函数中的恒成立与存在性问题PPT
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导数与不等式、存在性及恒成立问题 ppt课件
第5讲 导数与不等式的证明、存在性及恒 成立问题
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
高考定位 在高考试题压轴题中，函数与不等式交汇 的试题是考查的热点，一类是利用导数证明不等式， 另一类是存在性及恒成立问题.
真题感悟·考点整合
热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
真题感悟 (2015·全国Ⅰ卷)设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数；
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(2)证明 由(1)得 f′(x)＝12ex－e1x′＝12ex＋ee2xx
＝12(ex＋e－x)＝g(x)，⑤ g′(x)＝12ex＋e1x′＝12ex－ee2xx＝12(ex－e－x) ＝f(x)，⑥ 当 x＞0 时，f（xx）＜bg(x)＋(1－b)⇔f(x)＜bxg(x)＋(1－b)x，⑦ 设函数 h(x)＝f(x)－bxg(x)－(1－b)x， 则 h′(x)＝f′(x)－bg(x)－bxg′(x)－(1－b) ＝g(x)－bg(x)－bxf(x)－(1－b) ＝(1－b)[g(x)－1]－bxf(x)， 当 b≥1 时，由③④得 h′(x)＜0，故 h(x)在[0，＋∞)上为减函数，从 而 h(x)＜h(0)＝0， 即 f(x)＜bxg(x)＋(1－b)x.故结论成立.
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热点聚焦·题型突破
归纳总结·思维升华
【训练 1】(2015·湖北卷改编)设函数 f(x)，g(x)的定义域均为 R，且 f(x)
是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)＋g(x)＝ex，其中 e 为自然对数的底数.
(1)求 f(x)，g(x)的解析式，并证明：当 x>0 时，f(x)>0，g(x)>1；
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高考定位 在高考试题压轴题中，函数与不等式交汇 的试题是考查的热点，一类是利用导数证明不等式， 另一类是存在性及恒成立问题.
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真题感悟 (2015·全国Ⅰ卷)设函数 f(x)＝e2x－aln x. (1)讨论 f(x)的导函数 f′(x)零点的个数；
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(2)证明 由(1)得 f′(x)＝12ex－e1x′＝12ex＋ee2xx
＝12(ex＋e－x)＝g(x)，⑤ g′(x)＝12ex＋e1x′＝12ex－ee2xx＝12(ex－e－x) ＝f(x)，⑥ 当 x＞0 时，f（xx）＜bg(x)＋(1－b)⇔f(x)＜bxg(x)＋(1－b)x，⑦ 设函数 h(x)＝f(x)－bxg(x)－(1－b)x， 则 h′(x)＝f′(x)－bg(x)－bxg′(x)－(1－b) ＝g(x)－bg(x)－bxf(x)－(1－b) ＝(1－b)[g(x)－1]－bxf(x)， 当 b≥1 时，由③④得 h′(x)＜0，故 h(x)在[0，＋∞)上为减函数，从 而 h(x)＜h(0)＝0， 即 f(x)＜bxg(x)＋(1－b)x.故结论成立.
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归纳总结·思维升华
【训练 1】(2015·湖北卷改编)设函数 f(x)，g(x)的定义域均为 R，且 f(x)
是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)＋g(x)＝ex，其中 e 为自然对数的底数.
