高中数学分类讨论归纳总结(二)：集合中的分类讨论
例谈高一数学中的分类讨论
例谈高一数学中的分类讨论学习目标：分类讨论是数学学习中不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，集合中的分类讨论，二次函数中的分类讨论，直线中的分类讨论，下面我们来一一探讨：一、集合中的分类讨论集合中的空集是一个不可忽视的特例，由集合是否为空集会引起分类讨论 例1、设集合{}{}|237,|121A x x B x m x m =-≤=+≤≤-，若AB A =，则实数m 的取值范围是_________解析：A 集合为[]2,5-，由A B A =可知B A ⊆；当B =∅时，可得1212m m m +>-⇒<，当B ≠∅时，结合数轴可得：12121232153m m m m m m m +≤-≥⎧⎧⎪⎪+≥-⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎩即23m ≤≤， 综上可得：m 的取值范围是(],3-∞二、二次函数中的分类讨论二次函数在闭区间上的取值，要考虑对称轴与区间的相对位置关系进行分类讨论，注意数形结合.例2、已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，求a 的值． 解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，即a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍去)．当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.三、直线中的分类讨论直线中的分类讨论主要是两个方面，一是斜率是否存在，二是截距是否为零. 类型一：斜率引起的分类讨论例3、过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程为________．解析：（1）当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；（2）当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k＝3 4.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0. 综上可知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.例4、已知直线l过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为______________．解析：①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；②当m≠2时，直线l的方程为y－13－1＝x－2m－2，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.类型二：截距引起的分类讨论例5、过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k＝－43，所以y＝－43x，即4x＋3y＝0.②若直线不过原点．设xa＋ya＝1，即x＋y＝a.则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0.例6、求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.。
集合运算中的分类讨论
m 1 2m 1 m 2
2 m 1 即m 3解得：2 m 3
2m 1 5
m 3Biblioteka 综合(1)(2)知：m 3
强调遇到下列条件时记得考虑 B 的情况 AB A AB B B A
AB
希望你学会了。
谢谢！
集合运算中的一道分类讨论问题
寿光中学 高一数学组王晓云
例：已知集合 A x | x2 3x 10 0, B x | m 1 x 2m 1,
若A B A，求实数m的取值范围.
分析问题：
条件 A x | x2 3x 10 0}
2
x2 3x 10 (x 5)( x 2) 0
5
x
结合二次函数图象
2 x 5 A {x | 2 x 5}
条件 A B A 可转化为：B A
无限数集运算往往借助数轴来进行，接下来你在数轴上画出
两个集合的过程中，会发现集合A 是确定的，集合B 中含参
数，两个端点的大小不确定，需要分类讨论.
下面动画演示一下
m 1 2m1
x
x
-2
m 1 2m 1
5
所以我们要对m 1与2m -1的大小进行讨论:
当m 1 2m -1时，B ，符合条件 当m 1 2m -1时，B ，还需要满足B A
m 1 2m -1 - 2 m 1
2m -1 5
完整解答过程：
解： A B A B A.
