正弦、余弦函数图象的几何画法(教案)
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象+教案-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章 三角函数5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教学设计一、教学目标1.理解正弦函数、余弦函数图象的画法2.借助图象变换，了解函数之间的内在联系3.通过三角函数图象的三种画法（描点法、几何法、五点法），体会用“五点法”作图给我们的学习带来的好处，并熟练地画出一些简单的函数的图象 二、教学重难点 1、教学重点正弦函数、余弦函数的图象 2、教学难点利用单位圆画出正弦函数的图象 正弦函数与余弦函数图象间的关系 三、教学过程 1、新课导入回顾旧识正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则sin ,yMP r α== cos .xOM rα== 有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线. 我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式sin(x +2π)=sin x ，cos(x +2π)=cos x 来表示.这说明，自变量每增加（减少）2π.正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程. 2、探索新知正弦函数的图象下面先研究函数y =sin x ，x ∈R 的图象，从画函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象开始.用课件演示“正弦函数图象的几何图法” 教师引导学生交流讨论图象生成过程第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n （这里12n =）等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n （这里12n =）等份.第二步：在单位圆中画出对应于角πππ0,,,,,2π632（等价于“列表”）的正弦线.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点”）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象.思考：根据函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图像，你能想象函数y =sin x ，x ∈R 的图象吗？由诱导公式一可知，函数sin ,[2π,2(1)π],y x x k k k =∈+∈Z 且0k ≠的图象与y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致.因此将函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y =sin x ，x ∈R 的图象.正弦曲线：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？π3π(0,0),(,1),(π,0),(,1),(2π,0)22-描出这五个点，y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.这五个关键点分别是图象的最高点，最低点，图象与x 轴的三个交点. 在精确度不太高时，常采用“五点法”作正弦函数的简图. 用“五点法”作正弦曲线的一般步骤：（1）先描出π3π(0,0),(,1),(π,0),(,1),(2π,0)22-这五个点；（2）把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得到sin y x =在[0,2π]上的简图；（3）通过左、右平移（每次平移2π个单位长度）即得到正弦函数sin ()y x x =∈R 的图象.余弦函数的图象思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变化为余弦函数的图象？根据诱导公式πcos sin()2x x =+，可以把正弦函数sin y x =的图象向左平移π2单位长度即得余弦函数cos y x =的图象. 余弦曲线：余弦函数cos ,y x x =∈R 的图象叫做余弦曲线，它是与正弦函数曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.教师：画余弦函数的简图，关键点是哪几个？ 余弦函数cos ,[0,2π]y x x =∈的图象中，五个关键点是：π3π(0,1),(,0),(π,1),(,0),(2π,1).22-在精确度不太高时，常采用“五点法”作余弦函数的简图.用“五点法”作余弦曲线的一般步骤：（1）先描出π3π(0,1),(,0),(π,1),(,0),(2π,1)22-这五个点；（2）把这五个点用一条光滑的曲线连接起来，就得到cos y x =在[0,2π]上的简图；（3）通过左、右平移（每次平移2π个单位长度）即得到余弦函数cos ()y x x =∈R 的图象.例1 画出下列函数的简图：（1）1sin ,[0,2π];y x x =+∈（2）cos ,[0,2π]y x x =-∈ 解：（1）按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来：（2）按五个关键点列表：描点并将它们用光滑的曲线连接起来.思考：你能利用函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象，通过图象变化得到y =1+sin x ，x ∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y =cos x ，x ∈[0,2π]的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y =－cos x ，x ∈[0,2π]的图象？能，以函数y =sin x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y =1+sin x ，x ∈[0,2π]的图象.能，以函数y =cos x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，作它关于x 轴的对称图象，所得图象即函数y =－cos x ，x ∈[0,2π]的图象.3、课堂练习1.用“五点法”作2cos 1y x =-在[0,2π]上的图象时，应取的五点为( )A.(0,1),π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,(π,1)-,3π,02⎛⎫⎪⎝⎭,(2π,1)B.(0,1),π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,(π,3)-,3π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2π,1)C.(0,1),(π,3)-,(2π,1),(3π,3)-,(4π,1)D.(0,1),π316⎛⎫ ⎪⎝⎭,π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭,π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0,π2，π,3π2,2π .代入解析式可得五个点的坐标分别为(0,1) ,π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,(π,3)- ,3π,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ ,(2π,1)，故选B.2.用“五点法”作出函数12sin ,[π,π]y x x =-∈-的简图，并回答下列问题： (1)观察函数图像，写出满足下列条件的x 的区间.1;y >②1y <.(2)若直线y a =与12sin ,[π,π]y x x =-∈-的图像有两个交点，求a 的取值范围. 【答案】列表如下：xπ-π2-0 π2πsin x 0 -1 0 1 0 12sin x -131-11（1）由图像可知，图像在直线1y =上方部分时1y >，在直线1y =下方部分时1y <, 所以①当(π,0)x ∈-时，1y >；②当(0,π)x ∈时，1y <. (2)如图所示，当直线y a =与12sin ,[π,π]y x x =-∈-的图像有两个交点时，13a <<或11a -<<，所以a 的取值范围是(1,1)(1,3)-⋃.4、小结作业小结：正弦曲线、余弦曲线的几何画法和五点法. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象一、复习引入二、画正弦函数、余弦函数的图象 1.利用正弦线画正弦函数的图象 2.利用图象变换画余弦函数的图象 三、应用举例 例1四、归纳小结。
正弦函数、余弦函数的图象教案(第一课时)
第一章基本初等函数（Ⅱ）1．4三角函数的图象与性质（共4课时）第一教案――――――――――――――――――――――――――――――教材教案第1课时正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】1.知识目标（1）会用正弦线画正弦函数的图象，会利用平移作余弦函数的图象，掌握正弦、余弦函数的图象。
（2）会用“五点法”画出正弦、余弦函数的简图。
2.能力目标（1）理解用单位圆作正弦函数的图象的方法；（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数的图象的方法。
（3）学会利用图象变换作图的方法，体会数形结合的思想。
3.情感目标（1）通过本节的学习学会善于寻找、观察数学知识之间的内在联系。
【重点难点】1.重点正弦、余弦函数图象的作法。
2.难点正弦函数与余弦函数图象间的关系，图象变换。
案例（一）教学过程案例（二） 教学过程一、复习引入1．弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离r(02222>+=+=y x y x r )则比值ry叫做α的正弦 记作：r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： r x =αcos3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 有向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．教师――提出问题让学生思考，回顾前面学习的内容。
学生――思考回答。
二、作正弦函数、余弦函数的图象1、如何比较精确的作出正弦函数的图象？教师――提出问题引导学生用正弦线作正弦函数图象。
师生――共同作出正弦函数的图象。
用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．作函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.2、如何作余弦函数的图象？教师――你能根据诱导公式，经正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗？引导学生利用诱导公式观察函数x y cos =，R x ∈与函数)2sin(x y +=π，R x ∈的关系。
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
公开课导学案——正弦函数与余弦函数的图像学习教案一、教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义和性质。
2. 学会绘制正弦函数和余弦函数的图像。
3. 能够分析正弦函数和余弦函数图像的特点和变化规律。
