在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
量子力学思考题及解答
量子力学思考题1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。
解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。
（2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。
2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。
如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(rψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(rψ而完全确定。
由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。
从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。
3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。
解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112ψψψc c +=确定，2ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2*21*21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。
4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。
（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r无关的复数，但可能是时间t 的函数。
这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
16-4一维谐振子问题
)
2.微分性质：
dH
d
2nH n1( )
3.正交归一性：
e
2
H
n
(
)H
n
'
(
)
d
2n n!
nn
4.完备性：
f ( ) cnHn ( ) 0
式中的展开系数为：
cn
1 2n n!
e 2
f
( )Hn ( )d
由式（2.7.1）即可得能量本征值 E为：
En
(n
1 )h
2
n 0,1, 2,3,L
U (x) 1 2 x2
2
粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！
2
2
2
U
(r)
(r)
E
(r)
————定态薛定谔方程
U (x) 1 2 x2
2
2
2
d2 dx 2
1 2
2 x2
(x)
E
(x)
————一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程
2
2
d2 dx 2
2 px
vx 2a
p
2 x
mea
将算符
pˆ
2 x
(i
)2 x
2
x 2
代入上式，得
F
2 me a
2 x2
A A (r) Aˆ (r)d
一维无限深势阱的基态波函数为
1(x)
2 a
sin
x
a
1
(
x
)
电子对阱壁的平均冲力为
F
a
0
1
Fˆ
1dx
2π 22 me a 4
线性谐振子的不同解法比较
线性谐振子的不同解法比较关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题[1]的解决起着重要的帮助作用。
在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。
中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号：Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear HarmonicOscillator Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunctionAbstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the differentproblems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively.1． 引言谐振子的模型在量子力学，量子光学以及固体物理等学科领域都有着广泛的应用。
6-4-7一维线性谐振子
6-4-7 定态薛定谔方程的应用（三）线性谐振子其能量是振幅的连续函数一、经典线性谐振子在势场中运动的质量为的微观粒子2221)(x m x U m 二、量子线性谐振子xU 当时，势能谐振子的势能曲线亦为无限深势阱，只不过不是方势阱而已，所以粒子只能作有限的运动，即处于束缚态。
221E m A 2 谐振子在运动中能量守恒定态薛定谔方程1.谐振子的能量， )21()21( h n n E n n = 0, 1, 2, (22)222()1()()22d x m x x E x m dx (1) 能量量子化经典：能量连续(2) 最低能级01E h 2经典：的态对应00 E 0p x 零点能零点能不等于零是量子效应，是微观粒子波粒二相性的表现。
不可能静止E n nh 普朗克谐振子的能量：n = 1, 2, …(3) 能级间隔均匀E h假想存在许多虚构的粒子，其每个的能量为h 这种粒子叫做量子（Quantum ）在晶体中，这种量子叫做声子phonon(4) 当n 时，符合玻尔对应原理。
能量量子化 能量连续， 0Δ nE E(1)在E <U 区，概率密度不为0——隧道效应2. 概率密度例如基态位置概率分布在x =0处最大，经典振子在x = 0处概率最小。
(3) n 小时，概率分布与经典谐振子完全不同xn 很大E n E 1E 2E 00U (x )21 2n 22 20 (2) 波函数有n 个零点，在零点处概率为零。
n 为奇数时，x =0处，概率为零。
经典：无零点。
当n 时，符合玻尔对应原理。
量子概率分布 经典概率分布，简谐振子n =11 时的概率密度分布：211 11n x虚线是经典结果(4)只有在n 较大的情况下，有与经典相似。
谐振子的定态薛定谔方程谐振子的能量量子化线性谐振子势函数2221)(x m x U 小结22222()1()()22d x m x x E x m dx ， )21()21( h n n E n ,2,1,0 n。
量子力学课件(7)( 一维线性谐振子)
) e
1 2
1 − α 2 x2 2
H n (α x ),
1 En = (n + )hω . 2
波函数
ψ n ( x) =
第二章 §8 一维线性谐振子 ，在经典情形下，粒子将被限制在|α薛定谔方程 以基态为例， 以基态为例 在经典情形下，粒子将被限制在|α x|< 1
范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| 1)处 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能 2 x2 = {1/2} ħω= E ，即势能等于总能量，动能 V(x)=(1/ 2)mω ω= 0 即势能等于总能量， 为零，粒子被限制在阱内。 为零，粒子被限制在阱内。
为简单计，引入无量纲变量ξ代替x 为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，
令：
§8 一维线性谐振子
ξ =αx
第二章 薛定谔方程
其中
α =
mω ， h
方程可改：
d2 + [2ε − ξ 2 ]ϕ (ξ ) = 0 dξ 2
其中
E ε= hω
此式是一变系数 二阶常微分方程
取能量单位、 取能量单位、长度单位 设定边界条件、束缚态条件、 设定边界条件、束缚态条件、意思是谐振 子出现在无穷处的概率为零。 子出现在无穷处的概率为零。
9.3 谐振子的本征值和本征函数
§8 一维线性谐振子
第二章 薛定谔方程
ϕ n (ξ ) = c n H n (ξ ) e
−ξ 2 / 2
1 εn = n + 2
上式中,n=0,1,2,3,……。其中， 上式中,n=0,1,2,3,……。其中，归一化常数 ,n=0,1,2,3,……
c n = ( π 2 n !)
