非稳态导热例题

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非稳态导热例题

“非稳态导热”例题例题1：一温度为20℃的圆钢，长度为0.3m ，直径为60mm ，在一温度为1250℃的加热炉内被加热。

已知圆钢的导热系数为35 W/(m ∙K)，密度为7800kg/m 3，比热容为0.460J/(kg ∙K)，加热炉长为6m ，圆钢在其中匀速通过，其表面和炉内烟气间的表面传热系数为100 W/(m 2∙K)。

现欲将该圆钢加热到850℃，试求该圆钢在加热炉内的通过速度。

解特征尺寸A V /为m 0136.0)1060(14.3413.0)1060(14.33.0)1060(14.3414124133322=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯+=---d dL L d A V πππ 则毕渥数v Bi 为05.0211.01.0039.0350136.0100)/(v =⨯=<=⨯==M A V h Bi λ 因此可以采用集总参数法求解。

θθρτ0ln hA cV= 即s548.14 1250850125020ln 100)10460.0(78003=--⨯⨯=τ则该圆钢在加热炉内的通过速度为m /s 0109.014.5486===τL v例题2：两块厚度均为30mm 的无限大平板，初始温度为20℃，分别用铜和钢制成。

平板两侧表面的温度突然上升至60℃，计算使两板中心温度均达到56℃时两板所需时间之比。

已知铜和钢的热扩散率分别为610103-⨯m 2/s 和6109.12-⨯m 2/s 。

(125.0==铜钢钢铜a a ττ)例题3：无内热源、常物性的二维导热物体在某一瞬时的温度分布为x y t cos 22=。

试说明该导热物体在x =0，y =1处的温度是随时间增加而逐渐升高，还是逐渐降低？例题4：一初始温度为20℃的钢板，厚度为10cm ，密度为为7800kg/m 3，比热容为460.5 J/(kg ∙K)，导热系数为53.5W/(m ∙K)，放置到温度为1200℃的加热炉中加热，钢板与烟气间的表面传热系数为407 W/(m 2∙K)。

非稳态传热计算方法及举例

题目一厚度为0.1m的无限大平壁，两侧均为对流换热边界条件，初始时两侧流体温度与壁内温度一致，t f1=t f2=t0=5℃；已知两侧对流换热系数分别为h1=11 W/m2K、h2=23W/m2K, 壁材料的导热系数 =0.43W/mK，导温系数a=0.3437×10-6 m2/s。

如果一侧的环境温度t f1突然升高为50℃并维持不变，计算在其它参数不变的条件下，平壁内温度分布及两侧壁面热流密度随时间的变化规律（用图形表示）。

问题分析此题为两侧受恒温流体作用,并求其从非稳态传热过程温度场到接近稳态传热的温度场,并算出其热流密度随时间的变化规律。

解法建立离散方程及求解将平板分割成如下网格：共计10个网格，11个节点，以恒温流体1处为节点1，恒温流体2处为节点11。

列写节点方程，边界条件皆为恒温流体传热，初始条件为5摄氏度。

以此对每个单独时刻进行求解，解出该时刻各节点的温度，并在此解的基础上进一步解出之后各时段的温度解，进行迭代计算，直到满足时间要求为止。

非稳态传热计数器计算过程使用Excel实现，具体做法是利用Excel进行解方程，并求出温度解。

因使用10个网格，故方程类型为10元1次方程组，也就是说每个时刻都有10个方程必须联立求解，使用Excel的行列式计算能很容易地用克拉姆方法解出该方程。

之后用该组温度解进行下一次迭代运算，如此反复，直到满足题设要求。

具体的温度求解请查阅非稳态传热计算器.xlsx 文件，为了要求计算器的整洁美观，繁琐的计算过程使用Hide功能隐藏，若需查阅解除Hide指令即可。

使用计算器时仅需输入相关系数，并输入合适的时间步长即可，计算器将按给定的参数计算出平板在之后各个时刻各节点上的温度值。

计算器将列出各节点的温度值随时间变化的计算表格，同时输出三种图形：平板内各节点温度随时间变化规律，平板内各节点温度在某一时刻的变化规律及平板壁面热流密度随时间变化规律。

