高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论

高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论

一、参数取值引起的分类讨论

1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为 集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．

解析： 由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0，

若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}．

因为A ⊆∁R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3.

若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以∁R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}，

此时A ⊆∁R B 成立．

2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________.

解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32

. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．

当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32

二、空集引起的分类讨论

1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )

A ．－3≤m ≤4

B ．－3＜m ＜4

C ．2＜m ≤4

D ．m ≤4

思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论．

解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.

当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．

则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，

m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.

综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D .

2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a

＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．

解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．

①当3a ＋1＞2，即a ＞13

时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13

时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13

时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧

a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12

，3－52. 针对性练习：

1． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时，a 的值是( )

A ．2

B ．2或3

C ．1或3

D ．1或2

解析 D 当a ＝1时，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋1＝0}＝∅，A ∩B ＝B ；当a ＝2时，

B ＝{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，A ∩B ＝B ；当a ＝3时，A ∩B ＝B 不成立．

2．关于x 的不等式[x －(3－a )](x －2a )＜0的解集为A ，函数y ＝m (－x 2＋3x －2)的定义域 为B .若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．

解析：由－x 2＋3x －2＞0，得x 2－3x ＋2＜0，故1＜x ＜2，即B ＝(1,2)．

由A ∪B ＝A ，知B ⊆A .

(1)若3－a ＜2a ，即a ＞1时，A ＝(3－a,2a )．

∵(1,2)⊆(3－a,2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3－a ≤1，

2a ≥2.解得a ≥2.

(2)若3－a ＝2a ，即a ＝1时，A ＝∅，不合题意；

(3)若3－a ＞2a ，即a ＜1时，A ＝(2a,3－a )．

∵(1,2)⊆(2a,3－a )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，2a ≤1，

3－a ≥2.解得a ≤12

. 综上，实数a 的取值范围是a ≤12

，或a ≥2. 3．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．

(1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；

(2)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．

解析： (1)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A . A ＝{x |－1≤x ≤2}，

①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12

； ②当m ＝12

时，B ＝∅，B ⊆A 成立； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12

＜m ≤1. 综上所述，所求m 的取值范围是－12

≤m ≤1. (3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)

①当m ＜12

时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2， ∴－32

≤m ＜－1； ②当m ＝12

时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12

时，B ＝{x |1＜x ＜2m }， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4， ∴32

＜m ≤2. 综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32

＜m ≤2.