又 A {x | x2 3x 10 0} {x | 2 x 5},
分类讨论思想在高中数学教学中的应用
分类讨论思想在高中数学教学中的应用分类讨论思想是高中数学教学中最常用的思想方法之一，它可以用来解决各种问题。
本文将分别从高一、高二、高三三个学段的数学教学中，探讨分类讨论思想的应用。
高一数学教学中的分类讨论思想主要应用于集合与函数、初等函数等章节。
1. 集合与函数在集合与函数的教学中，分类讨论思想可以用来解决关于集合、映射等各种问题。
例如：题目：“ 若 A , B , C 均为非空集合，问是否命题“(A ∩ B ) - (A ∩ C ) = B - ( C \ A )” 一定成立？”解法：对于集合的相交运算和差集运算，我们可以利用分类讨论思想来解决问题。
这个题目可以从 A, B, C 的交集、并集关系入手，将其分为情况讨论。
最后通过对不同情况进行代数运算，证明是否命题成立。
2. 初等函数题目：确定函数 y=f(x)=|sinx| 的图像及其特征？解法：对于绝对值函数，我们可以采用分类讨论的思想，将其分为两个区间，再分别讨论在这两个区间内正弦函数的取值情况。
最后通过将两个区间内的图像进行拼接，可以得到该函数的图像及其特征。
1. 解析几何题目：“已知圆 O1 、O2,R,O3 互不相交（O1,O2,O3均在同一平面上），OA 为以 O1 为圆心，R 为半径的圆与以 O2 为圆心，R 为半径的圆的交点，OB 为以 O2 为圆心，R为半径的圆与以 O3 为圆心，R 为半径的圆的交点，连 AB , BC ，请问能否证明三角形ABC 相似？”解法：在解决这个问题时，可以采用分类讨论的思想，分别讨论 OA 与 OB 的位置关系，以及三角形 ABC 的相似条件。
通过分类讨论，可以证明三角形 ABC 相似。
2. 概率统计题目：“有三枚硬币 A，B，C，已知 A 的正反面概率相等，B 的正反面概率为 1:2，C 的正反面概率为 1:3，现从中任取一枚，先抛掷这枚硬币一次，出现正面时不再抛掷，出现反面时再抛掷一次，问是正面的概率有多大？”解法：在解决这个问题时，可以采用分类讨论的思想，分别讨论选取硬币的可能性以及各硬币抛掷正反面的可能性。
高中数学集合知识总结
高中数学知识总结高中数学集合知识总结集合语言是现代数学的基本语言,使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些相关内容.以下是小编搜集整合了高中数学集合知识，希望可以帮助大家更好的学习这些知识。
高中数学知识总结篇1一、集合间的关系1.子集：如果集合A中所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
2.真子集：如果集合AB，但存在元素a∈B,且a不属于A,则称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等：集合A与集合B中元素相同那么就说集合A与集合B相等。
子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：AB(或BA)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)，这时我们说集合是集合的子集，更多集合关系的知识点见集合间的基本关系二、集合的运算1.并集并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A,或x∈B}2.交集交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B交A”)，即A∩B={x|x∈A,且x∈B}3.补集三、高中数学集合知识归纳：1.集合的有关概念。
1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。
②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。
③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。
4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。
小问题大用处：高中数学小问题集中营之一：集合：专题四 集合中的分类讨论 含解析
专题四集合中的分类讨论一、问题的提出数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含“以形助数”和“以数解形"两个方面。
利用它可使复杂问题简单化、抽象问题具体化，它兼有数的严谨与形的直观之长，是优化解题过程的重要途径之一，是中学数学中重要的思想方法，那么集合中有哪些问题可以用到数形结合思想呢？二、问题的探源在进行集合运算时，要尽可能地利用数形结合的思想使抽象问题直观化．1。
