数学分析

n ，只要 ||T|| < δ , 就有
n
| f (i )xi J | i 1
则称函数 f (x) 在 [a, b] 上可积；数 J 称为 f 在
[a, b] 上的定积分. 记作
b
J a f (x)dx
也可用极限符号来表达定积分
n
b
J lim ||T ||0 i1
f (i )xi
a
f (x)dx
此我们可以给定积分下一个定义
二、定积分的定义
定义: 在 [a, b] 内任取一组分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
将 [a, b] 分成 n个子区间Δi= [xi-1, xi ] i=1, 2, … , n
这些分点构成[a, b] 的一个分割，记为
T = { x0, x1, …, xn } = { Δ1, Δ2, … , Δn }
n
f (i )xi (xi xi xi1) i 1
y f (x)
f (i )
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
│
a x0 x1 x2
xi1 i xi
xn1 xn b
x
0
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间
2、取介点 在每个小区间上任取一点xi
y
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用 直线段y=f(xi)代替
a x1
xi1 xi
bx
记 Δxi = xi – xi-1 ， 并称 || T || m1iaxn {xi}
为分割 T 的模
定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 对[a, b]的 一个分割T = { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任取点
i Δi , i=1, 2, … , n ，作和
第九章 定 积 分
§1定积分概念 §2 牛顿—莱布尼茨公式 §3 可积条件 §4 定积分的性质
§5 微积分学基本定理 §6 定积分的计算 小结与习题
§9.1 定积分概念
一、问题的提出 二、定积分的定义
三、定积分的几何意义
9.1 定积分的概念
教学内容： 1) 定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3) 定积分的数学定义 4) 定积分的几何意义及简单应用 重 点： 定积分的数学定义 难 点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想
若极限
n
lim
||T ||0
i 1
F (i
)ti
存在，
则定义此极限值为力所做的功
从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是
计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量
进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归
n
结为形如
i1
f
( i
)xi
的和式极限问题。
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为
一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由
4、作和：S∆= f (1)x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
n
f (i )xi (xi xi xi1)
i 1
y f (x)
n
b
S lim ||||0 i1
f (i )xi
a
f (x)dx
a
b
x
n
5、取极限
S
lim ||T ||0 i1
f (i )xi
0
(B) 4.
y
f (x) 在 a, b 上连续，则定积分
b
f (x)dx 的值
A
a
A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关
C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关
三 定积分的几何意义.
当 f (x) ≥ 0，定积分
b
a f (x)dx
的几何意义就是曲线 y = f (x)
例2
利用定义计算定积分
2
1
1dx x
.
解 在[1,2]中插入分点 q, q2 , , qn1 ,
典型小区间为[qi1 , qi ]，（i 1,2, , n）
小区间的长度xi qi qi1 qi1(q 1),
取i qi1，（i 1,2, , n）
n
i 1
f (i )xi
i
n 1
1
注 1： 积分和的极限与函数的极限有很大的区别
积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.
注 2：定积分数值只与被积函数及积分区间 [a, b] 有关, 与积分变量记号无关
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
规定当 a= b 时,
a
a f (x)dx 0
b
a
规定当 a > b 时, a f (x)dx b f (x)dx
i
xi1 xi b x
⑶ 求和 （积零为整）
y
大曲边梯形的面积
f (i )
n
S f (i )xi i 1
O a x1
i
xi1 xi b x
⑷ 取极限 （直转化为曲） y
让每个小区间的长度趋于零
f (i )
令 || T || m1iaxn {xi} 0
若极限
n
lim
||T ||0 i1
f (i )xi
直与曲 不变与变
砖是直边 的长方体
烟囱的截面 是弯曲的圆
“直的砖”砌 成了“弯的圆”
局部以直代曲
虽然曲边梯形的准确面积我们不会计算，但是 我们可以用一些小矩形来近似算出它的面积。
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
从中可以得到一个什么样的启示？
小曲边梯形的底：
[xi1, xi ]
续函数，且f (x)≥ 0，由曲线
y = f (x)，直线 x = a， x = b O a
bx
y = 0 所围成的图形称为曲边梯形。
下面讨论曲边梯形的面积
对于多边形的面积，我 们在中学就已经会计算 了，例如
y
y f (x)
矩形的面积 = 底×高
显然，曲边梯形的面积不
Oa
bx
能用这个公式来计算。
y
f (i )
y f (x)
小曲边梯形的高：
f (i )
小曲边梯形的面积：
Oa
xi1i xi
Si f (i )( xi xi1)
bx
⑴ 分割 （化整为零）
用任意的一组分点：
a x0 x1 xn1 xn b y
把 [ a, b ] 分成 n 个小区
间 [ xi-1, xi ] i=1, 2, …, n
i
xi
n i 1
q1i1q
i
1
(q
1)
n
1
(q 1) n(q 1) 取qn 2 即q 2n
b
f (x)dx是一个和式的极限 a
是一个确定的常数
n
2
.当
i 1
f
( )x i
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
f(x) 及积分区间 [a,b有] 关，而与区间 a,b 的分法及
i
点的取法无关。
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
y
因此, 我们有理由相
信, 这个曲边三角形
的面积为:
S lim Sn
n
lim 1 1 1 2 1 n 6 n n 1.