(1)求 f(x)，g(x)的解析式，并证明：当 x>0 时，f(x)>0，g(x)>1；
恒成立与存在性问题课件
数列极限问题例题
要点一
总结词
数列极限问题例题是恒成立与存在性问题中另一类常见的 题目，主要考察学生对数列极限的定义和求解能力。
要点二
详细描述
数列极限问题例题通常包括给定数列的通项公式，求数列 的极限值，或者在一定条件下判断数列的收敛性等问题。 在解题时，学生需要熟练掌握极限的定义和求解方法，以 及数列的通项公式和收敛性的判断等知识。
总结词
对于连续函数，极值点通常在导数为零 的点处取得。
VS
详细描述
对于一元函数，我们可以通过求解导数为 零的点来找到极值点。而对于多元函数， 我们需要求解偏导数为零的点，这些点通 常被称为驻点。
数列中项问题
总结词
详细描述
总结词
详细描述
数列中项问题是探求数列中 某一项的值小于或大于该项 前面的所有项和该项后面的 所有项。
02
反证法
反证法是一种间接证明存在性命题的方法。它通过假设命题不成立，然
后推出矛盾，从而证明命题的正确性。
03
排除法
排除法是一种通过排除不可能的情况来证明存在性命题的方法。它通过
列出所有不可能的情况，然后证明其中至少有一种情况是成立的，从而
证明命题的正确性。
03
恒成立问题的应用
函数最值问题
总结词
函数最值问题是恒成立问题的一个重要应用，通过求解函数的最值，可以解决许 多实际生活中的问题。
详细描述
函数最值问题主要研究一个或多个自变量取值时，函数所取得的最大或最小值。 在解决函数最值问题时，通常需要考虑函数的单调性、极值、导数等性质，以及 可能涉及的几何意义等。
数列极限问题
总结词
数列极限问题是数学中的一个经典问题，主要研究当数列的 项数趋于无穷时，数列的项的值是如何变化的。
恒成立存在性问题课件
详细描述
不等式证明问题是数学中常见的问题类型，这类问题 通常涉及到比较两个数或两个函数的大小。通过证明 不等式，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的 取值范围，从而解决恒成立存在性问题。
导数综合问题变式
总结词
利用导数性质和函数单调性，解决恒成立存在性问题。
详细描述
导数综合问题涉及到导数的计算、单调性判断以及极值 和最值的求解等知识点。通过利用导数的性质和函数的 单调性，我们可以找到满足某些条件的参数或函数的取 值范围，从而解决恒成立存在性问题。
转化与化归法
总结词
将问题转化为已知的问题或简单的问题，从而解决问题。
详细描述
转化与化归法是一种常用的解题策略，通过将复杂的问题转化为已知的问题或简单的问题，可以降低问题的难度 。在处理恒成立问题时，可以将问题转化为求最值问题、不等式问题等已知的问题类型，从而利用已知的解题方 法来解决该问题。
03
THANKS
感谢观看
常见错误反思
忽视定义域
在解决恒成立存在性问题时，容易忽 视函数的定义域，导致解题错误。
混淆最值与恒成立
在处理最值问题时，容易将最值与恒 成立混淆，导致解题思路出现偏差。
忽视参数的取值范围
在确定参数的取值范围时，容易忽视 参数的实际取值范围，导致答案不准 确。
缺乏对题目的深入理解
在解题过程中，容易缺乏对题目的深 入理解，导致解题思路不清晰，答案 不完整。
06
总结与反思
解题思路总结
转化思想
将恒成立存在性问题转化为最 值问题，通过求最值来确定参
数的取值范围。
数形结合
利用数形结合的方法，将问题 转化为几何图形，通过观察图 形的性质和变化规律来解决问 题。
高考数学一轮总复习课件：专题研究 利用导数研究恒成立或存在性问题
∴g′(x)＝
[（x＋1）（1＋lnx）]′x－（x＋1）（1＋lnx） x2
＝x－x2lnx.
令h(x)＝x－lnx(分子的符号无法直接判断，故考虑再构造函 数进行分析)，
∴h′(x)＝1－1x＝x－x 1. ∵x≥1，∴h′(x)≥0， ∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(1)＝1>0， ∴g′(x)>0，∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝2，∴k≤2. 【答案】 (－∞，2]
【解析】 ∵f(x1)≤g(x2)恒成立，∴只需f(x1)≤g(x)min. 由g(x)＝ex－x－1，得g′(x)＝ex－1，令g′(x)>0，解得
x>0，令g′(x)<0，解得x<0.
∴g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(0)＝0. ∴∀x1∈(0，＋∞)，ax12－(2a＋1)x1＋lnx1≤0恒成立，即只
故 h(x)在1a，1上单调递增，在(1，a)上单调递减． ∴h(x)max＝h(1)＝lna－1＋1a(a>1)． 令 φ(a)＝lna－1＋1a，a＞1， 则 φ′(a)＝1a－a12＝a－a21>0，则 φ(a)在(1，＋∞)上单调递增， ∴φ(a)>φ(1)＝0，即 h(x)max>0，与 ln(ax)－x＋1a<0 恒成立矛盾． ∴不存在 a 使 f(x)＞g(x)对∀x∈1a，a恒成立． 【答案】 ①2－1ex－y－e＝0 ②不存在 a，理由略
题型二 等价转化法求参数范围
例2 (1)(2021·河北保定模拟)已知函数f(x)＝(x－a)·ln(ax)， g(x)＝x2－a＋1ax＋1，a≥1.
