解一元二次不等式 - 360文档中心

一元二次不等式公式解法

一元二次不等式公式解法一元二次不等式是指类似于ax+bx+c>0的不等式，其中a、b、c 为实数且a≠0。

解一元二次不等式的方法可以分为以下两种公式解法：1.配方法当a>0时，我们可以通过配方法将一元二次不等式转化为(x+m)+n>0的形式。

具体步骤如下：①将一元二次不等式转化为ax+bx+c≥0的形式。

②将a提出来，得到a(x+bx/a+c/a)≥0。

③将b/a的一半平方再减去c/a，得到(b/2a)-c/a=m，其中m为实数。

④将式子转化为a[(x+b/2a)-(b/2a)+c/a]≥0。

⑤将式子化简，得到(x+b/2a)+(4ac-b)/4a>0。

⑥将4ac-b表示为n，得到(x+b/2a)+n/4a>0。

⑦由于a>0，所以n>0，而完全平方数加上正数大于0，所以(x+b/2a)+n/4a>0，即(x+m)+n>0。

2.因式分解法当a<0时，我们可以通过因式分解法将一元二次不等式转化为(ax+b)(x+c)<0或(ax+b)(x+c)>0的形式。

具体步骤如下：①将一元二次不等式转化为ax+bx+c≤0或ax+bx+c≥0的形式。

②将a提出来，得到a(x+bx/a+c/a)≤0或a(x+bx/a+c/a)≥0。

③将x+bx/a+c/a表示为(x+d)(x+e)的形式，其中d、e为实数。

④当a<0时，(x+d)(x+e)>0；当a>0时，(x+d)(x+e)<0。

⑤当a<0时，解(x+d)(x+e)>0的方法为：找出实数d、e的大小关系，将实数轴分为三段，判断每一段上的符号，最后得到不等式的解集；当a>0时，解(x+d)(x+e)<0的方法为：找出实数d、e的大小关系，将实数轴分为三段，判断每一段上的符号，最后得到不等式的解集。

以上就是一元二次不等式的两种公式解法。

需要注意的是，在解一元二次不等式时，我们需要根据a的正负性和不等式的形式来选择不同的解法。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法在数学中，一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的二次不等式。

解一元二次不等式的方法可以通过图像法、代入法和判别法来实现。

本文将介绍这三种解法，并通过实例来说明其具体步骤。

图像法图像法是解一元二次不等式最直观的方法之一，它通过绘制一元二次函数的图像来找到不等式的解集。

下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明图像法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。

我们可以通过求解x的一元二次方程来得到根，即使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。

将方程x^2-4x+3=0代入求根公式中，得到x=1和x=3。

其次，在数轴上绘制一元二次函数y=x^2-4x+3的图像。

根据函数的开口方向和图像的凹凸性，我们可以确定函数在x<1和x>3的区间上为正值，即图像在该区间上位于x轴之上。

最后，根据不等式的正号，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。

代入法代入法是通过代入特定的数值来判断一元二次不等式的真假。

下面以一元二次不等式x^2-4x+3>0为例来说明代入法的解题步骤：首先，将不等式转化为方程x^2-4x+3=0，求出方程的根。

我们可以使用同样的方法得到x=1和x=3。

其次，选择一些特定的数值，代入一元二次不等式中，判断不等式的真假。

例如，选择x=0、x=2和x=4来代入不等式。

计算得到代入x=0时，不等式为3>0，代入x=2时，不等式为-1>0，代入x=4时，不等式为3>0。

根据计算结果，我们可以确定不等式在x<1和x>3的区间上为真。

最后，根据不等式的真假，我们可以得出一元二次不等式x^2-4x+3>0的解集为x<1或x>3。

判别法判别法是解一元二次不等式的一种常用方法，它利用一元二次不等式的判别式来确定不等式的解集。

一元二次不等式全部解法

一元二次不等式全部解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0或ax^2 + bx + c < 0的不等式，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。

