VAR-向量自回归模型

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VAR模型滞后期k的选择方法：
（1）用似然比统计量LR选择p值
LR -2[log L(k ) log L(k 1)]
(N 2 )
其中log L（k）和log L（k+1）分别是VAR（k）和VAR（k+1）模型的极大似然估 计值。k表示VAR模型中滞后变量的最大滞后期。LR统计量近似服从卡方分布。
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接下来我们讨论 的秩的三种不同情况： （1）当r=N，只有Yt的各分量都是I（0）时，才能保 证 Yt k 是由I（0）变量构成的向量，这与假定的I（1） 矛盾。 （2）当r=0，则 =0，此时就不需要讨论Yt 之间是 否存在协整关系。 （3）当0<r<N的情形： 此时意味着存在r个协整组合，其余n-r个关系依然为I（1） 此时 可以分解成N×r阶矩阵α和β，他们秩均为r。使得 ，并且 Yt k 是平稳的。
Johanson协整检验基本思想
Yt c 1Yt 1 2Yt 2 kYt k ut
假定 Yt I(1) ，此假定具有一般性，通过重新调整和变 换参数，模型可以表达为。
Yt 1Yt 1 2Yt 2 k 1Yt (k 1) Yt k ut
11 N1
1r Nr
β称为协整参数矩阵，其每一列均称为协整向量，反映 了Yt各分量之间的长期均衡关系。 α称为调整系数矩阵， 它反映了本期变量对上期均衡的短期调整。
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Johanson协整检验的两种方法 （一）特征根迹检验（Trace） 由r个最大特征根可以得到r个协整向量，而对于其余k-r 个非协整组合来说其对应特征根应该为0，于是可以的到 原假设与备择假设：
元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理
多个相关经济指标的分析与预测最容易操作的模型之一，并 且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型。
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VAR模型的表示
VAR(p) 模型的数学表达式：
Yt c 1Yt 1 2Yt 2 kYt k ut
t 1

T
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ˆ t
ln T T
k
BIC准则也是判断滞后期是否合适的一种统计量，BIC同SC、AIC准则一样， 选择最佳k值得原理是在增加k值得过程中使SC值达到最小。
当AIC与SC等对应的最小值不同时，选着对应滞后阶数最小的。
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变量间协整关系检验
Johanson协整检验 Jonhamson（1995）协整检验是基于VAR模型的一种检验 方法，但也可直接用于多变量间的协整检验，其目的是考 察变量之间的长期均衡关系。
1 1
r
<临界值，表明只有一个协整向量； >临界值，表明至少有2个协整向量； … <临界值，表明只有r个协整向量；
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（二）最大特征值检验（Trace） 对于Johanson协整检验，另外一个类似的检验方法是： H r 0 : r 1 0
H r 1 : r 1 0
r 0,1, ,k 1
H r 0 : r 1 0 H r 1 : r 1 0
构造的统计检验量为：
r T
k
r 0,1, ,k 1
i r
1
ln(1 i ),r 0,1,
,k 1
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r 构造的称为特征根迹统计量，依次检验这一系列统
计量的显著性。 （1）当 0 不显著时，表明N个单位根，0个协整向量。 当 0 显著时 ，则至少有一个协整向量，必须接受 1 的 检验。 （2）当 1 不显著时，表明只有一个协整向量，当 1 拒 绝时至少有两个协整向量，依次进行下去直到接受 H r 0 ， 说明存在r个协整变量。
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VAR模型的特点 （4）VAR模型需估计的参数较多。如VAR模型含3个变 量（N=3），最大滞后期为K=2，则有 KN2=2×9=18个参数需 要估计；
（5）当样本容量较小时，多数参数估计的精度较差， 故需大样本，一般n>50。 （6）无约束VAR模型的应用之一是预测。
（7）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。做样本 外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动 预测不理想。
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变量平稳性检验
平稳性检验的目的： 1）检验平稳性，若平稳，做格兰杰检验，不平稳， 做协整检验
2）协整检验中要用到每个序列的单整阶数
3）判断时间序列数据生成过程
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VAR模型中滞后阶数p的确定方法
建立VAR模型的一个非常重要的一个问题就是滞后 阶数p的确定。在VAR模型中解释变量的最大滞后阶数p 太小，残差可能存在自相关，并导致参数估计的非一 致性。适当加大p值（即增加滞后变量个数），可消除 残差中存在的自相关。但p值又不能太大。p值过大， 待估参数多,自由度降低严重，直接影响模型参数估计 的有效性。这里介绍两种常用的确定p值的方法。
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Yt 1Yt 1 2Yt 2 k 1Yt (k 1) Yt k ut
其中，j I 1
j ，（j=1,…,k-1）, I 1
k
上述模型中，除 Yt k 之外，所有项都是平稳的。若 Yt k 是非平稳，则Yt 的分量之间不存在协整关系。反之则存在 协整关系。可见，压缩矩阵 决定VAR模型中的变量是否 存在以及多大范围内存在协整关系。
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将α和β带入，Yt 1Yt 1 2Yt 2 k 1Yt (k 1) Yt k ut
可得到如下方程：
yt Yt 1 i Yt j i
1
k 1
ut
a11 a N1
a1r aNr
ut
( u1 t u Nt )
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以两个变量，滞后两期的VAR模型为例方程组
yt 111 112 yt 1 211 212 yt 2 u1t xt 121 122 xt 1 221 222 xt 2 u2 t
（2）用赤池信息准则（AIC）
AIC
T 2 ˆ t log t 1 T 2k T
很多情况下，似然比检验所要求的随机误差项正态分布的条件在时间序列数据中 并不能够得到满足，因此我们需要选择其他方法来确定滞后期数。
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（3）施瓦茨（SC）准则确定p值
其中：Yt 是N×1阶时间序列列向量。c是N×1阶常数项列 向量。 1 …
k 均为 N×N 阶参数矩阵， ut 是 N×1 随
机误差列向量，其中每个元素都是非自相关的，但是这些
元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在自相关。
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Yt (y 1t y Nt )
c (c1 cN ) 11.j 11.j 1N .j 2N .j 21.j 22.j j N 2. j NN . j N 1.j
SC
log
t
1
T
2 ˆ t

