2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny的最大值为 答：[B]A. 2b a +B. abC. 222b a + D. 222b a +解 由柯西不等式ab y x n m ny mx =++≤+))(()(22222；或三角换元即可得到ab ny mx ≤+，当2a n m ==，2b y x ==时，ab ny mx =+. 选B.2. 设)(x f y =为指数函数x a y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，⎪⎭⎫⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 答：[D] A. P B. Q C. M D. N 解 取161=a ，把坐标代入检验，4116121=⎪⎭⎫ ⎝⎛Θ，而2116141=⎪⎭⎫ ⎝⎛，∴公共点只可能是 点N . 选D.3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么z y x ++的值为 答：[A]A. 1B. 2C. 3D. 4 解 第一、二行后两个数分别为2.5，3与1.25，1.5；第三、四、五列中的5.0=x ，165=y ，163=z ，则1=++z y x . 选A. 4. 如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么1 2 0.5 1答：[B]A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-22A π，cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭⎫⎝⎛-12C π.则 212A A -=π，212B B -=π，212C C -=π，即 )(23222111C B A C B A ++-=++π，矛盾. 选B. 5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的 平面α，β答： [D]A. 不存在B. 有且只有一对C. 有且只有两对D. 有无数对解 任作a 的平面α，可以作无数个. 在b 上任取一点M ，过M 作α的垂线. b 与 垂线确定的平面β垂直于α. 选D. 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6. 设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 {}3,1-=B A I .解 ∵2<x ，[]x 的值可取1,0,1,2--.当[x ]=2-，则02=x 无解； 当[x ]=1-，则12=x ，∴x =1-； 当[x ]=0，则22=x 无解； 当[x ]=1，则32=x ，∴3=x . 所以31或-=x .7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是21691=P (结果要求写成既约 分数）.解 考虑对立事件，216916513=⎪⎭⎫⎝⎛-=P .8. 已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为5：1.解 由图，ABC ∆与OCB ∆的底边相同，高是5：1. 故面积比是5：1.9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y轨迹方程为)0(82>=x x y 或 )0(0<=x y .解 由圆锥曲线的定义，圆心可以是以(2,0)为焦点、2-=x 为准线的抛物线上的点；若切点是原点，则圆心在x 轴负半轴上.所以轨迹方程为)0(82>=x x y ，或)0(0<=x y .10. 在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222c b a += 3 .解 切割化弦，已知等式即CB CB C A C A B A B A cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin +=， 亦即C B A C B A cos )sin(sin sin sin +=，即C C B A 2sin cos sin sin =1，即1cos 2=cC ab . 所以，122222=-+c c b a ，故3222=+cb a . 三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.解 由题 1)1(2)(2+--=x x f ， ……5分 1)(≤∴x f ，11≤∴m，即1≥m ，[]n m x f ,)(在∴上单调减， m m m f 11)1(2)(2=+--=∴且nn n f 11)1(2)(2=+--=. ……10分m ∴，n 是方程xx x f 11)1(2)(2=+--=的两个解，方程即 )122)(1(2---x x x =0，解方程，得解为1，231+，231-.n m <≤∴1，1=∴m ，231+=n . ……15分 12. A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。
2009,2010,2011年三年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案详解
2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ． 2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ．4．已知3x＋19x －1＝13－31－x，则实数x ＝ ．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ．6．设f(x)＝log 3x －4－x ，则满足f(x)≥0的x 的取值范围是 ．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ．BCDAPQ R9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b(a ＋b)，则b ＝ ． 二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD＝∠BCE，AC＝14，AD＝7，AB＝28，CE＝12．求BC．13．若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k 的取值范围．14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 (2009年5月3日8∶00－10∶00)一、填空题(每小题7分，共70分) 1．已知sinαcosβ＝1，则cos(α＋β)＝ ． 填0．解：由于|sinα|≤1，|cosβ|≤1，现sinαcosβ＝1，故sinα＝1，cosβ＝1或sinα＝－1，cosβ＝－1，∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π2，β＝2lπ＋π⇒α＋β＝2(k ＋l)π＋π2(k ，l ∈Z)．∴ cos(α＋β)＝0．2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝ ．填11．解：设公差为d ，则得55＝－5×11＋12×11×10d ⇒55d ＝110⇒d ＝2．a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)⇒k ＝11．3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝ ．填－1＋52．解：由(2b)2＝2c ×2a ⇒a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0⇒e ＝－1＋52．4．已知3x ＋19x －1＝13－31－x ，则实数x ＝ ．填1．解：即13x －1＝3x3(3x －1)⇒32x －4×3x ＋3＝0⇒3x ＝1(舍去)，3x ＝3⇒x＝1．5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为 ．填14． 解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝118V ABCD ；又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝49S BCD ，V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝418V ABCD ．BCDAPQ R∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4． 又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点．由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CPPB ＝12，故BMMD＝4． 在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点． 由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝14．∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．6．设f(x)＝log 3x －4－x ，则满足f(x)≥0的x 的取值范围是 ．填[3，4]．解：定义域(0，4]．在定义域内f(x)单调增，且f(3)＝0．故f(x)≥0的x 的取值范围为[3，4]．7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．MN R Q PADCBV ＝30(20＋x)(60＋y)＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy)≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200) ＝30×2700．∴ 至少可以存水78000cm 3．8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→AO ＝ ．填－252．解：设|→AO|＝|→BO|＝|→OC|＝R ．则→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC)·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→AO ＝R 2cos(π－2C)＋R 2cos2B＝R 2(2sin 2C －2sin 2B)＝12(2RsinB)2－12(2RsinC)2＝12(122－132)＝－252．9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为 ．填2008＋2．解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2B＝－2，a2006＝2＋2，a2005＝2．一般的，若a n≠0，1，2，则a n＝2－2a n＋1，则a n－1＝a n＋1－2a n＋1－1，a n－2＝22－a n＋1，a n－3＝a n＋1，故a n－4＝a n．于是，Σk＝12009a n＝502(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2009＝502(a2005＋a2006＋a2007＋a2008)＋a2009＝2008＋2．10．设a是整数，0≤b＜1．若a2＝2b(a＋b)，则b＝．填0，3－12，3－1．解：若a为负整数，则a2＞0，2b(a＋b)＜0，不可能，故a≥0．于是a2＝2b(a＋b)＜2(a＋1)⇒a2－2a－2＜0⇒0≤a＜1＋3⇒a＝0，1，2．a＝0时，b＝0；a＝1时，2b2＋2b－1＝0⇒b＝3－12；a＝2时，b2＋2b－2＝0⇒b＝3－1．说明：本题也可以这样说：求实数x，使[x]2＝2{x}x．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分) 11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．解：取方程组⎩⎨⎧4x 2＋9y 2＝36，x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．此方程的解为y ＝2，y ＝1425．即得B(0，2)，A(－7225，1425)，又左焦点F 1(－5，0)．连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形．得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝125(72＋75)．也可以这样计算面积：直线与x 轴交于点C(－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝125(72＋75)． 也可以这样计算面积：所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×1425＋(－5)×0－0×0)＝12(14425＋14255)＝125(72＋75)．12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．解：AD AC ＝ACAB ⇒△ACD∽△ABC ⇒∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．∴ cosA ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝1116．∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC·ABcosA＝142＋282－2·14·28·1116＝72·9⇒BC ＝21．13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y)2≤k 2(2x ＋y)⇒(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立．令t ＝xy＞0，则得f(t)＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立．当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．此时当t ＝12k 2－1时，f(t)取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2－1＝EBCD A2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥62时，不等式恒成立，且当x＝4y ＞0时等号成立．∴ k ∈[62，＋∞)．解法二：显然k ＞0，故k 2≥(x ＋y)22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y2x ＋y ．令t ＝xy＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2＋1＝12(1＋4t ＋12t 2＋1)．令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s(u)＝8uu 2－2u ＋9的最大值．s(u)＝8u ＋9u －2≤82u·9u－2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝32． ∴k 2≥32，即k ≥62时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．又：令s(t)＝4t ＋12t 2＋1，则s '(t)＝8t 2＋4－4t(4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2，t ＞0时有驻点t ＝12．且在0＜t ＜12时，s '(t)＞0，在t ＞12时，s '(t)＜0，即s(t)在t ＝12时取得最大值2，此时有k 2≥12(1＋s(12))＝32．解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y)2≤(12＋1)(2x ＋y)．即(x ＋y)≤622x ＋y 对一切正实数x ，y 成立．当k ＜62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝32．即不等式不能恒成立． 而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤622x ＋y≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立．∴ k ∈[62，＋∞)．14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．解：对于任意n ∈N*，n 2≡0，1(mod 4)．设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡1(mod 4)，或a ≡b ≡3(mod4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod 4)且a与b均不能被4整除．⑴由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．即2，3，13是满足题意的一组自然数．⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．故证．2010年全国高中数学联赛江苏赛区主讲：吴建明一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 班级 姓名 1．方程9135x x +-=的实数解为 ．2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ . 4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是 ．9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos 10θ=．已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为 ． 10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ． 二、解答题（本题满分80分，每小题20分）（第7题）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若 3455OM OA OB =+，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上．12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ． 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．ABCDEF H G2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 1．方程9135x x +-=的实数解为 ．提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32． 2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [,],2422k k k ππππ++∈Z ． 3．在△ABC 中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，则AB ＝ .提示与答案：216AB AC AB BC AB ⋅-⋅==，得4AB =．4．函数()()()221f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是 ，最小值是 ．提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为 ． 提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[855，10]．6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数()y f x =在区间[]0,100上至少有 个零点.提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的 一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点. 7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为 ． 提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中 镀2金2银的概率是 ．（第7题）提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 13 ．9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠θ=，且cos θ=．已知棱AB的长为，则此棱锥的体积为 ． 提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ． 10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11nn n a x x x +=+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，则a 的值是 ．提示与答案：由11n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++==+()21111n n a x a x ++=++()3211n n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()()2110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故210a a ++=，所以12a i =-±．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆22:14x C y +=上的三点．若 3455OM OA OB =+，证明：线段AB 的中点在椭圆22212x y +=上．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12＝1，x 224＋y 22＝1． 由3455OM OA OB =+，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋45y 2)． 因为M 是椭圆C 上一点，所以(35x 1＋45x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 24＋y 1y 2)＝1，故x 1x 24＋y 1y 2＝0． …………………14分 又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，所以 (x 1＋x 22)22＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12)+12(x 224＋y 22)+x 1x 24＋y 1y 2＝1，从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 22＋2y 2＝1上． ………………20分12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分 当n ≤6时，a n =n －4，由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2， 所以，当n ≥5时，a n =2n -5.故 a n =⎩⎪⎨⎪⎧n －4，n ≤4，2n -5， n ≥5．…………………10分(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即 －3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)； 当m =3时等式成立，即 －1+0+1=0；当m =2、4时等式不成立； …………………15分 当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 .故所求 m = 1，或m =3． …………………20分 13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H .过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ． 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ， 又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， ∴ ∠BAF =∠BHF ，∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆；…………………8分(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BF A ， ∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分 由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ， ∴ B 、G 、C 、F 共圆. ∴ ∠BGC =∠AFB=900, ∴ BG ⊥GC ，∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分 14．求所有正整数x ，y ，使得23x y +与23y x +都是完全平方数．解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数. ∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分 若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且 (2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，ABCDEF H G得k=5，从而求得x=16，y=11. …………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)= (1，1), (11，16), (16，11)．…………………20分2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ．2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = .3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）．4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ．6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ．7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ．9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ．10．已知m 是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ．A B CP二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围．12．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．13．如图，P 是ABC 内一点．（1）若P 是ABC 的内心，证明：1902BPC BAC ∠=+∠；（2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1902APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心．14．已知α是实数，且存在正整数n 0证明：存在无穷多个正整数n2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数44(1i)(1i)++-= ． 答案：－8基础题，送分题，高考难度2． 已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m = .答案：32-基础题，送分题，高考难度3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是 （结果用最简分数表示）． 答案：19145基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4． 已知1cos45θ=，则44sin cos θθ+= ．答案：45计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度 5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段 为邻边的平行四边形的面积为 ．答案：可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前n 项和等于 ．答案：1(848)7n +高考难度级别，基础好的同学可以做出来7． 设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是 ． 答案：(0,2)这是一道高考题8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，则[(2011)]f f = ．答案：6这也是一道高考题9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是 ． 答案：4 3还是一道高考题10．已知m 是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值 是 ． 答案：3,14,30这是2011年苏州市一模的第十四题。
全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准
C B
5. 设数列 {an } : a0 2, a1 16, an2 16an1 63an , n N*, 则 a2005 被
64 除的余数为
A. 0
B. 2
C. 16
D. 48
答: [ C ]
解：数列 {an } 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C．
解：由题意知 由 a1 S1 得 又由 ① 式得
an 2 (a 2) 2 2Sn ， 即 Sn n . 2 8
……… ①
a1 2 2a1 , 从而 a1 2 . 2
Sn 1
(an 1 2)2 (n 2) , 8
(an 2)2 (an 1 2) 2 (n 2) , 8 8
全国高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准
说明：
1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设 6 分和 0 分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3 分为一个档次, 不要再增加其他中间档次.