要求解一元二次不等式，我们需要找到其解集，即使不等式成立的x的取值范围。

下面将介绍几种解一元二次不等式的方法。

方法一：图像法通过绘制二次函数的图像，我们可以直观地观察到不等式的解集。

以ax^2 + bx + c > 0为例，我们可以绘制出函数y = ax^2 + bx + c的图像，然后观察函数图像在x轴上的位置。

如果函数图像位于x轴上方，则不等式成立的x的取值范围为图像所在的区间；如果函数图像位于x轴下方，则不等式不成立的x的取值范围为图像所在的区间。

方法二：因式分解法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先通过因式分解将其转化为(ax + m)(ax + n) > 0的形式，其中m、n是已知实数。

然后根据乘积大于零的性质，我们可以得到两个因子同时大于零或同时小于零时不等式成立。

因此，我们需要解以下两个不等式：ax + m > 0和ax + n > 0，得到的解集再取交集，即为原不等式的解集。

方法三：配方法对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。

具体步骤如下：1. 将不等式移项，得到ax^2 + bx + c = 0的形式。

2. 根据二次方程的求根公式，求得方程的两个根x1和x2。

3. 根据二次函数的性质，我们可以得到该二次函数在x1和x2之间变号。

即对于ax^2 + bx + c > 0来说，当x在x1和x2之间时，不等式成立。

方法四：求解判别式对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，我们可以先求解对应的二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac。

根据判别式的值，我们可以得到不等式的解集：1. 当Δ>0时，二次方程有两个不相等的实根x1和x2，此时不等式成立的x的取值范围为x<x1或x>x2。

一元二次不等式的解法全

2 . (1) 当x 2 3或x 2 3时，y 0
(2) 当x〉2 3或x〈2 3时，y〉0
(3) 当2 〈3 x〈2 3时，y〈0
3. x | x 4或x 3
y
五、小结
o ●x1
● x2 x
（1）一元二次不等式的解集与一元二次方程
的解及其相应的二次函数的图像相对于轴的
位置密切相关.解题时要注意解题格式，头脑
有两个相
有两个不等实根 x1,x2(x1<x2)
等实根 x1=x2
ax2+bx的+c解>0集（a>0）﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x≠x1﹜
ax2+bx+c<0 (a>0) 的解集
﹛x|x1<x<x2﹜
Φ
无实根 R Φ
∆＝b2-4ac ∆>0
y
y∆=0 y ∆<0
二次函数 y=ax2+bx+c
以上四个不等式中我们规定了 a 0
如果题目中给出的不等式中二次项系数小于0，哪怎么办呢？对了，我们只要在不等式两边同乘-1，然后把不等式的方向改变一下，就可化为以上四种形式中的一种。
三、例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0 o －1/2 ●
●
2
x
解：因为∆>0，方程2x2－3x－2＝0 的解是
中要想象图像或划出草图.
（2）对于a<0的一元二次不等式可转化为
a>0的情形求解.
（3）一元二次不等式的解法是今后学习其他
不等式的基础，要求大家熟练掌握解法，准
确运算结果.
利用一元二次函数图象解一元二次不等式

一元二次不等式方程的解法

一元二次不等式方程的解法含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a不等于0),其中ax2+bx+c实数域上的二次三项式。

一元二次不等式的解法有哪几种?1、公式法可以解所有的一元二次方程，公式法不能解没有实数根的方程(也就是b²-4ac<0的方程)。

求根公式： x=-b±√(b2-4ac)/2a。

2、配方法比较简单：首先将方程二次项系数a化为1，然后把常数项移到等号的右边，最后后在等号两边同时加上一次项系数绝对值一半的平方。

3、数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴上，再用一条光滑的曲线，从x轴的右端上方起，依次穿过这些零点，大于零的不等式的解对应这曲线在x轴上方部分的实数x的值的集合，小于零的则相反。

这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。

口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。

”4、一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。

通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。

解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。

等式的基本性质：1、等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。

2、等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式。

用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式(不为0)。

3、不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变;4、不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变;5、不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变。

