2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数4

4(1i)

(1i)++-=

．

2． 已知直线10x my -+=是圆2

2:4450

C x

y x y +-+-=的一条对

称轴，则实数

m =

.

3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率

是 （结果用最简分数表示）．

4． 已知1cos45

θ=，则4

4

sin cos θθ+= ． 5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b

与3-a b 表示的有向线段

为邻边的平行四边形的面积为 ．

6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前

n 项和等于 ．

7． 设函数2

()2

f x x

=-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，

则ab 的取值范围是 ．

8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n

a

n n =∈N *

，

则[(2011)]f f = ．

9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角

形的斜边长是 ． 10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m --+=有整数解，则m 所有可能的值

是 ．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆2

21

x

y +=与抛物线2

y x

h

=+有公共点，求实

数h 的取值范围．

12．设2

()(,)

f x x

bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在

区间(]2,3上的最大值为

1，求2

2

b

c +的最大值和最小值．

13．如图，P 是ABC V 内一点．

（1）若P 是ABC V 的内心，证明：1902

BPC BAC ∠=+∠o

； （2）若1902BPC BAC ∠=+∠o

且1902

APC ABC ∠=+∠o

，证明：P 是ABC V

的内心．

A

P

B C

14．已知α是实数，且存在正整数n0，0nα+

正有理数．

证明：存在无穷多个正整数n nα+为

有理数．

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1． 复数4

4(1i)(1i)++-=

．

答案：－8

基础题，送分题，高考难度 2． 已知直线10x my -+=是圆2

2:4450

C x

y x y +-+-=的一条对

称轴，则实数

m =

.

答案：32

- 基础题，送分题，高考难度

3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率 是 （结果用最简分数表示）．

答案：19

145 基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错 4． 已知1cos45

θ=，则4

4

sin cos θθ+= ． 答案：45

计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度

5． 已知向量a ，b 满足π2,,3==<>=a b a b ，则以向量2+a b

与3-a b 表示的有向线段

为邻边的平行四边形的面积为 ． 答案：103

可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案

6． 设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前 n 项和等于 ． 答案：1(848)7

n

+ 高考难度级别，基础好的同学可以做出来 7． 设函数2

()2

f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，

则ab 的取值范围是 ．

答案：(0,2) 这是一道高考题

8． 设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n

a

n n =∈N *

，

则[(2011)]f f = ． 答案：6

这也是一道高考题

9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为

4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角

形的斜边长是 ． 答案：4 3 还是一道高考题

10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m --+=有整数解，则m 所有可能的值

是 ． 答案：3,14,30

这是2011年苏州市一模的第十四题。

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11．已知圆2

21

x

y +=与抛物线2

y x

h

=+有公共点，求实

数h 的取值范围．

解：设公共点（cos θ，sin θ），代入抛物线方程，

得2

2

2

15

sin cos sin sin 1(sin )24

h θθθθθ=-=+-=+- 因为[]sin 1,1θ∈-，所以5,14h ⎡⎤

∈-⎢⎥⎣⎦

简单，很简单 12．设2

()(,)

f x x

bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在

区间(]2,3上的最大值为

1，求2

2

b

c +的最大值和最小值．

解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()

f x