1 的最小值是 b( a b )
C. 4
D. 5
答: [ C ]
解：由 a b 0 , 可知
a2 a 1 0 b( a b ) (b ) 2 a 2 , 4 2 4
所以， a
2
1 4 a 2 2 4 . 故选 C． b( a b ) a
1
1
4. 设四棱锥 P ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得
2011年全国高中数学联赛试题参考答案
2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为 ．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为 ．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为 ．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为 ．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数k r r r ,,,21 ，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk i j ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A中的一个)9⨯nmm方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A n≤≤1(≤1,3≤中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题The document was finally revised on 20212014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题（4月20日8:00至10:00）一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）1．若2x ≥，则函数1()1f x x x =++的最小值是 ．2．已知函数()e x f x =．若()2f a b +=，则(3)(3)f a f b ⋅的值是 ．3．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为前n 项和，且满足221n n a S -=，*n ∈N ，则数列{}n a 的通项n a = ．4．若函数2223, 0,()2,0x x x f x x ax x ⎧-⎪=⎨-+<⎪⎩≥是奇函数，则实数a 的值是 ．5．已知函数10()lg ||3f x x =-．若关于x 的方程2()5()60f x f x --=的实根之和为m ，则()f m 的值是 ．6．设α、β都是锐角，且cos α=，3sin()5αβ+=，则cos β等于 ．7．四面体ABCD 中，3AB =，5CD =，异面直线AB 和CD 之间的距离为4，夹角为o 60，则四面体ABCD 的体积为 ．8．若满足3ABC π∠=，3AC =，BC m =的ABC △恰有一解，则实数m 的取值范围是 ．9．设集合{}1,2,,8S =，A ，B 是S 的两个非空子集，且A 中的最大数小于B 中的最小数，则这样的集合对(,)A B 的个数是 ．10．如果正整数m 可以表示为224x y - (x ，y ∈Z )，那么称m 为“好数”．问1，2，3，…，2014中“好数”的个数为 ． 二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）11．已知a ，b ，c 为正实数，x y z a b c ==，1110x y z++=，求abc 的值．12．已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点B 的坐标为(0,)b ，直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ．若21212MF F F =，求双曲线C 的离心率．13．如图，已知ABC ∆是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，交边AB 上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE =．14．（1）正六边形被3条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成4个三角形．将每个三角形区域涂上红、蓝两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色可以使红色三角形个数与蓝色三角形个数的差最大？（2）凸2016边形被2013条互不交叉（端点可以重合）的对角线分割成2014个三角形．将每个三角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最大值是多少？证明你的结论．2006年全国1卷理科第12题设集合{1,2,3,4,5}I ，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（B）A．50种 B．49种 C．48种 D．47种解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C52=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C53=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C54=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C55=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C55=1种；总计有49种，选B．解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C52=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C53=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C54=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C 55=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组的给B 集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法．选B ．第9题的本质与推广2014年金海南最后一模试题设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数．（1）求a 3；（2）求a n ．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})，({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=； …… 3分（2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， …… 5分B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， …… 7分 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． …… 10分an=C(n ，2)·1+C(n ，3)·2+……+C(n ，n)·(n-1) ∵C(n ，k)·k=n·C(n-1，k-1)an=n·[2^(n-1)-1]-(2^n-1-n)=(n-2)·2^(n-1)+1。
全国高中数学联赛江苏赛区2011年初赛试题答案
全国高中数学联赛江苏赛区2011年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分） 1．复数44(1)(1)i i ++-=________解：44222222222(1)(1)[(1)][(1)](2)(2)4488i i i i i i i i i ++-=++-=+-=+==-．2．已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数m =________解：直线一定经过圆心，才能是圆的对称轴；而圆心为(2, 2)-，代入直线方程，得32m =-．3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是________（结果用最简分数表示）． 解：事件总数：230302943521C ⨯==⨯，符号条件的事件数：1122282228157C C C +=⨯+=， 所以所求的概率是：5719435145P ==． 4．已知1cos 45θ=，则44sin cos θθ+=________ 解：由22112cos412sin 2sin 2555θθθ=⇒-=⇒=， 得44222222114sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 21255θθθθθθθ+=+-=-=-=．5．已知向量a ，b 满足||||2a b ==，,3a b π<>=，则以向量2a b +与3a b -表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为________解：由题意可设：(2, 0)a =，则由a 与b 的夹角为3π可取：(1, 3)b =；于是可令2(5, OA a b =+=，3(5, OB a b =-=；易知，所求的平行四边形的面积等于2OAB S ∆，而A B 、两点关于x 对称；所以12252OAB S ∆=⨯⨯⨯．6．设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若{}n S 是首项及公比都为2的等比数列，则数列3{}n a 的前n 项和等于________解：由已知可得：2n n S =，从而12(2)n n a n -=≥，12a =；2(M )A CB A所以318, 18, 2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩，所以33332121123888871888n n n a a a a --++++=++++=+++++1(848)7n=+； 检验可知：当1n =时，也适合上述等式．7．设函数2()2f x x =-．若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是________ 解：易知：0a b <<<；所以2222()()22424f a f b a b a b ab =⇒-=-⇒+=⇒≤；所以(0, 2)ab ∈．8．设()f m 为数列{}n a 中小于m 的项的个数，其中2,*n a n n N =∈，则[(2011)]f f =________ 解：(2011)f 是表示在数列：2,*n a n n N =∈中小于2011的项数，即(2011)44f =；从而[(2011)](44)6f f f ==．9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是________解：将等腰直角M PN ∆（M PN Rt ∠=∠）的点M 与正三棱柱的顶点C 重合放置，如图所示；正三棱柱的底面是正三角形且 侧棱与底面垂直；可设PB x =，则2NA x =； 因为22222CN CP PN CP =+=； 所以222224(2)2(4)8x x x +=+⇒=；所以，斜边CN =10．已知m是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是________解：原方程变形为：220100m--+=；即m ==41)=-；其中：x 可取整数，m 是正整数；所以，241)01)1)140->⇒--<；所以，221)1]150150-<⇒≤<⇒ 所以，当10x =时，30m =；当9x =时，14m =；当1x =时，3m =； 故m 的所有可能的值是30，14，3．（整数分析法，要注意这里x 有特殊要求）AB CP二、解答题（本大题共4小题，每小题20分）11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围． 解：设公共点(cos , sin )P θθ，代入抛物线方程：（著名的“三角换元”一换就灵）得：22215sin cos sin sin 1(sin )24h θθθθθ=-=+-=+-；………………………………10分因为[]sin 1, 1θ∈-，所以5,14h ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．……………………………………………………20分12．设2() (, )f x x bx c b c R =++∈．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(2, 3]上的最大值为1，求22b c +的最大值和最小值．解：由题意函数图像为开口向上的抛物线，且()f x 在区间(]2,3上的最大值只能在闭端点取得；故有(2)(3)1f f =≤，从而5b -≥且38c b =--；………………………………………5分 若()0f x =有实根，则240b c ∆=-≥；在区间[]2, 2-上，有(2)0(2)0222f f b ⎧⎪-≥⎪≥⎨⎪⎪-≤≤⎩即42042044b c b c b -+⎧⎪++⎨⎪-⎩≥≥≤≤；消去c ，解出45444b b b ⎧-⎪⎪-⎨⎪-⎪⎩≤≤≤≤；即4b =-，这时4c =，且0∆=；………………………………………………………10分 若()0f x =无实根，则240b c ∆=-<，将38c b =--代入，解得84b -<<-；综上54b --≤≤．………………………………………………………………………15分 所以，22222(38)104864b c b b b b +=+--=++，在[5, 4]b ∈--上是单调递减的； 故2222min max ()32, ()74b c b c +=+=．…………………………………………………20分 13．如图，P 是ABC ∆内一点；（1）若P 是ABC ∆的内心，证明：1902BPC BAC ∠=︒+∠；（2）若1902BPC BAC ∠=︒+∠且1902APC ABC ∠=︒+∠，证明：P 是ABC ∆的内心．证明：（1）因为内心是内角平分线的交点；所以1180()2BPC ABC ACB ∠=︒-∠+∠1180(180)2BAC =︒-︒-∠1902BAC =︒+∠，…………………………………………………8分（2）因为1902BPC BAC ∠=︒+∠是大于90︒的定角，BC 是定线段；所以点P 在BC 为弦的圆上，其中1902BPC BAC ∠=︒+∠，且劣弧BPC 与A 在BC 的同侧；同理，点P 在AC 为弦的圆上，其中1902APC ABC ∠=︒+∠，且劣弧APC 与B 在AC 的同侧；所以点P 是这两个圆的公共点；……………………………………………16分 由（1）可推知，ABC ∆的内心也是这两个圆的公共点； 又点C 是此两圆的另一个公共点，但不在ABC ∆内，所以点P 是内心．……………………………………………………………20分14．已知α是实数，且存在正整数0n n ，证明：设q p =，其中p q 、为互质的正整数，则202q n pα+=；………………5分设k 为任意的正整数，构造：2202n p k qk n =++，qpk p +∈Q ．………………20分。
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。
下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。
请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。
答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
2007年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷三题 号 一 二 总 成 绩13 14 15 16得 分评 卷 人复 核 人考生注意：1.本试卷共三大题（16小题），全卷满分150分. 考试时间：120分钟.2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答.3.解题书写不要超出装订线.4.不能使用计算器.一、选择题（本题满分36分，每小题6分）得 分 评卷人 本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填 在题的括号内. 每小题选对得6分；不选、选错或选出的 字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1. 已知函数2sin y x =，则 答：[ ] （A ）有最小正周期2π （B ）有最小正周期π （C ）有最小正周期2π（D ）无最小周期 2. 关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是 答：[ ] （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线的 三点是 答：[ ] （A ） A 、B 、D （B ） A 、B 、C （C ） B 、C 、D （D ） A 、C 、D4. 设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 答：[ ] （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C）αβ⊥，βγ⊥，mα⊥（D）nα⊥，nβ⊥，mα⊥5. 若m、{}22101010n x x a a a∈=⨯+⨯+，其中{}1234567ia∈，，，，，，，012i=，，，并且636m n+=，则实数对(,)m n表示平面上不同点的个数为答：[ ] （A）60个（B）70个（C）90个（D）120个6. 已知()122007122007f x x x x x x x=+++++++-+-++-（x∈R），且2(32)(1),f a a f a-+=-则a的值有答：[ ] （A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个二、填空题（本题满分54分，每小题9分）得分评卷人本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上.7. 设nS为等差数列{}n a的前n项和，若510S=，105S=-，则公差为.8. 设()log()af x x b=+(0a>且1)a≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则a b+等于.9. 已知函数()y f x=的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x xf f x xx x--⋅-+≤-+的x的取值范围为 .10. 30x y-+=的离心率是 . 11. 在ABC∆中，已知tan B=sin3C=，AC=ABC∆的面积为.12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）得 分 评卷人13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C . 