概率论与数理统计第2章
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b a
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f(x)
0
b
a
f ( x)dx
a
b
x
(4) 设x为f ( x)的连续点，则F ( x)存在，且 F ( x) f ( x).
例2 14
设随机变量X 的概率密度为 x 1, x 1.
c, f ( x) 0, 其中c为待定常数，求
例2-5
对某一目标连续进行射击，直到击中目标为止. 如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律.
2.1.3 0-1分布与二项分布
定义2-4
若随机变量X只取两个可能值0，1，且
P{X=1}=p，P{X=0}=q，
X P 0 q 1 p
定义2-5 若随机变量X的可能取值为0，1，2，...,n,
例2-7
设X~B(2,p)，Y~B(3,p). 设P{X≥1}=5/9,
设求P{Y≥1}.
2.1.4 泊松分布
定义2-6 设随机变量X的可能取值为0,1,2,...,n,...,而X的分
布律为
pk P{ X k }
k
k!
e , k 0,1, 2, ...,
其中 0 ，则称X服从参数为 的泊松分布，简记 为 X P ( ).
当1 x 2时， F ( x) P X x P X 1 P X 0 P X 1 0.2 0.1 0.3 0.6; 当x 2时， F ( x) P X x P X 1 P X 0 P X 1 P X 2 0.2 0.1 0.3 0.4 1,
第二章随机变量
• • • • • 随机变量概念 分布函数的概念和性质 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量概率密度函数 随机变量函数分布
2.1.1随机变量的概念
定义 2.1 设E是随机试验，样本空间为Ω，如果对每一个
结果（样本点）ω∈Ω，有一个实数X(ω)与之对应，这样就 得到一个定义在Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量.随机 变量常用X，Y，Z，...或X1，X2，X3，,...
X Pk
x1 p1
x2 p2
… …
xK pk
… …
2.2离散型随机变量 (P25)定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )
为X的分布律或概率分布。可表为
求X的分布律。
解 当x 1时， F ( x ) P X x 0;
当 1 x 0时， F ( x) P X x P X 1 0.2;
当0 x 1时， F ( x) P X x P X 1 P X 0 0.2 0.1 0.3;
练
习
0, (2) F2 ( x) sin x, 1,
判断下列函数哪些是随机变量的分布函数： 0, (1) F1 ( x) sin x, 1, x 0, 0 x , x . x 0,
0 x , 2 x . 2
求 P X 2 , P 0 X 3 , P 2 X 2.5 .
2.3 连续型随机变量
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度
定义2 8 若对于随机变量X Байду номын сангаас分布函数F ( x), 存在非负
函数f ( x), 使得对任意的实数x, 有
F ( x)
x
f (t )dt,
1 (1)常数c； X 落在区间 3, 内的概率. (2) 2
解 (1)由概率密度的性质
f ( x)dx 1,
1
f ( x)dx 0dx cdx 0dx
1
1
1
2c 1, 1 故 c . 2
1 (2) 由于f ( x)是分段函数，所以求P 3 x 需分段积分： 2
例2-1
设离散型随机变量X的分布律为
X P 求常数C.
0 0.2
1 C
2 0.3
例2-2
投一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求 X的分布律。
例2-3
袋子里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4， 5.从中同时取出3个球，记X为取出球的最大编号，求X 的分布律.
例2-4
已知一批零件共10个，其中有3个不合格.现任取 一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取 一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合 格零件个数X的分布律。
(1) 0 F ( x) 1;
(2) F ( x)是不减函数，对于任意的x x 有F ( x ) F (x ); 1 2 1 2
(3) F () lim F (x) 0, F () lim F (x) 1; x x
(4) F ( x)是右连续，即 lim F ( x x) F ( x). x0
• 顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机 事件是“其发生与否随机会而定”的事件．机会表现为试验结果， 一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即 有一 定的概率．最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随 机变量，它可以取1，…，6等6个值．到底是哪一个，要等掷了骰 子 以后 才知道 ．因 此又可 以说 ，随机 变量 就是试 验结 果的 函 数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同．把握这 个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它 将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后， 取 值就 确定了 ．比 如你在 星期 一买了 —张 奖券， 到星 期五 开 奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其 值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道． •
3 1 3 1 求 (1) P X ; (2) P X ; (3) P X . 2 2 2 2
3 1 3 1 解 (1) P X F F 2 2 2 2 3 1 7 ; 4 6 12
又由F ( x)是右连续性，即 lim F ( x) f ( x0 ), 可得
x x0
lim F ( x) lim (a be x ) x0 x0 a b F (0) 0, 由此得b 1.