解一元二次不等式的基本方法

解一元二次不等式的基本方法一元二次不等式是指只含有一个变量的二次函数不等式。

解一元二次不等式的基本方法是通过化简、分析和绘制函数图像来确定不等式的解集。

一、化简不等式首先，将一元二次不等式化简为标准形式：ax^2+bx+c<0或ax^2+bx+c>0，其中a、b、c都是实数。

二、分析不等式1. 求解方程将不等式转化为等式，即将不等式中的大于号或小于号改为等号。

求解方程得到函数的零点，即找到函数的极值点。

2. 确定开口方向根据二次函数的系数a的正负来确定函数的开口方向。

- 当a>0时，函数的图像开口向上，代表抛物线在x轴的上方；- 当a<0时，函数的图像开口向下，代表抛物线在x轴的下方。

3. 分析不等式符号根据开口方向来分析不等式的符号：- 当开口向上时，不等式为大于号(>)；- 当开口向下时，不等式为小于号(<)。

4. 找出不等式的解集根据方程的解和函数的开口方向，找出不等式的解集：- 当不等式为大于号(>)时，解集为x满足x<x1或x>x2，其中x1和x2是方程的两个解。

- 当不等式为小于号(<)时，解集为x满足x1<x<x2，其中x1和x2是方程的两个解。

三、绘制函数图像通过绘制函数的图像，可以更直观地理解不等式的解集。

1. 绘制坐标轴确定横轴和纵轴的范围，并绘制出坐标轴。

2. 绘制函数图像根据一元二次函数的标准形式，通过计算并标出关键点，如顶点、x轴交点等，来绘制函数的抛物线图像。

3. 确定不等式解集根据抛物线的开口方向和不等式符号，确定不等式的解集在图像上的位置。

四、解决实际问题将一元二次不等式应用于实际问题时，需要将问题转化为数学模型，然后通过解不等式来得出问题的解集。

总结：解一元二次不等式的基本方法包括化简不等式、分析不等式、绘制函数图像和解决实际问题。

通过这些方法，我们可以准确地确定一元二次不等式的解集，帮助我们理解和解决数学和实际问题。

一元二次不等式6种解法大全

一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。

这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。

解法一：使用因式分解法。

对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。

解法二：使用它的图像解法。

将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。

解法三：使用开平方法。

对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。

首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。

解法四：使用代数求解法。

对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。

求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。

解法五：使用数轴法。

将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。

解法六：使用区间法。

将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。

以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。

在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是由一个二次方程构成的数学不等式，其形式通常为 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0。

解一元二次不等式需要运用一些特定的方法和原理，下面将介绍一些常用的解法。

1. 图像法图像法是一种直观的解一元二次不等式的方法。

首先，我们可以将不等式的左边化简成一个二次函数的形式，例如将 ax^2 + bx + c > 0 转化为 y = ax^2 + bx + c 的图像。

然后，通过观察图像的形状和位置，确定不等式的解集。

对于一元二次不等式 ax^2 + bx + c > 0，可以按照以下步骤使用图像法解答：a) 计算二次函数的顶点坐标 (-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中 f(x) = ax^2 + bx + c。

b) 如果 a > 0，表示二次函数开口向上，则解集为顶点坐标的右侧部分。

如果 a < 0，表示二次函数开口向下，则解集为顶点坐标的左侧部分。

c) 如果二次函数与 x 轴有交点，则解集还包括这些交点。

举例说明：假设要解一元二次不等式 x^2 + 4x + 3 > 0。

a) 通过计算，可得到顶点坐标为 (-2, -1)。

b) 由于 a > 0，解集为顶点坐标的右侧部分。

c) 二次函数与 x 轴的交点为 (-3, 0) 和 (-1, 0)。

因此，解集为 (-∞, -3) ∪ (-1, +∞)。

2. 因式分解法对于一元二次不等式，我们可以先将其因式分解为二次方程的形式，然后再解这个二次方程。

具体步骤如下：a) 将不等式左边移项，将其写成一个完全平方的形式，例如 a(x -r)(x - s) > 0 或 a(x - r)(x - s) < 0，其中 r 和 s 是待定系数。

b) 将方程 a(x - r)(x - s) = 0 求解，得到方程的根（解），记作 x = r和 x = s。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法在数学的学习中，一元二次不等式是一个重要的知识点，掌握它的解法对于解决各种数学问题和实际应用都有着关键的作用。