过点F 的直线l 与 曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.B 1B A 1C 1AC15. 已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .16.已知平面上10个圆，任意两个都相交. 是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论.2007年江苏省高中数学联赛初赛 试卷参考答案及评分规范一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．已知函数2sin y x =，则（ B ）.（A ） 有最小正周期为π2（B ） 有最小正周期为π （C ） 有最小正周期为2π（D ） 无最小正周期 解：)2cos 1(21sin 2x x y -==，则最小正周期π=T . 故选（B ）． 2．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值 的和是（ C ）.（A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1-解：方程02022=--a ax x 的两根是14x a =-，25x a =，则由关于x 的不等式22200x ax a --<任意两个解的差不超过9，得9|9|||21≤=-a x x ，即11≤≤-a . 故选（C ）． 3. 已知向量a 、b ，设AB =a 2+b ，5BC =-a 6+b ，7CD =a 2-b ，则一定共线 的三点是（ A ）.（A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 解：2BD BC CD =+=a 4+b 2AB =，所以A 、B 、D 三点共线. 故选（A ）． 4．设α、β、γ为平面，m 、n 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ D ）. （A ）αβ⊥，n αβ=，m n ⊥ （B ）m αγ=，αγ⊥，βγ⊥（C ）αβ⊥，βγ⊥，m α⊥ （D ）n α⊥，n β⊥，m α⊥解：（A ）选项缺少条件m α⊂；（B ）选项当//αβ，βγ⊥时，//m β；（C ）选项当α、β、γ两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），m βγ=时，m β⊂；（D ）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．本选项为真命题. 故选（D ）． 5. 若m 、{}22101010n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中{}1234567i a ∈，，，，，，，012i =，，，并且 636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ C ）（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种. 因为321=+=7610=+-，故（1） 由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2） 由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=种. 故选（C ）． 6．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ）， 且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（ D ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个 解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有()2(1232007)20082007f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a f a -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤a ≤≤ 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故选（D ）．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若105=S ，510-=S ，则公差为 1-=d . 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . 由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .8. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4.解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，；2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.9．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-，．解： 因为 (2lg 6lg111x x -+>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为[21)x ∈-，．10．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．11．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为 ABC S ∆=．解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ． sin sin()sin cos cos sin 36A B C B C B C =+=+=±．故 sin 2ABC AC ABS A ∆⋅==． 12. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．三、解答题（本题满分60分，每小题15分） 13. 设不等式组 00x y x y +>⎧⎨-<⎩，表示的平面区域为D . 区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为2. 记点P 的轨迹为曲线C . 过点F 的直线 l 与曲线C 交于A 、B 两点. 若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率.解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示． 设动点为(,)P x y2=，即224x y -=．由P D ∈知0x y +>，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)，即曲线C 的方程为y 24－x24＝1(y ＞0)．…………5分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则以线段AB 为直径的圆的圆心为1212()22x x y y Q ++，. 因为以线段AB 为直径的圆L 与y 轴相切，所以半径 12122x x r AB +==，即12AB x x =+． ①…………10分因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)． 代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得，k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0． 因为直线与双曲线交于A ，B 两点， 所以k ≠±1．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1．所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|， 化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0， 又由于y ＞0， 所以－1<k <－ 33． 所以k ＝－2－1…………………15分解：由题意可知，平面区域D 如图阴影所示．设动点P (x ，y )，则|x ＋y |2⋅|x －y |2＝2，即|x 2－y 2|＝4．由P ∈D 知：x ＋y ＞0，x －y <0，即x 2－y 2<0．所以y 2－x 2＝4(y ＞0)．即曲线C 的方程为y 24－x 24＝1(y ＞0)．…………5分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以线段AB 为直径的圆的圆心为Q (x 1＋x 22，y 1＋y 22)． 因为以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，∴半径r ＝12|AB |＝|x 1＋x 22|． 即|AB |＝|x 1＋x 2|． ①…………………10分因为直线AB 过点F (22，0)，当AB ⊥x 轴时，不合题意．所以设直线AB 的方程为y ＝k (x －22)．代入双曲线方程y 24－x 24＝1(y ＞0)得， k 2(x －22)2－x 2＝4，即(k 2－1)x 2－42k 2x ＋(8k 2－4)＝0．因为直线与双曲线交于A ，B 两点，所以k ≠±1．所以x 1＋x 2＝42k 2k 2－1，x 1x 2＝8k 2－4k 2－1． 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)[⎝ ⎛⎭⎪⎫42k 2k 2－12－4⋅8k 2－4k 2－1]＝|x 1＋x 2|＝|42k 2k 2－1|， 化简得：k 4＋2k 2－1＝0，解得k 2＝2－1（k 2＝－2－1不合题意，舍去）．由△＝(42k 2)2－4(k 2－1) (8k 2－4) ＝3k 2－1＞0，又由于y ＞0，所以－1<k <－33． 所以k ＝－2－1…………………………………………………………………………15分14. 如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，面11AAC C 是菱形，160ACC ∠=︒，侧面11ABB A ⊥11AAC C ，11A B AB AC ===.求证：（1）1AA ⊥1BC ；（2）求点1A 到平面ABC 的距离.证：（1）设1AA 中点为D ，连C 、D .因为AB B A =1，所以1AA BD ⊥．因为面 C C AA A ABB 1111⊥，所以⊥BD 面C C AA 11．（第14题）B 1 B A 1C 1ACB CE 又1ACC ∆为正三角形，111A C AC =，所以 11AA D C ⊥. 从而11AA BC ⊥． ………………6分（2）由（1），有1BD C D ⊥，11BC CC ⊥，1CC ⊥面1C DB ．设1A 到面ABC 的 距离为h ，则1113ABC B CAC B CDC hS V V ∆--==. 因为 11113C C DB C DB V CC S -∆=⨯， 所以1C DBABC S h S ∆∆=． 又 1C D BD =，且432211==⨯=∆BD BD D C S DB C . 设ABC ∆的高为AE ，则 2512312221212=+=+=+=BD CC BC BC ， 8325411=⋅-=AE ， 41583252=⋅=∆ABC S . 于是有 515153==h ，即1A 到平面ABC 的距离为515． ………………15分 15．已知数列{}n a 中，11a =，33n n a a +≤+，22n n a a +≥+. 求2007a .解：由题设，22n n a a +≥+，则2007200520031222210032007a a a a ≥+≥+⨯≥≥+⨯=. ………5分由 22n n a a +≥+，得22n n a a +≤-，则3223231(1)n n n n a a a a n +++≤+≤-+=+≥.………………10分于是 200720062005200219991123123212a a a a a ≤+≤+⨯≤++⨯≤+⨯+⨯136********a ≤≤+⨯+⨯=，所以 a 2007=2007．易知数列11a =，22a =，，n a n =符合本题要求． ………………15分 注意：猜得答案n a n =或20072007a =，给2分．16．已知平面上10个圆，任意两个都相交．是否存在直线l ，与每个圆都有公共点？证明你的结论．解：存在直线l ，与每个圆都有公共点．证明如下：如图，先作直线0l ，设第i 个圆在直线0l 上的正投影是线段i i A B ，其中i A 、i B 分别是线段的左右端点． 10个圆有10个投影线段，有10个左端点，有10个右端点． ………………5分因为任意两个圆都相交，所以任意两条投影线段都有重叠的部分，设k A 是最右边的左端点，则所有右端点都在k A 的右边，否则必有两条投影线段无重叠部分，与对应的两个 圆相交矛盾．………………10分再设m B 是最左边的右端点，同理所有左端点都在m B 的左边.k A 与m B 不重合，线段 k m A B 是任意一条投影线段的一部分，过线段k m A B 上某一点作直线0l 的垂线l ，则l 与10 个圆都相交． ………………15分A 1 A k A 2B 1B 2 B m。
全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析
高一数学竞赛训练试题（2）一．填空题：本大题共10小题，每小题7分，共70分．1．设方程22210x mx m -+-=的根大于2-，且小于4，则实数m 的范围是 ．2．从6双不同号码的鞋中取出4只，至少配成一双的概率为 ．3．设实数x ，y 满足x 2-4x+y 2+3＝0，则22x y +的最大值与最小值之差是 ．4．若存在正实数a ，b 满足()()n n a bi a bi +=-（i 是虚数单位，*n ∈N ），则n 的最小值是 ．5．若三角形ABC 的三边AB ，BC ，AC 成等差数列，则A ∠的取值范围是 ．6．若数列{}n a 满足49a =，11(1)(3)0n n n n a a a a ++---=（*n ∈N ），则满足条件的1a 的所有可能值之积是 ．7．已知2()942013f x x x =-+，则()6030()()n f n f n =+=∑ ．8．设x ，[]0,2y π∈，且满足12sin cos sin cos 2x y x y ++=-，则x y +的最大值为 ．9．复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1+z 2|＝6，则|z 1-z 2| ＝___________10．将小王和小孙现在的年龄按从左到右的顺序排列得到一个四位数，这个四位数为完全平方数，再过31年，将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数，这个数仍为完全平方数，小王现在的年龄是 ．二．解答题：本大题共4小题，每小题20分，共80分．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a c b A C π+=-=．求sin B 的值．12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、'D ，A 、C 关于对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''A B C D 是梯形．13．设关于x 的一元二次方程2x 2－tx －2＝0的两个根为α、β，(t 为实数，α<β)． ⑴ 若x 1，x 2为区间[α，β]上的两个不同点，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；⑵ 设f (x )＝4x －t x 2+1，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值分别为f max 与f min ，g (t )＝f max －f min ，求g (t )的最小值．14．正100边形的每个顶点染红、黄、蓝三色之一．证明：必存在四个同色点，恰为某等腰梯形的顶点．11．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，设2,3a c b A C π+=-=．求sin B 的值．分析 化角为边转化为三角关系处理．解 由正弦定理及角变换求解．由2a c b +=，得 sin sin 2sin A C B +=．再由三角形内角和定理及3A C π-=得2,3232B B AC ππ=-=-，所以 231sin sin()cos sin 322222B B B A π=-=+， 31sin sin()cos sin 322222B B BC π=-=-， 又sin 2sin cos 22B B B =，代入到sin sin 2sin AC B +=中得 3cos 4sin cos 222B B B =，由cos 02B >得3sin 24B =， 从而13cos24B =，所以39sin 8B =． 13．设关于x 的一元二次方程2x 2－tx －2＝0的两个根为α、β，(t 为实数，α<β)． ⑴ 若x 1，x 2为区间[α，β]上的两个不同点，求证：4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4<0；⑵ 设f (x )＝4x －t x 2+1，f (x )在区间[α，β]上的最大值与最小值分别为f max 与f min ，g (t )＝f max －f min ，求g (t )的最小值．(湖南省2002年高中数学竞赛)解 ⑴考察函数h (x )=2x 2－tx －2．由于α<x 1，x 2<β，故2x 12－tx 1－2<0，2x 22－tx 2－2<0，两式相加得2(x 12＋x 22)－t (x 1＋x 2)－4<0．又4x 1x 2≤2(x 12＋x 22)．所以4x 1x 2－t (x 1＋x 2)－4≤2(x 12＋x 22)－t (x 1＋x 2)－4<0．⑵ 由已知得2x 2－2＝tx ，所以2x 2＋2＝tx ＋4>0。
2011年江苏十三大市各模考填空题压轴题的解答