练习 设随机变量X 的分布函数为 F ( x) a b arctan x, x , 求常数a与b.
例2-9 设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求
（1）P{X=10}； （2）P{X≤10}.
例2-10 设X服从泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}，
求P{X=4}.
小 结
• 本节课主要讲授： 1 、随机变量的概念； 2、离散型随机变量的概念及其分布律； 3、三个重要分布: 0-1分布、二项分布、泊 松分布.
X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，
或…
X x1 x2 … xK …
X~
Pk
p1
p2
…
pk
…
分布律{Pk}具有下列性质：
(1) Pk 0, k 1, 2, ...; (2) Pk 1.
k 1
反之，若一个数列{Pk}具有以上两条性质，则它必 可作为某离散型随机变量的分布律。
1 1 5 1 (2) P X 1 F 1 ; 2 6 6 2
3 3 1 3 (3) P X 1 F 1 . 2 4 4 2
练习 设随机变量X 的分布函数为 x 1, 0, F ( x) ln x, 1 x e, 1, x e.
则称X 为连续性随机变量 ,并称f ( x )为X 的概率 密度函数,简称概率密度(有些书称密度函数).
注：连续型随机变量X在某一指定点取值的概
率为0.即 P{ X x0 } 0. 因为0 P{ X x} P{x x X x}
F ( x) F ( x x).
已知X的分布函数F (x),我们可以得到下列 重要事件的概率：
（）P X b F (b); 1
（2）P a X b F (b) F (a);
（3 P X b 1 F (b). ）
例 2 13 设随机变量X 的分布函数为 0, x , 3 F ( x) x, 2 1, x 0, 0 x 1, 1 x 2, x 2.
例 2-12
设随机变量X的分布函数为
a bex , x 0, F ( x) x 0. 0, 其中 0为常数，求常数a与b的值.
解 F () lim F ( x) lim (a be x ) a, x x 由分布函数的性质F () 1，知a 1;
而X的分布律为
k pk P{ X k } C n p k q n k , k 0,1, 2, ..., n,
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n，p的二项分布， 简记为X~B(n,p).
例2-6
某特效药的临床有效率为0.95.现有10人服用，问 至少有8人治愈的概率是多少？
xk x
U X x ，由概率性知，
k xk x
F ( x ) P X x 即 F ( x)
P X x P ,
k xk x k
xk x
P.
k
例 2-11 设离散型随机变量X的分布律为
X -1 0 1 2
P
0.2
0.1
0.3
0.4
由于F ( x)是连续函数, 令x 0, 则 P{ X x} 0.
离散型随机变量X在某一指定点取值的 概率不一定为0.
密度函数的性质：
(1) f ( x) 0; (2)
f ( x) dx 1;
这两条性质是判定一个函数 是否为概率密度的充要条件
f(x)
面积为1
x
0
(3) P a X b F (b) F (a) f ( x)dx, a b.
1 1 1 1 1 3 2 2 P 3 x f ( x)dx 0dx dx 3 1 2 2 3 4
例 2 -15 设随机变量X 的概率密度为 x, f ( x ) 2 x, 0, 求X 的分布函数.
2.1.2 离散型随机变量及其分布律
定义2-2 若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个
值，则称X为离散型随机变量。
定义2-3 X为离散型随机变量，可能取值为x1, x2, …, xn,
…且 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 则称Pk为X的分布律或分布列，概率分布。 分布律也可用表格形式表示
则X 的分布函数F ( x)为 0, 0.2, F ( x) 0.3, 0.6, 1, x 1, 1 x 0, 0 x 1, 1 x 2, x 2.
练习
求0 1分布的分布函数.
2.2.2分布函数的性质
分布函数有以下基本性质：
2.2 随机变量的分布函数
2.2.1 分布函数的概念. 定义2-7 设X为随机变量，称函数
F ( x ) P X x , x ( , )
为X的分布函数。
当X为离散型随机变量时，设X的分布律为
Pk P X k , k 0,1, 2,ggg. 由于 X x
利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率
f(x)
0
b
a
f ( x)dx
a
b
x
(4) 设x为f ( x)的连续点，则F ( x)存在，且 F ( x) f ( x).
例2 14
设随机变量X 的概率密度为 x 1, x 1.
c, f ( x) 0, 其中c为待定常数，求
例2-5
对某一目标连续进行射击，直到击中目标为止. 如果每次射击的命中率为p，求射击次数X的分布律.
