第1章 流体力学的基本概念

第1章 流体力学的基本概念流体力学是研究流体的运动规律及其与物体相互作用的机理的一门专门学科。

本章叙述在以后章节中经常用到的一些基础知识，对于其它基础内容在本科的流体力学或水力学中已作介绍，这里不再叙述。

1.1 连续介质与流体物理量1.1.1 连续介质流体和任何物质一样，都是由分子组成的，分子与分子之间是不连续而有空隙的。

例如，常温下每立方厘米水中约含有3×1022个水分子，相邻分子间距离约为3×10－8厘米。

因而，从微观结构上说，流体是有空隙的、不连续的介质。

但是，详细研究分子的微观运动不是流体力学的任务，我们所关心的不是个别分子的微观运动，而是大量分子“集体”所显示的特性，也就是所谓的宏观特性或宏观量，这是因为分子间的孔隙与实际所研究的流体尺度相比是极其微小的。

因此，可以设想把所讨论的流体分割成为无数无限小的基元个体，相当于微小的分子集团，称之为流体的“质点”。

从而认为，流体就是由这样的一个紧挨着一个的连续的质点所组成的，没有任何空隙的连续体，即所谓的“连续介质”。

同时认为，流体的物理力学性质，例如密度、速度、压强和能量等，具有随同位置而连续变化的特性，即视为空间坐标和时间的连续函数。

因此，不再从那些永远运动的分子出发，而是在宏观上从质点出发来研究流体的运动规律，从而可以利用连续函数的分析方法。

长期的实践和科学实验证明，利用连续介质假定所得出的有关流体运动规律的基本理论与客观实际是符合的。

所谓流体质点，是指微小体积内所有流体分子的总体，而该微小体积是几何尺寸很小（但远大于分子平均自由行程）但包含足够多分子的特征体积，其宏观特性就是大量分子的统计平均特性，且具有确定性。

1.1.2 流体物理量根据流体连续介质模型，任一时刻流体所在空间的每一点都为相应的流体质点所占据。

流体的物理量是指反映流体宏观特性的物理量，如密度、速度、压强、温度和能量等。

对于流体物理量，如流体质点的密度，可以地定义为微小特征体积内大量数目分子的统计质量除以该特征体积所得的平均值，即VMV V ∆∆=∆→∆'limρ （1-1）式中，M ∆表示体积V ∆中所含流体的质量。

按数学的定义，空间一点的流体密度为VMV ∆∆=→∆0l i mρ （1-2）由于特征体积'V ∆很小，按式（1-1）定义的流体质点密度，可以视为流体质点质心（几何点）的流体密度，这样就应予式（1-2）定义的空间点的流体密度相一致。

为把物理概念与数学概念统一起来，方便利用有关连续函数的数学工具，今后均采用如式（1-2）所表达的流体物理量定义。

所谓某一瞬时空间任意一点的物理量，是指该瞬时位于该空间点的流体质点的物理量。

在任一时刻，空间任一点的流体质点的物理量都有确定的值，它们是坐标点),,(z y x 和时间t 的函数。

例如，某一瞬时空间任意一点的密度是坐标点),,(z y x 和时间t 的函数，即),,,(t z y x ρρ= （1-3）1.2 描述流体运动的两种方法描述流体运动的方法有拉格朗日（Lagrange ）法和欧拉（Euler ）法。

1.2.1 拉格朗日法拉格朗日法是以个别的流体运动质点为对象，研究这些指定质点在整个运动过程中的轨迹以及运动要素随时间变化的规律。

各个质点运动状况的总和就构成了整个流体的运动。

这种方法又称为质点系法。

在某直角坐标系0xyz 中，将0t t =时的某流体质点在空间的位置坐标),,(c b a 作为该质点的标记。

在此后的瞬间t ，该质点),,(c b a 运动到空间位置),,(z y x 。

不同的质点在0t 时，具有不同的位置坐标，如),,(c b a '''、),,(c b a ''''''……，这样就把不同的质点区别开来。

同一质点在不同瞬间处于不同位置；各个质点在同一瞬间t 也位于不同的空间位置。

因而，任一瞬时t 质点),,(c b a 的空间位置),,(z y x 可表为⎪⎭⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(t c b a z z t c b a y y t c b a x x(1-4a)式中c b a ,,称为拉格朗日变数。

若给定式中的c b a ,,值，可以得到某一特定质点的轨迹方程。

将某质点运动的空间位置的时间历程描绘出来就得到该质点的迹线。

将式（1-4a ）对时间t 取偏导数，可得该流体质点在任意瞬间的速度u 在z y x ,,轴向的分量⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂==∂∂==∂∂=),,,(),,,(),,,(t c b a u t z u t c b a u t y u t c b a u tx u z z y y x x （1-5a ）若坐标用i x 表示，3,2,1=i ，即用321,,x x x 代替z y x ,,；用i u ，即321,,u u u ，代替z y x u u u ,,；用k x 0，3,2,1=k ，即030201,,x x x ，代替c b a ,,；则式（1-4a ）~ (1-5a)可写为),(0t x x x k i i = （1-4b ）),(0t x u tx u k i ii =∂∂=（1-5b ） 对于某一特定质点，给定c b a ,,值，就可利用式（1-4）~ (1-5)确定不同时刻流质点的坐标和速度。