恒成立或存在性问题课件-2024届高三数学二轮复习
专题研究一 恒成立或存在性问题
要点 解决恒成立或有解问题的常见结论 下列是恒成立问题的一些常见结论： (1)不等式f(x)≥0在定义域内恒成立，等价于f(x)min≥0； (2)不等式f(x)≤0在定义域内恒成立，等价于f(x)max≤0； (3)不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等价于F(x)＝f(x)－g(x)>0，x∈(a，b) 恒成立.
例1 已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R).若对任意x∈[－2，1]，不等式 f(x)<32恒成立，求a的取值范围.
【解析】 方法一：因为f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax. 所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2). 当a>0时，f(x)在－2，23上单调递增， 在23，1上单调递减. 故f(x)的最大值为f23＝3227a<32，即a<27.
即22aa＋ ＋b4＋ b＋1＝ 2＝0， 0，解得ab＝ ＝－ －1313， . 经验证，符合题意. (2)在 14，1 上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，x∈ 14，1， 因为f′(x)＝－23－31x2＋1x＝－2x2－3x32x＋1＝－（2x－1）3x（2 x－1）， 所以当x∈14，12时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
题型二 存在性问题
例2 已知函数f(x)＝－ax2＋ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若存在x∈(1，＋∞)，f(x)>－a，求实数a的取值范围. 【解析】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＋1x＝1－x2ax2.
当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
要点 解决恒成立或有解问题的常见结论 下列是恒成立问题的一些常见结论： (1)不等式f(x)≥0在定义域内恒成立，等价于f(x)min≥0； (2)不等式f(x)≤0在定义域内恒成立，等价于f(x)max≤0； (3)不等式f(x)>g(x)，x∈(a，b)恒成立，等价于F(x)＝f(x)－g(x)>0，x∈(a，b) 恒成立.
例1 已知a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R).若对任意x∈[－2，1]，不等式 f(x)<32恒成立，求a的取值范围.
【解析】 方法一：因为f(x)＝ax(x2－4x＋4)＝ax3－4ax2＋4ax. 所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x2－8x＋4)＝a(3x－2)(x－2). 当a>0时，f(x)在－2，23上单调递增， 在23，1上单调递减. 故f(x)的最大值为f23＝3227a<32，即a<27.
即22aa＋ ＋b4＋ b＋1＝ 2＝0， 0，解得ab＝ ＝－ －1313， . 经验证，符合题意. (2)在 14，1 上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，x∈ 14，1， 因为f′(x)＝－23－31x2＋1x＝－2x2－3x32x＋1＝－（2x－1）3x（2 x－1）， 所以当x∈14，12时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
题型二 存在性问题
例2 已知函数f(x)＝－ax2＋ln x(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若存在x∈(1，＋∞)，f(x)>－a，求实数a的取值范围. 【解析】 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＋1x＝1－x2ax2.
当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
yf(x ) a x b (a 0 )，若 y f (x) 在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0 ，则根据函数的
图像（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）
a f
0 (m)
0
或ⅱ）
a f
0 (n)
0
亦可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
.
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
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“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0
在区间 [ , ] 上恒成立问题：
（1）当 a0 时，f(x)0在 x [,]上恒成立
2ba或 2ba或 2ba，
的范围.
解：
f fБайду номын сангаас
(1) 0 (2) 0
∴ m4 3
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
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（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0 在全集 R 上恒成立问题：
（1）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0 （2）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0
1.函函数数性性质质法法
如图所示.同理，若在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0
则有
f f
(m) 0 (n) 0
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】 如果当自变量满足 1x2时，函数
图像（直线）可得上述结论等价于
ⅰ）
a f
0 (m)
0
或ⅱ）
a f
0 (n)
0
亦可合并成
f f
(m) 0 (n) 0
.
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
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（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型2：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0
在区间 [ , ] 上恒成立问题：
（1）当 a0 时，f(x)0在 x [,]上恒成立
2ba或 2ba或 2ba，
的范围.