二、教学内容：1. 正弦函数和余弦函数的定义与性质2. 正弦函数和余弦函数图像的绘制方法3. 正弦函数和余弦函数图像的特点和变化规律三、教学重点与难点：1. 正弦函数和余弦函数的图像绘制方法2. 正弦函数和余弦函数图像的特点和变化规律的理解与应用四、教学方法与手段：1. 讲授法：讲解正弦函数和余弦函数的定义与性质，引导学生理解与思考。
2. 演示法：利用多媒体课件，展示正弦函数和余弦函数的图像，帮助学生直观理解。
3. 实践法：让学生动手绘制正弦函数和余弦函数的图像，培养学生的实际操作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习正弦函数和余弦函数的定义与性质，引导学生进入新课的学习。
2. 讲解与演示：讲解正弦函数和余弦函数的图像绘制方法，利用多媒体课件展示图像，让学生直观地感受函数图像的特点和变化规律。
3. 实践操作：让学生动手绘制正弦函数和余弦函数的图像，指导学生观察和分析图像的特点和变化规律。
4. 总结与拓展：总结本节课的学习内容，强调正弦函数和余弦函数图像的特点和变化规律，布置课后习题，引导学生进行进一步的学习与思考。
教案结束。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，了解学生的学习兴趣和参与程度。
2. 课后习题完成情况：检查学生完成的课后习题，评估学生对正弦函数和余弦函数图像的理解和应用能力。
3. 小组讨论与合作：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生的合作能力和交流能力。
七、课后习题：1. 绘制正弦函数y = sin(x)和余弦函数y = cos(x)在一个周期内的图像。
2. 分析正弦函数和余弦函数图像在区间[0, 2π]上的特点和变化规律。
3. 解释正弦函数和余弦函数图像的周期性及其与周期的关系。
35095_《正弦、余弦函数的图象》教案3
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2）1、 教学目标：2、 使学生学会用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
3、 通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
4、 通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。
5、 教学重点和难点：6、 重点：用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
7、 难点：确定五个关键点。
8、 教学过程：9、 思考探究10、 复习（1） 关于作函数，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你学过哪几种方法？（2） 观察我们上一节课用几何法作出的函数ｙ＝sin ｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？为什么？（用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）2、“五点（画图）法”在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sin ｘ的五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。
这种作图法叫做“五点（画图）法”。
（1）、请你用“五点（画图）法”作函数ｙ＝sin ｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：描点、连线，画出简图。
(用几何画板画出Y=sinx 的图像，显示动画)（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cos ｘ,ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：描点、连线，画出简图。
一、 自主学习例1． 画出下列函数的简图：（1） y ＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕（2） ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕解：（1）按五个关键点列表：描点、连线，画出简图。
(2)按五个关键点列表：描点、连线，画出简图。
二、 合作学习●探究1如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x-π/3)的图象？小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2如何利用y=cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？小结：这两个图像关于X 轴对称。
示范教案(1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象)
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象三维目标1.通过实验演示,让学生经历图象画法的过程及方法,通过对图象的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数、余弦函数图象的画法.借助图象变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图象的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图象.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识.. 重点难点教学重点:正弦函数、余弦函数的图象.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点;正弦函数与余弦函数图象间的关系. 课时安排:1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图象,观察图象的形状,看看有什么特殊点,并借助图象研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx 与y=cosx 的图象是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么?是如何画出它们图象的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x ∈［0,2π］时,y=sinx 的图象. 推进新课 新知探究 提出问题问题①:作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x 角的三角函数值?怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x ∈［0,2π］的精确图象呢? 问题②:如何得到y=sinx,x ∈R 时的图象? 活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,对于程度较弱的学生,教师指导他们查阅课本上的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x ∈［0,2π］的图象,就很容易得到y=sinx,x ∈R 时的图象了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分,再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图象的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x ∈[2kπ,2(k+1)π],k ∈Z 且k≠0上的图象与函数y=sinx 在x ∈[0,2π]上的图象的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x ∈[0,2π］的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y=sinx,x ∈［0,2π］的图象. ②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题: 如何画出余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象?你能从正弦函数与余弦函数的关系出发,利用正弦函数图象得到余弦函数图象吗?活动:如果再用余弦线作余弦函数的图象那太麻烦了,根据已学的知识,教师引导学生观察诱导公式,思考探究两个函数之间的关系,通过怎样的坐标变换可得到余弦函数图象?让学生从函数解析式之间的关系思考,进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法.让学生动手做一做,体会正弦函数图象与余弦函数图象的异同,感知两个函数的整体形状,为下一步学习正弦函数、余弦函数的性质打下基础.讨论结果:把正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象向左平移2个单位长度即可得到余弦函数图象.如图3.图3正弦函数y=sinx,x ∈R 的图象和余弦函数y=cosx,x ∈R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线点.提出问题问题①:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点?问题②:你能确定余弦函数图象的关键点,并作出它在［0,2π］上的图象吗?活动:对问题①,教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图象的形状就基本上确定了.这五点如下:(0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0).因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握. 对问题②,引导学生通过类比,很容易确定在［0,2π］上起关键作用的五个点,并指导学生通过描这五个点作出在［0,2π］上的图象. 讨论结果:关键点也有五个,它们是:(0,1),(2π,0),(π,-1),(23π,0),(2π,1).应用示例例1 画出下列函数的简图(1)y=1+sinx,x ∈[0,2π];(2)y=-cosx,x ∈[0,2π].活动:本例的目的是让学生在教师的指导下会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图象的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处. 解:(1)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π sinx 0 1 0 -1 0 1+sinx1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4(2)按五个关键点列表:x 0 2π π 23π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx-11-1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5知能训练:课本本节练习 解答:1.可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象,也可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象.两条曲线形状相同,位置不同,例如函数y=sinx,x ∈[0,2π]的图象,可以通过将函数y=cosx,x ∈[2π,23π]的图象向右平行移动2π个单位长度而得到(图10).图10点评:在同一个直角坐标系中画出两个函数图象,利于对它们进行对比,可以加强正弦函数与余弦函数的联系.通过多种方法画图,渗透数形结合思想,强化学生对数学概念本质的认识. 两个函数的图象相同.课堂小结1.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图象扩展到整个定义域的?2.如何利用图象变换从正弦曲线得到余弦曲线?这节课学习了正弦函数、余弦函数图象的画法.除了它们共同的代数描点法、几何描点法之外,余弦函数图象还可由平移交换法得到.“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法. 作业1.课本习题1.4 A 组1.2.预习下一节:正弦函数、余弦函数的性质. 板书设计:(略) 课后记:教研组长意见:。