那到底什么是一元二次不等式呢？一元二次不等式就是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式。

要解决一元二次不等式，首先得了解一元二次方程。

形如$ax^2 ＋bx ＋ c ＝ 0$（其中$a ＼neq 0$）的方程就是一元二次方程。

而一元二次不等式的一般形式是$ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0$或者$ax^2 ＋ bx ＋ c ＜0$（其中$a ＼neq 0$）。

咱们先来看看怎么通过一元二次方程来求解一元二次不等式。

假设一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的两个根是$x_1$和$x_2$（＄x_1 ＜ x_2$），那么对应的一元二次函数$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$的图像与$x$轴的交点就是$（x_1, 0)＄和$（x_2, 0)＄。

当$a ＞ 0$时，如果$ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0$，那么不等式的解集就是$x ＜ x_1$或者$x ＞ x_2$；如果$ax^2 ＋ bx ＋ c ＜ 0$，解集就是$x_1 ＜ x ＜ x_2$。

当$a ＜ 0$时，情况就反过来了。

如果$ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0$，解集就是$x_1 ＜ x ＜ x_2$；如果$ax^2 ＋ bx ＋ c ＜ 0$，解集就是$x ＜x_1$或者$x ＞ x_2$。

接下来咱们通过一个具体的例子来看看怎么求解。

比如不等式$x^2 5x ＋ 6 ＞ 0$，首先我们把它对应的一元二次方程$x^2 5x ＋ 6 ＝ 0$求解出来。

通过因式分解可以得到$（x 2)（x 3) ＝ 0$，所以方程的根就是$x_1 ＝ 2$，＄x_2 ＝ 3$。

因为这里的二次项系数$a ＝ 1 ＞ 0$，所以不等式$x^2 5x ＋ 6 ＞0$的解集就是$x ＜ 2$或者$x ＞ 3$。

一元二次不等式6种解法大全

一元二次不等式6种解法大全
一元二次不等式有多种解法，以下是一些常见的解法：
1. 图像法：将一元二次不等式转化为图像，通过观察图像的变化来确定解的范围。

首先，将不等式转化为等式，再画出对应的抛物线图像，然后根据不等式的符号确定解的范围。

2. 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，得到一个或多个一次因子和一个二次因子。

然后，根据这些因子的正负确定不等式的解。

3. 求导法：对一元二次不等式两边同时求导数，得到一个一次方程。

然后，通过解这个一次方程得到不等式的解。

4. 完全平方式：将一元二次不等式进行变形，使其成为完全平方式。

然后，通过对方程两边取平方根，得到不等式的解。

5. 化简法：将一元二次不等式进行化简，整理为一个或多个一次项和一个常数项的形式。

然后，根据这些项的符号确定不等式的解。

6. 区间法：将一元二次不等式转化为一个或多个区间，并确定每个区间内的解的情况。

然后，将这些区间的解合并，得到不等式的解集。

以上是一些常见的一元二次不等式的解法，具体使用哪种解法取决于不等式的形式和题目要求。

在解题过程中，可以根据需要选择适合的方法进行求解。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指一个未知数的二次函数与一个数之间的关系式，其形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。

解一元二次不等式的关键是找到其解集，即满足不等式的所有实数解。

本文将介绍两种常用的一元二次不等式的解法：图像法和区间法。

一、图像法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。

例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。

2. 绘制出对应一元二次函数的图像，并标出顶点。

对于一元二次函数y = ax² + bx + c，其图像是一个抛物线。

顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-x₀) = f(-b/2a)。

3. 根据一元二次不等式的符号确定解集。

若a > 0，表示抛物线开口向上，此时对应不等式的解集是(x < x₀) ∪ (x > x₁)。

若a < 0，表示抛物线开口向下，此时对应不等式的解集是(x₀ < x < x₁)。

二、区间法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。

例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。

2. 求出一元二次函数的判别式Δ = b² - 4ac的值，并根据Δ的正负确定解集。

若Δ > 0，则对应不等式的解集是(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)。

若Δ = 0，则对应不等式的解集是(-∞, x) ∪ (x, +∞)。

若Δ < 0，则对应不等式的解集为空集。

需要注意的是，使用图像法和区间法时必须要了解一元二次函数的图像特征和判别式的意义。

另外，在求解过程中，可以运用一些常用的数学知识，如因数分解、配方法等，以便更快地得到解集。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指包含一个未知数的二次函数不等式，其解的范围通常是实数集合中的某个区间。