计算器使用实例（按作业题目要求）两侧受恒温流作用无限大平板非稳态传热计算器(沿轴向分为10个网格)请输入相关参数平板内各节点温度随时间变化规律节点0秒30秒60秒90秒120秒150秒15.00 7.74 9.51 10.78 11.77 12.5825.00 5.656.487.318.08 8.7935.00 5.16 5.45 5.836.26 6.7145.00 5.04 5.13 5.28 5.48 5.7155.00 5.01 5.04 5.09 5.17 5.2865.00 5.00 5.01 5.03 5.06 5.1075.00 5.00 5.00 5.01 5.02 5.0485.00 5.00 5.00 5.00 5.01 5.0195.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00105.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00115.00 5.00 5.00 5.00 5.00 5.00 平板壁面热流密度随时间变化规律节点0秒30秒60秒90秒120秒150秒1 0.50 0.46 0.45 0.43 0.42 0.4111 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00热流密度方向为向右流动为正值，向左流动为负值。

公用设备工程师-专业基础(暖通空调、动力)-传热学-2.3非稳态导热

公用设备工程师-专业基础（暖通空调、动力）-传热学-2.3非稳态导热[单选题]1.在非稳态导热过程中，瞬态导热过程根据温度的变化特性可以分为三个不同的阶段，下列说法中不正确的是()（江南博哥）。

[2014年真题]A.在0.2＜Fo＜∞的时间区域内，过余温度的对数值随时间线性变化B.Fo＜0.2的时间区域内，温度变化受初始条件影响最大C.最初的瞬态过程是无规则的，无法用非稳态导热微分方程描述D.如果变化过程中物体的Bi数很小，则可以将物体温度当作空间分布均匀计算正确答案：C参考解析：非稳态的三个阶段中，初始阶段和正规状态阶段是以傅里叶数Fo＝0.2为界限。

A项，在正规状态阶段（0.2＜Fo＜∞），过余温度的对数值随时间按线性规律变化；B项，Fo＜0.2为初始阶段，该阶段内受初始条件影响较大，且各个部分的变化规律不相同；C项，非稳态的导热微分方程在描述非稳态问题时并未有条件限制，即便是最初阶段也是可描述的；D项，毕渥准则数Bi 为导热热阻与对流热阻的比值，当Bi较小时，说明物体的导热热阻接近为零，因此可以将物体温度当作空间分布均匀计算。

[单选题]2.当固体导热过程Bi数趋于无限大时，描述该物体导热性质的正确说法是()。

[2016年真题]A.物体温度可以近似等于流体温度B.物体内部导热能力远大于物体换热能力C.物体内部温度变化速度相对较快D.边界壁面温度等于流体温度正确答案：D参考解析：毕渥准则（Bi＝hδ/λ）表示物体内部导热热阻（δ/λ）与物体表面对流换热热阻（1/h）的比值，固体导热过程Bi数趋于无限大时，导热热阻远远大于对流换热热阻，这意味着表面传热系数趋于无限大，即对流换热的热阻趋于零，但内部导热热阻的大小无法确定，这时物体的表面温度几乎从冷却过程一开始便立即降低到流体的温度，即边界壁面温度等于流体温度，而物体内部的温度变化未可知。

D.对于普通圆柱体L＝R，R为半径正确答案：D参考解析：毕渥准则的公式为：Bi＝hL/λ。

非稳态导热例题_527806118

非稳态导热问题例：一厚46.2mm温度278K的奶油，由冷藏室移至298K环境中，奶油盛于容器中，顶面与环境接触，各侧面及底面均绝热，试计算5小时后，奶油顶面、中心面及底面的温度。

k=0.197w/m.k,C=2300J/kg.K,ρ=998kg/m3, h=8.52w/m2.K例：一直径较大的火箭发动机喷管，壁厚8mm，密度8600kg/m3，k=26w/m.K，C=545J/kg.K，在静态实验中初始温度27°C的管壁与此1800°C的高温燃汽接触，h=2050w/m2.K，若壁面能承受最高温度为1010°C，假设外侧完全绝热，试求火箭发动机能允许运行的时间。