曾量子力学题库（网用）（1）讲解
曾量⼦⼒学题库（⽹⽤）（1）讲解⼀、简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释⿊体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原⼦的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位）3. （1）试⽤Einstein 光量⼦假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量⼦理论5. （1）简述波尔-索末菲的量⼦化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）在给定的状态中测量某⼀⼒学量可得⼀测值概率分布。
问在此状态中能否测得其它⼒学量的概率分布？试举例说明。
9. （2）在给定状态下测量某⼀⼒学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满⾜的条件11.（2）假设⼀体系的基态波函数在全空间上都⼤于零，试解释是否存在某⼀激发态，该激发态在全空间范围内也都⼤于零。
12.（2）已知粒⼦波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒⼦在球壳),(dr r r +中被测到的⼏率以及在),(?θ⽅向的⽴体⾓元?θθΩd d d sin =中找到粒⼦的⼏率。
13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 15.（2）设ikre r1=ψ，试写成其⼏率密度和⼏率流密度 16.（2）试解释为何微观粒⼦的状态可以⽤归⼀化的波函数完全描述。
17.（3）简述和解释隧道效应18.（3）⼀维⽆限深势阱体系??><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(??><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikxe e ax --=ψ，其中a k π2=，请问该状态是否是定态？为什么？ 19.（3）说明⼀维⽅势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
20.（3）某⼀维体系，粒⼦的势能为222x µγ，其中µ为粒⼦质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。
论坐标表象中求解带电谐振子问题的方法
［ ］曾瑾言． ２ 量子 力学高 等教育 出版社 ［ ．北 京： Ｍ】 高等 教育 出版
社 ．９ ８ １７ ．
这个方程与谐振子的方程是一致的， 可以采用厄米级数方
［ ］钱伯初． ３ 量子 力 学 习题精 选 与剖 析 ［ ．北 京 ： 学 出版社 ， Ｍ］ 科
因此，
（＋ ） 二 ｎ÷ 一ｕｏ ｑ ｅ ￣ ｌ
．
此等式与（） ４ 式相同
＝ ｅ ｅ－ （ 一似 似） 同时， ＝ ｅ芋 （ ） Ｎ 一 田
（ 如 ） ｆ一 ２
２ 配方法的运用
＝ ｎ～ Ⅳｅ下
（ Ｇ） － ０
如 令 ，√ ， ２ 变 为 果 ： （式 形 ： ＝ ）
４ ２
第１ ２期
Ｎ ．２ Ｏ １
宜宾学院学报
Ｊｕ ａ ｆ ｉｉ ｎｖｒｉ ｏｒ ｌ ｂｎＵ ｉ ｓｙ ｎ ｏＹ ｅ ｔ ，
Ｄ ｃｍ ｅ．０ ８ ｅｅ ｂｒ２ ０
论坐标表象中求解带 电谐振子问题的方法
王 印 磊
（ 山东科技大学 基础部， 山东 泰安 ２ １０ ） ７０ ０
摘要： 本文运 用不同的方法讨论 了电场 中带电谐振子在坐标表 象中的能量本征值和本征函数 的求解方法， 为电场 中带 电谐搌子不仅可以用定态 认 微扰的方法求近似解 ， 而且其精确解也可以找到．
㈩
，
比较（） １式和（ ） ｎ 和 的差别在于变量 由 变成了 ３ 式， ｏ
其本征值为：
并 了 数 去 ｘ， 增添 常 项一 ２ ２ 。
由此可知：
Ｅ ＝ｆ（’一 ｆｏ ‰ ２
其本征函数为：
＝
＝
Ｎｅ丁 Ｈ （ 一 似）
能量表象中的谐振子问题
( xn +1,n ) 2 − ( xn ,n −1 ) 2 =
ℏ
（14）
再利用式（4），即得
pn +1,n = iωµxn +1,n
(15)
x的矩阵元为实数，p的矩阵元为纯虚数，因此 的矩阵元为实数， 的矩阵元为纯虚数 的矩阵元为纯虚数， 的矩阵元为实数
xn ,n +1 = ( xn +1,n ) = xn +1,n
dA dt
H | ψ n 〉 = En | ψ n 〉 〈ψ n | H = En 〈ψ n |
dA = iωkn Akn dt kn
Ek − En = ℏωkn
其中 ω = ( E − E ) / ℏ kn k n
2.求和规则
∑ ( Ek − En ) xnk =
2 n
利用x的算符运动方程，可得
E = E0 , E0 + ℏω , E0 + 2ℏω.....