2.1.3 0-1分布与二项分布
定义2-4
若随机变量X只取两个可能值0，1，且
P{X=1}=p，P{X=0}=q，
X P 0 q 1 p
定义2-5 若随机变量X的可能取值为0，1，2，...,n,
例2-7
设X~B(2,p)，Y~B(3,p). 设P{X≥1}=5/9,
设求P{Y≥1}.
2.1.4 泊松分布
定义2-6 设随机变量X的可能取值为0,1,2,...,n,...,而X的分
布律为
pk P{ X k }
k
k!
e , k 0,1, 2, ...,
其中 0 ，则称X服从参数为 的泊松分布，简记 为 X P ( ).
当1 x 2时， F ( x) P X x P X 1 P X 0 P X 1 0.2 0.1 0.3 0.6; 当x 2时， F ( x) P X x P X 1 P X 0 P X 1 P X 2 0.2 0.1 0.3 0.4 1,
第二章随机变量
• • • • • 随机变量概念 分布函数的概念和性质 离散型随机变量及其分布律 连续型随机变量概率密度函数 随机变量函数分布
2.1.1随机变量的概念
定义 2.1 设E是随机试验，样本空间为Ω，如果对每一个
结果（样本点）ω∈Ω，有一个实数X(ω)与之对应，这样就 得到一个定义在Ω上的实值函数X=X(ω)称为随机变量.随机 变量常用X，Y，Z，...或X1，X2，X3，,...
X Pk
x1 p1
x2 p2
… …
xK pk
… …
2.2离散型随机变量 (P25)定义 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称 X为离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )
为X的分布律或概率分布。可表为
求X的分布律。
解 当x 1时， F ( x ) P X x 0;
当 1 x 0时， F ( x) P X x P X 1 0.2;
当0 x 1时， F ( x) P X x P X 1 P X 0 0.2 0.1 0.3;
练
习
0, (2) F2 ( x) sin x, 1,
判断下列函数哪些是随机变量的分布函数： 0, (1) F1 ( x) sin x, 1, x 0, 0 x , x . x 0,
0 x , 2 x . 2
求 P X 2 , P 0 X 3 , P 2 X 2.5 .
2.3 连续型随机变量
2.3.1 连续型随机变量及其概率密度
定义2 8 若对于随机变量X Байду номын сангаас分布函数F ( x), 存在非负
函数f ( x), 使得对任意的实数x, 有
F ( x)
x
f (t )dt,
1 (1)常数c； X 落在区间 3, 内的概率. (2) 2
解 (1)由概率密度的性质
f ( x)dx 1,
1
f ( x)dx 0dx cdx 0dx
1
1
1
2c 1, 1 故 c . 2
1 (2) 由于f ( x)是分段函数，所以求P 3 x 需分段积分： 2
例2-1
设离散型随机变量X的分布律为
X P 求常数C.
0 0.2
1 C
2 0.3
例2-2
投一枚质地均匀的骰子，记X为出现的点数，求 X的分布律。
例2-3
袋子里有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4， 5.从中同时取出3个球，记X为取出球的最大编号，求X 的分布律.
例2-4
已知一批零件共10个，其中有3个不合格.现任取 一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新抽取 一个，如此下去，试求取到合格零件之前取出的不合 格零件个数X的分布律。
(1) 0 F ( x) 1;
(2) F ( x)是不减函数，对于任意的x x 有F ( x ) F (x ); 1 2 1 2
(3) F () lim F (x) 0, F () lim F (x) 1; x x
(4) F ( x)是右连续，即 lim F ( x x) F ( x). x0
• 顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机 事件是“其发生与否随机会而定”的事件．机会表现为试验结果， 一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即 有一 定的概率．最简单的例子如掷骰子，掷出的点数X是一个随 机变量，它可以取1，…，6等6个值．到底是哪一个，要等掷了骰 子 以后 才知道 ．因 此又可 以说 ，随机 变量 就是试 验结 果的 函 数．从这一点看，它与通常的函数概念又没有什么不同．把握这 个概念的关键之点在于试验前后之分：在试验前我们不能预知它 将取何值，这要凭机会，“随机”的意思就在这里，一旦试验后， 取 值就 确定了 ．比 如你在 星期 一买了 —张 奖券， 到星 期五 开 奖．在开奖之前，你这张奖券中奖的金额X是一个随机变量，其 值耍到星期五的“抽奖试验”做过以后才能知道． •
3 1 3 1 求 (1) P X ; (2) P X ; (3) P X . 2 2 2 2
3 1 3 1 解 (1) P X F F 2 2 2 2 3 1 7 ; 4 6 12
又由F ( x)是右连续性，即 lim F ( x) f ( x0 ), 可得
x x0
lim F ( x) lim (a be x ) x0 x0 a b F (0) 0, 由此得b 1.