《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例
《正弦函数、余弦函数的图象》教学案例福州十中 徐春艳课题：三角函数的图象与性质（一）——正弦函数、余弦函数的图象教材分析：三角函数是继指数函数、对数函数和幂函数之后，高中学习的又一个基本初等函数的模型，同时，他又是高中数学中最后一个基本初等函数模型，因此，正弦函数、余弦函数的图象和性质的研究方法可以借鉴以前所学过的函数图象和性质的研究经验，同时这节课又可以作为以前所学方法的巩固课；再者，这节课中的正弦函数图象的作法可以将描点作图法的真正精髓——描点方法可以多种多样，关键是准确描点展示的淋漓尽致。
这节课的内容在整个高中数学的函数部分中起到不可忽视的作用。
正弦函数的图象作为三角函数的图象与性质的起始课，是在已学习了三角函数线知识的基础上来研究的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象和性质的知识基础和方法准备，因此具)sin(ϕω+=x A y 有非常重要的地位。
学情分析：1.学生在学习了必修1和必修3的基础上，在高一下学期第三学段学习本节内容，已经具备了研究函数的一般思维基础和能力基础，对问题的探究兴趣比较浓厚。
2.学生对于三角函数的定义、三角函数线、诱导公式等基础知识理解比较到位。
3.学生对于在平面直角坐标系中描出“无理点”的问题第一次遇到，如何准确描点成为了学生学习的难点。
教学目标：1.经历利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的函数图象的过程，进一步体x y sin =会弧度制引进的意义，同时体会三角函数线在解决三角函数问题中的作用，理解描点法的真正精髓——描点方法可以多种多样，关键是准确描点。
同时体会数形结合思想在数学中的应用意义，形成严谨的思维习惯，体会动与静的辩证关系。
2.经历将一个周期内的函数图象平移拓展至整个定义域内的函数图象的过程，理解周期函数图象的特点，同时体会变换思想在函数图象研究过程中的作用3.经历“五点法”画出函数，的图象的简图的过程，体会“作x y sin =]2,0[π∈x 函数图象的简图，可以通过作出其关键点来作图”这一方法，学会用“五点法”作出函数一个周期内的函数图象。
正弦函数、余弦函数的图像教学设计
【课题】 5.4.1正弦函数、余弦函数的图像【教材分析】本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修第一册（人教版A 版）》第五章《三角函数》第四节“三角函数的图像与性质”的第一课时“正弦函数、余弦函数的图像”。
本节主要内容是正弦函数和余弦函数的图象画法，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
此前已学习三角函数的概念和诱导公式。
在此基础上学习正弦函数和余弦函数的图像画法，为后续研究正弦函数和余弦函数的性质、正切函数的图象与性质、函数y=Asin(ωx+φ)的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。
【学情分析】◆从学生的知识层面上：1、学习过任意角三角函数的定义，三角函数的诱导公式等知识。
2、已学习用描点法绘制函数图像。
本节课主要学习几何法，利用三角函数定义绘制函数图象是第一次。
◆从学生的能力层面上：1、拥有基础的绘制函数图象的经验。
2、具备通过图形平移变换作图的能力和数形结合思想。
【教学目标】课标要求：1、利用三角函数的概念画x y sin =,x y cos =的图像。
2、掌握“五点法”画x y sin =、x y cos =的图像的步骤和方法；利用“五点法”作简单的正弦、余弦曲线。
3、理解x y sin =与x y cos =的图像之间的联系。
素养要求通过利用三角函数概念和“五点法”作x y sin =与x y cos =的图像，提升学生的数学抽象、逻辑推理和直观想象能力。
【教学重点】理解“几何法”画正弦函数图像；掌握“五点法”画正弦函数和余弦函数的简图。
【教学难点】利用正弦函数概念作图以及正弦函数和余弦函数的图像变换。
【教学策略方法】学生为主体，教师为主导。
采用问题引导探究式教学和小组合作式学习法。
【教学设备及工具】几何画板、Geogebra 软件、坐标纸、课件、多媒体、翻页笔。
教学过程设计师:通过刚才的物理实验，我们对正弦函数和余弦函数图象已经有了一个直观的认识，但这是从物理实验中得到的，我们如何利用所学过的数学知识来作出正弦函数和余弦函数图到原来的位置，由公式一：()απαsin 2sin =±k ，()απαcos 2cos =±k 可表示。
1.4.1正弦函数-余弦函数的图象教案
§1.4.1正弦函数,余弦函数的图象【教学目标】1、知识与技能： （1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。
2、过程与方法进一步培养合作探究、分析概括，以及抽象思维能力。
3、情感态度价值观通过作正弦函数和余弦函数图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神。
{【教学重点难点】教学重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象教学难点：运用几何法画正弦函数图象。
【教学过程】1. 问题引入，创设情境：问题1：:任意给定一个实数x ，对应的正弦值sinx 、余弦值cosx 是否存在是否唯一 问题2：一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面入手图象视频演示：…“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”思考： 有什么办法画出该曲线的图象2、新课讲解（1）提出问题：根据以往学习函数的经验，你准备采取什么方法作出正弦函数的图象作图过程中有什么困难答：列表、描点、连线。
由于表中部分值只能取近似值，再加上描点时的误差，部分同学取的点较少，所以画出的图象难免误差大。
如何画出更精确的图象呢（2）探究新知：根据学生的认知水平,正弦曲线的形成分了三个层次： 引导学生画出点)3sin ,3(ππ | 问题一：你是如何得到23的呢如何精确描出这个点呢 问题二：请大家回忆一下三角函数线，看看你是否能有所启发电脑演示正弦线、余弦线的定义，同时说明：当角度变化时，对应的线段MP 的长度就是这个角度的正弦值。
演示点)3sin ,3(ππ的画法。
问题三：能否借用画点)3sin,3(ππ的方法，作出y=sinx，x∈[0，2π]的图象呢课件演示：正弦函数图象的几何作图法教师引导：在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从圆O1与x轴的交点A起把圆O1分成12等份（份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确），过圆O1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、6π、3π、2π、……、π2等角的正弦线，相应地，再把x轴上从0到π2这一段分成12等份，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，再用光滑的曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到了函数xy sin=，[]π2,0∈x的图象问题四：如何得到xy sin=，Rx∈的图象因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数xy sin=在[]0,,)1(2,2≠∈+∈kZkkkxππ的图象与函数xy sin=，[]π2,0∈x的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是只要将它向左、右平行移动（每次π2个单位长度），就可以得到正弦函数xy sin=，Rx∈的图象，即正弦曲线。
《正弦函数、余弦函数的图像》教案与导学案
《第五章三角函数》《5.4.1正弦函数、余弦函数的图像》教案【教材分析】由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．【教学目标与核心素养】课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念；2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系；3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像；4.数学运算：五点作图；5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.【教学重难点】重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．【教学方法】：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
【教学过程】一、情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx 的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？3.怎样作出余弦函数y＝cosx的图像？4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系.要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案
1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案【摘要】本教案旨在帮助学生深入理解正弦函数和余弦函数的图像特点。
文章首先介绍了正弦函数和余弦函数在数学中的重要性，然后概述了本教案的主要内容和目的。
接着分别讨论了正弦函数和余弦函数的图像特点，包括周期、振幅、相位等。
通过具体的案例分析，帮助学生更好地理解函数图像的绘制方法和规律。
在结尾部分，对本教案进行了总结，并提出了相应的教学建议，同时展望了学生在学习正弦函数和余弦函数图像时可能取得的进展和突破。
通过本教案的学习，学生将能够掌握正弦函数和余弦函数的图像特点，提高数学学习的效率和兴趣。
【关键词】正弦函数、余弦函数、图像、教案、概述、特点、案例分析、总结、教学建议、展望。
1. 引言1.1 1.4.1《正弦函数余弦函数的图像》教案正弦函数和余弦函数是高中数学中重要的函数之一，它们在数学中有着广泛的应用。
本教案将重点讲解正弦函数和余弦函数的图像特点，帮助学生更好地理解和掌握这两个函数的性质。
在学习正弦函数的图像特点时，我们将介绍正弦函数的周期、幅值、对称轴等基本概念，并通过实例演示如何绘制正弦函数的图像。
我们也会讲解正弦函数的性质，如奇偶性、单调性等，以便学生更好地应用正弦函数解决实际问题。
通过本教案的学习，学生将能够准确绘制正弦函数和余弦函数的图像，并理解它们的基本特点。
学生还将学会如何利用正弦函数和余弦函数解决实际问题，提高数学应用能力。
希望本教案能够对学生的数学学习起到一定的帮助，让他们更加喜爱数学这门学科。
2. 正文2.1 引言在本节课程中，我们将学习正弦函数和余弦函数的图像特点。
正弦函数和余弦函数是我们在数学中经常接触到的函数，它们在几何学、物理学等领域也有广泛的应用。