解：
f fБайду номын сангаас
(1) 0 (2) 0
∴ m4 3
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（2）恒成立问题与二次函数联系：
类型1：设 f(x)a2x b xc(a0)，f (x) 0 在全集 R 上恒成立问题：
（1）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0 （2）f(x)0在 xR上恒成立 a0且 0
1.函函数数性性质质法法
如图所示.同理，若在 [ m , n ] 内恒有 f (x) 0
则有
f f
(m) 0 (n) 0
“恒成立”问题的解法ppt完美课件 通用
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（1）恒成立问题与一次函数联系
【例1】 如果当自变量满足 1x2时，函数
(高一用)函数中的恒成立存在性问题精品PPT课件
前一段时间和一位朋友聊天。他问我：“听说你这几年做投资，收益怎么？”我说：“这不才刚刚开始吗。”他一脸疑惑，问我：“这做投资就像做生意，你得定期盘盘库，明白自己到底是赚了，还是赔了。”
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
我有个朋友，儿子几年前考取一所名牌大学。几天前路遇，见他愁眉不展，问他何故？他说：“孩子大学毕业后，已经在家里呆了大半年了。出去参加了几次招聘，大都是私营企业，工资太低，不怎么稳定，所以现在一直待在家里。”
请问，你怎么选择？真实情况是，好多人嘴上会说选A,但最终大都会选B。因为人们都认为自己是聪明人，当然选B，只有傻子才会选A。
谁愿意等那么长的时间？世界变化如此之快，到头来不知道会变成什么样子，这是大多数人内心的真实想法。似乎快速获取、及时行乐是人们的天性，人们的很多心理状态是由几万年基因的进化决定的。
迪士尼乐园，与我们成年人而言，它是一个守护了我们童年的港湾。 在这里的所有伙伴，不论男女老少，都能卸下自己的伪装和枷锁，尽情的享受一个美好的虚幻童话世界。
在这里，不会有人催你长大。 这里有关于梦想幻想的一切，你忘记烦恼，只为把快乐投入其中。
这是一个能让你变回孩子的地方，可以没有顾虑做回真实的自己。 这里虽然可爱却并不幼稚，你会惊叹于华特迪士尼的设计和想象力。 这里充满着无数的童年的回忆，有很多张笑脸，有很多意想不到的创意。 在这里我们得到的幸福不是痛苦或者失去头脑后的自我陶醉，而是我们人格完整的最好证明。
偶尔来给自己一点喘息的余地和放松的空间吧，只为回归纯粹。 于是，我选择了一个周五的傍晚，住进了“花筑”民宿，来到了位于迪士尼周边2km的小镇。
算是给自己放一个小假，只为圆一场童话梦。 穿梭回到童年，就为简单、不知所谓的快乐一番。
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
我有个朋友，儿子几年前考取一所名牌大学。几天前路遇，见他愁眉不展，问他何故？他说：“孩子大学毕业后，已经在家里呆了大半年了。出去参加了几次招聘，大都是私营企业，工资太低，不怎么稳定，所以现在一直待在家里。”
请问，你怎么选择？真实情况是，好多人嘴上会说选A,但最终大都会选B。因为人们都认为自己是聪明人，当然选B，只有傻子才会选A。
谁愿意等那么长的时间？世界变化如此之快，到头来不知道会变成什么样子，这是大多数人内心的真实想法。似乎快速获取、及时行乐是人们的天性，人们的很多心理状态是由几万年基因的进化决定的。
迪士尼乐园，与我们成年人而言，它是一个守护了我们童年的港湾。 在这里的所有伙伴，不论男女老少，都能卸下自己的伪装和枷锁，尽情的享受一个美好的虚幻童话世界。
在这里，不会有人催你长大。 这里有关于梦想幻想的一切，你忘记烦恼，只为把快乐投入其中。
这是一个能让你变回孩子的地方，可以没有顾虑做回真实的自己。 这里虽然可爱却并不幼稚，你会惊叹于华特迪士尼的设计和想象力。 这里充满着无数的童年的回忆，有很多张笑脸，有很多意想不到的创意。 在这里我们得到的幸福不是痛苦或者失去头脑后的自我陶醉，而是我们人格完整的最好证明。
偶尔来给自己一点喘息的余地和放松的空间吧，只为回归纯粹。 于是，我选择了一个周五的傍晚，住进了“花筑”民宿，来到了位于迪士尼周边2km的小镇。
算是给自己放一个小假，只为圆一场童话梦。 穿梭回到童年，就为简单、不知所谓的快乐一番。
恒成立与存在性问题
01
总结词
一次函数性质简单，常用于基础问 题。