T
k log T T
SC准则也是判断滞后期是否合适的一种统计量，SC与AIC准则一样，选 择最佳k值得原理是在增加k值得过程中使SC值达到最小。
（4）贝叶斯（Bayes）信息准则（BIC）
BIC
log
经典计量经济学中，由线性方程构成的联立方程组模型， 由科普曼斯（poOKmans1950）和霍德－科普曼斯（Hood-
poOKmans1953）提出。联立方程组模型在20世纪五、六十年
代曾轰动一时，其优点主要在于对每个方程的残差和解释变 量的有关问题给予了充分考虑，提出了工具变量法、两阶段 最小二乘法、三阶段最小二乘法、有限信息极大似然法和完 全信息极大似然法等参数的估计方法。这种建模方法用于研
究复杂的宏观经济问题，有时多达万余个内生变量。当时主
要用于预测和政策分析。但实际中，这种模型的效果并不令 人满意。
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向量自回归模型
传统的经济计量方法是以经济理论为基础来描述变量关 系的模型。但是，经济理论通常并不足以对变量之间的动态 联系提供一个严密的说明。由于内生、外生变量的划分问题
较为复；其次当模型不可识别时,为达到可识别的目的，常要
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变量平稳性检验
在对数据建立VAR模型前我们需要对数据的平稳性 进行检验。如果不平稳直接OLS容易导致为回归。
当检验的数据是平稳的，我们可以建立平稳的VAR模型， 并且可以进一步考查变量之间的因果关联系。此时可以采用 格兰杰因果检验。 当数据是非平稳的，并且各个序列是同阶单整，则可以 进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以利用EG两步法 和Johanson协整检验。 （1）EG两步法是基于回归残差的检验 （2）Johanson协整检验是基于回归系数的检验
yt 111 yt 1 112 xt 1 211 yt 2 212 xt 2 u1t xt 121 yt 1 122 xt 1 221 yt 2 222 xt 2 u2t
显然，方程组左侧是两个第t期内生变量；右侧分
检验统计量基于最大特征值，其形式为：
r T ln(1 r 1 ),r 0,1, ,k 1
检验从下往上进行，首先检验 0 ，依次进行下去，直 到接受 H r 0 ，说明存在r个协整变量。
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某一序列协整检验的结果
原假设 0个协整向 量 特征值 0.68 迹统计量 （p值） 110.27（0.0000） 59.64（0.0027） 最大特征值统计量（p值） 50.63（0.0002） 35.86(0.0035)