对于某些抽象集合问题,文字描述较为抽象，可借助韦恩图直观求解，求两个集合的并集与交集时,先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果此时要搞清Venn图中的各部分区域表示的实际意义．2. 连续型数集的运算常借助数轴求解，利用几何的直观性，以“形”助“数”,形象、直观、方便快捷;与不等式有关的集合的运算,利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．此时需注意端点值是否取到.其步骤是：①化简集合；②将集合在数轴上表示出来；③进行集合运算求范围，重叠区域为集合的交集，合并区域代表集合的并集.3.点集之间的运算通常借助于坐标系,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.三、问题的佐证（一)利用数轴解决不等式解集的表示问题或判断一元不等式所含参数取值范围问题．例1已知集合A={x｜—3≤x≤4｝,B={x｜1<x<m}(m>1)，且B⊆A,则实数m的取值范围是。
【解析】由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4，又m〉1，所以1〈m≤4。
故答案为:1〈m≤4例2已知集合A ＝｛x ∈R |｜x ＋2|〈3｝，集合B ＝{x ∈R |（x －m )(x －2)<0},且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________,n ＝________．【解析】A ＝{x ∈R ｜|x ＋2｜〈3｝＝{x ∈R |－5〈x <1}， 由A ∩B ＝(－1,n ),可知m <1，由B ＝｛x ｜m 〈x <2｝，画出数轴,可得m ＝－1，n ＝1.(二)利用平面直角坐标系作出方程的曲线解决公共点问题或二元不等式所含参数取值范围问题．例3．已知(),1y A x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,(){}2,B x y y x ==则A B = ________．（三)利用韦恩（ｖｅｎｎ）图判断抽象集合间包含或相等的关系或求有穷集合所含元素或其个数问题． 例4.已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2,3，4}的子集，。
高中数学集合中的数学思想 学法指导
高中数学集合中的数学思想集合是近代数学中最基础、最重要的概念之一。
高考所考查的有关集合问题的主要类型有两种：一是直接考查集合本身的问题；二是以集合为载体，综合其他数学知识构成的综合问题。
下面举例说明蕴含在集合中的数学思想。
一、数形结合思想例1 集合},1)()(|),{(22R a a y a x y x A ∈≤-+-=，}2|||||),{(≤+=y x y x B ，a 为何实数时，B A ⋂表示的平面区域的面积最大？解析：集合A 表示的平面区域是圆心为（a ，a ）、半径为1的圆及其内部，其位置由实数a 唯一确定。
集合B 表示的平面区域是以四个点（2，0）、（0，2）、（2-，0）和（0，2-）为顶点的正方形及其内部。
显然，当且仅当圆1)()(22=-+-a y a x 内切于正方形时，B A ⋂表示的平面区域面积最大。
此时，B A ≠⊂，如图所示。
由图可知此时圆心坐标为（0，0），即0=a 时，B A ⋂表示的平面区域的面积最大。
22 2- 2- yx点评：看似无从下手的一道综合题，通过采用数形结合的思想，便迎刃而解了。
运用数形结合思想时，要特别注意端点值，做到准确无误。
二、分类讨论思想例2 集合{}0103|2≤--=x x x A 与集合{}121|-≤≤+=m x m x B ，满足A B ⊆，求实数m 的取值范围。
解析：由A B ⊆可知B 有两种情况：其一，B 为非空集合，且B 中所有元素均为A 中的元素；其二，B 为空集。
易知{}52|≤≤-=x x A 。
①当Φ≠B 时，51212≤-≤+≤-m m ，解得32≤≤m 。
②当Φ=B 时，112+<-m m ，解得2<m 。
综合①②知，满足A B ⊆的实数m 的取值范围是3≤m 。
点评：解含有参数的集合问题时，最直接的办法就是运用分类讨论的思想，但在分类讨论时要注意不重不漏。
三、等价转化思想例3 设集合},1|{R x x y y M ∈+==，集合},1|{2R x x y y N ∈+==，求N M ⋂。
集合中含变量的分类讨论
集合中含变量的分类讨论在数学和逻辑中，集合是由一组元素组成的。
有时候，这些元素可以是特定的对象，也可以是变量，即未特定的对象。
在集合中含有变量的情况下，我们可以对这些变量进行分类讨论。
1. 单一变量的集合分类当集合中只含有一个变量时，我们可以将该变量的取值范围划分为不同的类别，并将每个类别作为集合中的一个元素。
例如，假设我们有一个变量x，其取值范围为整数。
我们可以将整数分为正数、负数和零这三个类别。
然后我们可以表示集合为：偶数集合={偶数}，奇数集合={奇数}，负数集合={负数}，正数集合={正数}，零集合={零}。
2. 多变量的集合分类当集合中含有多个变量时，我们可以同时对这些变量进行分类，并将每个类别的组合作为集合中的一个元素。
考虑以下案例，假设我们有两个变量x和y，它们的取值范围都是整数。
我们可以将x和y的取值范围分别划分为正数、负数和零这三个类别。
然后我们可以表示集合为：坐标集合={（+，+），（+，-），（+，0），（-，+），（-，-），（-，0），（0，+），（0，-），（0，0）}。