2011年填空题压轴题常见题型复习指导1题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ．m 的取值集合为{0，3，14，30}．注 将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则201111()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ． 2013．变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则11()ni i i a b n =+∑的值是 ▲ ． 3．变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i b j =a k b l ，记c n，则数列{c n }的通项公式是 ▲ ． 1232n -⨯．题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． k =2为所求．题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+= ，则m = ▲ ．(用θ表示)m =sin θ．A BC OE FD 图1图4题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20ex x x x f x x ⎧++<⎪=⎨⎪⎩≥, , , , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．2个．题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA BC ⋅ = ▲ ．2224(1)144=ππ=--π．题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20(,)3+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．有4个不同的值．题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．值为4题9(盐城市一模) 已知函数2342011()12342011x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342011()12342011x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为 ▲ ． 9．题10(南通市一模) 是 ▲ ．2．变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．2maxmax 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．3223(1)(2)l k k -+．注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC 的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．2012届填空题压轴题常见题型复习指导2题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．2π． 题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin 2ααα+= ▲ ．2．题13(苏北四市二模) 已知函数()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ．6．题14(南京市二模) 已知函数f (x )=2111x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ． 83≥-．变式 已知函数f (x )=2111x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ． {83-}．题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记S n =2211(1)1(1)2()()222nnnk k k k n f g n n ==-π--π-∑∑，T m =S 1+S 2+…+S m ．若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ． 5．题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则2122mn m n +⋅+⋅的最小值为▲ ． 4．题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ．(2,)+∞．x图10λ+图12题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ． 故第13行第10个数为 111216142922⨯+⨯=．题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ▲ ．题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．c =2或c =1．变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．c =4题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． a <20116．题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ．2(,][2,)3-∞-+∞ ．题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=32412x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．116-．题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．171．2012届填空题压轴题常见题型复习指导题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ． 解 当x ∈Z ，且x ≤10时，Z ． 若m =0，则x = -5为函数f (x )的整数零点． 若m ≠0，则令f (x )=0，得m∈N ．注意到-5≤x ≤10N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，223，14，30}．故m 的取值集合为{0，3，14，30}．注 将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则201111()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ．解 依题设，有b n +1-b n =a 2-a 1=1，从而数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列． 同理可得，{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以，数列{a n +b n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 所以，201111()2011i i i a b =+∑=120112010(201132)20112⋅⨯+⨯=2013．变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则11()ni i i a b n =+∑的值是 ▲ ．略解 依题设，有a i -b j =a j -b i ，于是a i +b i =a j +b j ，所以a n +b n =3，11()ni i i a b n =+∑=3．变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a ib j =a k b l ，记c n{c n }的通项公式是 ▲ ． 略解 由a 2b n =a 1b n +1，得1212n n b a b a +==，故b n =2n ．同理，a n =12n -，通项公式为1232n -⨯．题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 解 依题意，有0≤(k -1)x -1≤(x +1)ln x 在x ∈[1，2e]上恒成立．当x ∈[1，2e]时，函数f (x )=(k -1)x -1的图象为一条线段，于是(1)0,(2e)0,f f ≥⎧⎨≥⎩解得k ≥2．另一方面，k -1≤(1)ln 1x x x++在x ∈[1，2e]上恒成立．令m (x )=(1)ln 1x x x ++=ln 1ln x x x x ++，则2ln ()x xm x x -'=．因1≤x ≤2e ，故1(ln )1x x x'-=-≥0，于是函数ln x x -为增函数．所以ln x x -≥1ln1->0，()m x '≥0，m (x )为[1，2e]上的增函数． 所以k -1≤[m (x )]min =m (1)=1，k ≤2．综上，k =2为所求．题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=，则m = ▲ ．(用θ表示)解法1 如图1，作OE ∥AC 交AB 于E ，作OF ∥AB 交AC 于F ． 由正弦定理，得s i n s i n s i n A EA OA OA O EA E OA==． 又∠AOE =∠OAF =2ADC π-∠=2B π-∠，所以cos sin AO B AE A=，所以cos sin AO B AB AE A AB =⋅． 同理，cos sin AO C ACAF A AC=⋅． 因AE AF AO += ，故cos cos sin sin AO B AB AO C AC AO A AB A AC⋅+⋅=．因2sin sin AB AC AO C B ==，故上式可化为cos cos 2sin sin 2sin sin B CAB AC AO A C A B+= ， 即cos cos 2sin sin sin B C AB AC A AO C B+=⋅，所以m =sin θ．解法2 将等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=两边同乘以2AO ，得222cos cos 4sin sin B C AB AC mAO C B+=，即2222cos cos sin 4sin 4B AB C AC m C AO B AO =⋅+⋅． 由正弦定理，得m =22cos cos sin sin sin sin B C C B C B+=cos B sin C +cos C sin B =sin(B +C )=sin A =sin θ． 解法3 将已知等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B+=两边平方，得22222222cos cos cos cos 2cos 4sin sin sin sin B C B C AB AC AB AC A m AO C B C B++⋅=． 由正弦定理，得m 2=22cos cos 2cos cos cos B C B C A ++ =222cos sin (cos cos cos )B A B A C ++ =222cos sin (cos cos cos())B A B A A B +-+ =222cos sin (sin sin )B A B A + =sin 2A =2sin θ．注意到m >0，故m =sin θ．注 1．本题虽难度较大，但得分率却较高．其主要原因是考生利用了特值法，令△ABC 为正三角形，ABC OE F D 图1即得m ，于是猜测m =sin θ． 2．题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧面表示AO；解法2与解法3，是或将向量等式两边同乘某个向量，或将等式两边同时平方，进而达到去除向量的目的．题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20ex x x x f x x ⎧++<⎪=⎨⎪⎩≥, , , , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．解 设x <0，则问题化归为关于x 的方程22(241)0e xx x -+++=，即21e 22xx x =---(0x <)有几个负数解问题．记1=e x y ，221(1)2y x =-++，当1x =-时，11e 2<，所以函数1y 的图象与2y 的图象有两个交点(如图2)，且横坐标均为负数，故所求“友好点对”共有2个．题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l∥OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则B AB C ⋅=▲ ．解 如图3，(1)P π2, 为极值点，2OP k =π．设点A (x 0，sin x 0)，则过点A 的切线l 的斜率为02cos x =π．于是，直线l 的方程为002sin ()y x x x -=-π． 令y =0，得00sin 2x x x π-=，从而BC =00sin 2x x x π-=． BA BC ⋅= cos BA BC ABC ⋅⋅=BC 2=20(sin )2x π2224(1144=ππ=--π．题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20(,)3+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．解 令由22()323()03a f x x ax x x '=-=-=，得x =0或23ax =． 于是，f (x )的单调增区间为(,0)-∞和2(,)3a+∞． 所以220033a <≤，即0<a ≤10． 因f (x )的极大值为f (0)=0，故f (x )=1000的整数解只能在2(,)3a+∞上取得． 令x 3-ax 2=1000，则a =21000x x -．图4令g (x )=21000x x -，则32000()1g x x '=+>0，故g (x )在2(,)3a+∞为增函数．因g (10)=0，g (15)=510109+>，故方程f (x )=1000的整数解集为{11，12，13，14}． 从而对应的实数a 亦有4个不同的值．题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．解 设P (a ，-a 3+1)，0<a <1，则切线方程为y = -3a 2x +2a 3+1．于是，两交点分别为(0，2a 3+1)，(32213a a +，0)，322(21)()6AOB a S S a a ∆+==．令333(21)(41)()3a a S a a+-'==0，得a ，且可判断此时S 题9(盐城市一模) 已知函数2342011()12342011x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，2342011()12342011x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为 ▲ ．解 23420092()1f x x x x x x x '=-+-+-⋅⋅⋅-+=20111,1,12011, 1.x x xx ⎧+≠-⎪+⎨⎪=-⎩当x ≥0时，()0f x '>；当-1<x <0时，()0f x '>；当x <-1时，()0f x '>，故函数f (x )为R 上的增函数，于是函数f (x )在R 上最多只有一个零点．因f (0)=1>0，f (-1)=111111(11)(()()234520102011-+-++-++⋅⋅⋅+-+<0，故f (0)f (-1)<0，因而f (x )在R上唯一零点在区间(-1，0)上，于是f (x +3)的唯一零点在区间(-4，-3)上．同理可得，函数g (x )为R 上的减函数，于是函数f (x )在R 上最多只有一个零点． 又g (1)=111111(11)()((234520102011-+-+-+⋅⋅⋅+->0，g (2)=242010121212(12)2(2(2()234520102011-+-+-+⋅⋅⋅+-<0，于是g (1)g (2)<0，因而g (x )在R 上唯一零点在区间(1，2)上，于是g (x -3)的唯一零点在区间(4，5)上． 所以，F (x )的两零点落在区间[-4，5]上，b -a的最小值为9．注 不少考生想对复杂的函数表达式进行求和变形化简，结果当然是徒劳而返，得分率非常低．导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具．题10(南通市一模) 是 ▲ ． 解 (本题解法很多，仅给出平几解法)如图4，△ABC 中，E ，F 分别为底BC 与腰AC 的中点，BF 与AE 交于点G ，则G 为△ABC 的重心，于是BG =CG =23BF =AE =3GE ．所以，21333sin 222ABC BGCS S GB GC BGC ∆∆==⋅⋅≤⨯=，当且仅当∠BGC =2π，即BG ⊥GC 时，△ABC 的面积取最大值2．变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．略解 如图5，以B 为原点，BD为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0． 因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)． 所以，22222(1)21k x lx l y k --+-=-=2222222(1)()111l k l k x k k k ---+---≤2222(1)k l k -，于是，max21kly k =-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．略解 如图6，因PE =kPD ，故EG =kOD ． 因AO =2OD ，故2OF AO FG GE k ==，于是22OF GO k =+． 因PG PE k PO PD ==，故1GO k PO=-， 从而OF OF GO PO GO PO =⋅=2(1)2k k-+． 所以，22(1)P ABC F ABC kV V k --+=-．因2AF AO FE GE k ==，故AF =2222AE lk k =++． 于是，F ABC V -≤316FA =3343(2)l k +(当且仅当F A ，FB ，FC 两两垂直时，“≤”中取“=”)，所以，22(1)P ABCF ABC kV V k --+=-≤3223(1)(2)l k k -+，于是所求的最大值为3223(1)(2)l k k -+． 注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC 的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．解 易知f (x )在上为减函数，在)+∞上为增函数，于是a ，b 不可能同在)+∞上． 若0≤a ≤b 2-a 2≥2-b 2恒成立，它围成图7中的区域①； 若0≤a b ，则2-a 2≥b 2-2，即a 2+b 2≤4，它围成图7中的区域②．综上，点(a ，b )所围成的区域恰好是圆a 2+b 2=4的18．故所求区域的面积为2π． 题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin 2ααα+= ▲ ．解 依题意，画出示意图如图8所示．于是，3(,2)2απ∈π，且A (α，-sin α)为直线y =kx 与函数y = -sin x (3(,2)2x π∈π)图象的切点． 在A 点处的切线斜率为sin cos ααα--=，故α=tan α．所以，2(1)sin 2ααα+=2(1tan )sin 2tan ααα+=sin 2cos sin ααα=2．题13(苏北四市二模) 已知函数()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ． 解 因f (-x )=f (x )，故f (x )为偶函数．记g (x )=|1||2||2011|x x x ++++++ ，h (x )=|1||2||2011|x x x -+-++- ． 