两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
两角和与差正弦余弦正切公式试题(含答案)
两角和、差的正弦、余弦、正切测验题一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。
)1、o o o o 54cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（ ） A.0 B.21 C.23D.21-2.在△ABC 中，若sin A =2sin C cos B .那么三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形3. 已知()414tan ,53tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα ,那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα=（ ）A ．1813 B ．2313 C ．227 D ．1834.()()()()o o o o 24tan 123tan 122tan 121tan 1++++ 的值是（ ）A.16B.8C.4D.2二、填空题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)6.化简=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x 3sin 32sin 3cos 32cos ππππ______.7. 已知角α的终边经过点()()04,3≠-a a a P 则=α2sin .8. 52coslog 5coslog 44ππ+的值等于______.9.已知21tan -=α，则=-+αααα22cos sin cos sin 21 10.函数)2(22≥--=x x y 的反函数是 。
三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(本小题满分10分)已知()()⎪⎭⎫⎝⎛∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-=-=+ππβαππβαβαβα,43,2,47,54c o s ,54co s ，求α2cos 的值。
.12. (本小题满分10分) 已知22tan -=θ,求)4sin(21sin 2cos 22θθθ+--的值.13. (本小题满分15分) 已知()πβα,0∈、,且βαtan tan 、是方程0652=+-x x 的两根.①求βα+的值. ②求()βα-cos 的值.参考答案：1．解析：原式=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos(24°+36°)=cos60°=21. 答案：B2．解析：∵A +B +C =π,∴A =π-(B +C ).由已知可得：sin(B +C )=2sin C cos B ⇒sin B cos C +cos B sin C =2sin C cos B⇒sin B cos C -cos B sin C =0⇒sin(B -C )=0. ∴B =C ,故△ABC 为等腰三角形. 答案：C 3．解析：4．分析：本题中所涉及的角均为非特殊角，但两角之和为45°特殊角，为此，将因式重组来求. 解析：∵tan45°=tan(21°+24°)=︒︒-︒+︒24tan 21tan 124tan 21tan ∴1-tan21°tan24°=tan21°+tan24° 即1+tan21°+tan24°+tan21°tan24°=2即(1+tan21°)(1+tan24°)=2.(同理，由tan45°+tan(22°+23°)可得 (1+tan22°)(1+tan23°)=2.故(1+tan21°)(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)=4. 答案：C 5. B6．解析：原式=cos ［(2x -3π)+(3π-x )］=cos x . 7. 18．解析：∵5sin 252cos 5cos 5sin252cos 5cos ππππππ=415sin454sin 5sin 252cos 52sin ===πππππ ∴原式=log 4141log )52cos 5(cos 4-==ππ 答案：-19. 0.5 10. y=2x 11.25/3612．分析：求三角函数的值，一般先要进行化简，至于化成哪一种函数，可由已知条件来确定.本题中由已知可求得tan θ的值，所以应将所求的式子化成正切函数式. 解：原式=)4sin(2)4sin(2)4sin(2sin cos θπθππθθθ+-=+- ∵2)4()4(πθπθπ=++-∴原式=θθθπθθπtan 1tan 1)4tan()4cos()4sin(+-=-=--. 由已知tan2θ=-22得22tan 1tan 22-=-θθ解得tan θ=-22或tan θ=2. ∴π<2θ<2π，∴2π<θ<π,故tan θ=-22. 故原式=223221221+=-+. 评注：以上所给解法，似乎有点复杂，但对于提高学生的三角变换能力大有好处.本题也可将所求式化成θθθθsin cos sin cos +-,注意到此时分子、分母均是关于si n θ、cos θ的齐次式.通过同时除以cos θ,即可化成θθtan 1tan 1+-.13. ①由根与系数的关系得：分分6.1615tan tan 1tan tan )tan(2)2(6tan tan )1(5tan tan -=-=-+=+∴⎩⎨⎧==+βαβαβαβαβα 分所以且又9.43),,0(),2,0(,),,0(,,0tan ,0tan πβαπβαπβαπβαβα=+∈+∈∴∈>>②由（1）得)3(22sin sin cos cos )cos( -=-=+βαβαβα 由（2）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===102cos cos 523sin sin )4)(3()4(cos cos 6sin sin βαβαβαβα得联立 1027sin sin cos cos )cos(=+=-∴βαβαβα。
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式一、选择题1．若α＋β＝π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2【解析】 (1＋tan α)(1＋tan β) ＝1＋(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋tan αtan β ＝1＋tan π4·(1－tan αtan β)＋tan αtan β＝2. 【答案】 C2．cos α－3sin α化简的结果可以是( ) A ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－αB ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αC ．12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－αD ．