3. 变量之间的关系分类在集合中含有变量的情况下，这些变量可能存在某种关系。
我们可以将这些关系进行分类，并将每个类别的关系作为集合中的一个元素。
例如，假设我们有两个变量x和y，它们的取值范围都是整数。
我们可以将变量之间的关系分为等于、大于和小于这三个类别。
然后我们可以表示集合为：关系集合={等于，大于，小于}。
通过对集合中含有变量的分类讨论，我们可以更好地理解和分析变量的特点和关系。
这种分类方法可以帮助我们更好地处理和解决相关的问题。
集合中含参数问题的分类讨论
集合中含参数问题的分类讨论高一的同学不知不觉升入高中已经有一个月的时间了，第一章集合的学习也已经结束.有同学反映集合中含有参数的问题不知道如何进行分类讨论，下面我就这一问题进行归纳总结，希望对你的学习有所帮助.对于两个集合A与B，A或B中含有待确定的参数（字母），若A⊆B或A=B，则集合B中的元素与集合A中的元素具有“包含关系”，解决这类问题时常采用分类讨论和数形结合的办法.（1）分类讨论是指：A⊆B在未指明集合A非空时，应分A=∅和A≠∅两种情况来讨论；因为集合中的元素是无序的的，由A⊆B或A=B得到的两个集合中的元素对应相等的情况可能有多种，因此需要分类讨论.（2）数形结合是指：对A=∅这种情况，在确定参数时需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清实心点与空心圈，确定两个集合之间的包含关系，列不等式（组）将参数确定出来.（3）解决集合中含有参数问题时，最后结果要注意验证.验证是指：分类讨论求得的参数的值，还需代入原集合中看是否满足互异性；所求参数能否取到端点值.根据所给集合的形式我们可以将这类问题分为两类，一类是与不等式有关集合问题，另一类是与方程有关的.下面通过具体例子作进一步分析：例1：已知集合A={x|x2-3x-10≤0}（1）若B⊆A，B={x|m+1≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（2）若A⊆B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围；（3）若A=B，B={x|m-6≤x≤2m-1，m为常数}，求实数m的取值范围.解析：（1）B⊆A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是∅的情况.由A={x|x2-3x-10≤0}，得A={x|-2≤x≤5}因为B⊆A，所以当B=∅时，则m+1＞2m-1，即m＜2，此时满足B⊆A当B≠∅时，则如图所以{m +1≤2m −1−2≤m +12m −1≤5，解得2≤m ≤3由得，m ≤3（2）A ⊆B 且A 不是∅，说明A 是B 的子集，注意此时B 不是∅.若A ⊆B ，依题意有{2m −1≥m −6m −6≤−22m −1≥5,解得{m >−5m ≤4m ≥3，故3≤m ≤4（3）A=B 说明两集合元素完全相同.若A=B ，则必有{m −6=−22m −1=5，此方程无解 即不存在使得A=B 的m 值.点评：解决“A ⊆B ”或“A ⫋B 且B ≠∅”的相关问题时，一定要分A=∅和A ≠∅两种情况进行讨论，其中A=∅的情况容易被或略，应引起足够的重视.变式练习：1. A={x|2a ≤x ≤a+3}，B={x|x ＜-1或x ＞5}，若A ∩B=，则a 的取值范围为 .解：由A ∩B=∅得若A=∅,则2a ＞a+3，因此a ＞3；若A ≠∅，则如图x所以{2a ≥−1a +3≤52a ≤a +3，解得−12≤a ≤2综上所述，a 的取值范围为{a|−12≤a ≤2或a ＞3}2.已知A={x|x ＜-2或x ＞3}，B={x|a ≤x ≤2a-1}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围.解：因为B ⊆A ，所以B 的可能情况有B ≠∅和B ＝∅两种当B ≠∅时，因为B ⊆A所以{a >3a ≤2a −1或{2a −1<−2a ≤2a −1解得a ＞3当B ＝∅时，由a ＞2a-1，得a ＜1综上可知，实数a 的取值范围是{a|a ＜1或a ＞3}例2：已知集合A={x|x 2-3x+2=0}，B={x|x 2-ax+a-1=0}，C={x|x 2-mx+2=0}，且A ∪B=A ，A ∩C=C ，求a 与m 的值或取值范围.解析：由已知条件可得，A={1，2}，B={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}因为A ∪B=A ，所以B ⊆A又因为1∈B ，所以B ≠∅，则a-1∈A所以a-1=1或a-1=2解得 a=2或a=3因为A ∩C=C ，所以C ⊆A因此集合C 有以下三种情况当C=∅时，方程x 2-mx+2=0的判别式Δ=m 2-8＜0，解得−2√2<m <2√2 当C 为单元素集合时，Δ=m 2-8=0，解得m=−2√2或m=2√2x 5 a+3 2a -1若m=−2√2，则C={ −√2}，不满足C⊆A；若m=2√C={ √，不满足C⊆A；当C为双元素集合时，C={1，2}即1，2是关于x的方程x2-mx+2=0的两根，所以m=3代回方程检验，m=3符合题意综上所述，a=2或a=3；−2√2<m<2√2或m=3.