总结词
一次函数在定义域内单调，不存在 极值点。
03
02
总结词
一次函数图像为直线，单调性明显。
总结词
一次函数在定义域内单调，恒成立 与存在性问题较易解决。
04
二次函数的恒成立与存在性问题实例
总结词
二次函数开口方向由二次项系数决定。
总结词
二次函数在区间$[-infty, frac{b}{2a}]$上单调递增，在区间$[-
利用三角函数的周期性、对称性、数形结合 等方法，判断三角函数在某个区间内是否存 在极值点或零点。
三角函数存在性问题的应 用
在解决实际问题中，如物理、工程等领域， 常常需要判断某个三角函数是否满足某些条
件，如是否存在最优解或可行解。
03
恒成立与存在性问题的解 法
分离参数法
总结词
分离参数法是一种通过将参数分离到不等式的两边，从而简化问题的方法。
判别式法
总结词
判别式法是一种通过引入判别式来解决 问题的方法。
VS
详细描述
判别式法的基本思想是通过引入判别式来 简化方程的解的求解过程。这种方法在处 理一元二次方程和二元二次方程组时非常 有效。通过判别式，我们可以更容易地找 到方程的解，并且可以更好地理解解的性 质和分布。
04
实例分析
一次函数的恒成立与存在性问题实例
详细描述
分离参数法的基本思想是将参数从不等式中分离出来，单独放在不等式的另一 边，这样可以更容易地找到参数的取值范围，从而解决问题。这种方法在处理 包含参数的不等式问题时非常有效。
数形结合法
总结词
数形结合法是一种通过将问题转化为 图形问题，从而直观地理解问题的方 法。
导数与不等式、存在性及恒成立问题课件
导数与不等式、存在性及 恒成立问题课件
探讨导数、不等式、存在性、恒成立等在数学中的应用。让您更深入地了解 微积分学的精髓。
导数定义回顾
回顾导数定义的基本概念及其在微积分中的应用。了解导数概念背后的原理，更好地理解微积分在实际 问题中的计算过程。
导数的定义
导数是函数变化率的极限，描 述了函数在某一点上的瞬时变 化情况。
物理学 经济学 医学 工程学
应用举例
质点的运动学问题、物理实 验数据的分析 生产效率、市场数量分析
人体各种生理指标的变化及 其分析 建筑物的斜率、曲率、坡度 等问题
导数应用
求解速度、加速度、力学问 题
求解边际收益、边际成本、 经济最优问题
求解人体变化率、优化医疗 资源分配等问题
求解建筑物切线与法线方程、 优化设计等问题
总结
回顾导数与不等式、存在性及恒成立问题，并总结学习过程中需要注意的重点和概念要点。
重要概念
• 导数的定义与计算方法 • 高阶导数与凸凹性 • 函数的关键点和特殊点
注意事项
• 每个概念都需要学会手工计算 • 理论与实际问题相结合，深入理解导数
和不等式之间的联系 • 心理保持平衡，勇于解决迷茫
导数的几何解释
导数就是函数图像在给定点处 的切线斜率。
导数的计算方法
可通过一系列基本的求导规则 和运算法则，将导数计算化繁 为简。
函数的导数与不等式
探讨函数的导数与不等式之间的关系，以及如何运用导数来求解不等式问题。
1
导数与单调性
通过导数的正负性来判断函数凹性
利用高阶导数的符号变化来判断函数的凸凹性及拐点。
阿Q的心理分析
揭示了阿Q精神背后的本质原因及其与历史 社会的关联。
探讨导数、不等式、存在性、恒成立等在数学中的应用。让您更深入地了解 微积分学的精髓。
导数定义回顾
回顾导数定义的基本概念及其在微积分中的应用。了解导数概念背后的原理，更好地理解微积分在实际 问题中的计算过程。
导数的定义
导数是函数变化率的极限，描 述了函数在某一点上的瞬时变 化情况。
物理学 经济学 医学 工程学
应用举例
质点的运动学问题、物理实 验数据的分析 生产效率、市场数量分析
人体各种生理指标的变化及 其分析 建筑物的斜率、曲率、坡度 等问题
导数应用
求解速度、加速度、力学问 题
求解边际收益、边际成本、 经济最优问题
求解人体变化率、优化医疗 资源分配等问题
求解建筑物切线与法线方程、 优化设计等问题
总结
回顾导数与不等式、存在性及恒成立问题，并总结学习过程中需要注意的重点和概念要点。
重要概念
• 导数的定义与计算方法 • 高阶导数与凸凹性 • 函数的关键点和特殊点
注意事项
• 每个概念都需要学会手工计算 • 理论与实际问题相结合，深入理解导数
和不等式之间的联系 • 心理保持平衡，勇于解决迷茫
导数的几何解释
导数就是函数图像在给定点处 的切线斜率。
导数的计算方法
可通过一系列基本的求导规则 和运算法则，将导数计算化繁 为简。
函数的导数与不等式
探讨函数的导数与不等式之间的关系，以及如何运用导数来求解不等式问题。