2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α【解析】 cos α－3sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π3－sin αsin π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3.【答案】 B3．(2016·北京高一检测)在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A ．255B ．－255C ．55D ．－55【解析】 因为cos B ＝1010且0<B <π，所以sin B ＝31010又A ＝π4，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin π4cos B ＋cos π4sin B＝22×1010＋22×31010＝255. 【答案】 A4．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋α＝( ) 【导学号：00680071】A ．－210 B ．210C ．－7210D ．7210【解析】 因为sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos α＝45，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝cos αcos 5π4－sin αsin 5π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－210.【答案】 A5．若sin α＝35，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( )A ．43B ．－43C ．7D ．17【解析】 由sin α＝35，且α是第二象限角，可得cos α＝－45，则tan α＝－34，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.【答案】 C 二、填空题6．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.【解析】 原式＝tan 45°－tan 15°3（1＋tan 45°·tan 15°）＝13tan(45°－15°)＝13.【答案】 137．若sin(α＋β)＝15，sin(α－β)＝35，则tan αtan β＝________.【解析】 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＝15，①sin αcos β－cos αsin β＝35，② ①＋②得sin αcos β＝25，③ ①－②得cos αsin β＝－15，④ ③÷④得tan αtan β＝－2. 【答案】 －2 三、解答题8．设方程 12x 2－πx －12π＝0的两根分别为α，β，求cos αcos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．【解】 由题意知α＋β＝π12， 故原式＝cos(α＋β)－3sin(α＋β) ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－（α＋β）＝2sin π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos π6－cos π4sin π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22×32－22×12＝6－22.9.如图3－1－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、255.图3－1－1(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．【解】 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan （α＋β）＋tan β1－tan （α＋β）tan β＝－3＋121－（－3）×12＝－1，又∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.[能力提升]1．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)的值为( )A ．2 3B ． 3C ．1D ．0【解析】 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3－π3＝2sinπ3x ，因为周期为6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0 ，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝0.【答案】 D2．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．【解】 因为π2<β<α<3π4，所以π<α＋β<3π2，0<α－β<π4.所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β） ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513. 所以cos(α＋β)＝－1－sin 2（α＋β） ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45. 则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513 ＝－5665.。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习附答案
1. － ＝()
A．4B．2
C．－2D．－4
解析：选D. － ＝ － ＝ ＝ ＝ ＝－4，故选D.
2．若α，β都是锐角，且cosα＝ ，sin(α－β)＝ ，
则cosβ＝()
A． B．
C． 或－ D． 或
解析：选A．因为α，β都是锐角，且cosα＝ ，sin(α－β)＝ ，所以sinα＝ ，cos(α－β)＝ ，从而cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝ ，故选A．
6．已知cosθ＝－ ，θ∈ ，则sin 的值为________．
解析：由cosθ＝－ ，θ∈ 得sinθ＝－ ＝－ ，故sin ＝sinθcos －cosθsin ＝－ × － × ＝ .
答案：
7．已知cos ＝－ ，则cosx＋cos ＝________．
解析：cosx＋cos ＝cosx＋ cosx＋ sinx
1. 的值为()
A． B．
C．－ D．－
解析：选B．原式＝ ＝ ＝tan(45°＋15°)＝ .
2．(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是()
A． B．1＋
C．2D．2(tan 18°＋tan 27°)
解析：选C．原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C．
解：因为0<α< <β< π.
所以 π< π＋α<π，－ < －β<0.