通过学习它们的图像特点，我们可以更好地理解它们的性质和规律。
正弦函数是一种周期函数，它的图像呈现出波浪形状。
正弦函数的周期为2π，在每个周期内有一个最大值和一个最小值，这些点称为正弦函数的极值点。
高中数学教案正弦函数、余弦函数的图象(主编整理)1
第一课时 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教学要求：熟练把握正弦、余弦函数图象的形状特征.教学重点：正弦、余弦函数的图象作法及其形状特征.教学难点：正弦函数图象的作法、正弦函数和余弦函数图象间的关系.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（余弦）值. 由这个对应法则所确定的函数sin y x =（或cos y x =）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域是R .2. 提问：如何作出正弦函数的图象？（利用正弦线可以画出较精确的正弦函数图象）二、讲授新课：1. 教学正弦函数图象的画法：① 提问：正弦线的意义？(正弦线是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段，它是正弦函数的几何表示)② 用正弦线画出正弦函数的图象（边讲边画）：第一步：先作单位圆，把⊙O 1十二等分（当然分得越细，图象越精确）；第二步：十二等分后得0,6π, 3π,2π,…2π等角，作出相应的正弦线； 第三步：将x 轴上从0到2π一段分成12等份(2π≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”； 第四步：取点，平移正弦线，使起点与x 轴上的点重合；第五步：用光滑的曲线把上述正弦线的终点连接起来，得y=sinx ，x ∈[0,2π]的图象；第六步： 由终边相同的三角函数性质知y=sinx ，x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图象与函数y=sinx ， x ∈[0,2π]图象相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2π单位长.③ 用“五点（画图）法”作正弦函数图象时，要抓住关键的五个点：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0). （通过学生观察正弦函数的图象，找出体现图象形状特征的点，再来讲“五点法”.） “五点法”的优点是方便，但精确度不高，熟练后才使用.2. 教学余弦函数图象的画法： 由于cos sin()2y x x π==+，而sin(),2y x x R π=+∈的图象可以通过将正弦函数sin ,y x x R=∈的图象向左平移2π个单位长度得到，因此只需将函数sin ,y x x R =∈的图象向左平移2π个单位长度就可以得到函数cos ,y x x R =∈的图象.思考：如果用“五点法”作余弦函数的图象，则应抓住哪五个关键点？3. 例题讲解：例、画出下列函数的简图：（1）sin ,[0,2]y x x π=-∈；（2）1cos ,[0,2]y x x π=+∈. （教师引导→学生板书）4、小结：正弦曲线、余弦曲线的几何画法、“五点法”画法及正弦、余弦函数图象的形状特征.三、巩固练习：1. 在同一直角坐标系中，分别作出函数3cos ,[,]22y x x ππ=∈- 、3sin(),2y x x R π=-∈的草图. 2. 讨论如何用“五点法”画sin(2)6y x π=-的图象？（方法：取320,,,,2622x πππππ-=） 3. 作业：教材P52 第1题教学要求：掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性和最大值、最小值，会求形如sin(),y A x x R ωϕ=+∈（或cos(),y A x x R ωϕ=+∈）的函数的最小正周期，并会利用正弦、余弦函数的最大值、最小值求相关函数的值域.教学重点：正弦函数、余弦函数的性质（包括周期性、奇偶性和最大值、最小值）. 教学难点：正弦函数、余弦函数性质的应用.教学过程：一、复习准备：1. 提问：①函数sin(),2y x x R π=-∈的图象与函数sin ,y x x R =∈的图象有什么关系？（学生经思考后回答）②如何作出函数cos ,y x x R =-∈的图象？（学生板书→教师总结方法）2. 讨论：由正弦、余弦函数的图象有哪些特征？二、讲授新课：1. 教学正弦、余弦函数的周期性：① 正弦函数值具有“周而复始”的变化规律，这一点可以从正弦线的变化规律中看出，还可以从诱导公式sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈中得到反映，即当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.②周期函数的定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. （周期函数()f x 的周期不唯一，,kT k Z ∈都是它的周期，所有周期中最小的正数就叫做它的最小正周期）③正弦函数、余弦函数都是周期函数，2(0)k k Z k π∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π. 例1：求下列函数的周期：（1）3sin ,y x x R =∈；（2）cos2,y x x R =∈；（3）12sin(),26y x x R π=-∈. （师生共析→教师板书→学生观察→总结规律：这些函数的周期与解析式中哪些量有关？）④结论：形如sin(),y A x x R ωϕ=+∈（或cos(),y A x x R ωϕ=+∈）的函数的最小正周期2T πω=. 2. 教学正弦函数、余弦函数的奇偶性：由图象观察，结合诱导公式sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=知，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.3. 教学正弦函数、余弦函数的最大值、最小值：观察图象发现，正弦曲线、余弦曲线均有最高点和最低点，即函数值都有最大值、最小值. 例2：下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？（1）sin 1,y x x R =-∈；（2）2cos3,y x x R =-∈.（教师引导→学生分析→教师总结并板书）练习：教材P45 第3题4、小结：正弦、余弦函数的周期性、奇偶性、最大值、最小值，数形结合思想.三、巩固练习：1.作出函数sin y x =的图象，1）解不等式：sin )2x x R ≥∈；2）求13(,)66x ππ∈时y 的值域. 2.作业：教材P52 第2题教学要求：掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并会运用单调性，比较三角函数值的大小，求三角型函数的单调区间.教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性.教学难点：正弦函数、余弦函数单调性的应用.教学过程：一、复习准备：1. 练习：求出下列函数的最小正周期，并说明下列函数是否有最大值、最小值，如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x 的集合.（1）1sin(2)23y x π=--；（2）13cos()26y x π=+. 2. 提问：如何比较sin 20与sin30的大小？二、讲授新课：1. 教学正弦、余弦函数的单调性：先在正弦函数的一个周期的区间上（如3[,]22ππ-）讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域. 观察图象可得，①正弦函数在每一个闭区间[2,2]22k k ππππ-++（k Z ∈）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间3[2,2]22k k ππππ++（k Z ∈）上都是减函数，其值从1减到－1.②余弦函数在每一个闭区间[2,2]k k πππ-+（k Z ∈）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2,2]k k πππ+（k Z ∈）上都是减函数，其值从1减到－1.2. 教学正弦、余弦函数的应用：例1：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）sin 20与sin30；（2）sin()sin()1510ππ--与；（3）2325cos()cos()54ππ--与. （学生口答第1小题→学生板书第2小题→师生共析第3小题→教师板书第3小题） 练习：教材P45 第5题例2：求函数1cos(),[2,2]23y x x πππ=+∈-的递增区间. （师生共析→教师板书→小结：整体代入，解不等式→变式：解不等式0y >）练习：①求出上例中函数的单调递减区间. ②教材P45 第6题例3：求函数11sin(),[2,2]23y x x πππ=--∈-的递增区间. （师生共析→学生板书）3. 小结：正弦、余弦函数的单调性；整体代入法求单调区间.三、巩固练习：1. 练习：教材P52 第1（2）题2. 已知函数()y f x =的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期性；（2）画出函数(1)y f x =+的图象；（3）你能写出函数()y f x =的解析式吗？3. 作业：教材P52 第5题第四课时 1.4.4 正切函数的性质和图象教学要求：掌握正切函数的性质，学会画正切函数的图象，深化研究函数性质的思想方法. 教学重点：正切函数的性质和图象.教学难点：正切函数性质的应用.教学过程：一、复习准备：1. 复习：正弦、余弦函数的图象和性质；研究正弦、余弦函数性质的方法？2. 提问：能否依照研究正弦、余弦函数性质的方法来研究正切函数的性质和图象？二、讲授新课：1. 教学正切函数的性质：① 定义域：()z k k x ∈+≠2ππ；② 周期性：由诱导公式()tan tan ,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且可知，正切函数是周期函数，最小正周期是π.③ 奇偶性：由诱导公式()x x tan tan -=-,2x R x k k z ππ⎛⎫∈≠+∈ ⎪⎝⎭且可知，正切函数是奇函数. ④ 单调性：由正切线的变化规律可以看出，正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间,,22k k k z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数. ⑤ 值域：正切函数的值域是实数集R.2. 教学正切函数图象的画法：① 利用正切线画出函数tan ,(,)22y x x ππ=∈-的图象，再根据正切函数的周期性，把上述图象向左、向右扩展，就可以得到正切函数tan ,y x x R =∈且()z k k x ∈+≠ππ的图象，我们把它② 分析正切函数的图象特征. ③由图象分析正切函数的性质.例1：求函数tan()23y x ππ=+的定义域、周期和单调区间. （练→方法→变式：解1y ≥） 例2：利用正切函数的单调性比较下列各组数中两个正切值的大小：（1）tan121与tan137；（2）1317tan()tan()45ππ--与 3. 小结：正切函数的图象和性质，整体思想求定义域与单调区间，正切线分析思路.三、巩固练习：1. 练习：教材P50 第2、4题2. 作业：教材P52 第6、7、8题。