1
导数与单调性
通过导数的正负性来判断函数凹性
利用高阶导数的符号变化来判断函数的凸凹性及拐点。
阿Q的心理分析
揭示了阿Q精神背后的本质原因及其与历史 社会的关联。
(高一用)函数中的恒成立存在性问题PPT 课件
也就是说，从平均值看，名校毕业生的 收入就 已经遥 遥领先 好几倍 ，更不 用说那 些高薪 行业的 实际收 入差距 了。 好的大学，不一定保证每一个人都会有 高收入 ，但他 的确能 够为你 提供通 向高收 入的第 一块敲 门砖。 2 开学季前几天，老家的一个远房表兄传 来消息 ，刚满 17岁的 表侄小 立不愿 意再继 续读高 三，准 备辍学 去打工 。 表兄很是着急，把家族里学历比较高的 我也搬 了出来 ，希望 我能劝 劝小立 。 “我虽然这些年到处打工也挣了一些钱 ，但这 样挣钱 太辛苦 了，我 不希望 他重走 我的老 路，” 堂兄苦 口婆心 ，一再 强调， “你一 定要好 好劝劝 他：不 上学以 后没有 出路。 ” 刚开始我和这位00后表侄在微信上聊的 时候， 非常话 不投机 。 我问他：不想读书是不是觉得功课太难 了？ 他答道：也没有多难，就是不想太累了 ，高考 复习很 无聊。 我劝他：再坚持几个月，苦一阵子熬一 熬就过 去了。 他回答得很干脆：太没劲！考上又能怎 么样？ 现在我 家邻居x x大学 毕业上 班了， 挣的还 没我爸 高呢！ 我再问他：你爸爸现在一身伤病常年要 吃药， 你不是 不知道 吧，还 有，你 爸爸为 了多挣 点钱， 一年到 头在外 面跑， 只有过 年才能 回家一 趟，这 些你也 很清楚 吧？ 他无话可说了。 最后，我实在忍不住，不得不扎他一句 ： “如果现在你连高考都比不过别人，凭 什么以 后你能 比别人 成功？ ” 微信那头一阵静默。 后来，小立打消了退学的念头，告诉家 人他会 继续读 书，备 战高考 。 从十八线小城出身，依靠读书这条独木 桥，到 如今过 上在旁 人眼里 还不错 生活的 我，只 想用自 己的亲 身经历 ，告诉 小立这 样的年 轻人： 在本该吃点苦的年纪，千万不能选择安 逸，否 则只会 错过最 好的改 变命运 的机会 。 现在不读书，不吃苦，换来的是
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函数中的
恒成立和存在性问题
(1)恒成立问题 1. ? x∈D,均有 f(x)>A 恒成立，则 f(x)min>A； 2. ? x∈D,均有 f(x)﹤A 恒成立，则 f(x)max<A. 3. ? x∈D,均有 f(x) >g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) >0
∴ F(x)min >0
x?1
②若不等式f(x+1)≤f(2x+1) -m2+3am+4 对任意a∈[ -1,1]，
x∈[0,1]恒成立，求 m的取值范围 .
【解题指南 】
(2)由题意只需解不等式F′(x)＞ 0和F′(x)＜ 0即可得到单调区
间；原不等式恒成立可转化为 ln x ? 1 ? 3ma恒?成4 ?立m，2 进一
{ f(x)} ? {g(x)}
2.? x1∈ D, ? x2∈ E,使得 f(x1)=g(x2)成立，
则{ f(x)} ? {g(x)}
3. ? x1∈ D, ? x2∈ E,使得 f(x1)= g(x2)成立，
{ f(x)} I {g(x)} ≠ ?
(4) 恒成立与存在性的综合性问题 ? x1∈ D, ? x2∈ E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x)min > g(x) min ? x1∈ D, ? x2∈ E, 使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) max < g(x) max
(2)存在性问题
1. ? x0∈D,使得 f(x0)>A 成立，则 f(x) max >A； 2. ? x0∈D,使得 f(x0)﹤A 成立，则 f(x) min <A
3. ? x0∈D,使得 f(x0) >g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
∴ F(x) max >0
4. ? x0∈D,使得 f(x0) <g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
=(x ?
(x
1)2 ? 2(x ? 2) ? 2)(x ? 1)2
?
