3 垂径定理及其推论

求弦AB与CD之间的距离。
A
C
6
10 10 8
E
8 . O 6
B D
A
C
E
F . O
B
D
EF有两解：8+6=14cm
8-6=2cm
1、两条辅助线：
半径、圆心到弦的垂线段
A
O · C B
2、一个Rt△：
半径、圆心到弦的垂线段、半弦 3、两个定理： 垂径定理、勾股定理
你能利用垂径定理解决求
赵州桥拱半径的问题吗?
M
垂径定理推论1
O
C
A N B
推论1: ①直线MN过圆心O ⌒ ⌒ ② MN⊥AB ④ AM= MB ,并且 (2) 弦的垂直平分线经过圆心 ③ AC=BC ⌒ ⌒ ⑤ 平分弦所对的两条弧; AN= NB
M
垂径定理推论1
O
C
A N B
② MN⊥AB 推论 1: ①直线MN过圆心O ③ AC=BC (3) 平分弦所对的一条弧的直径 , 垂 ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB ⌒ ⌒ ④ AM= MB 直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
A E D B
是
不是
是
不是
垂径定理的几个基本图形：
C
A D
O A D E B
B
A
O D C B
O
A
O C B
C
CD过圆心
CD⊥AB
AE=BE AC=BC AD=BD
1、如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E， 则下列结论中不成立的是（ ）C
A、∠COE=∠DOE
A
B、CE=DE
C、OE=AE D、BD=BC
如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段 和弧? 为什么? C
线段: AE=BE
O ·
弧: AC=BC,
⌒ ⌒
AD=BD
⌒ ⌒
A
E D
B
1 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C
∵ CD⊥AB
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
O · • 老师提示: A E D B
• 垂径定理是圆中一个重要的定理,
三种语言要相互转化,形成整体, 才能运用自如.
2 垂径定理推论
a 推理：平分弦（不是直径）的直
径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
C
∵ CD是直径， AE=BE
O · A
∴ CD⊥AB,AC =BC, AD =BD.
B
⌒
⌒
⌒
⌒
E D
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心
满足其中任两 （2）这条直线垂直于弦 条，必定同时 满足另三条 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）这条直线平分弦所对的劣弧
（1）过圆心 （2）垂直于弦
C
O · A
E D
（3）平分弦
B
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧 讨论：上述五个条件中的任何两个条 件作为题设，是否都可以推出其他三 个结论.
D
.
(3)若CD⊥AB, AM=MB, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD 是直径 AC=BC 则 、 AD=BD 、 . ⌒ ⌒ (4)若AC=BC ，CD是直径, ⌒ ⌒ CD ⊥ AB AM=BM 则 、 、 AD=BD .
下列图形是否具备垂径定理的条件？
C
c
C
C
A
O A D E B
D O
B
O
O A E B
）
判断
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
D，与AB交于点C，则D是AB的中 点，C是⌒ AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37.4m，CD=7.2m
∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ OA OD AD
2 2 2
O
∴ r 18.7 r 7.2
2 2
2
解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m.
解：过点O作OE⊥AB于E，连接OA ∴
1 AE AB 4 cm 2
2 2
∴ OA AE OE
4 3 5cm
2 2
A
E · O
B
∴ ⊙O的半径为5cm.
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E， CE=1，AB=10，求直径CD的长。
A C E B · O D
已知⊙O的直径是10 cm，⊙O的两 条平行弦AB=6 cm ，CD=8cm，
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形, 它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧 的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
不借助任何工具，你能找到圆形
纸片的圆心吗? 由此你能得到圆的什么特性？
可以发现：圆是轴对称图形。任何 一条直径所在直线都是它的对称轴．
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，
推论：
并且平分弦所对的两条弧.
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平 分弦所对的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直 平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理
7.2m
37.4m
C A D
关于弦的问题，常常 需要过圆心作弦的垂 线段，这是一条非常 B 重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半 径、弦构成直角三角 形，便将问题转化为 直角三角形的问题。

O
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB 所在的圆的圆心为O，半径为r.
C
D B
A ⌒ 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧.
题设
（1）直径
结论
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
M
垂径定理
O
A
C
N
B
①直线MN过圆心 ②MN⊥AB
③ AC=BC ⌒ ⌒ ④ AM= MB ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB
M
垂径定理推论1
O
A
C
N
B
②MN⊥AB 推论1. ⌒ ⌒ ①直线MN过圆心 ④ AM= MB (1)平分弦（不是直径）的直径垂 ⌒ ⌒ ③ AC=BC ⑤ AN= NB 直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理推论2
圆的两条平行弦所夹 的弧相等。
A
●
A C
●
O
B D
O
B
D
C
Mபைடு நூலகம்
M
练习
C
1.如图所示:
A
└ M
●
B O
(1)若CD⊥AB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AD=BD 、AC=BC . 则 AM=BM 、 (2)若AM=MB, CD是直径, ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ CD ⊥ AB AC=BC 则 、 AD=BD 、
判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对 的弧 ( × ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心 ( √ ) （3）圆中不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分( × ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧( × )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √
⌒ ⌒
C
E O· B
D
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm,则AB= 解：连接OA，∵ OE⊥AB ∴ AE OA OE
2 2 2 2
cm。
A E · O B
10 6 8cm
∴ AB=2AE=16cm
3、如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆 心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。