教学设计2：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象【教学目标】1．了解正弦函数、余弦函数的图象．2．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象． 3．能利用正弦函数、余弦函数的图象解决简单问题．【要点梳理】1．正弦曲线正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．2．正弦函数图象的画法 (1)几何法①利用正弦线画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．4．余弦函数图象的画法(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位长度即可，这是由于cos x＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2.(2)用“五点法”：画余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 温馨提示：(1)“五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点，这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．(2)“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象时要注意图象的对称性和凸凹方向．【思考诊断】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将正弦曲线向右平移π2个单位就得到余弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( ) (4)函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]k ∈Z ，且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．( )[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√【课堂探究】题型一 用“五点法”作简图【典例1】 用“五点法”作出下列函数的简图． (1)y ＝sin x －1，x ∈[0,2π]； (2)y ＝2＋cos x ，x ∈[0,2π]．[思路导引] 利用“五点法”作函数简图时，应先列表，再描点，再连线． [解] (1)列表：描点连线，如图所示．(2)列表：描点连线，如图所示．[名师提醒]用“五点法”画函数y ＝A sin x ＋b (A ≠0)在[0,2π]上的简图的步骤 (1)列表(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y 1)，⎝⎛⎭⎫π2，y 2，(π，y 3)，⎝⎛⎭⎫3π2，y 4，(2π，y 5)．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来． [针对训练]1．利用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． [解] (1)列表：在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，3，(π，1)，⎝⎛⎭⎫3π2， －1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．(2)列表：在直角坐标系中，描出五点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎫3π2，1，(2π，0)，然后并用光滑的曲线连接起来，就得到y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．如图．题型二 正、余弦函数图象的简单应用【典例2】 利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合． (1)sin x ≥12；(2)cos x ≤12.[思路导引] 先在[0,2π]上找到使等式成立的关键点，再依据图象或三角函数线找到不等式的解．[解] (1)作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . (2)作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z . [名师提醒]用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象(也可以是[－π，π]上的图象)； (2)在[0,2π]上或([－π，π]上)写出适合三角不等式的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集． [针对训练]2．求下列函数的定义域．(1)y ＝lg(－cos x )；(2)y ＝2sin x － 2.[解] (1)为使函数有意义，则需要满足－cos x >0，即cos x <0. 由余弦函数图象可知满足条件的x 为π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z .所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π2＋2k π<x <3π2＋2k π，k ∈Z . (2)为使函数有意义，则需要满足2sin x －2≥0，即sin x ≥22. 由正弦函数图象可知满足条件的x 为π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z .所以原函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z . 【课堂小结】1．本节课要牢记正、余弦函数图象中“五点”的确定y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上的关键五点分为两类：(1)图象与x 轴的交点；(2)图象上的最高点和最低点．2．用“五点法”在[0,2π]内做出正、余弦函数的简图，再通过平移即可得到正、余弦曲线.【随堂验收】1．用“五点法”画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝⎛⎭⎫π6，12 B.⎝⎛⎭⎫π2，1 C ．(π，0)D ．(2π，0)[解析] 五个关键点为(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)，故选A. [答案] A2．对于余弦函数y ＝cos x 的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸； ②与x 轴有无数多个交点；③与y ＝sin x 的图象形状一样，只是位置不同． 其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[解析] 如图所示为y ＝cos x 的图象．可知三项描述均正确． [答案] D3．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )[解析] 列表描点与选项比较，可知选B. [答案] B4．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B.⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C.⎝⎛⎭⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎫5π3，2π[解析] 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32，sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 由图可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3. [答案] C5．画出函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象，并利用图象判断与直线y ＝32的交点个数．[解] 在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.。
1_4_1正弦、余弦函数的图象教案
正弦、余弦函数的图象知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些相关问题. 水平目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法.德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神. 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象. 教学难点：作余弦函数的图象. 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪. 教学过程：一、复习引入：1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角. 2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）， P 与原点的距离r (02222>+=+=y x yx r )，则比值ry叫做α的正弦，记作：r y =αsin比值r x叫做α的余弦，记作：rx =αcos3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲解新课：1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：（1）函数y=sinx 的图象第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这个段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相对应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．ry)(x,αP根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相对应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)余弦函数y=cosx ，x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．所以在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚能够. 3.讲解范例：例1 作以下函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]，(2) y=-cosx.y=cosxy=sinx π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11yx-11o xy解：三、小结：本节课学习了以下内容：1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法；2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系. 四、练习：在同一直角坐标系内画出和的图象.3sin()2y x =-πcos y x =。
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计