例：直径50mm长1.2m的轴，在炉内加热达到均匀温度427°C，将其一端面投入38°C的冷却剂中淬火，轴表面与冷却剂之间的h为340w/m2K, 若轴的k=26w/m.K，α=0.031m2/h，求出1.25分钟后轴距表面0.01m处的温度（以及端面的中心温度）例：钢锭尺寸长0.5m, 宽0.7m, 高1m，k=40.5w/m.K, α=0.722×10-5m2/s, 求钢锭置入炉温1200°C的加热炉中4小时后最低温度和最高温度之差，其初始温度为20°C，h=348w/m2.K。

例：某材料用热处理法进行改性，如果该材料加工成5mm半径的球体，在炉内加热到400o C，将其从炉内移出进行两步冷却。

第一步移出后在20o C的空气中冷却经历一段时间ta, 使球体的中心温度达到335o C，如果对流换热系数为10w/m2k ；第二步是将第一步冷却后球体放到20o C的水浴中进行冷却，若对流换热系数为6000/m2k。

试计算（1）第一步需要的时间；（2）第二步将中心温度从335o C降至50o C所需要的时间。

,3/30006−1000,/==ρ20==α×10kkgKWmKsmJc.6,66kg/2m/。

传热学-非稳态导热2

二、无限长直角柱体、有限长圆柱体和六面体
1、无限长直角柱体中的瞬态导热
2x 2y
可以证明：无限长直角柱体
的温度场是这两块无限大平
壁温度场的乘积
可以看成是厚度为2δx 和厚度
为2δy 的两块无限大平壁垂直
相交形成的
在室外综合温度t e 的周期波
波动振幅：温度波动的最
大值与平均值之差
m
max t t A −=由上图：综合温度振幅：37.1度；屋顶外表面温度振幅：28.6度屋顶内表面温度的振幅：4.9度
——温度波的衰减
不同地点温度最大值出现的时
间不同：
综合温度最大值—中午12点
12点半
16点
大值约在22点左右出现——时间延迟
迟的现象——时间延迟
夏天晚上人们喜欢在室外乘凉，原因何在？故宫的墙壁厚度很厚，为什么？——温度波的衰减
实测综合温度简谐波
随着x 的增大，振幅是衰减的——物体材料对温度波的阻尼作用
深度越深，振幅衰减越甚——当深度足够大时，温认为终年保持不变——等温层
360087602.3×T x
⎛−
x
ππ
2
λ
0w ==A A ϕD 45=ψ时 022
=λaT
h ⇒↑ 2aT h。

非稳态导热——精选推荐

第三章非稳态导热复习题1.何谓正常情况阶段,这一阶段的特点是什么?2.何谓集总参数分析,应用这种方法的条件是什么?应怎么选择定型尺寸?3.试举例说明温度波的衰减和延迟性质.4.用不锈钢做底板的家用电熨斗初始时处于室温t f。

当开关接通后,电热器在底板内以q v W/m3的强度发热。

不锈钢的热物质性参数ρ, c 和λ均为已知,不锈钢的体积为V,暴露于空气中的表面积为A,该表面与空气之间的表面传热系数为h,试用集总参数法分析电熨斗底板温度变化T(τ).5.一热电偶的热结点直径为0.15mm,材料的比热容为420J/(k g·k),密度为8400kg/m3,热电偶与流体之间换热的表面传热系数为58W/(㎡·k)和126W/(㎡·k),计算热电偶在这两种情形的时间常数.6.一温度计的水银泡呈圆柱形,长为16mm,直径为3mm,已知水银的比热容为138J/(k g·k),密度为13540kg/m3,已知水银泡与流体之间换热的表面传热系数为12W/(㎡·k),计算该温度计的时间常数,试比较热电偶与水银温度计的时间常数.7.热电偶的热结点近似认为是直径0.5m的球形,热电偶材料的=8930kg/m3,c=400J/(k g·k)。

热电偶初始温度为25℃,突然将其放入120℃的气流中,热电偶表面与气流间的表面传热系数h=95W/(㎡·k),试求热电偶的过余温度达到初始过余温度的1%时所需的时间为多少?这时热电偶的指示温度为多少?8. 一钢板厚度为3mm,面积为1×1㎡,初始温度均匀为300℃,放置于20℃的空气中冷却。