即
En = E0 + nℏω, n = 0,1,2......
(8)
为了求出基态能级，可以利用求和规则
∑ (E
n
n
− Ek ) | xnk |2 = ℏ / 2 µ
(9)
取k为基态（k=0），由式（6）（7）和 （9）可得
ℏ2 = ℏω ∑ | xn 0 |2 = ℏω ( x 2 )00 2µ n
在能量本征态|k>下求平均值，即得 iℏ = ( xpx )kk − ( px x )kk = ∑ xkn ( px )nk − ( px )kn xnk
n
= i µ ∑ (ωnk xkn xnk − ωkn xkn xnk ) = 2i µ ∑ ωnk xnk
高等量子力学习题和答案
高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。
在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ则必有1(')()()()()[,]z z e e z H r U d H r U d iH r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题初中物理题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题作者单位：响水滩乡中心学校作者姓名：宁国强2019年9月28日在坐标表象中处理一维线性谐振子问题响水滩中心学校宁国强摘要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；一、能量本征值、本征函数的求解取自然平衡位置为坐标原点, 并选原点为势能零点, 则一维线性谐振子的势能为V (x ) =12μωx （1）22其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。
一维谐振子的哈密顿函数为H =p22μ12μωx （2）22体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为⎛ 2d 2122ˆ-+μωx 22⎛2μdx⎛⎛ψ⎛(x )=E ψ(x ) （3）严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：ψ(x )−−→0 （4）x →∞将方程（3）无量纲化，为此，令2ξ==αx ，α=λ=2E ω（5）（3）式可改写为d ψd ξ+λ-ξ(2)ψ=0 （6）这是一个变系数二阶常微分方程。
为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。
当⎛⎛ξ⎛⎛很大时, λ与ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为d ψd ξ22-ξψ=02 （7）±ξ/22它的渐近解为ψ~e ξ→±∞时，所以ψ e ξ2。
因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，2/2不满足边界条件(4)式，应弃之。
波函数指数上只能取负号，即ψ e -ξ/2。
方程(6)在ξ为有限处的根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式：ψ(ξ)=A eξ22H (ξ) （8）式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得d2H2d ξ-2ξd H（9）+(λ-1)H =0d ξ用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。
一维线性谐振子
一维线性谐振子一维线性谐振子势能为2221)(x x U μω= 能量本征值 ω )21(+=n E n),2,1,0( =n 能量本征函数 2212( ) ,x n n n N eH x αψα-=22()(1)e e ,n n n nd H d ξξξξ-=- 2301231, H =2, H =4-2 , H =8-12 ,H ξξξξ=, 2!n nm N n ωααπ==（）递推公式1111()2()2()0()2()2()0n n n n n n H H nH H x xH x nH x ξξξξαααα+-+--+=⇒-+=求导公式11()()2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dxξαξααξ--=⇒=2.1 利用Hermite 多项式的递推公式，证明谐振子波函数满足下列递推关系：1111()()()22n n n n n x x x x a ψψψ-+⎤+=+⎥⎦22221()(1)()(21)()(1)(2)()2n n n n x x n n x n x n n x aψψψψ-+⎤=-+++++⎦并由此证明，在n ψ态下，0x =，2nE V =。