《正弦函数、余弦函数的图象》教学设计正弦函数、余弦函数的图象一、教学目标 （一）学习目标1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数图象.2.会用“五点法”作出正弦函数和余弦函数简图.3.掌握作正弦函数和余弦函数图象的特征，能利用其解决三角不等式等问题. （二）学习重点正弦函数和余弦函数图像的作法. （三）学习难点1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.2.运用图象变换法作余弦函数图象. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第30页到32页.（2）想一想：用三角函数线如何画正弦函数的图象. （3）画一画：三角函数线. 2.预习自测（1）给定角α，画出它的的正弦线、余弦线.（2）任意给定一个实数x ,有 唯一确定的值 x sin (或x cos )与之对应,由这个对应法则所确定的函数sin y x =(或cos y x =)叫作正弦函数(或余弦函数),其定义域为R .（3）用五点法作图，在正弦函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象上,起关键作用的5个点为:()0,0 、_,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭____、___(),0π___、___3,12π⎛⎫- ⎪⎝⎭____、___()2,0π__.(二)课堂设计 1.知识回顾（1）正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点()P x y ，，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段 PM 叫做角α的正弦线，有向线段 OM 叫做角α的余弦线.（2）函数图像的画法（描点法）：列表、描点、连线. 【设计意图】回顾旧知，让探究始于思维邻近发展区. 2.问题探究探究一 如何得到正弦函数sin y x =的图象？学生方法：列表描点法.（步骤：列表，描点，连线）如果我们仍用描点法来画正弦函数图象，由于对于角的每一个取值，在计算相应的函数值时，都是利用计算机或数学用表得来的，大多是近似值，因此不易描出对应点的准确位置，画出的图象不够准确.为此我们应考虑其他方法来作正弦函数的图象. 【设计意图】利用已有知识经验解决新问题. （一）正弦函数的图象（1）几何法：用单位圆中的正弦线----几何画法；第一步：列表.在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x 轴上任意取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从⊙1O 与x 轴的交点A 起把⊙1O 分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙1O 上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于0、6π、、、…2π等角的正弦线(例如有向线段1O B 对应于2π角的正弦线).第二步：描点.把x 轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于2π角的点)，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合(例如，把正弦线1O B 向右平移，使点1O 与x 轴上的点2π重合).第三步：连线.把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来.xy2π3π2ππ2BO 1OA我们看到的这段光滑曲线就是函数sin y x =在[]0,2x π∈上的函数.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数sin y x =在221(0)x k k k Z k ππ∈∈≠［，＋］，且上的图象与函数sin y x =在[]0,2x π∈上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数sin y x =，[]0,2x π∈的图象向左、右平行移动(每次π2个单位长度)，就可以得到正弦函数sin y x =在x R ∈上的图象.xy5π4π3π2ππ-π-3π-2π-4x-5πO这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数sin y x =在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线.【设计意图】让学生体会原有的描点法的优缺点：精确度较高但步骤繁琐.思考：用前面的方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?(2) 用五点法作正弦函数的简图在函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：3()(,)()0()(,01,0212,0)2ππππ， ， ， -， ,事实上，描出这五个点后，函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.【设计意图】让学生通过前面作的正弦函数的图象，捕捉这种周期函数图象的关键信息，归纳简图作法的关键节点与图象大致走势，培养学生的图形直观，归纳总结的能力. 探究二 如何得到余弦函数cos y x =的图象?（二）余弦函数的图象●活动①：你能根据诱导公式,以正弦函数的图象为基础,通过适当的图形变换得到余弦函数的图象吗?（1）图象变换法：利用图象平移，sin()cos 2x x π+=，将正弦函数sin y x =的图象向左平移2π个单位即可得到余弦函数cos y x =的图象.由诱导公式可知：()sin()2=cossin 2y x x x ππ==＋＋余弦函数cos y x x R =∈，与函数2)sin(y x x R π=∈＋，是同一个函数.而2)sin(y x x R π=∈＋，的图象可通过将正弦曲线向左平行移动2π个单位长度而得到.现在看到的曲线也就是余弦函数cos y x =在x R ∈上的图象，即余弦曲线. （2）五点法：●活动②：类似于正弦函数图象的5个关键点,请找出余弦函数的5个关键点,并填入下表,然后作出]2,0[,cos π∈=x x y 的简图x x cos同样，可发现在函数]2,0[,cos π∈=x x y 的图象上，起着关键作用的点是以下五个：0,1013()(,)()(,)()02,122ππππ， ， ，-， ， 与画函数]2,0[,sin π∈=x x y 的简图类似，通过这五个点，可以画出函数]2,0[,cos π∈=x x y 的简图.●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1用“五点法”作出下列函数的简图(1) []12sin 0,2y x x π=∈＋，； (2) []2cos 0,2.y x x π=+∈， 【知识点】五点法作三角函数的图象 【数学思想】数形结合x yx y o【思路点拨】在[]0,2 π上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可. 【解题过程】（1）列表：x 0 2ππ 32π 2π sin x 0 1 0 -1 0 12sin x +131-11在直角坐标系中描出五点 ()30,1,3,1,1,2,122()()ππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ， ， ，，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到[]12sin 0,2y x x π+∈＝，的图象.（2）列表：x 0 2ππ32π2π cos x 1 0 -1 0 1 2cos x +32123描点连线，如图【设计意图】（1）巩固新知；（2）从层次上逐层深化、拾级而上，为往后学习三角函数图像的变换打下一定的基础. 同类训练用五点法作函数2cos()3y x π=+的简图.【知识点】五点法作()cos y A x ωϕ=+的函数图像 【数学思想】数形结合，函数复合 【思路点拨】令03x π+=，2π，π，32π，2π可得275-,36363x πππππ＝， ， , 【解题过程】（1）列表：3x π+2π π32π2π x 3π-6π 23π 76π 53π2cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭2 0-2 0 2（2）描点连线xy5π37π62π3π6-π3O【设计意图】 在例1的基础上做变式拓展，培养整体思想与复合函数的思想. ●活动4 强化提升、灵活应用例3 画出sin y x =的简图，并根据图像写出12y ≥时x 的集合. 【知识点】三角函数线和三角函数图像的应用 【数学思想】数形结合【思路点拨】利用正弦函数与余弦函数图象或单位圆寻求满足条件的取值.【解题过程】利用“五点法”作出sin y x =的简图，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作x 轴的平行线，在[]0,2π上直线12y =与正弦曲线交于1,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭，51,62π⎛⎫ ⎪⎝⎭两点.在[]0,2π内，满足12y ≥时x 的集合为566x x ππ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.因此，当x R ∈时，若12y ≥，则x 的集合为522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】522,66x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题，在这一过程中巩固新知，感受数形结合的魅力.例3 判断方程 04xcos x －＝根的个数.【知识点】三角函数图像的应用 【数学思想】函数方程与数形结合【思路点拨】当求解的方程不是普通方程时，经常采用数形结合法求解，即分别画出两个函数图象来求方程解的个数.【解题过程】设()() 4xf xg x cos x ＝，＝，在同一直角坐标系中画出()()f x g x 与的图象，如图：由图可知，()()f x g x 与的图象有三个交点，故方程 04xcos x －＝有三个根.【设计意图】让学生经历利用三角函数图像和三角函数线解决实际问题，在这一过程中巩固新知，感受数形结合的魅力. 3. 课堂总结 知识梳理（1） 正弦函数图象的几何作图法.（2） 正弦函数图象的五点作图法（注意五点的选取）. （3） 由正弦函数图象平移得到余弦函数的图象. 重难点归纳（1）正、余弦函数图象的简单应用.(难点) （2）正、余弦函数图象的区别与联系.(易混点) （三）课后作业 基础型 自主突破1.下列叙述正确的是（ ）①,]02[y sinx x π∈＝，的图象关于点()0P π，成中心对称； ②,]02[y cosx x π∈＝，的图象关于直线x π＝成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线11y y ＝和＝-所夹的范围. A.0 B.1个 C.2个 D.3个【知识点】正弦函数、余弦函数的图象的认识.【解题过程】分别画出函数,]02[y sinx x π∈＝，和,]02[y cosx x π∈＝，的图象，由图象观察可知①②③均正确.【思路点拨】分别画出正弦函数、余弦函数的图象即可. 【答案】D.2.用五点法作函数2sin 1y x =-的图象时，首先应指出的五点的横坐标可以是（ ） A.322ππππ0,, ,，2； B.3424ππππ0, , , ，； C.ππππ0, , 2, 3，4； D.26323ππππ0, ,,,. 【知识点】五点法作图的应用【解题过程】与作函数sin y x =的图象所取的五点的横坐标一样. 【思路点拨】 结合五点法作函数sin y x =的图象即可解答. 【答案】A.3.将余弦函数cos y x = 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数sin y x =-的图象，则m ＝( ) A.2π B. π C. 32π D. 34π 【知识点】图象变换的应用【解题过程】根据诱导公式得，33sin cos cos 22y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故欲得到sin y x =-的图象，需将cos y x =的图象向右至少平移.