当x ≥0时，g (x +1)-g (x )=|x +2012|-|x +1|=2011， h (x +1)-h (x )=|x |-|x -2011|=22011,02011,2011,2011.x x x -≤<⎧⎨≥⎩所以，f (x +1)-f (x )=2,02011,4022,2011.x x x ≤<⎧⎨≥⎩所以，f (0)=f (1)<f (2)<f (3)<…． 又当0≤x ≤1时，f (x )=(1)(2)(2011)(1)(2)(2011)x x x x x x +++++++-+-++- =20112012⨯， 故2|32||1|a a a -+=-或21132111a a a ⎧--+⎨--⎩≤≤≤≤,, 且a ∈N *，解得a =1，2，3，所以结果为6．注 本题也可以这样思考：从最简单的先开始．先研究函数1()|1||1|f x x x =++-与函数2()|1||2||1||2|f x x x x x =++++-+-的图象与性质，它们都是“平底锅型”，进而猜测函数()f x 的图象与性质，并最终得以解决问题．题14(南京市二模) 已知函数f (x )=2111x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是 ▲ ． 解 因x ∈N *，故由f (x )≥3恒成立，得a ≥8()3x x -++，故a ≥max 8[()3]x x -++．当x取最接近于x =3时，8()3x x -++取最大值83-，于是a ≥83-．变式 已知函数f (x )=2111x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ．略解 首先a ≥83-．另一方面，∃x ∈N *，使f (x )≤3能成立，即a ≤8()3x x -++能成立，于是a ≤max 8[()3]x x -++=83-．所以，a 的取值集合是{83-}．题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记 S n =2211(1)1(1)2()()222nnnk k k k n f g n n==-π--π-∑∑，T m =S 1+S 2+…+S m ． 若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ．解21(1)()2nk k f n=-π∑ =(21)(1)cos0[coscos ][cos cos ]cos22222n n n n n n n n nπ-π(-1)π+ππ++++++ =1． 21(1)()2nk k n g n=--π∑ =1(1)sin[sin sin ][sin sin ]sin 022222n n n n n n n n-π(-)π-π-ππ++++++ = -1． 所以，S n =122n+，T m =1212m m +-． 令T m <11，则正整数m 的最大值为5．注 本题的难点在于复杂的S n 的表达式．去掉求和符号∑，展开表达式，化抽象为具体，进而识得庐山真面目． 题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则2122m n m n +⋅+⋅的最小值 为 ▲ ． 解法1 设x =m ，y =2n ，则问题等价于：已知x +y =2，求22x y x y ⋅+⋅的最小值． 令S =22x y x y ⋅+⋅，T =22y x x y ⋅+⋅，则S -T =()(22)x y x y --≥0，即S ≥T ．另一方面，S +T =()(22)x y x y ++≥2⨯，故S ≥4，当且仅当x =y =1时取等号． 所以2122m n m n +⋅+⋅的最小值为4．解法2 考虑到对称性，不妨取m ≥1．令g (m )=22(2)2m m m m -⋅+-⋅，m ≥1． 则22()(22)(2(2)2)ln 2m m m m g m m m --'=-+⋅--⋅≥0． 所以函数g (m )(m ≥1)为增函数，故min ()(1)4g m g ==．注 这道题虽然正面求解难度较大，但得分率却相当的高．究其原因大致为：当考生经过变元后，得问题为“已知x +y =2，求22x y x y ⋅+⋅的最小值”，它具有某种对称性，凭直观猜测：让x =y =1，一举得到所求结果．题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ．解法1 如图9，作1OA OA λ= ，1OB OB μ=，连B 1C ，A 1C ，则1||OA λ= ，1||OB μ= ，||1OC =．因三点A ，B ，C 互异，且11OC OA OB =+ ，故O ，C ，B 1构成三角形的三1,|| 1.λμλμ+>⎧⎨-<⎩个顶点，且11||||B C OA λ== ，于是由三角形的边与边之间的关系有（☆）如图10的阴影部分表示不等式组（☆）所表示的区域，P (λ，μ)为阴影部分内的动点，定点A (0，3)，则λ2+(μ-3)2=AP 2．点A (0，3)到直线μ-λ=1的距离d=，AP >d=，故λ2+(μ-3)2>2，从而λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,)+∞．解法2 依题意，B ，O ，C 三点不可能在同一条直线上．所以OC OB ⋅ =||||cos OC OB BOC ⋅=cos BOC ∈(-1，1)．又由OC OA OB λμ=+ ，得OA OC OB λμ=- ，于是2212OB OC λμμ=+-⋅ ．图10λ+图12记f (μ)=λ2+(μ-3)2=2212(3)OB OC μμμ+-⋅+- =226210OB OC μμμ--⋅+ ．于是，f (μ)>2228102(2)2μμμ-+=-+≥2， 且f (μ)<22410μμ-+=22(1)8μ-+，无最大值．故λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,)+∞．题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ．解法1 记第n 行第m 个数为a n ，m ．为了得到a 13，10，则第1行必须写满22个数． 观察可得：a 13，1+a 13，10=2(a 12，1+a 12，11)=22(a 11，1+a 11，12)=…=212(a 1，1+a 1，22)=23×212． 所以，a 13，1+a 13，10=23×212． 另一方面，a 13，10=a 13，1+9×212． 联立解得 a 13，10=216．解法2 记第n 行的第1个数为a n ．于是，猜测(1)2n a n =+⋅．因第n 行的数从左到右排列成公差为12n -的等差数列，故第13行第10个数为111216142922⨯+⨯=．解法3 记第n 行的第1个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则12n n n a S +-=． 所以，S n +1-2S n =2n ，111222n n n n S S ++-=．又11122S =，故22n n S n =，S n =12n n -⋅．所以，2(1)2n n a n -=+⋅．下同解法2． 题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ▲ ． 解法1 设CN =x ∈1[,1]2，则BM =DN =1-x ．作MP ⊥DC 交DC 于点P ，则PN =2x -1． 所以，MN 2=1+(2x -1)2=4x 2-4x +2，BN 2=x 2+1，22MN BN=224421x xx -++=24241x x +-+ =2441()12t t --+=44514t t -+-(其中t =12x +)，当且仅当54tt=，即t ，x 时，22MN BN 取最小值，所以CN解法2 设∠CBN =θ(θ∈[0,]4π)，则BN =1cos θ，DN =1-tan θ，MN1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 …8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 …48 64 80 … … … …图11所以，MNBN=cos其中cos ϕsin ϕ=．当sin(2)1θϕ+=时，MN BN 取最小值，此时tan 2tan()2θϕπ=-=1tan ϕ=2．解22tan 21tan θθ=-，得tan θ为所求(另一解为负，舍去)．题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．解 可求得，当12n -≤x ≤2n (n ∈N *)时， f (x ) =22(1|3|)2n n x c ----．记函数f (x ) =22(1|3|)2n n x c ----(12n -≤x ≤2n ，n ∈N *)图象上极大值的点为P n (x n ，y n )．令2302nn x --=，即x n =232n -⋅时，y n =2n c -，故P n (232n -⋅，2n c -)． 分别令n =1，2，3，得 P 1(32，1c)，P 2(3，1)，P 3(6，c )． 由2123P P P P k k =(k 表示直线的斜率)得，c =2或c =1． 当c =2时，所有极大值的点均在直线13y x =上；当c =1时，y n =1对n ∈N *恒成立，此时极大值的点均在直线y =1上．变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．略解 以原点为顶点的抛物线方程可设为x 2=py (p ≠0)或y 2=qx (q ≠0)． 若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线x 2=py (p ≠0)上，则(232n -⋅)2=2n pc -，即29()4n cp -=对n ∈N *恒成立，从而c =4；若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线y 2=qx (q ≠0)上，则(2n c -)2=232n q -⋅，即23n q -=对n ∈N *恒成立，从而c综上，c =4题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 解 若a ≤0，则f (x )在x >0时为增函数，故对任意正实数k ，不等式f (x +k )>f (x )恒成立．若a >0，则函数y =f (x +k )的图象可由函数y =f (x )的图象向左平移k个单位而得(如图13)．因k =2011，故仅当2011>6a 时，f (x +2011)>f (x )，所以此时0<a <20116．综上，实数a 的取值范围是a <20116．题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 解法1 因x ≠0，故将方程两边同除以x 3，并变形得211()()2x a x a x x++++-=0．令g (t )=22t at a ++-，t =1x x+∈(,2][2,)-∞-+∞ ． 原方程有实数根，等价于函数g (t )有零点．因g (-1)= -1，故函数g (t )有零点，只须g (-2)≤0或g (2)≤0． 解g (-2)≤0，得a ≥2；解g (2)≤0，得a ≤23-．所以，实数a 的取值范围为2(,][2,)3-∞-+∞ ．解法2 易知x =0不是方程的根，故x 3+x 2+x =213(())24x x ++≠0．所以，a =4321x x x x +-++=2111x x x x +-++=212()11x x x x-+++=12t t -+∈2(,][2,)3-∞-+∞ ，其中t =11x x ++∈(,1][3,)-∞-+∞ ．解法3 接解法2，a =4321x x x x+-++，于是2432322(1)(2421)()x x x x x a x x x -++++'=++． 因4322421x x x x ++++=x 2(x +1)2+(x +1)2+2x 2>0，故由0a '=可解得x =1或-1． 当x >0时，a <0，且当x =1时，a 取极大值23-，故此时a ≤23-；当x <0时，a >0，且当x = -1时，a 取极小值2，故此时a ≥2． 综上，实数a 的取值范围为2(,][2,)3-∞-+∞ ．题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=32412x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．解法1 当x ≠0，±1时，f (x )=2212x xx x-++=21()4x xx x--+=114()x x x x-+-．当1x >x 时，f (x )≤14，且当1x x -=2时，取“=”，故f (x )的最大值为14． 又因为f (x )为奇函数，故f (x )的最小值为14-．所以所求的乘积为116-． 解法2 令422361()(1)x x f x x -+'=+=0，得x 2=21)． 函数f (x )的最大值应在x -x 3>0，即0<x <1或x <-1时取得． 所以[f (x )]max =max{f1)，f(1)}=14，下同解法1．解法3 令x =tan θ，则g (θ)=f (x )=222tan (1tan )(1tan )θθθ-+=1sin 44θ∈11[,]44-，所求乘积为116-．注 题23与题24有异曲同工之妙，它们都出现了x ，x 2，x 3，x 4，经换元后，分别得到了只关于整体变量1x x +及1x x-的表达式，进而一举解决了问题． 题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．解 f (x )=123100111111|1|||||||||||||2233100100x x x x x x x -+-+-+-++-++-++- 项项项项， f (x )共表示为5050项的和，其最中间两项均为1||71x -．x =171，同时使第1项|x -1|与第5050项1||100x -的和， 第2项1||2x -与第5049项1||100x -的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x 为171． 注 1．一般地，设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n (n ∈N *)，f (x )=|x -a 1|+|x -a 2|+|x -a 3|+…+|x -a n |．若n 为奇数，则当x =12n a +时，f (x )取最小值；若n 为偶数，则x ∈122[,]n n a a +时，f (x )取最小值．2．本题似于2011年北大自主招生题：“求|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|2011x -1|的最小值”相关联．。
2011年全国高中数学联赛试题及答案详解(A卷)
一、填空题（每小题8分，共64分）1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ． 3．设b a ,为正实数，2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ． 4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是 ．二、解答题（本大题共3小题，共56分）9．（16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．加 试1. （40分）如图，Q P ,分别是圆内接四边形ABCD 的对角线BD AC ,的中点．若DPA BPA ∠=∠，证明：CQB AQB ∠=∠．2. （40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a x a x x f n n n ++++=--具有如下性质：4.（50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值。
全国高中数学联赛江苏赛区2005年-2011年初赛试题汇编(含答案细则)
2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准2005年04月03日一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+答: [ B ]解： sin[()]44y x ππ=++, 即 c o s y x =. 故选 B ． 2. 如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个答: [ C ]解：由 240,0p q q ∆=+>-<, 知方程的根为一正一负．设 2()f x x px q =--，则 2(3)330f p q =-->, 即 39p q +<.由于 ,p q ∈N*， 所以 1,5p q =≤ 或 2,2p q =≤. 于是共有7组 (,)p q 符合 题意． 故选 C ．3. 设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 5答: [ C ]解：由 0a b >>, 可知22210()()424a ab a b b a <-=--≤,所以， 222144()a a b a b a+≥+≥-. 故选 C ．4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个答: [ D ]解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、n , 直线 m 、n 确定了一个平面 β. 作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面 相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样 的平面 α 有无数多个．故选 D ．5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被64 除的余数为A. 0B. 2C. 16D. 48答: [ C ]解：数列 {}n a 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C ．6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有A. 830个B. 73025⨯个C. 73020⨯个D. 73021⨯个答: [ D ]解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (61)- 种铺法；若不 铺 B 色，则有 2(62)- 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 73021⨯ 种铺法． 故选 D ．二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2π得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则向量 OB = （－115，235） .解：设 (,)OA m n =, 则 (,)OB n m =-, 所以2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=.D 1C 1B 1A 1DCBAPA B即 27,29.m n m n -=⎧⎨+=⎩ 解得 23,511.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，23111123(,),(,)5555OA OB ==-.故填 1123(,)55-． 8. 