Hale Waihona Puke 又sin ＝ ，cos ＝ ，
所以cos ＝－ ，sin ＝－ ，
两角和与差的正、余弦公式、正切公式、二倍角公式
1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π）， 又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是 ．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量． 【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用． 【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明． 【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ． （2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+， 则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立， 则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=， 即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-， 若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等）， 则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】 运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】 由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______． 【参考答案】 53【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】 两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（ ） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值． 【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题知 识 梳 理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 23．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的 （ ）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ） A ．3πB ．4π C ．π65 D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 .14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即C A故222cos =-C A ．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题及答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式专题一、选择题1．已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．－62 B.12 C ．－22 D.222．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－453.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.324．当0<x <π4时，函数y ＝cos 2x cos x sin x －sin 2x的最小值是( ) A.14 B.12 C ．2 D ．45．已知sin α＝1213，cos β＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365B.6365 C ．－1665 D ．－56656．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35 D ．±457．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π48．若1＋cos2αsin2α＝12， 则tan2α等于( )A.54 B ．－54 C.43 D ．－439．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( ) A ．－12 B.12 C ．－13 D.232710．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( ) A.31010 B.1010 C.510 D.515二、填空题11.3－sin70°2－cos 210°＝________.12．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．13．已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.14．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.三、解答题15．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．16．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知f (x )＝sin x －cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12的值是( ) A ．－62 B.12 C ．－22 D.22解析：因为f (x )＝sin x －cos x ＝2sin(x －π4), 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π 12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－22.答案：C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－45解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α ＝－45.答案：D3.sin47°－sin17°cos30°cos17°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin47°＝sin(30°＋17°)＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°， ∴原式＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.答案：C4．当0<x<π4时，函数y＝cos2xcos x sin x－sin2x的最小值是( )A.14 B.12C．2 D．4解析：y＝cos2xcos x sin x－sin2x＝1tan x－tan2x，当0<x<π4时，0<tan x<1，设t＝tan x，则0<t<1，y＝1t－t2＝1t(1－t)≥4，当且仅当t＝1－t，即t＝12时，等号成立．答案：D5．已知sinα＝1213，cosβ＝45，且α是第二象限角，β是第四象限角，那么sin(α－β)等于( )A.3365 B.6365C．－1665D．－5665解析：因为α是第二象限角，且sinα＝12 13，所以cosα＝－1－144169＝－513.又因为β是第四象限角，cosβ＝4 5，所以sinβ＝－1－1625＝－35.sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝1213×45－(－513)×(－35)＝48－1565＝3365.答案：A6．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cosθ2的值为( )A.35 B.45C．±35D．±45解析：由θ为第二象限角，可知θ2为第一或第三象限角．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725.∴2cos 2θ2＝cos θ＋1＝1825，∴cos θ2＝±35.答案：C7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( )A.π3B.2π3C.π6D.π4解析：由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，即tan(A ＋B )＝－ 3.又tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，0<C <π，∴C ＝π3.答案：A8．若1＋cos2αsin2α＝12， 则tan2α等于( )A.54 B ．－54 C.43 D ．－43解析：1＋cos2αsin2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D.答案：D9．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于() A ．－12 B.12 C ．－13 D.2327解析：∵α∈(0，π2)，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos 22α＝429，而α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]∴cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－79)×(－13)＋429×223＝2327.