利用导数研究函数的极值和最值(PPT课件)

规范解答：
(1)由题意知f'(x)= 3x 2 3 ， 3 1 2 ax 3 1 x x .记t(x)= 令f'(x)≥0(x≥2)，得a≤ 2 2 9 x ， x 当x≥2时，t(x)是增函数，所以t(x)min= 4 ， 9 - ， . 所以实数a的取值范围是 4 (2)由题意得f'(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4， x f'(x)= 3x 2 8x 3 . 所以f(x)= x3 4 x 2 3， 1 令f'(x)=0，得 x1 3 (舍去)， x2 . 3 当x∈(1，3)时，f'(x)<0，所以f(x)在(1，3]上为减函数； 当x∈(3，4)时，f'(x)>0，所以f(x)在(3，4]上为增函数. 所以当x=3时，f(x)有极小值. 于是，当x∈[1，4]时，f(x)min=f(3)=-18， 而f(1)=-6，f(4)=-12，所以f(x)max=f(1)=-6.
高三一轮复习
利用导数研究函数的极值和最值
姓 名：王 洪 学 单 位：邳州市第一中学 学 段: 高三第一学期
问题提出: 导数在研究函数的极值和最值方面的应用问 题是高考的一个热点问题，它涉及内容广泛，可Fra Baidu bibliotek以多角度、多层次地考查学生分析问题和解决问 题的能力.应用类问题中求最值的问题比较多， 这与函数的极值联系紧密.考查题型可以是填空 题，也可以是解答题，大多为中档题。 利用导数求函数的极值和最值，其解题流程 是怎样的呢?
总结归纳: 1.求函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤： ①求f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将第一步中所求的极值与f(a)，f(b)比较，得到函 数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值. 2.当f(x)为连续函数且在[a，b]上单调，其最大值与最 小值在端点处取得. 3.当连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个可疑点时， 若在这一点处有极大值（极小值），则可断定f(x)在 该点处取得最大值（最小值），这里(a，b)也可以是 无穷区间.
3 2 f ( x ) x ax 3x . 例题：已知函数
(1)若函数f(x)在区间[2，+∞)上是增函 数，求实数a的取值范围； (2)若x=3是函数f(x)的极值点，求f(x)在 [1，a]上的最大值和最小值.
思维导图：
易错分析： 求函数的单调递增区间就是解导数大于零的 不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区 间[2，＋∞)上大于零，忽视了函数的导数在[2， ＋∞)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响 函数的单调性．
变式练习： 3 2 1.已知函数 f ( x) x ax 3x . (1)若函数f(x)在区间[1，+∞)上是增函数，求 实数a的取值范围； 1 (2)若x= 3 是函数f(x)的极值点，求f(x)在[1，4] 上的最大值和最小值.
跟踪练习：
2. 已知函数f ( x) x 2 a ln x (1).当a 2e时，求函数f ( x)的单调区间和极值。 2 (2).若函数g ( x) f ( x) 在1,4上是减函数，求 x 实数a的取值范围。
温馨提醒： (1).若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则 f′(x)≥0，其逆命题不成立，因为f′(x)≥0包括f′(x)>0或 f′(x)＝0，当f′(x)>0时函数y＝f(x)在区间(a，b)上单 调递增，当f′(x)＝0时f(x)在这个区间内为常数函数； 同理，若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则 f′(x)≤0，其逆命题不成立． (2).使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性.