设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 a n = 4n －2(n ∈N*) .解：由题意知22n a += 即 2(2)8n n a S +=. ……… ① 由 11a S = 得122a +=从而 12a =. 又由 ① 式得211(2)(2)8n n a S n --+=≥, ……… ②于是有 1n n n a S S -=-221(2)(2)(2)88n n a a n -++=-≥,整理得 11()(4)0n n n n a a a a --+--=. 因 10,0n n a a ->>, 故114(2),2n n a a n a --=≥=．所以数列 {}n a 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列，其通项公式为 24(1)n a n =+-， 即 42n a n =-. 故填 42(n a n n =-∈N*)．9. 函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 22 .解：令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-．当1t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得2y ≤≤； 当0t ≤<时， 2219212()48y t t t =-++=--+，得928y ≤≤． 又 y 可取到2, 故填2．10. 在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 V B 1－EFG= 38 .解：在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 114A H =. 易证，1||HE B G ，||HE 平面 1B FG ． 故 1111B EFG E B FG H B FGG B FH V V V V ----===．而 198B FH S ∆=，G 到平面 1B FH 的距离为 1． 故填 138B E F G V -=．11. 由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 150 个.解：在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 11235444()70C C C C ++= 个；若 1 只出现 2 次，有 212533()60C C C += 个；若 1 只出现 3 次，有 315220C C = 个． 则这样的五位数共有 150 个． 故填 150个．12. 已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是[1－6，3+10] ．解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =, 代入方程|1|x y ++=,得 2420x x --=，解出得2x =± 所以，当211a <=时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以，当3a > 时, MN =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤[13a ∈ 时,M N ≠∅．故填[1-.三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13. 已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点N , 且 AB 是 NBC ∆ 的外接圆的切线, 设BC BN λ=, 试求 BMMN(用 λ 表示). 证明：在 BCN ∆ 中，由Menelaus 定理得1BM NA CDMN AC DB⋅⋅=． 因为 BD DC =，所以BM ACMN AN=． ……………… 6分由 ABN ACB ∠=∠，知ABN ∆ ∽ ACB ∆，则AB AC CBAN AB BN==． 所以，2AB AC CB AN AB BN ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 即 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=BN BC AN AC ． …………………… 12分 因此， 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=BN BC MN BM ． 又BC BN λ=， 故 2BMMNλ=． …………………… 15分14. 求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当10nii x==∑ 时, 总有110ni i i x x+=≤∑ ( 其中 11n x x += ).解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得A BCDN M2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++=222123()02x x x -++=≤.所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则10nii x==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分15. 设椭圆的方程为 22221(0)x y a b a b +=>>, 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,使 PQR ∆ 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.解： 如图, 设线段 PQ 的中点为 M ． 过点 P 、M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 'P 、'M 、'Q , 则11|||||'|(|'||'|)()22PF QF MM PP QQ e e =+=+=． …………… 6分假设存在点 R ，则 ||||2RM PQ =， 且 |'|||MM RM <， 即 ||||22PQ PQ e <， 所以，e >………………………… 12分于是，ePQ e PQ RM MM RMM 31||322|||||'|'cos =⋅==∠， 故cot 'RMM ∠=．若 ||||PF QF < (如图)，则131'cot 'tan tan 2-=∠=∠=∠=e RMM FMM QFx k PQ . …………… 18分当3e >时, 过点 F 作斜率为 的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于 R , 由上述运算知, ||||2RM PQ =． 故 PQR ∆ 为正三角形. ………… 21分 若 ||||PF QF >，则由对称性得PQ k = ……………… 24分又 1e <, 所以，椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率 e 的取值范围是e ∈， 直线 PQ 的斜率为16. (1) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的最小值, 并说明理由；(2) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005, 求 n 的最小值, 并说明理由.解： (1) 因为 3333101000,111331,121728,132197====, 3312200513<<，故 1n ≠.因为 3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =， 使min 4n ≤． ……………… 6分若 2n =，因 3310102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 328320053⨯>≥x , 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 0829200533>⨯--, 所以 9x ≠. 由于 510220053=⨯-, 332005109276--=, 332005108493--=,07210200533>⨯--, 所以10x ≠.由于 332005118162--=, 332005117331--=, 06211200533>⨯--, 所以 11x ≠.由于 33200512661--=, 33320051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,,n x x x ， 则3332005122002n x x x +++=．…………… ⑤由 20024(mod9)≡， 341(mod 9)≡，得20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分又当 x ∈N* 时，30,1(mod 9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod9)， 3312x x + ≡∕4(mod 9)， 333123x x x ++ ≡∕4(mod 9). … ⑦…………… 21分⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．而 33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分因此 4n = 为所求的最小值．2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷2006.4.2 8：00～11：00本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
⑨竞赛中的复数问题
Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= ||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)⇔z =n r (cosnk πθ2++isinnk πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cosn k π2+isin nk π2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w ww --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R. 二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 .[解析]:[类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 . 2.代数形式[例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . [解析]: [类题]:1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= .2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n,n ∈N}中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 3 3.三角形式[例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]: [类题]:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 .2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = . 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 .4.共轭运算[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]: [类题]:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数} 2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+ww 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 . 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= . 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= .5.模的运算[例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 .[解析]: [类题]:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz −6),则|z|等于 .3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .4 Y.P .M 数学竞赛讲座5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 .6.乘方运算[例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = .[解析]: [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(21i -)1989= .2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的a n = .3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ成立,则这种n 的总个数为 .②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m=(1+i)n成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n(n 为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(23i +)8+1]n当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 7.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]: [类题]:1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008+20091m= . 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x +)1990+(yx y +)1990的值是 . ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x2006+y2006)的值是 .3.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 .8.复数方程[例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:Y.P .M 数学竞赛讲座 5 [类题]:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+z 1为实数,则2z+z1的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 .4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos5π+isin5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=09.复数与点[例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为(用z 和z 表示).3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .10.模的意义[例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= . [解析]: [类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 .2.(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________.3.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设z 是模为2的复数,则|z-z1|的最大值与最小值的和为 . 4.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为6 Y.P .M 数学竞赛讲座M,m,则mM= . 5.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 的模为1,则函数|z 2+iz 2+1|的值域是 .11.幅角主值[例11]:(1998年全国高中数学联赛试题)已知复数z=1-sin θ+icos θ(2π<θ<π).求z 的共轭复数z 的辐角主值.[解析]: [类题]:1.(1984年全国高中数学联赛试题)集合S={z 2|argz=a,a ∈R}在复平面的图形是( )(A)射线argz=2a (B)射线argz=-2a (C)射线argz=-a (D)上述答案都不对 2.(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设z 是复数,z+2的幅角为3π,z-2的幅角为65π,则z= . 3.(1993年全国高中数学联赛试题)若z ∈C,arg(z 2-4)=65π,arg(z 2+4)=3π,则z 的值是________. 4.(1992年全国高中数学联赛试题)设z 1,z 2都是复数,且|z 1|=3,|z 2|=5|z 1+z 2|=7,则arg(12z z )3的值是______. 5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知θ=arctan125,那么,复数z=i i ++2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________.12.几何形状[例12]:(1995年全国高中数学联赛试题)设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数Z 11995,z 21995,…,z 201995所对应的不同的点的个数是 .[解析]: [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若在复平面上三个点A(0),B(z 0-z),C(z 0+z)构成以A 为直角顶点的等腰直 角三角形,其中z 0=-31+32i,则△ABC 的面积为 . 2.①(1992年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z 1|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设复数z 1、z 2满足z 1z 2=1,z 13+z 23=0,且z 1+z 2≠0.z 1、z 2在复平面内的对应点为Z 1、Z 2,O 为原点,则△Z 1OZ 2的面积是_____.3.