分离变量法非齐次边界条件的处理

vv= II t(t0−, ta)2v
I xx
= 0
v= I (l, t) 0
vI ( x,0) = 0 ,
(10)
v I t ( x, 0) =
−ω
l
x
v v
II tt
− a2v
= II (0, t)
II xx
= ω 2 xsinω
l
v= II (l, t) 0
t
(11)
v= II (x, 0) v= II t (x, 0) 0
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第 7 章 分离变量法
四、例题 研究一端固定，一端按 sinωt 周期运动的弦运动。
utt − a2u= xx 0 , 0 < = u(0, t ) 0= , u(l, t )
x<l
sin ω t
(1) (2)
u( x, 0=) 0 , ut ( x, 0=) 0 , 0 < x < l (3)
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第 7 章 分离变量法
∑ 令
vI I
(
x,t)
=
∞
Tn ( t )sin
n=1
nπ l
x
∑
∞ n=1
[Tn′′(
t)
+
(anπ)2 l2
Tn
(t
)
]
sin
nπx l
∑ (
11
)
→
∞ n=1
Tn
(0)sin
nπx l
=0
∑
∞ n=1
Tn′(0)sin
无法确定其值
2、求解
(1) 边界条件齐次化： 令 u( x, t) = v( x, t) + w( x, t) (4)
使
w |x=0 = u |x=0 = g(t) w |x=l = u |x=l = h(t )
(5) (6)
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(2)确定辅助函数 w( x, t )
0
,
vt
(
x
,
0)
=−
DENG
ω
Sl.H
x
(8)
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第 7 章 分离变量法
→
vtt − v(0,
a 2v xx
= ω 2 x sin
l
t ) =v(l, t ) =0
ω
t
(6) (7)
v( x, 0) =
0
,
vt ( x, 0) =
−ω
l
x
(8)
2）令 = v( x, t) v I ( x, t) + v II ( x, t) (9)
n=1
nπa l
t
+
Bnsin
nπa l
t]sin
nπ l
x
∫ An
= 0 , Bn = nπ2a 0l − ωl α sin
nπα
l
dα
= 2ω(nlπ( )−21a)n
∑ vI ( x,t) =
2ω l
π2a
∞ (−1)n n2
n=1
⋅ sin nπa t⋅ sin nπ
l
l
x
(12)
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§7.3 非齐次边界条件的处理
Inhomogeneous boundary Conditions
已知对于齐次边界条件情形，可用本征函数法等求解。
utt = u
x=0
a2 =
uxx g(t
+ ),
f (x,t) , 0 < u = h(t)
x=l
二、求解
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第 7 章 分离变量法
1、思路： 若令 u(x,t) = X (x)T (t)
(2)
→
X
X
(0)T (t) (l)T (t)
= g(t) = h(t)
→
X X
(0) = (l) =
g(t) / T (t) h(t) / T (t)
能否使边界条件齐次化？
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v I tt − a2v I xx = 0 v= I (0, t) v= I (l, t) 0
vI ( x,0) =
0
,
vIt ( x,0) =
−ω
l
x
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第 7 章 分离变量法
(10)
∑ vI
( x,t)
=
∞
[ Ancos
或 w( x, t ) = A(t )x2 + B(t )x
( 两端均为第 2 类 非齐次边界条件时)
确定 A(t) ，B(t) ，使关于 v ( x, t) 的边界条件齐次化
② 解关于v (x, t)的定解问题，从而最后求得：
u( x, t ) = v( x, t ) + w( x, t )
2、边界条件的齐次化，一般将导致方程的非齐次化。
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第 7 章 分离变量法
令 w(x,t) = A(t)x + B(t)
则 w(x, t) = h(t) − g(t) x + g(t) (7) l
(3) 求解 v (x, t)的定解问题
{ (1) − (3) →
v tt − a 2v xx = −(wtt − a 2wxx ) (8)
1) 令 u= ( x, t) v( x, t ) + w( x, t ) (4)
选 w(= x, t) sinωt = x + 0 x sinωt (5)
l
l
→
vtt − v(0,
a 2v xx
= ω 2 x sin
l
t ) =v(l, t ) =0
ω
t
(6) (7)
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v( x, 0) =
nπx l
=0
= ω 2 xsinωt
l
Tn′′(t)
+
a2n2π
l2
2
Tn(0) = 0
Tn′(0)
=
0
Tn(t) =
fn(t) (13)
∫ f n ( t )
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v( x, t )
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三、小结
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第 7 章 分离变量法
１、边界条件齐次化方法也适用于带有其它非齐次边界
条件的定解问题，其基本做法是：
① 作变换 令 u( x, t) = v( x, t) + w( x, t)
选择 w(x, t) = A(t)x + B(t)
v |x=0 = 0, v |x=l = 0
(9)
v v
|t = t |t
0 =
= ϕ( 0=ψ
x) (x
− w( x,0) ) − wt ( x,0)
(10)
§7.1,§7.2
(4) 定解问题（1）-（3）的解
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u( x, t ) = v( x, t ) + h(t ) − g(t ) x + g(t ) l
x
<
l
,t
>
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
|t=
0
=
ϕ
(
x)
,
ut t=0 = ψ ( x)
一、定解问题：
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uut|tx−=0a=2ug(xxt)=,
0,0 u |x=l
< =
x<l h(t)
,
t
>
0
(1) (2)
u
|t=0
=
ϕ
(
x),
ut
|t=0
=
ψ
(
x)
(3)
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u( x,t) = ?
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