点评：在集合的关系中，若集合B为双元素集，且A⊆B，则可对集合A按元素的个数分为三类，即A为∅，A为单元素集，A为双元素集.若B为三元素集，以此类推，这样才能统一标准，不重不漏.变式练习：1.已知A={x|x2-2x-8=0}，B={x|x2+ax+a2-12=0}，若B∪A≠A，求实数a的取值范围.解：若，则B⊆A因为A={x|x2-2x-8=0}={-2，4}所以集合B有以下三种情况：当B=∅时，Δ=a2-4(a2-12)<0，即a2>16所以a<-4或a＞4当B是单元素集合时，Δ=0，即a=-4或a=4若a=-4，则B={2}，不满足B⊆A若a=4，则B={-2}，满足B⊆A当B是双元素集合时，B={-2，4}，即-2，4是关于x的方程x2+ax+a2-12=0的两根所以{−a=−2+4a2−12=−2×4，解得a=-2综上，当B∪A=A时，a的取值范围为{a| a<-4或a=-2或a≥4}所以，当B∪A≠A时，a的取值范围是{a|-4≤a＜4，且a≠-2}2.已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，集合B={x|x2-5x+6=0}，是否存在实数a，使得集合A，B同时满足下列三个条件：A≠B；A∪B=B；∅⫋(A∪B)；若存在，求出这样的实数a的值；若不存在，请说明理由. 解：由已知条件可得B={2，3}，因为A∪B=B，且A≠B，所以A⫋B又因为A≠∅，所以A={2}或A={3}当A={2}时，将x=2代入A中方程，得a2-2a-15=0，所以a=-3或a=5但此时集合A分别为{2，-5}和{2，3}，与A={2}矛盾，所以a≠-3且a≠5当A={3}时，同上也能导出矛盾综上所述，满足题设要求的实数a不存在.。
数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》
数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》题型一 根据数学概念分类讨论【例题1】在△ABC 中，已知sin B ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．．题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论【例题2】数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则其通项n a ＝ ．题型三 根据变量或参数的取值情况分类讨论【例题3】解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax .题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论【例题4】在△ABC 中，AB =（2，3），AC =（1,k ），若△ABC 是Rt △，求k 的值.1． 等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或122．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 ( )A ．－112，0 B.112，－112 C.112，0 D.14，－1123．一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ）A. x y +-=70B. 250x y -=C. x y x y +-=-=70250或D. x y y x ++=-=70250或4．不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是 ．6．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ．7．已知a ∈R ,若关于x 的方程2104x x a a ++-+=有实根,求a 的取值范围．8． 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .。
高考数学 选择题解题方法归纳总结(真题为例)：分类讨论法
高考数学选择题解题方法归纳总结(真题为例)：分类讨论法备战201*高考数学选择题解题方法归纳总结(真题为例)：分类争论法选择题解法归纳总结分类争论法在解答某些问题时，有时会遇到多种状况，需要对各种状况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类争论法。
分类争论是一种规律方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类争论思想的数学问题具有明显的规律性、综合性、探究性，能训练人的思维条理性和概括性。
解答分类争论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定争论对象以及所争论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行争论，分级进行，猎取阶段性结果；最终进行归纳，综合得出结论。
