆和
内切圆的半径，再由三角形中的几何关系得
21tan tan ()22282
c a b B c a b r c a b π+-+-===+- 结合正弦定理消去边和,R r 得
212(sin sin )2(sin sin sin 21)C B A C B --=+-， 又232sin sin()cos )4B C A A A π==-=+， 代入并分解因式得 21)(221)0A A -= 即2sin A =2cos 1A =， 即2sin A =1sin 22
A =- 经验证这两个值都满足条件．
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】在△ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 .
【答案】27.
【解析】 解：令AB c =，BC a =，则由正弦定理得
32,sin sin sin 3
2
a c AC A C B ==== 2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=︒，
222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+
2sin 4sin(120)C C =+︒-
＝2sin C +
314(cos sin )4sin 23cos 22C C C C +=+27sin(+)C ϕ=(其中3tan )2
ϕ= ∴当90C ϕ+=︒时，2AB BC +取最大值为27.
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求cosB.
【答案】
【解析】 解：由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得
,2
3sin ,21cos ,0cos 21===-A A A 再由正弦定理得，.2
2sin sin ==a A b B
由b<a ，知B<A,所以B 不是最大角，2π<
B ，从而2
2sin 1cos 2=-=B B . 由上述结果知 ).2
123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h,则有
.2
13sin +=
=C b h 【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】 【题目】在ABC ∆中，已知3331tan tan tan 6181tan tan tan 216A B C A B C ⎧++=-⎪⎪⎨⎪++=-⎪⎩
，求ABC ∆的三个内角的大小． 【答案】311,arctan ,arctan 432
π 【解析】 解：构造方程求解．
在ABC ∆中，有tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，
因为333tan tan tan 3tan tan tan A B C A B C ++- 2
(tan tan tan )[(tan tan tan )A B C A B C =++++3(tan tan tan tan tan tan )]A B B C C A -++ 从而求得2tan tan tan tan tan tan 3
A B B C C A ++=-
， 所以tan ,tan ,tan A B C 是方程
321210636
x x x +-+=即326410x x x +-+=的三个根． 由32
641(1)(21)(31)x x x x x x +-+=+-- 得tan ,tan ,tan A B C 的值分别是111,,32
-， 从而三个内角为311,arctan ,arctan 432π． 【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】已知向量→a =（2，2），向量与向量→
a 的夹角为43π，且→a ·→
b =－2， （1）求向量→b ；
（2）若)2
cos 2,(cos ,)0,1(2C A c t b t =⊥=→→→→且，其中A 、C 是△ABC 的内角，若三角形的三内角A 、B 、C 依次成等差数列，试求|→b +→c |的取值范围
【答案】如下解析
【解析】 解：（1）设=（x ,y ），则222,x y +=-
且22||13||cos 4a b
b x y a π
⋅===+∴解得)1,0()0,1(,1
001-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=y x y x 或或
（2）)1,0(),0,1(,,3-=∴=⊥=B 且 π.
∴),cos ,(cos )12
cos 2,(cos 2C A C A =-=+ ∴)2cos 2(cos 2
11cos cos ||222C A C A ++=+=+
=1+1cos()cos()1cos(),2
A C A C A C +-=-- 22,33
A C ππ-<-< ∴,1)cos(21≤-<-C A ∴.2
5||22<+≤c b 【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5
【试题来源】
【题目】ABC ∆中2,A B C =是钝角，三边长均为整数，求ABC ∆周长的最小值
【答案】77
【解析】 解：利用正余弦定理及整数的性质求解．
32C A B B πππ=--=->
3,cos 62
B B π
∴<>且cos B 是有理数， 令cos ,,,,(,)1n B m n m n N m n m
=>∈=，由637728<<， 故8m ≥．
又22sin 3(34sin )(4cos 1)sin b c B b B b B B
=⋅=-=-224(1)n b m =-， 故2
2
4bn m 是整数，又(,)1m n =， 故24b m
为整数，由8m ≥知16b ≥，再由3cos 2B >，
得2316[4(
)1]32,2
c >-= 故32c ≥． sin 232cos 21616327sin b B a b B B ==≥⋅⋅=>， 故28a ≥，
即28163377a b c ++≥++=．即周长的最小值为77．此时 28,16,33a b c ===，由余弦定理求得177cos ,cos 328A B =
=， 故cos cos2A B =，即满足2A B =，
又171cos 322A =>73,cos 8B =>,63
B A ππ<<， 从而角
C 是钝角，满足条件．
故ABC ∆周长的最小值是77，此时28,16,33a b c ===
【知识点】正弦定理与余弦定理
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3。