练习 设随机变量X 的分布函数为 F ( x) a b arctan x, x , 求常数a与b.
例2-9 设随机变量X服从参数为5的泊松分布，求
（1）P{X=10}； （2）P{X≤10}.
例2-10 设X服从泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2}，
求P{X=4}.
小 结
• 本节课主要讲授： 1 、随机变量的概念； 2、离散型随机变量的概念及其分布律； 3、三个重要分布: 0-1分布、二项分布、泊 松分布.
X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，
或…
X x1 x2 … xK …
X~
Pk
p1
p2
…
pk
…
分布律{Pk}具有下列性质：
(1) Pk 0, k 1, 2, ...; (2) Pk 1.
k 1
反之，若一个数列{Pk}具有以上两条性质，则它必 可作为某离散型随机变量的分布律。
1 1 5 1 (2) P X 1 F 1 ; 2 6 6 2
3 3 1 3 (3) P X 1 F 1 . 2 4 4 2
练习 设随机变量X 的分布函数为 x 1, 0, F ( x) ln x, 1 x e, 1, x e.
则称X 为连续性随机变量 ,并称f ( x )为X 的概率 密度函数,简称概率密度(有些书称密度函数).
注：连续型随机变量X在某一指定点取值的概
率为0.即 P{ X x0 } 0. 因为0 P{ X x} P{x x X x}
F ( x) F ( x x).
已知X的分布函数F (x),我们可以得到下列 重要事件的概率：
（）P X b F (b); 1
（2）P a X b F (b) F (a);
（3 P X b 1 F (b). ）
例 2 13 设随机变量X 的分布函数为 0, x , 3 F ( x) x, 2 1, x 0, 0 x 1, 1 x 2, x 2.
例 2-12
设随机变量X的分布函数为
a bex , x 0, F ( x) x 0. 0, 其中 0为常数，求常数a与b的值.
解 F () lim F ( x) lim (a be x ) a, x x 由分布函数的性质F () 1，知a 1;
而X的分布律为
k pk P{ X k } C n p k q n k , k 0,1, 2, ..., n,
其中0<p<1,q=1-p,则称X服从参数为n，p的二项分布， 简记为X~B(n,p).
例2-6
某特效药的临床有效率为0.95.现有10人服用，问 至少有8人治愈的概率是多少？
xk x
U X x ，由概率性知，
k xk x
F ( x ) P X x 即 F ( x)
P X x P ,
k xk x k
xk x
P.
k
例 2-11 设离散型随机变量X的分布律为
X -1 0 1 2
P
0.2
0.1
0.3
0.4
由于F ( x)是连续函数, 令x 0, 则 P{ X x} 0.
离散型随机变量X在某一指定点取值的 概率不一定为0.
密度函数的性质：
(1) f ( x) 0; (2)
f ( x) dx 1;
这两条性质是判定一个函数 是否为概率密度的充要条件
f(x)
面积为1
x
0
(3) P a X b F (b) F (a) f ( x)dx, a b.
1 1 1 1 1 3 2 2 P 3 x f ( x)dx 0dx dx 3 1 2 2 3 4
例 2 -15 设随机变量X 的概率密度为 x, f ( x ) 2 x, 0, 求X 的分布函数.
2.1.2 离散型随机变量及其分布律
定义2-2 若随机变量X只能取有限多个或可列无限多个
值，则称X为离散型随机变量。
定义2-3 X为离散型随机变量，可能取值为x1, x2, …, xn,
…且 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 则称Pk为X的分布律或分布列，概率分布。 分布律也可用表格形式表示
则X 的分布函数F ( x)为 0, 0.2, F ( x) 0.3, 0.6, 1, x 1, 1 x 0, 0 x 1, 1 x 2, x 2.
练习
求0 1分布的分布函数.
2.2.2分布函数的性质
分布函数有以下基本性质：
2.2 随机变量的分布函数
2.2.1 分布函数的概念. 定义2-7 设X为随机变量，称函数
F ( x ) P X x , x ( , )
为X的分布函数。
当X为离散型随机变量时，设X的分布律为
Pk P X k , k 0,1, 2,ggg. 由于 X x