(x
x2 ? 3 ? 2)(x ? 1)2
,
令F′(x)＞ 0，得单调增区间为 令F′(x)＜ 0，得单调减区间为
(?2,和? 3) (? 和3, ?1)
( 3, ?? ) (?1, 3)
②不等式f(x 化为：
f(mx )－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)对 x∈[32，＋∞)恒成立．
即(mx )2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立. 即(m12－4m2－1)x2＋2x＋3≤0 恒成立.即m12－4m2－1≤－2xx2－3恒成立.
g(x)＝－2xx2－3＝－x32－2x＝－3(x12＋32x)＝－3(1x＋13)2＋13.
4. ? x∈D,均有 f(x)﹤g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) ﹤0
∴ F(x) max ﹤0
5. ? x1∈D, ? x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立， 则 f(x)min> g(x)max
6. ? x1∈D, ? x2∈E,均有 f(x1) <g(x2)恒成立， 则 f(x) max < g(x) min
(5)恰成立问题 1. 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D； 2.若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)<B 的解集为 D.
例1已知两个函数 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x ? a , 若 ? x ? R, 使得 f ( x) ? g ( x)成立，求 a 取 值范围。
例2。已知函数 f ( x) ? ax 2 , g ( x) ? 2 ln x,
? ? 若? x ? 2, e , 使f (x) ? g (x)成立，求 a.
例2。已知函数 f (x) ? ax 2 , g ( x) ? 2 ln x,
? ? (1)若? x ? 2, e , 使f (x) ? g (x)成立，求 a.
所以y=ln x (?x1∈[0,1])的最大值为 0,
2x ? 1
而y=3ma+4-m 2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，
故其最小值只能在 a=-1或a=1处取得,于是得到：
2x ? 1
步转化为 (ln
x?1
2x
?
) 1
max
?
(3ma成?立4 ?.
m 2 )min
(2)①F(x)=ln(x+2)- 2x
x?1
定义域为：
(-2,-1)∪(-1,+∞).
F′(x)= 1 ? 2(x ? 1) ? 2x ? 1 ? 2
x ? 2 (x ? 1)2
x ? 2 (x ? 1)2
∴ F(x) min <0
5. ? x1∈D, ? x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x) max > g(x) min
6. ? x1∈D, ? x2∈E,均使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) min < g(x) max
1. ? x1∈D, ? x2∈ E,使得 f(x1)= g(x2)成立，
∵x≥32，∴0＜1x≤32，∴当1x＝23时，g(x)min＝－83.
∴m12－4m2－1≤－83.整理得 12m4－5m2－3≥0，(3m2＋1)(4m2－3)≥0.
∵3m2＋1>0，∴4m2－3≥0.即：m≥
23或
m≤－
3 2.
(2) 已知 f(x)=lnx: ①设F(x)=f(x+2)- 2x ，求F(x)的单调区间；
? ? (2)若?x1, x2 ? 2, e ,使f (x1) ? g(x2 )成立，求正
实数a的范围.
2.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[32，＋∞)，f(mx )－4m2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，求实数m 的取值范围
[解析] ∵f(x)＝x2－1，x∈[32，＋∞)，
ln(x+1)≤ln(2x+1) -m2+3am+4 即
ln x≤? 13ma+4-m 2.
2x ? 1
现在只需求y=ln x(?x1∈[0,1])的最大值和
2x ? 1
y=3ma+4-m 2(a∈[-1,1])的最小值 .
因为 x ? 1 ? 1 ? 在[01 ，1]上单调递减 ,
2x ? 1 2 2(2x ? 1)
恒成立和存在性问题
(1)恒成立问题 1. ? x∈D,均有 f(x)>A 恒成立，则 f(x)min>A； 2. ? x∈D,均有 f(x)﹤A 恒成立，则 f(x)max<A. 3. ? x∈D,均有 f(x) >g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) >0
∴ F(x)min >0
x?1
②若不等式f(x+1)≤f(2x+1) -m2+3am+4 对任意a∈[ -1,1]，
x∈[0,1]恒成立，求 m的取值范围 .
【解题指南 】
(2)由题意只需解不等式F′(x)＞ 0和F′(x)＜ 0即可得到单调区
间；原不等式恒成立可转化为 ln x ? 1 ? 3ma恒?成4 ?立m，2 进一
{ f(x)} ? {g(x)}
2.? x1∈ D, ? x2∈ E,使得 f(x1)=g(x2)成立，
则{ f(x)} ? {g(x)}
3. ? x1∈ D, ? x2∈ E,使得 f(x1)= g(x2)成立，
{ f(x)} I {g(x)} ≠ ?