解决一元二次不等式问题需要运用一些基本的数学原理和方法。

本文将介绍几种常见的一元二次不等式的解法。

1. 图形法解一元二次不等式图形法是解决一元二次不等式的一种直观方法。

我们可以通过绘制一元二次函数的图像来观察其解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）绘制该二次函数的图像，并标出函数图像上的关键点，如顶点、交点等；3）根据函数图像的特征，确定不等式的解的范围。

2. 因式分解法解一元二次不等式因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。

通过将不等式转化为因式的形式，可以更方便地确定解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将二次函数因式分解为一元一次函数的乘积，得到因式表达式；3）根据因式表达式的性质，确定不等式的解的范围。

3. 完全平方式解一元二次不等式完全平方式也是解决一元二次不等式的一种常用方法。

通过完全平方式，可以将不等式转化为平方形式，从而更容易确定解的范围。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）将一元二次函数利用完全平方式转化为平方（二次）表达式；3）根据平方表达式的性质，确定不等式的解的范围。

4. 配方法解一元二次不等式配方法是解决一元二次不等式的另一种有效方法。

通过进行配方法，可以将一元二次不等式转化为二次函数的平方差形式，从而简化求解过程。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式转化为二次函数的形式，确保不等式的右边为0；2）运用配方法，将二次函数转化为平方差的形式；3）根据平方差的性质，确定不等式的解的范围。

综上所述，一元二次不等式的解法包括图形法、因式分解法、完全平方式和配方法等多种方法。

在具体解题过程中，可以根据实际情况选择合适的解法。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次不等式，通常形式为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法主要有以下几种：图像法、代数法和判别法。

一、图像法1. 绘制一元二次函数的图像：根据不等式的形式，确定二次函数的开口方向（a的正负），以及顶点的横坐标、纵坐标（b和c的值）。

2. 根据不等式的符号（大于或小于），确定图像与x轴的关系，即求解函数值大于0或小于0的区间。

3. 根据求解得到的区间，直观地表示出不等式的解集。

二、代数法1. 化简一元二次不等式：通过合并同类项、配方等方法，将二次不等式化简为标准形式，即ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0。

2. 求解方程：将不等式转化为等式，即ax^2+bx+c=0，并求解得出方程的根。

3. 利用根的性质：通过根的位置和值的正负判断方程在不等式中的取值情况，从而确定不等式的解集。

三、判别法1. 计算判别式：根据二次不等式的形式，计算出判别式Δ=b^2-4ac。

2. 根据判别式的值判断解集：a) 当Δ>0时，二次不等式有两个不同的实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集；b) 当Δ=0时，二次不等式有且仅有一个实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集；c) 当Δ<0时，二次不等式没有实数根，根据系数的正负关系，可得出不等式的解集。

综上所述，一元二次不等式的解法包括图像法、代数法和判别法。

根据具体情况，选择合适的方法求解可以快速得到一元二次不等式的解集。

通过掌握这些解法，我们能够更加灵活地处理和求解各种形式的一元二次不等式，提高数学问题的解决能力。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形式为ax^2 + bx + c > 0 (或ax^2 + bx + c < 0)的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

要解一元二次不等式，需要通过一系列的步骤来确定其解集。

步骤一：将一元二次不等式的左边转化为一个二次函数f(x)。

根据一元二次不等式的形式，我们可以将其左边的项看作是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c。