，32π个单位长度.【思路点拨】 利用诱导公式或函数图象左右平移方法即可解答 【答案】C.4.函数sin []0,2y x x π=∈，的图象与直线12y =-的交点有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 【知识点】正弦函数图象的应用 【数学思想】数学结合【解题过程】在[]0,2π内使1sin 2x =-的角71166x ππ为和所以sin []0,2y x x π=∈，的图象与直线12y=-有2个交点.【思路点拨】画出sin[]0,2y x xπ=∈，的图象与直线12y=-即可解答【答案】B5. 用“五点法”作出函数(sin02)y x xπ=-≤≤的简图.【知识点】“五点法”作图【数学思想】【解题过程】列表，描点、连线，如图所示.【思路点拨】利用关键的“五点”作图【答案】上图所示能力型师生共研6.函数cos cos0,2[]y x x xπ=∈＋，的大致图象为（）【知识点】函数图象的应用【数学思想】分类讨论思想【解题过程】由题意得32cos,02,2230,22x x xxyπππππ≤≤≤≤<<⎧⎪=⎨⎪⎩或【思路点拨】函数解析式含绝对值，一般原则去绝对值符号，画出分段函数图象，图象问题的选择题也可利用函数性质，例如单调性，对称性等解答.【答案】D7.求函数2sin1y x=+的定义域.【知识点】函数图象的应用【数学思想】数形结合 【解题过程】要使2sin 1y x =+有意义，则必须满足2sin 10x +≥，结合正弦曲线或三角函数线，如图所示：【思路点拨】利用正弦函数图象或三角函数线法.【答案】722,66x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭8.方程2co 0s x x -=的实数解的个数是__________.【知识点】余弦函数图象应用【数学思想】数形结合思想【解题过程】作函数2cos y x y x ==与的图象，如图所示，由图象，可知原方程有两个实数解.【思路点拨】作函数2cos y x y x ==与的图象.【答案】2自助餐1.以下对于正弦函数sin y x =的图象描述不正确的是( )A.在2,22[]x k k k πππ∈∈Z ＋，上的图象形状相同，只是位置不同B.关于x 轴对称C.介于直线11y y ＝和＝-之间D.与y 轴仅有一个交点【知识点】正弦函数图象的应用.【解题过程】逐一判断.【思路点拨】利用正弦函数图象【答案】B2.用“五点法”作函数cos 2y x =的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是()A.322ππππ0, , , ，2B.3424ππππ0, , , ， C.0234ππππ，， ， ， D.26323ππππ0,, , , 【知识点】“五点法”作余弦函数图象.【数学思想】转化与化归思想 【解题过程】令320222x ππππ＝， ， , 和，得30,424x ππππ＝， ， , 【思路点拨】利用作余弦函数图象的关键五点.【答案】B3.点,2M m π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数sin y x =的图象上，则m 等于( )A.0B.1C.－1 D .2【知识点】正弦函数的图象.【数学思想】【解题过程】由题意sin 1 1.2m m m π=∴-∴-，＝，＝-【思路点拨】点代入函数解析式.【答案】C4.在[]0,2π内，不等式3sin 2x <-的解集是( )A.(0,)πB. 4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 45,33πππ⎛⎫⎪⎝⎭ D. 5,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭【知识点】正弦函数的图象应用.【数学思想】数形结合思想【解题过程】画出[]sin 0,2y x x π=∈，的草图如下：【思路点拨】画出草图解不等式.【答案】C。
正弦函数余弦函数的图象与性质教案
正弦函数与余弦函数的图象与性质教案教学目标：1. 理解正弦函数和余弦函数的定义。
2. 学会绘制正弦函数和余弦函数的图象。
3. 掌握正弦函数和余弦函数的性质。
教学内容：第一章：正弦函数的定义与图象1.1 正弦函数的定义1.2 正弦函数的图象1.3 绘制正弦函数的图象第二章：余弦函数的定义与图象2.1 余弦函数的定义2.2 余弦函数的图象2.3 绘制余弦函数的图象第三章：正弦函数的性质3.1 周期性3.2 奇偶性3.3 最大值和最小值3.4 相位变换第四章：余弦函数的性质4.1 周期性4.2 奇偶性4.3 最大值和最小值4.4 相位变换第五章：正弦函数和余弦函数的应用5.1 振动现象的应用5.2 波动现象的应用5.3 温度变化的应用教学方法：1. 采用讲解法，引导学生理解正弦函数和余弦函数的定义和性质。
2. 采用图象绘制法，让学生通过绘制图象来加深对函数的理解。
3. 采用实例分析法，通过实际应用来让学生掌握正弦函数和余弦函数的图象与性质。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生绘制函数图象的准确性。
3. 学生对正弦函数和余弦函数性质的理解程度。
4. 学生解决实际问题的能力。
教学资源：1. 教学PPT。
2. 函数图象绘制软件。
3. 实际应用案例资料。
教学步骤：第一章：正弦函数的定义与图象1.1 讲解正弦函数的定义，引导学生理解正弦函数的概念。
1.2 利用函数图象绘制软件，演示正弦函数的图象。
1.3 学生动手绘制正弦函数的图象，加深对函数的理解。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 讲解余弦函数的定义，引导学生理解余弦函数的概念。
2.2 利用函数图象绘制软件，演示余弦函数的图象。
2.3 学生动手绘制余弦函数的图象，加深对函数的理解。
第三章：正弦函数的性质3.1 讲解正弦函数的周期性，引导学生理解周期性的概念。
3.2 讲解正弦函数的奇偶性，引导学生理解奇偶性的概念。
3.3 讲解正弦函数的最大值和最小值，引导学生理解最大值和最小值的概念。
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象示范教案(人教A必修4)
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学目的：1、用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象；2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图；3、正弦函数图象与余弦函数图象的变换关系。
教学重点、难点重点：会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象教学过程：一、复习引入：正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有 MP r y ==αsin ，OM r x ==αcos向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．二、讲授新课：1、正弦函数图象的几何作法采用弧度制， x 、y 均为实数，步骤如下：（1）在 x 轴上任取一点 O 1 ，以 O l 为圆心作单位圆；（2）从这个圆与 x 轴交点 A 起把圆分成 12 等份；（3）过圆上各点作x 轴的垂线，可得对应于0、6π、3π、、2π的正弦线；（4）相应的再把 x 轴上从原点 O 开始，把这0～2π这段分成 12 等份；（5）把角的正弦线平移，使正弦线的起点与 x 轴上对应的点重合；（6）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来。
2、五点法作图描点法在要求不太高的情况下，可用五点法作出，y sin x,x [0,2]=∈π的图象上有五 点起决定作用，它们是 描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了。
3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22πππ-π因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫做五点法。
注意：（1）描点法所取的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够精确。
（2）几何法作图较为精确，但画图时较繁。
（3）五点法是我们画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好。
（4）作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此在 x 轴、 y 轴上可以统一单位，作出的图象正规，便于应用。
(公开课导学案)正弦函数余弦函数的图象学教案
公开课导学案——正弦函数余弦函数的图像学教案第一章：正弦函数图像的基本特征1.1 学习目标：了解正弦函数图像的形状和基本特点。
1.2 教学内容：(1) 引导学生观察正弦函数图像的波形，理解其周期性和振幅的概念。
(2) 分析正弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
1.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制正弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论正弦函数图像在各个象限的变化规律。
1.4 练习题目：(1) 描述正弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在正弦函数图像的哪个象限。
第二章：余弦函数图像的基本特征2.1 学习目标：了解余弦函数图像的形状和基本特点。
2.2 教学内容：(1) 引导学生观察余弦函数图像的波形，理解其周期性和相位的概念。
(2) 分析余弦函数图像在各个象限的符号和变化规律。
2.3 课堂活动：(1) 让学生自主绘制余弦函数图像，观察其特点。
(2) 分组讨论余弦函数图像在各个象限的变化规律。
2.4 练习题目：(1) 描述余弦函数图像的一个周期内的变化情况。
(2) 判断给定的点在余弦函数图像的哪个象限。
第三章：正弦函数和余弦函数图像的比较3.1 学习目标：掌握正弦函数和余弦函数图像的异同点。
3.2 教学内容：(1) 分析正弦函数和余弦函数图像的形状和周期的关系。
(2) 比较正弦函数和余弦函数图像在各个象限的变化规律。
3.3 课堂活动：(1) 让学生对比绘制正弦函数和余弦函数图像，观察其异同点。
(2) 分组讨论正弦函数和余弦函数图像的比较。
3.4 练习题目：(1) 说明正弦函数和余弦函数图像的异同点。
(2) 绘制一个给定角度的正弦函数和余弦函数图像，并比较它们的特点。
第四章：正弦函数余弦函数图像的应用4.1 学习目标：学会利用正弦函数和余弦函数图像解决实际问题。
4.2 教学内容：(1) 引导学生利用正弦函数和余弦函数图像解决物理、工程等领域的问题。
(2) 分析正弦函数和余弦函数图像在实际问题中的应用。
【教案】正弦函数、余弦函数的图像教学设计(第1课时)必修第一册