对于分类争论法方法的使用，笔者将另文具体解析。
典型例题：例1：已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10【】(A)7(B)5(C)(D)【答案】D。
【考点】等比数列。
【解析】∵an为等比数列，a4a72，a5a6a4a78，∴a44,a72或a42,a74。
由a44,a72得a18,a101，即a1a107；由a42,a74得a11,a108，即a1a107。
故选D。
1)nan＝2n－1，则an的前60项和为【】例2：数列an满意an1＋(－（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。
【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。
1)nan＝2n－1得，【解析】求出an的通项：由an1＋(－a21a1；a33a2=2；a45a3=7；当n=1时，当n=2时，当n=3时，1a1a当n=4时，a57a4=a1；当n=5时，a69a5=9a1；当n=6时，a711a6=2a1；当n=7时，a713a6=15a1；当n=8时，a815a7=a1；当n=4m+1时，a4m28m1a1；当n=4m+2时，a4m22a1；当n=4m+3时，a4m48m7a1；当n=4m+4时，a4m5a1（m=0,1,2，。
集合中含元素的分类讨论
集合中含元素的分类讨论集合是数学中常见的一个概念，它由一组无序的元素组成。
我们可以根据集合中元素的性质和特点进行分类讨论。
下面将介绍几种常见的集合分类。
1. 有限集合和无限集合- 有限集合：有限集合是指元素个数有限的集合。
例如，{1, 2, 3, 4, 5}是一个有限集合，其中包含了5个元素。
- 无限集合：无限集合是指元素个数无限的集合。
例如，自然数集合{1, 2, 3, ...}就是一个无限集合，其中包含了无穷多个元素。
2. 相等集合和不相等集合- 相等集合：两个集合中的元素完全相同，即集合A和集合B 的元素相等，记作A = B。
例如，{1, 2, 3}和{3, 2, 1}是相等集合，因为它们包含的元素相同。
- 不相等集合：两个集合中的元素不完全相同，即集合A和集合B的元素不相等，记作A ≠ B。
例如，{1, 2, 3}和{4, 5, 6}是不相等集合，因为它们包含的元素不相同。
3. 子集和真子集- 子集：对于两个集合A和集合B，如果集合A中的所有元素都是集合B中的元素，那么集合A是集合B的子集，记作A ⊆B。
例如，{1, 2}是{1, 2, 3}的子集。
- 真子集：对于两个集合A和集合B，如果集合A是集合B的子集，但集合B中还有其他元素不在集合A中，那么集合A是集合B的真子集，记作A ⊂ B。
例如，{1, 2}是{1, 2, 3}的真子集，因为集合{1, 2, 3}中还有一个元素3不在集合{1, 2}中。
4. 空集和全集- 空集：不包含任何元素的集合称为空集，记作∅。
空集是任何集合的子集。
- 全集：包含所有可能元素的集合称为全集。
全集根据具体情况可以是有限集合或无限集合。
以上是一些常见的集合分类讨论。
通过对集合进行分类，我们可以更好地理解和描述其中的元素关系和特点，并进行相关的数学推理和证明工作。
分类讨论思想在高中数学中的应用
分类讨论思想在高中数学中的应用摘要：分类讨论是是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置，在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
因此在平时的教学中，应该注重分类思想的教学，注重培养学生的逻辑性思维。
分类讨论实质是“化整为零，各个击破，再积零为整”的思维策略。
分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.其关键是“为什么分类，怎样分类”。
一、分类讨论的几个注意点1. 明确分类讨论的对象分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量, 当然也不排除为常量的可能。
例1、设k 为实常数，问方程)4()8()4()8(22-⋅-=-+-k k y k x k 表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于k 的取值，可对k 分以下三种情形讨论：（1）当k 4=时，方程变为0,042==x x 即，表示直线；（2）当k 8=时，方程变为0042==y y 即，表示直线；（3）当84≠≠k k 且时，方程变为18422=-+-ky k x ，又有以下五种情形讨论： ①当4<k 时，方程表示中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线；②当64<<k 时，方程表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆；③当6=k 时，方程表示圆心在圆点的圆；④当86<<k 时，方程表示中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆；⑤当8>k 时，方程表示中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线．解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的涵对参数k 进行分类。