答案：D10．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( ) A.31010 B.1010 C.510 D.515解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4，在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255.sin ∠CED ＝sin(π4－∠BEC )＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝22×(255－55)＝1010.答案：B二、填空题11.3－sin70°2－cos 210°＝________. 解析：3－sin70°2－cos 210°＝3－cos20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝4－2cos 210°2－cos 210°＝2. 答案：212．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．解析：由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14，∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3. 答案： 313．已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.解析：由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，∴由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.答案：114．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________. 解析：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝213，sin α＝313， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268.答案：268三、解答题15．已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)．(1)求sin2α和tan2α的值；(2)求cos(α＋2β)的值．解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45，又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35， ∴cos(β－π4)＝45.于是sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin2β＝725， 又cos 2α＝1＋cos2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255×(－2425)－55×725＝－11525.16．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0. 解：(1)∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4. ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：∵cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，∴cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45，两式相加，得2cos βcos α＝0，∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， ∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫222－2＝0.。
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析
高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据诱导公式有【考点】本小题主要考查诱导公式的应用.点评：解决此类问题关键是尽量用已知角来表示未知角.2. (2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C等于() A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°【答案】A【解析】两式平方后相加得sin(A＋B)＝，∴A＋B＝30°或150°，又∵3sin A＝6－4cos B>2，∴sin A>>，∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.3. (2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈，若a∥b，则tan＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝或sinα＝－1，∵α∈，∴sinα＝，∴tanα＝，∴tan＝＝－.4.求值：＝________.【答案】－4【解析】＝＝＝＝＝＝－4.5. (2009～2010·浙江嵊泗中学高一期末)已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－ <φ<)的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；(2)求方程f(x)＝的解．【答案】(1)∴f(x)＝(2) x＝－，－，－，或即为所求【解析】(1)当x∈时，由图象知，A＝1，＝－＝，∴T＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x＋φ)过点，则＋φ＝kπ，k∈Z，∵－<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin当－π≤x<－时，－≤－x－≤，∴f＝sin＝－sin x而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，则f(x)＝f∴f(x)＝－sin x，－π≤x<－，∴f(x)＝.(2)当－≤x≤时，≤x＋≤π，∵f(x)＝sin＝，∴x＋＝或，∴x＝－或，当－π≤x<－时，∵f(x)＝－sin x＝，∴sin x＝－，x＝－或－，∴x＝－，－，－，或即为所求．6.设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是() A．tanα·tanβ<1B．sinα＋sinβ<C．cosα＋cosβ>1D．tan(α＋β)<tan【答案】D【解析】取特例，令α＝β＝可得，tan(α＋β)＝，tan＝，∴tan(α＋β)>tan，∴D不正确．7.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为() A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.8.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】因为△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tan B＝＝＝，即＝，∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cos A＝0，∵0<A<π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形，故选B.9.若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．【答案】第四象限【解析】∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，cosθ>0，∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．10.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.11.化简：.【答案】1【解析】原式＝＝＝＝1.12.已知锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝. ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.13.已知cosθ＝，θ∈，则cos＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵cosθ＝，θ∈，∴sinθ＝，∴cos＝cosθ·cos＋sinθ·sin＝×＋×＝.14. (08·山东理)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是() A．－B．C．－D．【答案】C【解析】∵cos(α－)＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝－sin＝－cos＝－sinα－cosα＝－.故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.化简＝________.【答案】【解析】＝＝＝.17.已知△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求cos A.【答案】【解析】在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，且B为钝角，∴C为锐角，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－＝－.sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝，∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝－×＋×＝.