证：利用 11()2()2()0n n n H x xH x nH x αααα+--+= []222222222222122211221121111( )2xH (x)2=2()()211= nH (x)+H (x)22!2!1=()22(1)!1(1)+22(x x n n n n n x n n n x x n n nnx n n n x N e xH x N e N e nH x H x een n n e H x n n n ααααααψαααααααααααααππαααπααπ----+---+---+⋅=⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎤⎥⋅⋅-⎥⎦+⋅+2221()1)!x n e H x αα-+⎤⎥⎥⎦1111()()22n n n n x x a ψψ-+⎤+=+⎥⎦21122211()()()2211112()()()()222222n n n n n n n n n x x x x x x a n n n n n n x x x x ψψψψψψψα-+-+⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎫⎤⎤-+++⎪=+++⎬⎥⎥⎪⎦⎦⎭2221(1)()(21)()(1)(2)()2n n n n n x n x n n x aψψψ-+⎡⎤=-+++++⎣⎦**1111022nnn n n n x x dx dx ψψψψψα∞-+-∞⎡⎤+==⋅+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰，*22*222111(21)2221()112().222nn n n n V m x dx m n dxn E n x m ψωψψωψαωω∞∞-∞-∞=⋅⋅=⋅⋅++=+==⎰⎰或者 2.2 利用Hermite 多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下列关系：111()()()22n n n d n n x x x dx ψαψψ-+⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦22222()(1)()(21)()(1)(2)()2n n n n d x n n x n x n n x dx αψψψψ-+⎡⎤=--++++⎣⎦证明：Hermite 多项式的求导公式11()()2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dxξαξααξ--=⇒=， 所以222222212111111()[()()2()]()2()1()()2()221()()22x x n n n n n n n n n n n d x N x e H x en H x dxx x n x n n x x n x n n x x ααψαααααψαψαψψαψαψψ-----+--+=-+⋅=-+⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦⎤+=-⎥⎦2112222221()221112222222(1)(21)(1)(2)2n n n n n n n n n n d d d n n x dx dx dxn n n n n n n n n n n ψψψααψψαψψαψψψ-+-+-++=-⎡⎤⎤-+++=---⎢⎥⎥⎣⎦⎦⎡⎤=--++++⎣⎦**111()()022nn n n n d n n p i dx i dx dx ψψψαψψ-+⎡⎤+=-=-⋅-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰222*22222*2211(21)(21)()224222n n n nn p d T dx m m dxE n dx n n mm ψψααψψω==-=+=+=+=⎰⎰2.3 计算一维谐振子122221()()2x x x x x n m ω⎡⎤∆=-=-=+⎣⎦ 122221()()2p p p p p n m ω⎡⎤∆=-=-=+⎣⎦ 1()2x p n ∆⋅∆=+， 对于基态， 2x p ∆⋅∆=。
一维谐振子的本征值问题.
一维谐振子的本征值问题姜罗罗赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。
在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。
然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。
最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。
关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。
在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。
一维谐振子的本征值问题属于定态问题。
本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ödinger 波动力学解法。
16-4 一维谐振子问题
v − i h∇ ⇔ p
a v ∗ ˆ p = ∫ ψ pψdx
=0
2 a nπx d nπx = ∫ sin (−ih ) sin dx a 0 a dx a
0
在一维无限深方势阱中， 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均 值与粒子所处的本征态的级数， 没有关系。 值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。 粒子的动能的平均值： 粒子的动能的平均值： 在势阱内部，势能为零， 在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能 在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。 量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。
