第13章专题课构造等腰三角形的常用方法-2020秋人教版(广东)八年级数学上册课件

③如图 3，延长 CB 至 D，使 BD＝AB，则可构造两个等腰三角形： △ ABD，△ ADC； ④如图 4，作∠BCE＝∠ACB，交 AB 的延长线于点 E，则可构造等腰 △ BCE.
【例 3】 如图，在△ ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且∠ABC ＝2∠C.求证：AB＋BD＝AC.
证明：方法 1：作∠CDP＝∠C，交 AC 于点 P. ∴PD＝PC，∠APD＝∠CDP＋∠C＝2∠C＝∠ABC. ∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠PAD. 在△ BAD 和△ PAD 中，
∠BAD＝∠PAD，
∠ABD＝∠APD， AD＝AD，
∴△BAD≌△PAD(AAS)． ∴AB＝AP，BD＝PD＝PC. ∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC. 方法 2：延长 AB 至 E，使 BE＝BD，连接 DE，证△ AED≌△ACD 即 可． 方法 3：延长 CB 至 E，使 BE＝AB，连接 AE，则∠E＝∠C＝∠EAB， 易证∠EAD＝∠EDA， ∴AC＝EA＝ED＝EB＋BD＝AB＋BD.
数学
第十三章 轴对称 专题课 构造等腰三角形的常用方法
01 课堂精讲精练
类型 1 利用平行线构造等腰三角形
①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形．若∠1＝∠2，AC∥OB， 则△OAC 为等腰三角形．
②作腰的平行线构造等腰三角形．若 AB＝AC，DE∥AC，则△BDE 为等腰三角形．
③作底边的平行线构造等腰三角形．若 AB＝AC，DE∥BC，则△ADE 为等腰三角形．
∠GDF＝∠E，
DF＝EF， ∠DFG＝∠EFC， ∴△GDF≌△CEF(ASA)．
∴GD＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱE. ∵BD＝CE， ∴BD＝GD. ∴∠B＝∠DGB＝∠ACB. ∴AB＝AC. ∴△ABC 是等腰三角形．
类型 2 角平分线＋垂线→等腰三角形
如图，在△ ABC 中，AD 平分∠BAC，CD⊥AD，故可以延长 CD 交 AB 于点 E，则△ ACE 是等腰三角形．
【例 1】 (汕头潮阳区期末)如图，点 E 在△ABC 的 AC 边的延长线上， 点 D 在 AB 边上，DE 交 BC 于点 F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC 是等腰三角形．
证明：过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G. ∵DG∥AC， ∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB. 在△GDF 和△CEF 中，
类型 4 截长补短法构造等腰三角形 【例 4】 如图，在△ ABC 中，∠BAC＝120°，AD⊥BC 于点 D，且 AB＋BD＝DC，求∠C 的度数．(用截长法与补短法两种方法解答)
解：方法 1(截长法)：在 CD 上取点 E，使 DE＝BD，连接 AE，则 CE ＝AB＝AE. ∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C. ∵∠BAC＝120°，∴∠B＋∠C＝2∠C＋∠C＝60°. ∴∠C＝20°. 方法 2(补短法)：延长 CB 到 F，使 BF＝AB.
【例 2】 如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠A＝90°，BE 是角平分线， CD⊥BE 交 BE 的延长线于点 D，求证：BE＝2CD.
证明：延长 BA，CD 相交于点 Q. ∵∠CAQ＝∠BAE＝∠BDC＝90°，∴∠ACQ＋∠Q＝90°，∠ABE＋ ∠Q＝90°. ∴∠ACQ＝∠ABE. 在△ ABE 和△ ACQ 中，
∠ABE＝∠ACQ，
AB＝AC， ∠BAE＝∠CAQ，
∴△ABE≌△ACQ(ASA)． ∴BE＝CQ. ∵BD 平分∠ABC， ∴∠QBD＝∠CBD. ∵CD⊥BD，即 BD⊥CQ. ∴BD 垂直平分 CQ. ∴CD＝DQ. ∴BE＝CQ＝2CD.
类型 3 运用倍角关系构造等腰三角形
已知在△ ABC 中，∠ACB＝12∠ABC. ①如图 1，作∠ABC 的平分线 BD，则可构造等腰△ BDC； ②如图 2，作∠BCE＝2∠ACB，交 BA 的延长线于点 E，则可构造等 腰△ BCE；
∴∠F＝∠FAB，DF＝BF＋BD＝AB＋BD＝CD. ∵AD⊥BC， ∴AF＝AC. ∴∠F＝∠C. ∴∠ABD＝∠F＋∠FAB＝2∠C. ∵∠BAC＝120°， ∴∠ABD＋∠C＝3∠C＝60°. ∴∠C＝20°.