[点评]本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．18.若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于()A．B．C．或D．－【答案】B【解析】∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，由sinα＝得，cosα＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B.19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是 （ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）A ．3π B ．4π C ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1) $cos(\alpha-\beta): cos(\alpha-\beta)=cos\alphacos\beta+sin\alpha sin\beta$2) $cos(\alpha+\beta): cos(\alpha+\beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta$3) $sin(\alpha+\beta): sin(\alpha+\beta)=sin\alphacos\beta+cos\alpha sin\beta$4) $sin(\alpha-\beta): sin(\alpha-\beta)=sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta$5) $tan(\alpha+\beta):tan(\alpha+\beta)=\frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha tan\beta}$6) $tan(\alpha-\beta): tan(\alpha-\beta)=\frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha tan\beta}$2.二倍角的正弦、余弦、正切公式1) $sin2\alpha: sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha$2) $cos2\alpha: cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1=1-2sin^2\alpha$3) $tan2\alpha: tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^2\alpha}$3.常用的公式变形1) $tan(\alpha\pm\beta)=\frac{tan\alpha\pm tan\beta}{1\mp tan\alpha tan\beta}$2) $cos2\alpha=\frac{1+cos2\alpha}{2}$，$sin2\alpha=\frac{1-cos2\alpha}{2}$3) $1+sin2\alpha=(sin\alpha+cos\alpha)^2$，$1-sin2\alpha=(sin\alpha-cos\alpha)^2$，$\sin\alpha+\cos\alpha=2\sin\frac{\alpha+\beta}{4}$基础题必做1.若$tan\alpha=3$，则$\frac{sin2\alpha}{2sin\alphacos\alpha}$的值等于$2tan\alpha=2\times3=6$。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
tan a=C . 10a是第三象限的角，tan a =sin a=tan a, cos aSin a+ cos a= 1 ,也血」丄n-5 ，贝y sin a+/i3：'1010，选择c.答案：c所以cos尸一1 =^51 + tan2a 5 'sin a=冗4」冗=sin ocos4 + coses in'n=-曽迁-乂3.［优质试题河北三市联考］若2sin 9+n3」=3sin(凭 9,则全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）两角和与差的正弦、余弦和正切公式［基础达标］一、选择题1.计算—sin 133 °s197 - cos47 &os73 的结果为( A1 B亚A.2B. 3C.22D.j解析：—sin 133 cos197°—cos47°cos73°=—sin47(—cos17 ) —cos47 sin17 °1 =sin(47 —17°) = sin 30 = 3 答案：A2.［优质试题唐山联考］已知a是第三象限的角，且(n2,则sin a+ 4 =( )A―血B迈A. 10B. 10 3伍D 3^1010 D.解析：因为C 233 解析：4.［优质试题=1,则7 9 925因为 2sinx + cos 才―xacos2x = 1 — 2sin 2x = 故选 C. 解析: =1，所以 3sinx = 1，所以 sinx 2 . 2cos a — Sin a 22 i - 2 = ，tan B 等于()乎B 挣 由已知得 sin 6+ 3cos 6= 3sin 6, 即 2sin 6=Q 3cos 6,所以tan 6= *.故选 B. 答案：B冗 福州市高三期末］若2sinx + cosQ — x cos2x =( )A —87 C・9 D . 1=3,所以 答案：5.［优质试题全国卷I ］已知角a 的顶点为坐标原点，始边 与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1, a), B(2, b),且cos 2 a= 3，则 |a — b|=()1 皐 A-5B-5 C. 口D . 15解析：由 cos2 a= 3，得 cos 2 a — Sin 2 a= [, •1— tan a 2 5 b — a. 5 即祜=2, -tan - ±5,即二=斗，yJ 3 ( n2，贝U cosx + cosx — 3納希 丄i n i 〕3. 3 逸解析：cosx+ cos x —3 1= cosx + qcosx+^si nx =^cosx 冗 6.已知cosx — 6」sinx = 3 答案：—17t'] cos’ — 6=® - 3 j 7.［优质试题全国卷II ］已知tan=1，则 tan5a=解析: tan a — 5n/ \ ntan a —T =< 4丿 tan a — 1 i 1 + tan a * 58.［优质试题 洛阳统考］已知sin a+ cos a= 25,则 cos4 a=•- |a — b|=罟. 故选B. 答案：B二、填空题3 解得tan a= 2 答案：2冗12」全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）(1)求f—4J的值;⑵若cos 6= 5,ee 0,扌，求f 2 6-n的值. k 2k 3丿解析：((n 1厂6尸-1n ....(2)f 2 6-3 |= sin 2 6-^ + —=¥=sinnsin 2 6—7< 4丿因为所以(sin2 6—cos2®.4cos 6= 5,3 sin 6=5,24sin2 6= 2sin 6cos 6= 25,2 2 7cos2 6= cos 6—sin 6= oc,所以f 2 6—3 = 2^(sin2 6—cos26)辺x。
高一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识点+例题+练习 含答案
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 ．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ． 答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ． 答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 可得f (x )的最大值是3.题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ． 答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等． 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式Word版含答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式【课前回顾】1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【课前快练】1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：选D 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.2．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( ) A.15 B ．－15C ．5D ．－5解析：选A 由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A. 3．(2017·山东高考)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：选D ∵cos x ＝34，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝18.4．化简：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝________.