(4) 恒成立与存在性的综合性问题 ? x1∈ D, ? x2∈ E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x)min > g(x) min ? x1∈ D, ? x2∈ E, 使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) max < g(x) max
(2)存在性问题
1. ? x0∈D,使得 f(x0)>A 成立，则 f(x) max >A； 2. ? x0∈D,使得 f(x0)﹤A 成立，则 f(x) min <A
3. ? x0∈D,使得 f(x0) >g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
∴ F(x) max >0
4. ? x0∈D,使得 f(x0) <g(x0)成立，设 F(x)= f(x)- g(x)
=(x ?
(x
1)2 ? 2(x ? 2) ? 2)(x ? 1)2
?
(x
x2 ? 3 ? 2)(x ? 1)2
,
令F′(x)＞ 0，得单调增区间为 令F′(x)＜ 0，得单调减区间为
(?2,和? 3) (? 和3, ?1)
( 3, ?? ) (?1, 3)
②不等式f(x 化为：
f(mx )－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)对 x∈[32，＋∞)恒成立．
即(mx )2－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立. 即(m12－4m2－1)x2＋2x＋3≤0 恒成立.即m12－4m2－1≤－2xx2－3恒成立.
g(x)＝－2xx2－3＝－x32－2x＝－3(x12＋32x)＝－3(1x＋13)2＋13.
4. ? x∈D,均有 f(x)﹤g(x)恒成立，则 F(x)= f(x)- g(x) ﹤0
∴ F(x) max ﹤0
5. ? x1∈D, ? x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立， 则 f(x)min> g(x)max
6. ? x1∈D, ? x2∈E,均有 f(x1) <g(x2)恒成立， 则 f(x) max < g(x) min
(5)恰成立问题 1. 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D； 2.若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)<B 的解集为 D.
例1已知两个函数 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? x ? a , 若 ? x ? R, 使得 f ( x) ? g ( x)成立，求 a 取 值范围。
例2。已知函数 f ( x) ? ax 2 , g ( x) ? 2 ln x,
? ? 若? x ? 2, e , 使f (x) ? g (x)成立，求 a.
例2。已知函数 f (x) ? ax 2 , g ( x) ? 2 ln x,
? ? (1)若? x ? 2, e , 使f (x) ? g (x)成立，求 a.
所以y=ln x (?x1∈[0,1])的最大值为 0,
2x ? 1
而y=3ma+4-m 2(a∈[-1,1])是关于a的一次函数，
故其最小值只能在 a=-1或a=1处取得,于是得到：
2x ? 1
步转化为 (ln
x?1
2x
?
) 1
max
?
(3ma成?立4 ?.
m 2 )min
(2)①F(x)=ln(x+2)- 2x
x?1
定义域为：
(-2,-1)∪(-1,+∞).
F′(x)= 1 ? 2(x ? 1) ? 2x ? 1 ? 2
x ? 2 (x ? 1)2
x ? 2 (x ? 1)2
∴ F(x) min <0
5. ? x1∈D, ? x2∈E, 使得 f(x1) >g(x2)成立， 则 f(x) max > g(x) min
6. ? x1∈D, ? x2∈E,均使得 f(x1) <g(x2)成立， 则 f(x) min < g(x) max
1. ? x1∈D, ? x2∈ E,使得 f(x1)= g(x2)成立，
∵x≥32，∴0＜1x≤32，∴当1x＝23时，g(x)min＝－83.
∴m12－4m2－1≤－83.整理得 12m4－5m2－3≥0，(3m2＋1)(4m2－3)≥0.
∵3m2＋1>0，∴4m2－3≥0.即：m≥
23或
m≤－
3 2.
(2) 已知 f(x)=lnx: ①设F(x)=f(x+2)- 2x ，求F(x)的单调区间；
? ? (2)若?x1, x2 ? 2, e ,使f (x1) ? g(x2 )成立，求正
实数a的范围.
2.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[32，＋∞)，f(mx )－4m2f(x)≤f(x －1)＋4f(m)恒成立，求实数m 的取值范围
[解析] ∵f(x)＝x2－1，x∈[32，＋∞)，
ln(x+1)≤ln(2x+1) -m2+3am+4 即
ln x≤? 13ma+4-m 2.
2x ? 1
现在只需求y=ln x(?x1∈[0,1])的最大值和
2x ? 1
y=3ma+4-m 2(a∈[-1,1])的最小值 .
因为 x ? 1 ? 1 ? 在[01 ，1]上单调递减 ,
2x ? 1 2 2(2x ? 1)