α=
µω
最简单的几个厄米多项式为： 最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 (ξ ) = 1,
n=1,
H 1 (ξ ) = 2ξ ,
− iEnt / h
n=2,
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x)e
= N ne
−α 2 x 2 2
————一维谐振子的定态薛定谔方程 一维谐振子的定态薛定谔方程 ————一维谐振子的能量本征值方程 一维谐振子的能量本征值方程
h2 d2 1 2 2 + µω x ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2 2 µ dx
为了简洁起见，引入三个无量纲参量： 为了简洁起见，引入三个无量纲参量：
a
2
πx dx a
=
2 πh 2 me a
3
∫0 sin
−7
π
me a3
= 1.17 × 10 N
试求： 例2:如果粒子的波函数为 ψ ( r , θ , ϕ ) ，试求： 如果粒子的波函数为 内找到粒子的概率； 在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率； 到 的球壳内找到粒子的概率 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。 球坐标系下的体积元的表达式： 球坐标系下的体积元的表达式：
52_7一维谐振子
n 2 U(x)
n很大
随量子数n增大，量子谐振子的
几率密度迅速震荡，其平均值与 经典结果趋于符合。相似性逐渐 增大。在原点速度最大，停留时 间短，粒子出现的几率小；在两 端速度为零，出现的几率最大。
n=3
n=2 n=1
0
x
符合玻尔对应原理。
10
* 线性谐振子波函数的宇称
n (x) n (x)
力学量测量值的偏差： 由不确定关系：
14
由不确定关系证明了一维谐振子的基态能：
15
• 力学量算符必须是线性厄米算符
1.力学量用算r符表r达ˆ
p pˆ i
与动量有关的经典力学量，其量子力学所
对应的算符可用动量的对应关系得出。
Ek
Tˆ
2 2m
2
2 2m
2 ( x2
Cn2为 (x)中包含n(x)状态的百分比。
力学量 A 的平均值
在状态 (x)上对力学量A作多次（大数）测量，
则
2
A Cn
n1
An 可证
A *( x)Aˆ ( x)d x
21
• 力学量算符必须是线性厄米算符
线性厄米算符的性质：
厄米算符
* 厄米算符的本征值必为实数。 * 厄米算符的平均值必为实数。
2m
就是能量算符的本征方程， Hˆ [ 2 2 U (r)]
2m
n就是能量取本征值En时的本征函数18动Fra bibliotek算符的本征值方程
式中 是动量算符的本征值，在直角坐标系下
为 px、py、pz均为实数。动量本征值方程的解
在坐标表象中：
用阶梯算符研究谐振子能量及相干态问题
用阶梯算符研究谐振子能量及相干态问题郁华玲【摘要】谐振子是量子力学中最基本也是十分典型和重要的问题,而在坐标表象中利用薛定谔方程的求解过程比较复杂.本文从两个无量纲的阶梯算符出发巧妙的推导出谐振子能量的本征值和本征矢,进而借用平移算符求解出谐振子的相干态.计算表明相干态表象的基矢是过完备的,同时在相干态中,坐标及其动量具有最小的不确定性.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2017(036)005【总页数】4页(P24-26,37)【关键词】谐振子;相干态;阶梯算符;平移算符【作者】郁华玲【作者单位】淮阴师范学院物理与电子电气工程学院,江苏淮安223300【正文语种】中文【中图分类】O413.31900年普朗克利用谐振子模型提出了能量量子化概念，从而敲开了量子力学的大门，谐振子也就成为量子力学中被广泛研究和讨论的热门问题.因其具有十分典型的量子力学原理，被广泛的应用于分子、固体物理、量子场论和量子光学等领域. 相干态概念最初是于1926年由薛定谔引入[1]，原意是要找出某个量子力学的状态，使得坐标算符和哈密顿算符在态平均的意义上等同于对应的经典运动[2].之后发现谐振子的某些叠加态体现出了这样的性质.薛定谔的这一思想直到1963年才由Roy J. Glauber加以系统的理论发展和应用推广[3，4]，奠定了量子光学的基础.随后在物理学的许多领域中都大量地推广与应用了相干态这一重要方法，在量子光学、统计物理与超导、量子电动力学、原子核物理等众多学科中，相干态的应用解决了长期困扰人们的大量问题[5-8].时隔40多年以后，Roy J. Glauber因此项工作获得了2005年度的诺贝尔物理学奖.谐振子及其相干态问题在坐标表象得到了广泛的研究和讨论[9-11]，而坐标空间能量及其波函数的求解都比较复杂.本文通过引进阶梯算符巧妙的求解出谐振子能量的本征值和相应的本征态，同时进一步求解出谐振子的相干态，并对其性质进行讨论.一维线性谐振子体系哈密顿量为引入无量纲的一对阶梯算符[12]：则体系的哈密顿写为同时可以证明有如下式子成立：ћћ设能量的本征值为E，相应的本征态为|ψ〉，即H|ψ〉=E|ψ〉，由式(3)得上式两边恒大于等于零，即ћω，而且只有当时才有ћω为能量最小值.由式(4b)可得如果|ψ〉≠0，则ћω，上式表示|ψ〉也是哈密顿量的本征态，对应本征值为E-ћω，同样道理如果E-ћћω，那么E-2ћω也是体系能量的本征值，以此类推得能量一系列本征值为：另一方面由式(4c)可得：除了+|ψ〉=0外，+|ψ〉也是能量的本征态，对应的本征值为E+ћω，同样依次类推得到能量一系列可能值：综上述可以确定谐振子能量的一系列本征值为：设|0〉为谐振子基态，对应能量为ћω，则有.