已知钢板的导热系数为λ=48.5W/(m·k),热扩散率a=12.7×10-6㎡/s,板与空气之间的表面传热系数h=39W/(㎡.K),问需要多长时间钢板才能降低至50℃。

9. 一不锈钢板厚度0.15m，初始温度为20℃,放置在温度为1200℃的炉内加热，已知不锈钢的热扩散率为3.95×10-6㎡/s ，钢板在炉内的表面传热系数为250W/（㎡·k）,试确定钢板加热到800℃时需要的多少时间？10.将初始温度为80℃，直径为20mm的紫铜棒，突然横置于气温为20℃，流速为12m/s的风道中，5min后紫铜棒表面温度降34℃，已知紫铜的密度ρ=8954 kg/m3,c=383.1J/(k g·K), λ=386W/(m·k) , 试求紫铜棒与气体之间的表面传热系数。

第3章非稳态热传导

第3章非稳态热传导课堂讲解课后作业【3-7】如图所示，一容器中装有质量为m 、比热容为c 的流体，初始温度为t 0。

另一流体在管内凝结放热，凝结温度为t 1。

容器外壳绝热良好；容器中的流体因有搅拌器的作用而可认为任一时刻整个流体的温度都是均匀的。

管内流体与容器中流体间的总传热系数k 及传热面积A 均为以知，k 为常数。

试导出开始加热后任一时刻τ时容器中流体温度的计算式。

【解】按集总参数处理，容器中流体温度由下面的微分方程式描述ct ρΦτ =d d 界面上交换的热量折算成整个物体的体积热源()1t t Ak V -=-Φ 代入上式 ()cV t t Ak t ρτ1d d --=()1d d t t Ak t cV --=τρ 引入过余温度1t t -=θ，则θτθρAk cV -=d d 过余温度的初始条件为()0100θθ=-=t t 采用分离变量τρθθd d cVAk -= 对τ从0到τ积分，得⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τθτρθθ00d d cV Ak τρθθcV Ak -=0ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τρθθcV Ak exp 0由于V m ρ=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--τmc Ak t t t t exp 101 ()110exp t mc Ak t t t +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=τ【3-12】一块单侧表面积为A 、初温为t 0的平板，一侧表面突然受到恒定热流密度q 0的加热，另一侧表面受到初温为t ∞的气流冷却，表面传热系数为h 。

试列出物体温度随时间变化的微分方程式并求解之。

设内阻可以不计，其他的几何、物性参数均已知。

【解】由题意，物体内部热阻可以忽略，温度只是时间的函数，按集总参数处理，一侧恒热流加热和另一侧的对流换热作为内热源处理。

物体温度由下面的微分方程式描述ct ρΦτ =d d 界面上交换的热量折算成整个物体的体积热源()∞--=t t hA A q V 0Φ代入上式 ()[]c V t t hA A q t ρτ∞--=0d d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∞h q t t hA t cV 0d d τρ 引入过余温度hq t t 0--=∞θ，则 θτθρhA cV -=d d 过余温度的初始条件为()0000θθ=--=∞hq t t 采用分离变量τρθθd d cVhA -= 对τ从0到τ积分，得⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τθτρθθ00d d cV hA τρθθcV hA -=0ln ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=τρθθcV hA exp 0 由于V m ρ=，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----∞∞τρcV hA hq t t h q t t exp 000 h q t cV hA h q t t t 000exp ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞∞τρ【3-17】等离子喷镀是一种用以改善材料表面特性（耐腐蚀、耐磨等）的高新技术。