解析：2sin (π－α)＋sin 2αcos 2α2＝2sin α＋2sin αcos α12(1＋cos α)＝4sin α(1＋cos α)1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α5．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：75考点一 三角函数公式的直接应用三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． (2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．【典型例题】1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( ) A.210B ．－210 C.7210D ．－7210解析：选A ∵cos α＝－35，α是第三象限的角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos π4cos α－sin π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－35－22×⎝⎛⎭⎫－45＝210. 2．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112解析：选A 因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.3．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值为______． 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255. sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－4＋3310.答案：－4＋3310考点二 三角函数公式的逆用与变形用1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的2类变式 (1)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (2)倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 考法(一) 三角函数公式的逆用 1.sin 10°1－3tan 10°＝________. 解析：sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.答案：142．在△ABC 中，若tan A tan B ＝ tan A ＋tan B ＋1, 则cos C ＝________.解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，又A ＋B ∈(0，π)，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22.答案：223．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. 答案：－45考法(二) 三角函数公式的变形用 4．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－15．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换1．迁移要准(1)看到角的范围及余弦值想到正弦值；看到β，α＋β，α想到凑角β＝(α＋β)－α，代入公式求值．(2)看到两个角的正切值想到两角和与差的正切公式；看到α＋β，β，α－β想到凑角．2．思路要明(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．3．思想要有转化思想是实施三角变换的主导思想，恒等变形前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化．【典型例题】1．(2018·南充模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝________.解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，所以α＋β∈(0，π)， 所以sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314， 则sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝5314×17－⎝⎛⎭⎫－1114×437＝32. 答案：322．已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726.答案：－726【针对训练】1．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫255＋55＝31010. 答案：310102．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. 【课后演练】1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ等于( ) A ．－33B.32C.233D ．2 3解析：选B 由已知得sin θ＋3cos θ＝3sin θ， 即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32. 3．(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－429B ．－229C.229D.429解析：选A 因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.4．(2018·衡水调研)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.5．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：选Bsin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.6．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6的最大值为( ) A.65B ．1C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2018·贵州适应性考试)已知α是第三象限角，且cos(α＋π)＝45，则tan 2α＝________.解析：由cos(α＋π)＝－cos α＝45，得cos α＝－45，又α是第三象限角，所以sin α＝－35，tan α＝34，故tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247. 答案：2479．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝________. 解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝cos x ＋12cos x ＋32sin x＝32cos x ＋32sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝3×⎝⎛⎭⎫－33 ＝－1. 答案：－110．(2018·石家庄质检)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝________. 解析：因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝53，所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sin π3＝－23×12＋53×32＝15－26. 答案：15－2611．(2018·陕西高三教学质量检测)已知角α的终边过点P (4，－3)，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210解析：选B 由于角α的终边过点P (4，－3)，则cos α＝442＋(－3)2＝45，sin α＝－342＋(－3)2＝－35，故cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－⎝⎛⎭⎫－35×22＝7210. 12．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为( ) A.1225 B.2425 C ．－2425D ．－1225解析：选B 因为α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin2⎝⎛⎭⎫α＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2×35×45＝2425. 13．(2018·广东肇庆模拟)已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117D ．－1731解析：选D 由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247， ∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 14．若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. 解析：由已知可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3. 答案：π315．(2018·安徽两校阶段性测试)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22cos 2α，则sin 2α＝________.