从式(5b)可得谐振子对应式(6)能量本征值的一系列本征矢为：接下来讨论式(7a)表示的本征矢的归一化问题，由式(4d)可得n-1|0〉.所以有⋮n!〈0|0〉=n!此处利用了基态本征矢的归一化条件〈0|0〉=1，所以式(7a)的归一化本征矢为：对于谐振子来说，相干态|z〉是算符的本征态，令|z〉=z|z〉，定义幺正算子，利用Glanber公式：可以得到如果)是的幂级数，则可以证明：由(9)、(10)两式可以得到式(11)和坐标空间平移变换的公式类似，所以可以把(z)看成是相干态的平移算子.显然有如下等式成立：式(12)两边作用到|z〉态上：所以由式(14)可以看出平移算符(z0)也是一种阶梯算符，令其中z和z0互换并令z0=0得：|0〉=此相干态是谐振子所有能量的本征态的相干叠加.3.1 相干态作为表象的基矢是过完备的相干态|z〉中复变参数z的变化区域是整个复平面，所以取复平面积分：利用极坐标可求得上式积分为即相干态是满足归一化条件的.对于不同的相干态|z1〉和|z2〉，考察其正交性质：利用式(9)的Glauber公式可得公式e[u，v]，将其代入式(18)得|0〉=所以有如果z1≠z2，则式(19)表示z2〉≠0，即属于不同本征值的本征态不正交.这种满足归一化条件却彼此不正交的态矢量集合作为表象的基矢是过完备的.3.2 具有最小的不确定性由式(2)可得：利用平均值公式可求出如下各个量在相干态中的平均值：所以有：从而得到坐标和动量在相干态|z〉中的不确定度为因为坐标和动量的不确定关系为，所以在相干态|z〉中，坐标和动量具有最小的不确定性.本文摈弃谐振子在坐标表象中的复杂求解方法，利用谐振子的一对无量纲的阶梯算符巧妙地给出能量本征值和本征态，进而利用平移算符求解出谐振子的相干态并讨论了其性质.【相关文献】[1] E. Schrödinger.Der stetige Übergang von der Mikro-zur Makromechanik[J]. Naturwissenschaften，1926(14):664-666.[2] 张永德. 量子力学[M].2版. 北京：科学出版社，2008:144-152.[3] Roy J Glauber. The quantum theory of optical coherent[J].Phys Rev, 1963,130:2529-2539.[4] Roy J Glauber. Coherent and incoherent states of the radiation field[J].PhysRev,1963,131:2766-2788.[5] Loudon R.The Quantum Theory of Light[M]. Oxford University Press，2000:351-363.[6] Bardeen W A, Chanowitz M S, Drell S D, et al. Heavy quarks and strong binding: A field theory of hadron structure[J].Phys Rev D, 1975(11):1094-1136.[7] Kulish P P, Faddeev L D. Asymptotic conditions and infrared divergences in quantum electrodynamics[J].Theoretical and Mathematical Physics， 1970(4):745-757.[8] Cummings F W, Johnston J R. Theory of Superfluidity[J].Phys Rev,1966(151):105-112.[9] 石国芳，惠小强，陈文学.双模耦合谐振子哈密顿量的一般解法[J].大学物理，2008，27(4)：7-9.[10] 孙素涛，白志明.利用自洽平均值近似法巧解非线性谐振子问题[J]. 大学物理，2010，29(6)：18-20.[11] 刘家福，张昌芳，曹则贤.基于一维谐振子问题严格解的不确定性关系再讨论[J].西南师范大学学报，2014，39:210-213.[12] 狄拉克. 量子力学原理[M].4版.北京：科学出版社，2008:136-139.。
9 一维线性谐振子ppt
n
展开系数
m ( x) ( x)dx m ( x) an n ( x)dx an m ( x) n ( x)dx n n
an mn am
n
C.一维谐振子每一个能量的本征值对应有一个本 征函数，即能级是不简并的。 D.坐标算符或动量算符作用于本征函数 上，结果 是 1
2 d 2 1 ˆ H m 2 x 2 2m dx 2 2
ˆ H 不显含时间，是谐振子的能量算符。
• 9.2求解定态Schrodinger方程 ˆ H ( x) E ( x) • 即 • A). 取 B) 定义无量纲能量、无量纲坐标
E
2 d 2 1 ( m 2 x 2 ) ( x) E ( x) 2m dx 2 2 1 d2 ( 2 x 2 ) ( x) E ( x) m 1 得 2 dx
1 1 2 2 7 3 3 3 ( x) 1 4 (2 x 3 x) exp( x ) E3 2 2 3
量子力学概率与经典概率的比较
兰线是经典概率 密度 红线是量子概率密度
谐振子势能曲线和概率密度分布
• 9.4本征值和本征函数的数学性质 • A.能量本征值取分立值，即谐振子的能量是量
n 0,1,2,....