6
y x2
Sn
0
1 n
1 n
2
1 n
2 n
2
1 n
n 12 n
1 n
1 n3
(12
22
(n 1)2)
1 n3
(n
1)n(2n 6
1)
1 1 1 2 1 . 6 n n
存在，
O a x1
i
xi1 xi b x
则定义此极限值为曲边梯形的面积
再演示一下这个过程
1、分割 将[a，b]分割为n个小区间
2、取介点 在每个小区间上任取一点xi
3、局部以直代曲 每个小区间上的曲线y=f(x)用
y
直线段y=f(xi)代替
4、作和：S∆= f (1)x1 f (2 )x2 f (i )xi f (n )xn
x
O
1
将区间 [0, 1] 等分成 n 等份, 分点为
0 1 2 n 1 1
nn
n
每个小区间的长度
xi
1 n
y
取
i
i n
[i 1, n
i] n
(i 1,2, , n)
则有
O 12
nn
y x2
x
n 1 1 n
S
1 0
x2dx
lim
||T ||0
n i 1
i2xi
lim n ( i )2 1 n i1 n n
的建立
背景来源——面积的计算
我们可以用大大小小的矩形 将图形不断填充，但闪烁部分永
远不可能恰好为矩形，这些“边
！矩形的面积定义为两直角边长度的乘积
角余料”无外乎是右图所示的 “典型图形”（必要时可旋转）
“典型图形”面积的计算问题就产生了定积分
一、问题提出
1. 曲边梯形的面积
y
y f (x)
设 y = f (x)为区间[a, b] 上连
n
f (i )xi
i 1
称此和式为 f 在 [a, b] 上的一个积分和，也称为黎 曼（Riemann）和
ຫໍສະໝຸດ Baidu
定义: 设函数 f (x) 在 [a, b] 上有定义, 若任给的ε
> 0 ，总存在 δ > 0 ，使得 对[a, b]的任何分割T
= { Δ1, Δ2, … , Δn } ，任意的i Δi , i=1, 2, … ,
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
y=f (x) y
AS
oa
x b
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时
定积分
b
f (x)dx
a
就是位于 x 轴下方的曲边梯形 面积的相反数. 即
b
a f (x)dx S
ya
b
o
x
S
y=f (x)
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f (x)的图形及两条 直线 x a, x b 之间的各部分面积的代数和． 在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方的面 积取负号．
12
O nn
k
n
n
nx
举例
(B) 1. 由曲线 y x 2 1与直线 x 1, x 3及x轴所围成的曲边梯形
的面积，用定积分表示为
3 1
(
x
2
1)dx
(A) 2.
2
sin 3tdt 中，积分上限是
2 积分下限是
-2 积分区间是
2
[-2,2]
(A) 3.定积分 2 (x 2 1)dx 2
相应地把曲边梯形分为 n
个小曲边梯形，其面积分
别记为ΔSi i=1, 2, …, n
O a x1
xi1 xi b x
⑵ 近似代替 （曲转化为直）
在每个小区间[ xi-1, xi ] 上任取一点ξi ， 于是小曲边梯形的面积
Si f (i )xi 其中
xi xi xi1
y
f (i )
O a x1
(|| T
|| max{xi})
求曲边梯形的面积体现了曲转化为直、 直转化为曲的辩证思想。这个计算过程， 就是一个先微分后积分的过程。也就是说， 把曲边梯形分割成许多小曲边梯形，在每 个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这 些小“矩形”面积的和近似地表示原来大 曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转 化为局部的直，即“以直代曲”。
lim
n
1 n3
n
i2
i 1
lim
n
1 n3
1 6
n
(n
1)(2n
1)
1 6
lim
n
n
(n
1)(2n n3
1)
1 3
——曲边三角形面积的计算
Archimedes的想法：把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分 点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来 近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
4．规定：ab
f
(x)dx
a
b
f
(x)dx
a
a f (x)dx 0
例 1 求在区间 [ 0, 1 ] 上，以抛物线 y = x2
为曲边的曲边三角形的面积
解 由定积分的几何意义，有
S
1 0
x2dx
lim
||T ||0
n i 1
i2xi
y
y x2
因为定积分存在，对区间
[ 0, 1 ] 取特殊的分割
⑵ 近似代替
在 [ ti-1, ti ] 上任取一点ξi ，于是在该小区间上的力
F F(ξi ) , ξi [xi1, xi]作的功 Wi F (i )ti ti ti ti1
a t1
i
ti1 ti
bt
⑶ 求和 总功
n
W F (i )ti
i 1
⑷ 取极限 令 || T || m1iaxn {ti} 0
然后，再把分割无限加细，通过取极 限，就使小矩形面积的和，转化为原来大 曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来 转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转 化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、 积零为整的思想方法，是微积分乃至整个 高等数学的一个重要方法。
再看一个变力做功的问题。 设 质点 m 受 力 的作用，在变力F的作用下，沿直线由 A 点 运动到 B 点，求变力作的功
F(x)
A
B
F 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化
不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲
边梯形面积的思想，
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⑴ 分割 用任意的一组分点： a t0 t1 L tn1 tn b 把 [ a, b ] 分成 n 个小区间 [ ti-1, ti ] i=1, 2, …, n
曲线 y = f (x) ≥ 0，直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形面积可用定积分表示为
b
S a f (x)dx
变力作功问题可表示为
b
W F (x)dx
a
注：
b
1. f (x)dx 与 f (x)dx 的差别 a
f (x)dx 是 f (x) 的全体原函数 是 函数