解析：由已知得22(cos α＋sin α)＝22(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝14，由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝14，两边平方得1－sin 2α＝116，所以sin 2α＝1516. 答案：151616．(2018·广东六校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin θ＝35， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ) ＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250. 17．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32. (2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π2<α－β<π2. 又由sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310. 18.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值． 解：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αsin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴ sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3 ＝－12×12－⎝⎛⎭⎫－32×32＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.。
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α） ＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值． （3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。
6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。
7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。
两角和与差的正弦余弦正切公式练习
两角和与差的正弦余弦正切公式一、选择题： 1.sin12π25cos 6π11－cos 12π11sin 6π5的值是 2.若sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=0，则sin （α+2β）+sin （α－2β）等于二、解答题 3.已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos （4π+α）=－53，sin （4π3+β）=135，求sin （α+β）的值.4.已知非零常数a 、b 满足5πsin 5πcos 5πcos 5πsinb a b a -+=tan 15π8，求a b . 5.已知０＜α＜4π，sin （4π－α）=135，求)4πcos(2cos αα+的值.6.已知sin （α+β）=32，sin （α－β）=43，求βαtan tan 的值. 7.已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角且lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2.试判断此三角形的形状特征. 8.化简︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin .9． 求值：（1）sin75°；（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°. 10． 求sin18π7cos 9π2－sin 9πsin 9π2的值. 11． 已知2π＜α＜β＜4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－53，求sin2α的值. 12． 证明sin （α+β）sin （α－β）=sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°+ sin80°·sin40°的值. 13． 化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·︒80sin 22.答案：1.B2. C3.解：∵4π＜α＜4π3， ∴2π＜4π+α＜π. 又cos （4π+α）=－53，∴sin （4π+α）=54.∵0＜β＜4π，∴4π3＜4π3+β＜π.又sin （4π3+β）=135，∴cos （4π3+β）=－1312，∴sin （α+β）=－sin ［π+（α+β）］=－sin ［（4π+α）+（4π3+β）］=－［sin （4π+α）cos （4π3+β）+cos （4π+α）sin （4π3+β）］=－［54×（－1312）－53×135］=6563.4.分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出a b ，用15π8、5π的三角函数表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.解：由于5πsin 5πcos 5πcos 5πsin 5πsin 5πcos 5πcos 5πsina b a b b a b a -+=-+，则15π8tan 5πsin 5πcos 5πcos 5πsin =-+a b a b . 整理，有)5π15π8cos()5π15π8sin(5πsin 15π8sin 5πcos 15π8cos 5πsin 15π8cos 5πcos 15π8sin--=+-=a b =tan 3π=3. 5.分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧.解题过程中，需要注意到（4π+α）+（4π－α）=2π，并且（4π+α）－（4π－α）=2α. 解：cos （4π+α）=cos ［2π－（4π－α）］=sin （4π－α）=135，又由于０＜α＜4π，则0＜4π－α＜4π，4π＜4π+α＜2π.所以cos （4π－α）=1312)135(1)4π(sin 122=-=--α，sin 1312)135(1)4π(cos 1)4π(22=-=+-=+αα. 因此)4πcos()]4π()4πcos[()4πcos(2cos αααα+--+=+a =)4πcos()4πsin()4πsin()4πcos()4πcos(ααααα+-++-+=132413513513121312135=⋅+⋅. 6.分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）.本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化.欲求βαtan tan 的值，需化切为弦，即βαβαβαsin cos cos sin tan tan =，可再求sin αcos β、cos αsin β的值.解：∵sin （α+β）=32，∴sin αcos β+cos αsin β=32.①∵sin （α－β）=43，∴sin αcos β－cos αsin β=43. ②由（①+②）÷（①－②）得βαtan tan =－17. 7.分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法.可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A 、B 、C 的关系及大小，据此判明形状特征.解：由于lgsin A －lgsin B －lgcos C =lg2， 可得lgsin A =lg2+lgsin B +lgcos C ， 即lgsin A =lg2sin B cos C ， sin A =2sin B cos C .根据内角和定理，A +B +C =π， ∴A =π－（B +C ）.∴sin （B +C ）=2sin B cos C ，即sin B cos C +cos B sin C =2sin B cos C . 移项化为sin C cos B －sin B cos C =0， 即sin （B －C ）=0. ∴在△ABC 中，C =B . ∴△ABC 为等腰三角形.8.分析：这道题要观察出7°+8°=15°，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式.解：︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin=︒︒-︒-︒︒︒+︒-︒8sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin( =︒︒-︒︒+︒︒︒︒+︒︒-︒︒8sin 15sin 8sin 15sin 8cos 15cos 8sin 15cos 8sin 15cos 8cos 15sin=︒︒15cos 15sin =2－3.9．解：（1）原式=sin （30°+45°）= sin30°cos45°+cos30°sin45°=21·22+23·22= 462+. （2）原式= sin （13°+17°）=sin30°=21. 10．解：观察分析这些角的联系，会发现9π=2π－18π7. sin18π7cos 9π2－sin 9πsin 9π2 =sin18π7cos 9π2－sin （2π－18π7）sin 9π2=sin18π7cos 9π2－cos 18π7sin 9π2 =sin （18π7－9π2） =sin 6π =21.11．解：设边锋为C ，C 到足球门AB 所在的直线的距离为CO =x ，OB =b ，OA =a （a ＞b ＞0，a 、b 为定值），∠ACO =α，∠BCO =β，∠ACB =α－β＝γ（0＜γ＜2π）， 则tan α=xa，tan β=xb （x ＞0，xab＞0）. 