这个二次函数的图像可能是一个抛物线开口向上，也可能是开口向下。

步骤二：求出二次函数f(x)的零点。

为了求出二次函数f(x)的零点，我们需要将其转化为标准形式。

标准形式是指f(x) = a(x - h)^2 + k，其中(h, k)为抛物线的顶点坐标。

步骤三：根据二次函数f(x)的开口方向，确定一元二次不等式的解集。

如果二次函数f(x)开口向上，即a > 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线上方的区域。

如果二次函数f(x)开口向下，即a < 0，那么一元二次不等式的解集是抛物线下方的区域。

步骤四：根据一元二次不等式的形式，找出它的解集。

通过分析图像和零点，我们可以进一步确定一元二次不等式的解集。

例如，考虑不等式x^2 - 3x + 2 > 0。

首先，我们将不等式左边的项转化为二次函数f(x) = x^2 - 3x + 2，然后求出其零点。

将f(x)转化为标准形式可以得到f(x) = (x - 1)(x - 2)，则它的零点是x = 1和x = 2。

这意味着抛物线与x轴相交于点(1, 0)和(2, 0)。

由于a = 1 > 0，我们知道抛物线开口向上。

因此，不等式的解集是抛物线上方的区域。

我们可以通过测试f(x)在零点以及零点左右的取值来进一步确定解集。

当x < 1时，抛物线在x轴上方，因此f(x) > 0；当1 < x < 2时，抛物线在x轴下方，因此f(x) < 0；当x > 2时，抛物线再次在x轴上方，因此f(x) > 0。

一元二次不等式解法

3．2 一元二次不等式及其解法求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集．第一步：解方程052=-x x ，得,0=x 或5=x ；第二步：画出抛物线x x y 52-=的草图；第三步：根据抛物线的图象，可知052<-x x 的解集为}50|{<<x x ．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2ax bx +之间的关系：1(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥； (3) 2210x x -+<； (4) 2220x x -+<．解：(1)方程27120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2712y x x =-+的图象，可得原不等式27120x x -+>的解集是{|34}x x x <>或．(2)不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2230x x +-≤．方程2230x x +-=的解为123,1x x =-=．根据223y x x =+-的图象，可得原不等式2230x x --+≥的解集是{|31}x x -≤≤．(3)方程2210x x -+=有两个相同的解121x x ==．根据221y x x =-+的图象，可得原不等式2210x x -+<的解集为∅．(4)因为0∆<，所以方程2220x x -+=无实数解，根据222y x x =-+的图象，可得原不等式2220x x -+<的解集为∅．归纳解一元二次不等式的步骤：（1）二次项系数化为正数；（2）解对应的一元二次方程；（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集．思考：（1）求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++<>的过程，怎样用流程图来描述？（2）求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的过程，怎样用流程图来描述？(3)不等式20(0)ax bx c a ++<<和20(0)ax bx c a ++><的解法？说明：对于例1（１），将其转化为一次不等式（组）来求解，这种求法不仅体现了化归思想，而且更有一般性．【补充】例1.（1）解不等式073<+-x x ；（2）解不等式2317x x -<+；（3）解不等式2202x x x +-<-．解:(1)原不等式⎩⎨⎧>-<+⎩⎨⎧<->+⇔03,0703,07x x x x 或{|73}x x ∴-<< ({|73}x x ∴-<≤) (2)1007x x -<+即{|710}x x ∴-<< (3)分析：据实数运算的符号法则，可以化为不等式组求解.原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集：(1)⎩⎨⎧>-≥--;01,0122x x x (2)⎩⎨⎧<-≤--.01,0122x x x(1)1(2)1 1.x x ≥≤<解得解得所以原不等式的解集是{|11x x <或1x ≥．说明：本题是将一个比较复杂的不等式转化为不等式组进行求解，在解的过程中应注意何时取交集，何时取并集．在这里，集合知识得到了进一步应用．例2．解下列不等式：①423100x x --<； ②6x ； ③2230x x -->例1．用一根长为100m 的绳子能围成一个面积大于2600m 的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？解：设矩形一边的长为()x m ，则另一边的长为50()x m -，050x <<．由题意，得(50)600x x ->，即2506000x x -+<．解得2030x <<．所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于2600m 的矩形．用S 表示矩形的面积，则2(50)(25)625(050)S x x x x =-=--+<<．当25x =时，S 取得最大值，此时5025x -=．即当矩形的长、宽都为25m 时，所围成的矩形的面积最大．例2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x 件与货价p 元／件之间的关系为1602p x =-，生产x 件所需成本为50030C x =+元，问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元？解：由题意，得(16002)(50030)1300x x x --+≥，化简得2659000x x -+≤，解之得2045x ≤≤．因此，该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元．例3．解关于x 的不等式2(2)20x a x a -++<. 补充练习：①求不等式的解集:22120x ax a --< ②2106511x x -≤+-≤．例1.已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值．解：不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的两个实数根，∴由韦达定理知：5151m n -+=⎧⎨-⨯=⎩∴45m n =-⎧⎨=-⎩．例3．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围．解： 2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数，2m ∴≠二次函数的值恒大于零，即2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ．200m ->⎧∴⎨∆<⎩，即224(2)16(2)0m m m >⎧⎨---<⎩，解得：226m m >⎧⎨<<⎩ m ∴的取值范围为{|26}m m <<（2m =适合）．归纳：一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩． 20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔00a <⎧⎨∆<⎩．补充： 2．不等式02x ax->-的解集为{|22}x x -<<，求不等式20x x a ++>的解集；。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法引言一元二次不等式是数学中常见的一类问题，解决一元二次不等式可以帮助我们确定变量的取值范围，进而解决实际问题。