高中数学解题中的分类讨论策略
高中数学解题中的分类讨论策略高中数学中分类讨论是一种非常重要的解题策略，在分类讨论中，通过不断地对题目的知识点进行化整为零、归类整理，将题目包含的多种知识点与情况逐次分析，从而达到解题的目的。
1.分类讨论的含义与解题步骤分类讨论是一种逻辑方法，也是一种常见的解题思路，在解题过程中分类讨论的应用十分广泛。
我们在解决数学问题的过程中，经常会遇到一些不能用同一标准，或同一运算，或同一类型来概括的问题，因此，需要分成若干个局部问题去解决，需要化整为零，各个击破，这就是分类讨论思想。
一般地来说，引起分类讨论的原因大致可以归纳为以下几点：一是，由数学概念引起的分类讨论，如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成角、直线的斜率等，这类问题要以定义所受的限制条件来分类。
二是，由数学运算、定理、公式引起的分类，如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式的两边同乘以一个正数还是负数等。
三是，由函数性质引起的分类讨论，如函数的单调性、奇偶性，最值问题。
四是，由图形位置的不确定性引起的分类讨论，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等。
五是，由参数的变化范围引起的分类讨论，如含参数的方程或不等式，直线的点斜式或斜截式方程等。
在对数学问题的研究与解答中，分类讨论可以依据题给数据的共性与特性进行划分，具体步骤为：首先要明确讨论的对象与解题中心，这里要全面审题，将已知条件进行罗列；其次要根据已知条件进行科学分类，其分类的标准可以根据条件的属性、数量等进行确定，要做到不重不漏；最后要对解题过程进行总结。
2.分类讨论在解题中的应用与思考例题已知mR，求函数f（x）=（4-3m）x2-2x+m在区间[0，1]上的最大值。
解析：由于当4-3m=0时，f（x）是一次函数，当4-3m0时，f（x）是二次函数，因函数图像的开口方向不同，求最大值的方法也不同，所以应对m分类讨论。
高中数学：集合中何时分类讨论
高中数学：集合中何时分类讨论1、当集合可能为空集时，需要分类讨论如果忽视了一些集合可能为空集的情况，就很容易出错。
如在，中，都隐含着A可能为空集的情况。
例1 已知，且，求实数a的取值范围。
分析：如图1所示。
①当时，适合题意。
②当即a≤3时，由及图1知，解得。
由①②知实数a的取值范围为。
2、当集合中元素个数不定时，需要分类讨论例2 已知，且，求实数p 的取值范围。
分析：x=0显然不是方程的实根。
由知A中元素为负实数。
①当A中方程有两个负实根或一个负实根时，，解得。
②当A中方程无实根时，，解得。
综上知p的取值范围是3、当变量所在范围不定时，需要分类讨论例3 解不等式。
分析：令，则，而－1，0将数轴分成三部分。
当x<－1时，，解得当时，恒成立，可得。
当x>0时，，解得。
故原不等式的解集为。
4、当判别式正负不定时，需要分类讨论例4 解关于x的不等式。
分析：由于的符号不能确定，所以必须对进行分类讨论。
当=0即时，由a=4知原不等式的解集为知原不等式的解集为。
当△>0即a>4或a<－4时，原不等式的解集为。
当△<0即时，原不等式的解集为R。
5、当含参端点大小不定时，需要分类讨论例5 已知，且，求实数a的取值范围。
分析：方程的两个实根为a和3a。
显然，不能默认，应对a和3a的大小进行分类讨论。
①当3a>a即a>0时，，由及图2知，解得②当即a<0时，，由及图3知，解得③当3a=a即a=0时，，适合题意。
由①②③知实数a的取值范围为。
6、当出现含参系数时，需要分类讨论例6 已知，且，求实数a的取值范围。
分析：易得①当即时，无解，即，不合题意。
②当即时，的解为x=1，即B={x|x=1}，不合题意。
③当1+a>0即a>－1时，可化为，即。
再针对a进行讨论。
当a>0时，其解为，即，不合题意。
当a=0时，其解集为R，即B=R。
当时，其解为，即。
因，所以。
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高中数学分类讨论归纳总结（二）：集合中的分类讨论
一、参数取值引起的分类讨论
1．已知函数y ＝2x ，x ∈[2,4]的值域为集合A ，y ＝log 2[－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)]的定义域为 集合B ，其中m ≠1.设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．
解析： 由－x 2＋(m ＋3)x －2(m ＋1)＞0，得(x －m －1)(x －2)＜0，
若m ＞1，则B ＝{x |2＜x ＜m ＋1}，所以∁R B ＝{x |x ≤2或x ≥m ＋1}．
因为A ⊆∁R B ，所以m ＋1≤4，所以1＜m ≤3.