1.2.1 欧拉法欧拉法是以考察不同流体质点通过固定的空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。

这种方法又叫做流场法。

采用欧拉法，流场中任何一个运动要素可以表示为空间坐标和时间的函数。

在直角坐标系中，流速是随空间坐标),,(z y x 和时间t 而变化的。

因而，流体质点的流速在各坐标轴上的投影可表示为⎪⎭⎪⎬⎫===),,,(),,,(),,,(t z y x u u t z y x u u t z y x u u z z y y x x （1-6a ）或),(t x u u k i i = （1-6b ）式中3,2,1,=k x k ，代表自变量z y x ,,。

若令上式中z y x ,,为常数，t 为变数，即可求得在某一空间点),,(z y x 上，流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。

若令t 为常数，z y x ,,为变数，则可求得在同一时刻，通过不同空间点上的流体质点的流速分布情况（即流速场，velocity field ）。

流速v是一个矢量，所以流速场是一个矢量场。

流速虽是流动的一个重要参数，但只有流场不足以完全说明流动的全部情况，还应知道其他表达流动的各个参数的分布情况。

一个标量，如流体的密度ρ，温度T 等，在空间和时间上的连续分布就成为一个标量场。

应力ij σ是一个二阶张量，所以应力在空间和时间上的分布是一个张量场。

表述流动的各种场的综合成为流场（flow field ），如流速场t)z,y,(x,v，密度场),,,(t z y x ρ等。

1.3 质点的加速度公式和随体导数1.3.1 质点加速度公式质点加速度是质点速度向量随时间的变化率。

在Lagrange 法中是以单个流体质点作为研究对象，因此位移函数（1-4）式对时间求二次偏导数可得流体质点的加速度a 在各轴向的投影：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=∂∂==∂∂==∂∂=),,,(),,,(),,,(222222t c b a a t za t cb a a t ya t cb a a t xa z z y y x x （1-7a ）或),(022t x a tx a k i ii =∂∂= （1-7b ）欧拉法不追踪质点运动而着眼于流场，由速度场)t ,x (u ,k i 计算),(t x k 处的质点加速度i a 时必须求出该质点在t δ时间内的速度增量，在求其极值，即t )t ,x (u )t t ,x x (u lima k i k k i 0x 0t i i δδδδδ-++=→→ （1-8）式中k x δ是质点在t δ时间内的位移。

利用Taylor’s Series 展开，则)x t ,x ,t (O )tu t ()x u x ()t ,x (u )t t ,x x (u k 2k 2x i t k i kk i k k i k δδδδδδδδ+∂∂+∂∂+=++ 略去高阶微小量，所以t ki k x i x i t k i kk i k k i )x u(x )t u (t )t u t ()x u x ()t ,x (u )t t ,x x (u k k ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=-++δδδδδδ 代入式(1-8)，得tx x u t u a k k i i i δδ∂∂+∂∂=注意到i x δ是质点位移，因而k kt u tx lim=→δδδ 则得欧拉法描述流体质点加速度的表达式ki k i i x uu t u a ∂∂+∂∂=（1-9a ） 或写为3i 32i 21i 1i i x uu x u u x u u t u a ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=（1-9b ） 以矢量表示为v )v (tv a ∇⋅+∂∂= （1-9c ）在直角坐标系下，加速度表述为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==∂∂+∂∂+∂∂+∂∂==z u u y u u x u u t u dt du a z u u y u u x u u t u dt du a zu u y u u x u u t u dt du a z z z y z x z z y y z y y y x y y y x z x y x x x x x （1-9d ）以上三式中等号右边第一项t u x ∂∂、t u y ∂∂、tu z∂∂表示在每个固定点上流速对时间的变化率，称为时变加速度（当地加速度）。

等号右边的第二项至第四项之和z u u y u u x u u x z x y x x ∂∂+∂∂+∂∂、z u u y u u x u u y z y y y x ∂∂+∂∂+∂∂、zu u y u u x u u z z z y z x ∂∂+∂∂+∂∂是表示流速随坐标的变化率，称为位变加速度（迁移加速度）。

因此，一个流体质点在空间点上的全加速度应为上述两加速度之和。

1.3.2 质点的随体导数将推导加速度公式的方法推广到质点上任意物理量的增长率的计算，引出质点的随体导数的概念。

质点携带的物理量随时间的变化率称为质点的随体导数，用DtD表示。

在欧拉法描述中的任意物理量Q 的质点随体导数表述如下：kk x Qu t Q Dt DQ ∂∂+∂∂= （1-10）式中，),(t x Q Q k =可以是标量、向量或张量。