本文将介绍一元二次不等式的解法，包括代入法、求值法以及图像法。

代入法代入法是解决一元二次不等式的一种常用方法。

该方法的基本思想是通过逐个地代入可能的解，从而找到满足不等式的解。

以一元二次不等式x2−5x+6<0为例，我们可以通过代入法来解决。

首先，我们需要找到该不等式的零点，即x2−5x+6=0。

解这个方程可以得到x=2和x=3两个解。

接下来，我们选择代入两个解的中间值x=2.5，代入原来的不等式，即(2.5)2−5(2.5)+6<0。

计算得到2.5<0，不满足该不等式。

然后，我们选择代入两个解的两边值x=2，代入原来的不等式，即(2)2−5(2)+6<0。

计算得到2>0，也不满足该不等式。

最后，我们选择代入两个解的另一边值x=3，代入原来的不等式，即(3)2−5(3)+6<0。

计算得到3<0，符合该不等式。

因此，根据代入法，我们可以得出不等式x2−5x+6<0的解为2<x<3。

求值法求值法是解决一元二次不等式的另一种常用方法。

该方法的基本思想是通过判断不等式在每个可能的解点的取值情况，从而找到满足不等式的解。

以一元二次不等式x2−4x−5>0为例，我们可以通过求值法来解决。

首先，我们需要找到该不等式的零点，即x2−4x−5=0。

解这个方程可以得到x=−1和x=5两个解。

接下来，我们选择零点的两边值x=−2，代入原来的不等式，即(−2)2−4(−2)−5>0。

计算得到15>0，满足该不等式。

然后，我们选择零点的两边值x=0，代入原来的不等式，即(0)2−4(0)−5>0。

计算得到−5>0，不满足该不等式。

最后，我们选择零点的两边值x=6，代入原来的不等式，即(6)2−4(6)−5>0。

一元二次不等式的解法

一元二次不等式的解法一元二次不等式是数学中常见的一种不等式类型，涉及到一个未知数的平方，通常可以表示为ax^2 + bx + c < 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

解决一元二次不等式的关键在于找到其解集，即满足不等式的x的取值范围。

本文将介绍两种常用的解法：因式分解法和判别式法。

一、因式分解法因式分解法是解决一元二次不等式的常用方法之一。

其主要思路是将不等式左侧转化为一个或多个二次因子的乘积，并通过每个因子的正负确定不等式的取值范围。

例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 \geq 0，可以通过因式分解将其转化为(x - 2)(x - 3) \geq 0。

根据因子的正负确定不等式的解集。

由于(x -2)(x - 3)为两个因子的乘积，因此只有在这两个因子同时为非负或同时为非正的情况下，不等式才成立。

首先考虑(x - 2) \geq 0，解得x \geq 2；然后考虑(x - 3) \geq 0，解得x \geq 3。

因此，不等式的解集为x \geq 3。

二、判别式法判别式法是解决一元二次不等式的另一种常用方法。

其基本思想是通过求解一元二次不等式对应二次方程的判别式来确定不等式的解集。

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c < 0，首先计算其对应的二次方程的判别式，记作\Delta = b^2 - 4ac。