若m ＜1，则B ＝{x |m ＋1＜x ＜2}，所以∁R B ＝{x |x ≤m ＋1或x ≥2}，
此时A ⊆∁R B 成立．
2．已知集合A ＝{a －2,2a 2＋5a,12}，且－3∈A ，则a ＝__________.
解析：∵－3∈A ，∴－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a . ∴a ＝－1或a ＝－32
. 当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去．
当a ＝－32时，a －2＝－72，2a 2＋5a ＝－3. ∴a ＝－32满足条件．答案：－32
二、空集引起的分类讨论
1、已知集合A ＝{x|－2≤x ≤7}，B ＝{x|m ＋1＜x ＜2m －1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是( )
A ．－3≤m ≤4
B ．－3＜m ＜4
C ．2＜m ≤4
D ．m ≤4
思维启迪：若B ⊆A ，则B ＝∅或B ≠∅，要分两种情况讨论．
解析：当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2.
当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，
m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.
综上，m 的取值范围为m ≤4，故选D .
2、．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝{x |x －2x －(3a ＋1)＜0}，B ＝{x |x －a 2－2x －a
＜0}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．
解析：∵a 2＋2＞a ，∴B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}．
①当3a ＋1＞2，即a ＞13
时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}．∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤2，3a ＋1≤a 2＋2，即13＜a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13
时，A ＝∅，符合题意； ③当3a ＋1＜2，即a ＜13
时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}， 由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2，∴－12≤a ＜13. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12
，3－52. 针对性练习：
1． A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A }，则A ∩B ＝B 时，a 的值是( )
A ．2
B ．2或3
C ．1或3
D ．1或2
解析 D 当a ＝1时，B ＝{x ∈R |x 2－x ＋1＝0}＝∅，A ∩B ＝B ；当a ＝2时，
B ＝{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}，A ∩B ＝B ；当a ＝3时，A ∩B ＝B 不成立．
2．关于x 的不等式[x －(3－a )](x －2a )＜0的解集为A ，函数y ＝m (－x 2＋3x －2)的定义域 为B .若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．
解析：由－x 2＋3x －2＞0，得x 2－3x ＋2＜0，故1＜x ＜2，即B ＝(1,2)．
由A ∪B ＝A ，知B ⊆A .
(1)若3－a ＜2a ，即a ＞1时，A ＝(3－a,2a )．
∵(1,2)⊆(3－a,2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，3－a ≤1，
2a ≥2.解得a ≥2.
(2)若3－a ＝2a ，即a ＝1时，A ＝∅，不合题意；
(3)若3－a ＞2a ，即a ＜1时，A ＝(2a,3－a )．
∵(1,2)⊆(2a,3－a )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜1，2a ≤1，
3－a ≥2.解得a ≤12
. 综上，实数a 的取值范围是a ≤12
，或a ≥2. 3．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－(2m ＋1)x ＋2m ＜0}．
(1)若A ∪B ＝A ，求实数m 的取值范围；
(2)若(∁R A )∩B 中只有一个整数，求实数m 的取值范围．
解析： (1)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A . A ＝{x |－1≤x ≤2}，
①当m ＜12时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}，此时－1≤2m ，∴－12≤m ＜12
； ②当m ＝12
时，B ＝∅，B ⊆A 成立； ③当m ＞12时，B ＝{x |1＜x ＜2m }，此时2m ≤2，∴12
＜m ≤1. 综上所述，所求m 的取值范围是－12
≤m ≤1. (3)∵A ＝{x |－1≤x ≤2}，∴∁R A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，(9分)
①当m ＜12
时，B ＝{x |2m ＜x ＜1}， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则－3≤2m ＜－2， ∴－32
≤m ＜－1； ②当m ＝12
时，B ＝∅，不符合题意； ③当m ＞12
时，B ＝{x |1＜x ＜2m }， 若(∁R A )∩B 中只有一个整数，则3＜2m ≤4， ∴32
＜m ≤2. 综上，m 的取值范围是－32≤m ＜－1或32
＜m ≤2.。