(1996年全国高中数学联赛试题)复平面上,非零复数z 1,z 2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=_______.4.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 .5.(1997年全国高中数学联赛试题)设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++===Sa a a a a a a a a a a a a a a a a a )11111(4543215432145342312,其中S 为实数,且|S|≤2.求证:复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.Y.P .M 数学竞赛讲座 7 13.解折综合[例13]:(2003年全国高中数学联赛试题)设A,B,C 分别是复数Z 0=ai,Z 1=21+bi,Z 2=1+ci(其中a,b,c 都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线Z ＝Z 0cos 4t+2Z 1cos 2tsin 2t+Z 2sin 4t(t ∈R )与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.[解析]:[类题]:1.(1993年全国高中数学联赛试题)设m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z ∈C,则方程|z+ni|+|z -mi|=n 与|z+ni|-|z -mi| -m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( )xx(B) (C) (D) 2.(1989年全国高中数学联赛试题)若M={z|z=t t +1+i tt+1,t ∈R,t ≠-1,t ≠0},N={z|z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)],t ∈R,|t|≤1},则M ∩N 中元素的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)43.(1988年全国高中数学联赛试题)复平面上动点z 1的轨迹方程为|z 1-z 0|=|z 1|,z 0为定点,z 0≠0,另一个动点z 满足z 1z=-1,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.4.①(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z,w 满足:|z-1-i|-|z|=2,|w+3i|=1,则|z –w|的最小值= .②(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)x 、y 是实数.z 1=x+11+yi,z 2=x-11+yi(i 为虚数单位),|z 1|+|z 2|=12,令u=|5x −6y −30|,则u 的最大值是_____,u 的最小值是_____.5.(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知满足条件|z 2|+|z 2−1|=7的复数z 在复平面内的所对应的点的集合是一条二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____.14.复数应用[例14]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)1000的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]: [类题]:1.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知sin α+sin β=51,cos α+cos β=31,则)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-= .2.(2007年湖北数学奥林匹克夏令营试题)求值:tan700-010cos 1= .3.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)化简arccot2+arctan 31= . 4.(2012年复旦自主招生试题)arctan 31+arctan 51+arctan 71+arctan 81= .Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= ||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)⇔z =n r (cosnk πθ2++isinnk πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cosn k π2+isin nk π2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w ww --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R. 二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 .[解析]:|z|≤2⇔(a+cos θ)2+(2a-sin θ)2≤4⇔2acos θ-4asin θ≤3-5a 2⇔-25asin(θ+φ)≤3-5a 2⇔25|a|≤3-5a 2⇔(5|a|-1)(5|a|+3)≤0⇔a ∈[-55,55]. [类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 . 解:设z=a+bi ⇒w=a+bi+22ba bi a +-=a+22ba a ++(b-22ba b +)i.由-1<w<2⇒w 为实数⇒b-22ba b +=0⇒b=0,或a 2+b 2=1.当b=0时,a ≠0,w=a+a 1⇒|w|≥2,不符合-1<w<2;当a 2+b 2=1时,w=2a,由-1<w<2⇒-21<a<1. 2.代数形式[例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . [解析]:设α=a+bi(a,b ∈R)⇒β=a-bi ⇒αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=23⇒|b|=3,2βα=23)(αβα为实数⇒α3=(a+bi)3=(a 3-3ab 2)+(3a 2b-b 3)i 为实数⇒3a 2b-b 3=0⇒|a|=1⇒|α|=2.[类题]:1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= . Y.P .M 数学竞赛讲座 32.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n,n ∈N}中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .解:复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2为实数⇔[sinx+sin2x+i(2cos 2xsinx-tanx)](cosx+i)为实数⇔sinx+sin2x+(2cos 2xsinx-tanx)cosx=0⇔sin2x+cos 2xsin2x=0⇔sin2x=0⇔sinx=0(cosx ≠0)⇔x=k π.3.三角形式[例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]:由|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,可设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β,z 3=cos γ+isin γ⇒21z z +32z z+13z z =cos(α-β)+ isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1⇒sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)=0⇒ 2sin2γα-cos22βγα-+-2sin2γα-cos2γα-=0⇒sin2γα-sin2αβ-sin2βγ-=0.当sin2αβ-=0时,β=2k π+α⇒z 1=z 2,由21z z +32z z +13z z =1⇒31z z+13z z =0⇒(13z z )2+1=0⇒13z z =±i ⇒|az 1+bz 2+cz 3|=|(a+b ±ic)z 1|=22)(c b a ++;同理可得:当sin2βγ-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(a c b ++;当sin2γα-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(b c a ++.[类题]:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 . 解:A i A C i CB i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++=)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2A i A AC i C C B i B B ++⋅+=2A C B cos cos cos Ai A C B i C B sin cos )sin()cos(-+++=2A CB cos cos cos [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2ACB cos cos cos ,虚部是0.2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = . 解:设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β⇒z 1-z 2=(cos α-cos β)+(sin α-sin β)i=cos150+isin150⇒cos α-cos β=cos150,sin α-sin β=sin150⇒(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=1⇒cos(α-β)=21,sin α-sin β=±23⇒21z z=cos(α-β)+isin(α-β)=21±23i. 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 解:设z 1=acos α+aisin α,z 2=acos β+aisin β,由z 1+z 2=m+mi ⇒a(cos α+cos β)=m,a(sin α+sin β)=m ⇒cos α+cos β=4 Y.P .M 数学竞赛讲座sin α+sin β⇒2cos2βα+cos2βα-=2sin2βα+cos2βα-⇒cos2βα+=sin2βα+⇒tan2βα+=1⇒α+β=2π⇒z 1z 2=a 2[cos(α+β)+isin(α+β)]=a 2i ⇒z 13z 23=(z 1z 2)3=-a 6i.4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .解:设z=cos θ+isin θ⇒|z 2-z+2|=|cos2θ+isin2θ-cos θ-isin θ+2|=|cos2θ-cos θ+2+(sin2θ-sin θ)i|=θθ2cos 4cos 66+-=87)83(cos 82+-θ≥414. 5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 .解:设z 1=cos θ+isin θ⇒|z 14+1-2z 12|=|(z 12-1)2|=|z 12-1|2=|cos2θ-1+isin2θ|2=(cos2θ-1)2+sin 22θ=2-2cos2θ≤4⇒|z-2005-2006i|≤4,设z=x+yi ⇒(x-2005)2+(y-2006)2≤16⇔x 2+y 2≤16共有49个解.4.共轭运算[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]:|z 1|=2,|z 2|=3⇒z 11z =4,z 22z =9⇒23-i=3z 1-2z 2=31z 1z 22z -21z 2z 11z =61z 1z 2(22z -31z )=-61z 1z 2(31z -22z )= -61z 1z 2(23+i)⇒z 1z 2=-1330+1372i.[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}解:(z-1)2=|z-1|2⇔(z-1)2=(z-1)(z -1)⇔z=1,或z=z ⇔M={实数}.2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+ww 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 解:z -λz=w ⇒z-λz =w ⇒z-λ(λz+w)=w ⇒(1-λλ)z=λw+w ⇒z=2||1λλ-+ww .故选(A). 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 . 解:设|z 1|=|z 2|=a ⇒z 11z =z 22z =a 2⇒a 2(2-i)=z 1z 22z -z 2z 11z =-z 1z 2(1z -2z )=-z 1z 2(2+i)⇒||2121z z z z =221az z =i i ++-22=543i +-. 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= . 解:z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z z 1+(z+z 1)2z =0⇒z z 1z 2+(z+z 1)2z z 2=0;z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z 1z +z z 2+1z z 2=0⇒z z 2+(z+z 2)1z =0⇒z z 1z 2+(z+z 2)1z z 1=0⇒(z+z 1)2z z 2=(z+z 2)1z z 1⇒21z z z z ++=2211z z zz =正实数⇒arg 21z z z z ++=0. 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= . 解:9=|z 1|2=z 11z ,9=|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=z 11z +z 22z +z 21z +z 12z ;27=|z 1-z 2|2=(z 1-z 2)(1z -2z )=z 11z +z 22z -(z 21z +z 12z )⇒z 11z +z 22z =18⇒z 22z =9⇒|z 2|=3⇒|z 21z |=|z 12z |=9,z 21z +z 12z =-9,设z 12z =9(cos θ+isin θ)⇒z 21z =9(cos θ-isin θ)⇒cos θ=-21⇒sin θ=±23⇒z 12z =9ω,或ω2⇒log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|=log 3|(9ω)2000+(9ω2)2000|= Y.P .M 数学竞赛讲座 5log 3|92000(ω+ω2)|=4000.5.模的运算[例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 .[解析]: 由4z 12-2z 1z 2+z 22=0⇒3z 12+(z 1-z 2)2=0⇒(z 1-z 2)2=-3z 12⇒z 1-z 2=±3z 1i ⇒z 2=(1±3i)z 1⇒|z 2|=2|z 1|⇒|z 1|=2,设z 1=2(cos α+isin α)⇒|(z 1+1)2(z 1-2)|=|(z 1+1)2||(z 1-2)|=[(2cos α+1)2+(2sin α)2]22)sin 2()2cos 2(αα+-=)cos 88()cos 45(2αα-+≤36(cos α=41). [类题]:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz −6),则|z|等于 .解:设|z|=r(r>0)⇒z=i r ri 23212+-+⇒r 2=|z|2=|i r ri 23212+-+|2=22|23||212|i r ri +-+=49414422++r r ⇒r 4=16⇒r=2. 3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .解:|z n -z n+1|=1.4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .解:z z -z-z =3⇒(z-1)(z -1)=4⇒|z-1|=2⇒z-1=2(cos3π+isin3π).5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 . 解:u=|z 2-z+1|=|z 2-z+z z |=|z(z+z -1)|=|z+z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1⇒u=|z+z -1|=|2x-1|∈[0,3].6.乘方运算[例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = .[解析]:令tan θ=2222-+(0<θ<2π)⇒tan 2θ=2222-+=3+22⇒tan θ=2+1⇒tan2θ=-1⇒2θ=43π⇒θ=83π⇒ a n =[r(cos83π+isin 83π)]n =r n(cosn 83π+isinn 83π)取实数值,其中r=2⇒sinn 83π=0⇒n 83π=k π⇒3n=8k ⇒n=8m,满足此条件且n ≥2007的最小正整数n 为2008,此时a n =a 2008=22008cos753π=-22008.[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(21i -)1989= .2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . 解:令tan θ=-33=-3⇒θ=35π⇒3-3i=23(cos35π+isin 35π)⇒z=(3-3i)n =[23(cos 35π+isin 35π)]n= (23)n[cos(35πn)+isin(35πn)]为实数⇔sin(35πn)=0⇔35πn=k π⇔k=35n⇒最小的正整数n 的值为3. ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的 6 Y.P .M 数学竞赛讲座a n = .3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ成立,则这种n 的总个数为 .