• 本征函数和对应的本征值举例
1 2 2 0 ( x) 1 4 exp( x ), 2 2 1 2 2 1 ( x) 1 4 x exp( x ) 2
1 E0 2 3 E1 2 5 E2 2
1 1 2 2 2 2 2 ( x) 1 4 (2 x 1) exp( x ) 2 2
中科院量子力学题90-11
θ 2
θ 2
（4）求演化成 −ψ ( x, t ) 所需要的最短时间 tmin 。 三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：
-2-
t ≤ 0; ⎧ 0, ˆ' =⎪ 其中 λ、T 为常数。 H t ⎨ − T ⎪ > λ ze , t 0. ⎩
（1） 求很长时间后 t ≫ T 电子跃迁到激发态的概率，已知基态中 a 为玻尔半 径，基态和激发态波函数为：
1 2 1 2
中国科学院研究生院 2007 年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题 试题名称：量子力学 B 卷
一、考虑一维阶梯势 V ( x) = ⎨
⎧V0 , ⎩ 0,
x > 0(V0 > 0) x<0
设粒子从右边向左边入射，试求反射系数和入射系数。 二、电子处于沿 + z 方向大小为 B 的均匀磁场中。设 t = 0 时刻电子自旋沿 + y 方 向。 （1）试求 t = 0 时电子自旋波函数； （2）试分别求出 t > 0 时电子自旋沿 + x, + y, + z 方向的概率。 三、粒子在 V ( 100 ( r ) = R10 ( r ) Y00 (θ , ϕ ) = e ; 3 4π 2 a 3 1 � cos θ ψ 210 ( r ) = R21 ( r ) Y10 (θ , ϕ ) = 3 4π (2a) 2
r − 2ra e . 3a
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。 （a）ψ 200 （b）ψ 211 （c）ψ 21−1 （d）ψ 210
一、在一维无限深方势阱 ( 0 < x < a ) 中运动的粒子受到微扰
a 2a ⎧ < x<a 0, 0 < x < , ⎪ ⎪ 3 3 ' ˆ H ( x) = ⎨ 作用。试求基态能量的一级修正。 a 2a ⎪ −V , < x< 1 ⎪ 3 3 ⎩
一维谐振子与量子力学简正坐标系
一维谐振子与量子力学简正坐标系量子力学的核心理论之一是简正坐标系。
简正坐标系在量子力学中具有重要的地位，并广泛应用于各种物理问题的研究。
本文将通过对一维谐振子与量子力学简正坐标系的讨论，来探究其相关的物理原理和应用。
一维谐振子是指在只有一个方向上运动的振动系统。
它是量子力学中最简单、最基本的模型之一。
一维谐振子的动力学描述可由哈密顿量得到：\[\hat{H} = \frac{{\hat{p}^2}}{{2m}} + \frac{{1}}{{2}} m\omega^2 \hat{x}^2\]其中，\(\hat{H}\)为系统的哈密顿量，\(\hat{p}\)为动量算符，\(\hat{x}\)为位置算符，\(m\)为质量，\(\omega\)为角频率。
量子力学中，位置和动量被描述为算符，而不再是经典物理中的函数。
这是量子理论与经典理论的本质区别之一。
对于一维谐振子，我们可以通过引入简正坐标和简正频率来更好地描述体系的行为。
简正坐标可以看作是一维谐振子的某种集体振动模式。
一维谐振子的简正坐标满足以下方程：\[\frac{{d^2Q_i}}{{dt^2}} + \omega_i^2 Q_i = 0\]其中，\(Q_i\)为第\(i\)个简正坐标，\(\omega_i\)为对应的简正频率。
通过将一维谐振子的位置和动量表达式与简正坐标和简正频率相联系，可以得到简正坐标与位置算符之间的关系：\[\hat{x} = \sum_{i=1}^{\infty} u_i Q_i\]其中，\(u_i\)为相应的简正坐标和位置算符之间的变换系数。
这意味着一维谐振子的位置算符可以通过简正坐标与其展开系数之间的线性组合来表示。
类似地，动量算符也可以通过简正坐标与其展开系数之间的线性组合来表示。
简正坐标系的引入使得研究一维谐振子的问题变得更加方便。
通过使用简正坐标和简正频率，可以将一维谐振子的运动问题转化为一系列独立的简正模式上的振动问题。
用坐标变换法求解频率渐变的线性谐振子
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用 坐 标 变 换 法 求 解 频 率 渐 变 的 线 性 谐 振 子
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初中物理
题目：在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
作者单位：响水滩乡中心学校
作者姓名：宁国强
2012年9月28日
在坐标表象中处理一维线性谐振子问题
响水滩中心学校 宁国强
摘 要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般表象的概念。
关键词：一维线性谐振子；坐标表象；
一、 能量本征值、本征函数的求解
取自然平衡位置为坐标原点,并选原点为势能零点,则一维线性谐振子的势能为 221()2V x x