若\Delta > 0，则二次方程有两个不相等的实数解，此时不等式的解集为x < \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} 或 \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} < x。

若\Delta = 0，则二次方程有两个相等的实数解，此时不等式的解集为x = \frac{-b}{2a}。

若\Delta < 0，则二次方程无实数解，此时不等式无解。

举个例子，考虑不等式x^2 - x - 6 > 0。

计算其对应的二次方程的判别式：\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25。

一元二次不等式的求解

一元二次不等式的求解一元二次不等式是数学中的重要内容，求解一元二次不等式可以帮助我们解决实际问题，同时也可以提高我们的数学思维和解题能力。

本文将介绍一元二次不等式的基本概念、求解方法和一些实例。

一、基本概念一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次不等式。

一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0（或< 0），其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

二、不等式的解集表示不等式的解集可以用区间表示法或者图像表示法。

区间表示法将解集表示为满足不等式的实数的集合。

图像表示法则是将不等式转化为图像，在数轴上表示解集。

通常使用开集表示、“∪”表示并集、“∩”表示交集。

三、求解一元二次不等式的方法1. 图像法求解一元二次不等式的一个简单方法是使用图像法。

首先将不等式转化为等式，然后绘制对应的二次曲线。

根据二次曲线的位置和形状，确定不等式的解集。

最后将曲线与x轴的交点转化为区间表示。

2. 因式分解法对于一元二次不等式，如果可以将其原式进行因式分解，可以更快地求解。

首先将一元二次不等式转化为等式，然后对原式进行因式分解。

根据因式分解后的形式，判断不等式的解集。

3. 辅助变量法辅助变量法是一种比较常用的求解一元二次不等式的方法。

通过引入一个辅助变量，将一元二次不等式转化为一元二次方程，然后求解方程，最后根据原始不等式的条件确定解集。

4. 定理法对于特定形式的一元二次不等式，可以使用一些定理来求解。

例如，严格凸曲线定理、按顺序两次交点、开口向上或向下等定理，可以帮助我们确定解集。

四、实例解析接下来，我们通过一些实例来理解一元二次不等式的求解过程。

1. 求解不等式x^2 - 4x - 5 > 0。

首先，我们使用图像法绘制二次曲线y = x^2 - 4x - 5的图像。

然后，通过观察图像，我们可以看到曲线与x轴的交点为x = -1和x = 5，因此，不等式的解集为(-∞, -1)∪(5, +∞)。

一元二次不等式的解法

课后练习
练习
解下列不等式：
(1)3 x 2 5 x 0 ( 2) x 2 2 x 3 0 (3) x 2 4 x 4 0
解：设花卉带的宽为 x,,(0<x<3)
1 (8 2 x)( 6 2 x) 8 6 2
x
x 6-2x
x 7x 6 0
2
6
x 1或x 6
0 x 1
x
8-2x
x
8
答：花卉带的宽度取值范围是 0 x 1。
b 2 4ac
二次函数
y ax2 bx c (a 0)
解集为R
结束
四、求一元二次不等式的步骤
解一元二次不等式的步骤是：（1）把不等式化成a>0的一般形式。 (2) 判定对应方程的△与0的关系。（3）求出四解”
五、课堂小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式。
2.用类比法研究一元二次不等式的解法。 3.三个二次的关系。 4.一元二次不等式的解题步骤。 5.数学思想：数形结合的思想。
x x
1 x x2

R
三、学生活动
开始
将原不等式化成一般形式 ax2+bx+c>0(a>0)
b 2 4ac
_______? 是求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2 否
0
方程ax2+bx+c=0没有实根
x1=x2?
是解集为｛x｜x≠-b/2a｝否解集为｛x｜x<x1或x>x2｝
x1 1, x2 6
x2
X
Y
y0 x 1或x 6 时， (2)当 x 取__________