课题：5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（第一课时）一、教学内容：正弦函数、余弦函数的图像二、教学目标：（一）、了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．达成上述目标的标志是：学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期［0,2π］内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的点清晰地解释图象的变换方式及原因；能说出正弦函数、余弦函数图象的五个特殊点，并能用五点法绘制正弦函数的图象.（二）、正、余弦函数图象的区别与联系达成上述目标的标志是：先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到只要将函数y=sinx图象上的点向左平移π2个单位长度，即可得到函数y=cosx的图象.（三）、正、余弦函数图象的简单应用．达成上述目标的标志是：会用“五点法”作出与正、余弦函数相关的函数简图．三、教学重点及难点（一）重点：正弦函数、余弦函数的图象．（二）难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法；探究正、余弦函数图象间的联系．四、教学过程设计问题1:三角函数是我们学习的一类新的基本初等函数，按照函数研究的方法，学习了三角函数的定义之后，接下来应该研究什么问题？怎样研究？追问：（1）研究指数函数、对数函数图象与性质的思路是怎样的？（2）绘制一个新函数图象的基本方法是什么？（3）根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？师生活动：教师提出问题，学生回忆函数研究的路线图，师生共同交流、规划，完善方案. 预设的答案如下.研究的线路图：函数的定义——函数的图象——函数的性质.绘制一个新函数图象的基本方法是描点法.对于三角函数，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周又回到原来的位置，这一特性已经用公式一表示，据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程，比如可以先画函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，再画正弦函数y=sinx，x∈R的图象．设计意图：规划研究方案，构建本单元的研究路径，以便从整体上掌握整个内容的学习进程，形成整体观念.问题2:在［0,2π］上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值sinx0并画出点T（x0，sinx0）？师生活动:方法1：一起作图探讨，如图5.4.1，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，⊙O与x轴正半轴的交点为A（１，0）．在单位圆上，将点A绕着点O旋转x0弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y0=sinx0．由此，以x0为横坐标，y0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T（x0，sinx0）.追问：如何科学地将单位圆上每一点对应的图像画出？师生活动:若把x轴上从0到２π这一段分成12等份，使x0的值分别为0,π6, π3, π2，…，2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（x0，sinx0）的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．方法2：利用信息技术，可使x0在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的点T（x0，sinx0）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象.设计意图：通过正弦函数的定义，得到点的坐标，通过分析点的坐标的几何意义，准确描点.进一步熟悉，描点连线成图，即点动成线的作图过程.问题3:根据函数y=sinx，x∈［0,2π］的图象，你能想象函数y=sinx，x∈R 的图象吗？师生活动:由诱导公式一可知，函数y=sinx，x∈［２kπ，２（k＋１）π ］，k∈Z且k≠０的图象与y=sinx，x∈［0,2π］的图象形状完全一致．因此将函数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y =sinx ， x ∈R 的图象（图5.4.4）．知识梳理：正弦函数的图象叫做正弦曲线（sinecueve ），是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．追问：确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？师生活动:观察图5.4.3，在函数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象上，以下五个点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，−1)，（2π，0） 在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数数y =sinx ， x ∈［0,2π］的图象形状就基本确定了．知识梳理：在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种作图方法近似地称为“五点（画图）法”，今后作简图是非常实用的．设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法.问题4:由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．你能利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象吗？师生活动:学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系 研究的依据.教师引导学生通过比较进行选择.从数的角度看，对于函数y=cosx，由诱导公式cosx=sin(x+π2)得，y=cosx=sin(x+π2),x∈R．追问1：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？师生活动:函数y=sin(x+π2),x∈R 的图象可以通过正弦函数y=sinx，x∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4.5 所示．知识梳理：余弦函数y=cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线（cosinecurve）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．追问2：你能在两个函数图象上选择一对具体的点，解释这种平移变换吗？师生活动：这是教学的难点，教师要首先进行示范.教师可以先选择一个具体的点，进行分析，然后上升到对一般点的分析.得到图象之后还可以再利用图象进行验证.设(x0,y0）是函数y=cosx图象上任意一点，则有y0=cosx0=sin(x0+π2).令x0+π2=t0，则y0=sinxt0，即在函数y=sinx图象上有对应点（t0，y0）.比较两个点：（x0，y0）与（t0，y0）.因为x0+π2 =t0即x0=t0-π2.所以点（x 0，y 0）可以看做是点（t 0，y 0）向左平移π2个单位得到的，只要将函数y =sinx 图象上的点向左平移π2个单位长度，即可得到函数y =cosx 的图象，如图5.4.5 所示．知识梳理：余弦函数y =cosx ，x ∈R 的图象叫做余弦曲线（cosinecurve ）．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两 个函数图象之间的联系性的认识.问题5:类似于用“五点法”画正弦函数的图象，你能找出余弦函数在区间［－π，π］上相应的五个关键点吗？可以画出y =cosx ，x ∈［－π，π］的简图吗?师生活动:画余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0，1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．用光滑曲线顺次连接这五个点，得到余弦曲线的简图．设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，获得“五点法”． 问题6:例题分析：如何用“五点法”作出下列函数的简图？(1)y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]；(2)y ＝-cos x ，x ∈[0,2π].师生活动:老师点拨：在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．预设学生：在直角坐标系中描出五点，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象．追问：你能利用函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，通过图象变换得到y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象吗？同样地，利用函数y＝cos x，x∈[0,2π] 图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y＝-cos x，x∈[0,2π] 的图象？师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行展示交流，教师点评并给出规范的解答.设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法"画图，掌握画图的基本技能.通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫.五、课堂小结1．正弦函数和余弦函数的图象．正、余弦函数的图象每相隔2π个单位重复出现，因此，只要记住它们在[0，2π]内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线．2．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数最高点、最低点与x轴的交点．3．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．六、目标检测设计（一）课前预习整理1、正弦曲线和余弦曲线1．可以利用单位圆中的______线作y＝sin x，x∈[0,2π]的图象．2．y＝sin x，x∈[0,2π]的图象向____、____平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象．3．正弦函数y＝sin x，x∈R的图象和余弦函数y＝cos x，x∈R的图象分别叫做__________和__________．整理2、正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图 “五点法”作图的一般步骤是______⇒______⇒______. 设计意图:预习知识，引发思考．（二）课堂检测1．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π32．用“五点法”画出y ＝cos （3π2－x ），x ∈[0,2π]的简图．设计意图:强化知识目标3 课后作业：（1）教科书第200页练习题.（2）习题5.4/1.设计意图：巩固知识，提升动手操作能力.七、教学反思。
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正弦、余弦函数图象的几何画法（教案）
（官一中管升党）
教学目标：
一、知识培养目标
1、掌握用正弦线、余弦线画正弦函数、余弦函数图象的几何画法、五点法；
2、理解正弦曲线与余弦函数曲线间的区别与联系；
3、掌握正弦、余弦函数性质.
二、能力培养目标
1、感受数化形形化数的数形结合思想、转化化归思想；
2、培养应用数形结合思想实现化抽象为直观简化解题过程的能力；
3、培养画图、识图、用图能力.
三、德育渗透目标
培养严谨细致的治学精神,树立对立统一的辨证唯物主义观点.
教学重点：
1、正弦、余弦函数图象的几何画法；
2、正弦、余弦函数的性质.
教学难点：
从图象上的点的纵坐标到有向线段数量的转化.
教具：多媒体设备
课时：1课时。