μω= （1） 其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。
一维谐振子的哈密顿函数为
222122
p H x μωμ=+ （2） 体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为
()()222221ˆ22d x x E x dx μωψψμ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭
h （3） 严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：
()0x x ψ→∞
−−−→ （4）
将方程（3）无量纲化，为此，令
x ξα==， α= λ=2E ω
h （5） （3）式可改写为
()
2220d d ψλξψξ+-= （6） 这是一个变系数二阶常微分方程。
为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。
当ξ⎢⎥⎣⎦很大时,λ与2ξ相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为
2220d d ψξψξ
-= （7） ξ→±∞时，
它的渐近解为2/2~e ξψ±。
因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，所以2/2e ξψ:不满足边界条件(4)式，应弃之。
波函数指数上只能取负号，即2/2e ξψ-:。
方程(6)在ξ为有限处的
根据以上讨论，可令方程(6)在ξ为有限处的解有如下形式：
()()2
2Ae H ξψξξ-= （8）
式中A 为归一化系数，（8）代入(6)式，得
()22210d H dH H d d ξλξξ
-+-= （9） 用级数解法，即把H 展开成ξ的幂级数来求这个方程的解。
这个级数必须只含有有限项，才能在ξ→±∞ 时使()ψξ为有限，而级数只含有限项的条件是λ 为奇数：21n λ=+，()0,1,2n =L L 。
代入(5)中的第三式，可得一维线性谐振子的能级为
12n E n ω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭h ， ()0,1,2n =L L （10） 因此，线性谐振子的能量只取分立值(如图2所示)，两相邻能级间的间隔为ωh ，这与普朗克关于能量是量子化的假设相符合。
当21n λ=+时，方程（6）的级数解退化为下述厄密多项式：
()()22
1n n n n d H e e d ξξξξ-=- （11） 可以证明，厄密多项式满足正交性公式：
()()2!n m mn n H H e d n ξξξξπδ+∞--∞=⎰ （12）
归一化的谐振子能量本征函数为 ()()22
12x n n
n x A e H x αψα-=， ()0,1,2n =L L （13）
归一化常数 1
2!n n A n απ⎤=⎥⎦
（14） 线性谐振子的能量本征函数满足以下正交归一关系：
()*(),()()()m n m n mn x x x x dx ψψψψδ+∞-∞==⎰ （15）
二、 能量本征态下力学量平均值的计算
利用厄密特多项式的递推公式及（13）（14）式可以导出下列非常有用的公式： ()()()1111ˆ22n n n n n x x x x ψψψα-+⎫+=+⎪⎪⎭
（16） ()()()()()()()())22221
ˆ121122n n n n x x n n x n x n n x ψψψψα-+=-++++++ （17） ()11122n n n d x n n dx ψαψψ-+⎫+=⎪⎪⎭
（18） ()
()()()()()()())22222121122n n n n d x n n x n x n n x dx ψαψψψ-+=--+++ （19）
利用（16）之（19）及()n x ψ的正交归一关系（15）式，可方便地计算出在()n x ψ态下以下各力学量的平均值：
()()()0ˆ,ˆ==x x x x
n n ψψ （20）
()()()()()ˆˆ,,0n n n n d x p x p x i x dx ψψψψ⎛⎫==-= ⎪⎝
⎭h （21） ()()()()22211ˆˆ,2122n n x
x x x n n m ψψαω⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭h （22）
()()()()()222ˆˆ,,n n n n d p x p x x i x dx ψψψψ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
h ()()()2222
21,2122n n d x x n n m dx αψψω⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭h h h （23） 在上述结果基础上，容易求出()n x ψ态下谐振子的平均势能和平均动能为
2211112222
n m x n E ωω⎛⎫==+= ⎪⎝⎭h （24）
2
1112222n p n E m ω⎛⎫=
=+= ⎪⎝⎭h （25）。