所以tan γ=tan （α－β）=x ab x b a x ab x b x a +-=+-=+-21tan tan 1tan tan βαβα≤abba 2-.当且仅当x =x ab ，即x =ab 时，上述等式成立.又0＜γ＜2π，tan γ为增函数，所以当x =ab 时，tan γ达到最大，从而∠ACB 达到最大值arctan abba 2-.所以边锋C 距球门AB 所在的直线距离为ab 时，射门可以命中球门的可能性最大.12．解：此题考查“变角”的技巧.由分析可知2α=（α－β）+（α+β）. 由于2π＜α＜β＜4π3，可得到π＜α+β＜2π，0＜α－β＜4π. ∴cos （α+β）=－54，sin （α－β）=135. ∴sin2α=sin ［（α+β）+（α－β）］=sin （α+β）cos （α－β）+cos （α+β）sin （α－β） =（－53）·1312+（－54）·135 =－6556. 13．证明：sin （α+β）sin （α－β）=（sin αcos β+cos αsin β）（sin αcos β－cos αsin β）=sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β=sin 2α（1－sin 2β）－（1－sin 2α）sin 2β =sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β+sin 2αsin 2β =sin 2α－sin 2β，所以左边=右边，原题得证.计算sin 220°+sin80°·sin40°，需要先观察角之间的关系.经观察可知80°=60°+ 20°，40°=60°－20°，所以sin 220°+sin80°·sin40°=sin 220°+sin （60°+20°）·sin （60°－20°） =sin 220°+sin 260°－sin 220° =sin 260° =43.分析：此题目要灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简.14．解：原式=［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·︒80sin 22 =［2sin50°+sin10°（1+3︒︒10cos 10sin ）］·︒10cos 22 =［2sin50°+sin10°（︒︒+︒10cos 10sin 310cos ）］·︒10cos 22=（2sin50°+2sin10°·︒︒10cos 50cos ）·2cos10°=22（sin50°cos10°+sin10°·cos50°） =22sin60°=6.15．解：（1）设t =sin x +cos x =2sin （x +4π）∈［－2，2］， 则t 2=1+2sin x cos x . ∴2sin x cos x =t 2－1.∴y =t 2+t +1=（t +21）2+43∈［43，3+2］∴y max =3+2，y min =43. （2）若x ∈［0，2π］，则t ∈［1，2］. ∴y ∈［3，3+2］， 即y max =3+2y min =3.。
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两角和差的正弦余弦正切公式练习题
一、选择题
1．给出如下四个命题
①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ
αβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2
Z k k ∈+≠ππα且)(2
Z k k ∈+≠ππβ；
④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是
（ ）
A ．21+
B ．12-
C ．2
D ． 2 3．当]2
,2[π
π-
∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的
（ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为2
1-
C ．最大值为2，最小值为－2
D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,3
2
tan tan ,7)tan(βαβαβα-=
⋅=+则的值 （ ）
A ．2
1 B ．
2
2 C ．2
2-
D ．2
2±
5．已知
=-=+=-<<<αβαβαπαβπ
2sin ,53
)sin(,1312)cos(,432则 （ ）
A ．6556
B ．－6556
C ．5665
D ．－56
65
6． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于
（ ）
A ．
4
3 B ．
8
3 C ．8
1
D ．
4
1 7．函数)4
cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=
+=π
π其中为相同函数的是 （ ）
A ．)()(x g x f 与
B ．)()(x h x g 与
C ．)()(x f x h 与
D ．)()()(x h x g x f 及与
8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===
则,8
1
tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）
A ．
3
π B ．
4π C ．π65
D ．π4
5
9．设0)4
tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπ
θ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）
A ．p+q+1=0
B ．p －q+1=0
C ．p+q －1=0
D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是
（ ）
A ．
4
12
--a a
B ．－4
12
--a a
C ．2
14a a --±
D ．4
12
--±a a
11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为
（ ）
A ．1tan tan >+
B A B ．1tan tan <⋅B A
C ．1tan tan =⋅B A
D ．不能确定
12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是
（ ）
A ．4
1
B ．
2
3
C ．2
1
D ．4
3
二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）
13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=
.
15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,2
2
sin sin +=
+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34
sin(x +⋅π
．
18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02
1
50sin 50sin 222=-
+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.
19．求证：y
x x
y x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．
20．已知α，β∈（0，π）且7
1
tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.
21．证明：x
x x
x x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.
22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2
cos C
A -的值.
两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案
一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A
二、13．m 14．3π
15．32-- 16．]214,214[-
三、17．原式=)34
cos()33
sin()33
cos()34
sin(x x x x -----ππππ=
4
6
2-．
18．)4550sin(2
)
21
50(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，
12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====
3275tan )2tan(+==- αβ．
19．证：y x y x y x y x y x y x y x y x 2
222sin sin cos cos )]
()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左
=-=+-=y
x x
y x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13
tan ,
tan(2)1,
2.3
4
ααβαβπ=-=-=-
21．左=
=+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22
cos
23cos sin 2cos 23cos 2sin
23cos 2cos 23sin
右．
22．由题设B=60°，A+C=120°，设2
C
A -=α知A=60°+α， C=60°－α， 22cos ,224
3cos cos cos 1
cos 12
=
-=-
=+ααα
即C A
故222cos =-C A ．。