解:(sin θ+icos θ)n=[i(cos θ-isin θ)]n=i n[cos(-θ)+isin(-θ)]n=i n[cos(-n θ)+isin(-n θ)]=i n[cos(n θ)-isin(nθ)]=i n-1(sinn θ+icosn θ)⇒i n-1=1⇒n-1=4k ⇒n=4k+1(n ≤2003)⇒k ≤500⇒(k=0)这种n 的总个数为501.②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m=(1+i)n成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n(n 为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .解:由|z|=1⇒z z =1,|z +i|=1⇒(z +i)(z-i)=1⇒(z -z)i=1⇒z-z =i ⇒z=±23+21i ⇒z+i=±23+23i=±3(21± 23i)⇒(z+i)n=(±3)n(21±23i)n,其中w=21±23i 是方程w 2-w+1=0的根⇒w 3=-1⇒n=3时,|z+i|n的最小值为33.5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(23i +)8+1]n当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 解:[(23i +)8+1]n =[(-i)8(231i +-)8+1]n =[(-i ω)8+1]n =(ω2+1)n =(-ω)n,可得6个不同的数值. 7.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]:设ba =cb =ac =x ⇒a=xb,b=xc,c=xa ⇒abc=x 3abc ⇒x 3=1⇒x=1,x=ω,x=ω2(三次方程有三个根)=0⇒cb a cb a +--+= 1122+--+x x x x =1,或ω,或ω2.[类题]:1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .解:x i 6=1⇒x 11980=1,198021x =1⇒x 11980+198021x =2;②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008+20091m= . 解:m+m 1=1⇒m 2-m+1=0⇒(m+1)(m 2-m+1)=0⇒m 3=-1⇒m 6=1⇒m 2008=m 4=-m,m 2009=m 5=m 1⇒m 2008+20091m=-m+m=0. 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x +)1990+(yx y +)1990的值是 . 解:x 2+xy+y 2=0⇒(y x )2+y x +1=0.令y x =ω⇒ω2+ω+1=0⇒ω3=1⇒(y x x +)1990+(y x y +)1990=19901990)1(ωω++1990)1(1ω+= 19902)(ωω-+19902)(1ω-=21ωω+=-1. ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x2006+y2006)的值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 73.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .解:若z ∈R,由x 10=1⇒x=±1.当x=1时,1+x+x 2+x 3+…+x2009+x2010=2011;当x=-1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x2010=1;若z ≠±1,由x 10=1⇒(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)=0⇒x 8+x 6+x 4+x 2+1=0⇒x 9+x 7+x 5+x 3+x=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x 10=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x2009+x 2010=1.4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 . 解:(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)⇒f(1)+ig(1)=(23+21i)2008=(-i)2008(-21+23i)2008=ω2008=ω=-21+23i ⇒f(1)=-21. 8.复数方程[例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:由韦达定理知α+β=-z 1,αβ=z 2+m ⇒28=|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|z 12-4z 2-4m|=|16+20i-4m|⇒|m-(4+5i)|=7⇒m 在以A(4,5)为圆心,7为半圆的圆上⇒|m|≥7-|OA|=7-41;|m|≤7+|OA|=7+41.[类题]:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+z 1为实数,则2z+z1的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________.解:设方程有实根x 0,则(x 02+λx 0+1)+(-x 02+x 0+λ)i=0⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++001020020λλx x x x ⇒(x 0+1)(λ+1)=0⇒x 0=-1⇒λ=2;λ=-1⇒x 02-x 0+1=0无实根,综上,λ=2;所以,有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为λ≠2.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 .解:z 4=z ⇒|z|4=|z |⇒|z|=0,1⇒z=0,z 5=z z ⇒z 5=1⇒z=cos52πk +isin 52πk (k=0,1,2,3,4) 4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .解:由z+z |z|3=0⇒z=-z |z|3⇒|z|=|-z |z|3|⇒|z|=|z |||z|3⇒|z|=|z|4⇒|z|=0,1;当|z|=0时,由z+z |z|3=0⇒z=0;当|z|=1时,由z+z |z|3=0⇒z+z =0⇒z 是纯虚数⇒z=±i. 5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos5π+isin5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=0 解:ω=cos5π+isin5π=cos102π+isin102π⇒ω,ω2,…,ω10是1的10个10次方根⇒(x-ω)(x-ω2)…(x-ω10)=x 10-1;又因ω2,ω4,ω6,ω8,ω10是1的5个5次方根⇒(x-ω2)(x-ω4)…(x-ω10)=x 5-1;两式相除得:(x-ω)(x-ω3)…(x-ω9)=x 5+1,其中ω5=cos π+isin π=-1⇒x-ω5=x+1⇒(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)=115++x x =x 4-x 3+x 2-x+1.选(B). 9.复数与点[例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:设点S 对应的复数为ω,由PQSR 为平行四边形⇒ω+z=(1+i)z+2z⇒ω=zi+2z ⇒|ω|2=(zi+2z )(-z i+2z)=5z z +2i(z 2-z 2)=5-4sin2θ≤9,当θ=43π时,等号成立⇒点S 到原点距离的最大值是3. 8 Y.P .M 数学竞赛讲座 [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为(用z 和z 表示). 解:设A(a,b)⇒B(22b a a +,-22b a b +)⇒直线AB:y-b=)1()1(2222-+++b a a b a b (x-a),令y=0⇒x=1222++b a a =1++z z z z .3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .解:|3||6|1i z z -++取最大值⇒|z+6|+|x-3i|取最小值⇒z 在线段x-2y+6=0(-6≤x ≤0)上;arg(z+3)=1350⇒z+3在射线y=-x(x ≤0)上⇒z 在射线y=-x-3(x ≤-3)上⇒z=-4+i.4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .解:设z=cos θ+isin θ⇒f(z)=|(z+1)(z -i)|=|[(1+cos θ)+isin θ][cos θ-(1+sin θ)i]|=|(1+cos θ)+isin θ||cos θ -(1+sin θ)i|=θcos 22+θsin 22+=2)sin 1)(cos 1(θθ++,为等腰三角形.10.模的意义[例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= . [解析]:设z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A,B,C,则四边形OACB 是平行四边形,且∠AOB=600⇒|z 1-z 2|=|AB|=7;|z 1+z 2|=|OC|=19⇒|2121z z z z -+|=7133.[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .解:易求得z 1+z 2+z 3=8+6i,于是|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|8+6i|=10,|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值,当且仅当(2-a):(1-b)= (3+2a):(2+3b)=(3-a):(3-2b)=8:6(四向量同向),解得a=37,b=45,所以3a+4b=12. ②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 . 解:i1993=i,i 1995=-i,|i 1993z 1+i1995z 2+2z 1z 2|=|i(z 1-z 2)+2z 1z 2|≥2|z 1z 2|-|z 1-z 2|≥3-(1+23)=21.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数4
4(1i)
(1i)++-=
．
2． 已知直线10x my -+=是圆2
2:4450
C x
y x y +-+-=的一条对
称轴，则实数
m =
.
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．
4． 已知1cos45
θ=，则4
4
sin cos θθ+= ． 5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b
与3-a b 表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ．
6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前
n 项和等于 ．
7． 设函数2
()2
f x x
=-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，
则ab 的取值范围是 ．
8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n
a
n n =∈N *
，
则[(2011)]f f = ．
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ． 10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m --+=有整数解，则m 所有可能的值
是 ．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆2
21
x
y +=与抛物线2
y x
h
=+有公共点，求实
数h 的取值范围．
12．设2
()(,)
f x x
bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在
区间(]2,3上的最大值为
1，求2
2
b
c +的最大值和最小值．
13．如图，P 是ABC V 内一点．
（1）若P 是ABC V 的内心，证明：1902
BPC BAC ∠=+∠o
； （2）若1902BPC BAC ∠=+∠o
且1902
APC ABC ∠=+∠o
，证明：P 是ABC V
的内心．
A
P
B C
14．已知α是实数，且存在正整数n0，0nα+
正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n nα+为
有理数．
2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数4
4(1i)(1i)++-=
．
答案：－8
基础题，送分题，高考难度 2． 已知直线10x my -+=是圆2
2:4450
C x
y x y +-+-=的一条对
称轴，则实数
m =
.
答案：32
- 基础题，送分题，高考难度
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）．
答案：19
145 基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错 4． 已知1cos45
θ=，则4
4
sin cos θθ+= ． 答案：45
计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度
5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b
与3-a b 表示的有向线段
为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案：103
可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案
6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前 n 项和等于 ． 答案：1(848)7
n
+ 高考难度级别，基础好的同学可以做出来 7． 设函数2
()2
f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，
则ab 的取值范围是 ．
答案：(0,2) 这是一道高考题
8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n
a
n n =∈N *
，
则[(2011)]f f = ． 答案：6
这也是一道高考题
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为
4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ． 答案：4 3 还是一道高考题
10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m --+=有整数解，则m 所有可能的值
是 ． 答案：3,14,30
这是2011年苏州市一模的第十四题。
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆2
21
x
y +=与抛物线2
y x
h
=+有公共点，求实
数h 的取值范围．
解：设公共点（cos θ，sin θ），代入抛物线方程，
得2
2
2
15
sin cos sin sin 1(sin )24
h θθθθθ=-=+-=+- 因为[]sin 1,1θ∈-，所以5,14h ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
简单，很简单 12．设2
()(,)
f x x
bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在
区间(]2,3上的最大值为
1，求2
2
b
c +的最大值和最小值．
解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()
f x
A P
在区间(]2,3上的最大值只能在闭端点取得，
故有(2)(3)1f f =≤，从而5b -≥且38c b =--． 若()0f x =有实根，则2
40
b c ∆=-≥，
在区间[]2,2-有
(2)0,(2)0,22,2
f f b
⎧
⎪-⎪
⎨⎪⎪-⎩≥≥≤≤即
420,
420,44,b c b c b -+⎧⎪
++⎨⎪-⎩
≥≥≤≤消去c ，解出
4,54,44,b b b ⎧-⎪⎪
-⎨⎪-⎪⎩
≤≤≤≤
即4b =-，这时4c =，且0∆=． 若()0f x =无实根，则2
40
b
c ∆=-<，将38c b =--代入解
得84b -<<-．
综上54b --≤≤． 所以2
2222(38)104864
b c b b b b +=+--=++，单调递减
故2
222min max ()32,()74
b
c b c +=+=．
注重分类讨论
13．如图，P 是ABC V 内一点．
（1）若P 是ABC V 的内心，证明：1902
BPC BAC ∠=+∠o
； （2）若1902BPC BAC ∠=+∠o
且1902
APC ABC ∠=+∠o
，证明：P 是ABC V 的内心． 证
明
：
（
1
）
111
180()180(180)90222
BPC ABC ACB BAC BAC
∠=-∠+∠=--∠=+∠o o o o
这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有
14．已知α是实数，且存在正整数n 0，0n α
+正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n n α+为
有理数． 0q
n p
α+，其中p ，q 为互质的正整数，
则2
02q n p α+=．
设k 为任意的正整数，构造2202n p k
qk n =++， 222220222q q n p k qk n p k qk pk p p αα+=+++=++=+∈Q ．
非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识
总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。
一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。
尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有份的，而且分很多。
比如最后一题，只要把他设出来，就有8分。