第四章非稳态导热(5)14

④ 某一时刻物体表面的热流量或从某一时刻起经一定时间后表面传递的总热量。
5
2）求解方法：主要有分析解法、数值解法、图解法和热电模拟法等。本章仅介绍分析解法，而且只针对第三类B、C下一维非稳态导热的求解。
二、一维非稳态导热的分析解及诺谟图
工程上常见的非稳态导热问题分以下三种：
一维非稳态导热问题：
无限大平壁无限长圆柱体
一、概述
1.1 定义：非稳态导热是指发生在非稳态温度场内的导热过程。
其数学表达式为：t f (x, y, z, )
按照其过程进行的特点，可分为以下二种：
（1）周期性非稳态导热：导热物体内的温度随时间周期性地变化。
（2）非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体内的温度随时间不断的升高或降低。
2
1.2 非稳态导热过程的特点
大平壁非稳态导热分析
由左侧表面导入的热量到达右侧表面之前的一段时间。
② 正常情况阶段。
当左侧表面导入的热量到达右侧表面之后，使右侧壁温不断升高，直到它达
到新的平衡状态的这段时间。
4
B）大平壁两侧被加热过程
一初始温度均匀为t0的无限大平壁，突然投入到温度为tf的热流体中对称加热。平壁内发生了非稳态导热过程。平壁中的温
1.3 求解的目的和方法
1）求解非稳态导热问题主要目的有四个：
① 物体的某一部分从初始温度上升或下降到某一确定温度所需的时间，或经某一时间后物体各部分的温度是否上升或下降到某一指定值；
② 物体在非稳态导热过程中温度分布，为求材料热应力和热变形提供必要资料； ③ 物体在非稳态导热过程中的温升速率；
二维非稳态导热问题：短圆柱体、长的方柱体
三维非稳态导热问题：短方柱体、长方体

一维非稳态导热

一块无限大平板（如图3所示），其一半厚度为L=0.1m，初始温度T0=1000℃，突然将其插入温度T∞=20℃的流体介质中。

平板的导热系数λ=34.89W/m℃，密度ρ=7800kg/m3，比热c=0.712J/kg℃，平板与介质的对流换热系数为h=233W/m2.℃，求平板内各点的温度分布。

3．1 数学描述由于平板换热关于中心线是对称的，仅对平板一半区域进行计算即可。

坐标x的原点选在平板中心线上，因而一半区域的非稳态导热的数学描述为：(3-1)(3-2)(3-3)(3-4)该数学模型的解析解为:（3-5）其中,为方程的根，。

表3给出了在平板表面(x=L)处由式(3-5)计算得到的不同时刻的温度值。

表3 平板表面各不同时刻温度值。

时间1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （S）温度(℃) 981.84 974.47 968.88 964.20 960.11 956.14 953.08 949.97 947.07 944.34 3．2 数值离散3．3．1 计算区域的离散一维非稳态导热指的是空间坐标是一维的。

若考虑时间坐标，则所谓的一维非稳态导热实际上是二维问题(见图4)，即：有时间坐标τ和空间坐标x两个变量。

但要注意，时间坐标是单向的，就是说，前一时刻的状态会对后一时刻的状态有影响，但后一时刻的状态却影响不到前一时刻，图4示出了以x和τ为坐标的计算区域的离散，时间从τ=0开始，经过一个个时层增加到K时层和K+1时层。

3．3．2 微分方程的离散对于i节点，在K和K+1时刻可将微分方程(3-1)写成下面式子：(3-6)(3-7)将式(3-6)~(3-7)的左端温度对时间的偏导数进行差分离散为：(3-9)(3-8)观察式(3-8)和(3-9)，这两个式子的右端差分式完全相同，但在两个式子中却有不同含义。

对式(3-8)，右端项相对i点在K时刻的导数是向前差分。

而在式(3-9)中，右端项是I点在K+1时刻的导数的向后差分。

第四章非稳态导热(6)14

(b)
36 .8%
可以得出内部热阻可被忽略的非稳态导热过程具有以下二个特点：（1）物体温度随时间按指数函数关系下降，如图所示，开始下降快，随后变化减慢。
0
， t t f 0，即t t f
Tτ
集总参数系统θ -τ曲线
τ
（2）物体温度随周围流体温度变化的快慢与该物体的时间常数Tτ有关。什么是时间常数？式（b）中 ρcV/（hA）具有时间的量纲，此外，对于常物性物体，一旦几何尺寸确定（ V/A 确定）， ρcV/（hA）的值也就确定了。 cV T 在以上二个意义上，把 ρcV/（hA）称为时间常数，记为Tτ，即。 hA
代人（a）式得 cV
Ah(t t f ) V
集总参数系统的微分方程
dt ＝ Ah (t t f ) d
（2）根据能量守恒定律：物体内能（焓）的变化等于物体表面对外散去的热量：
cV
dt ＝Ah (t t f ) d
3
求解微分方程：
引入过余温
初始条件：
t tf
d ＝ Ah ，上式变成 cV d
o

d
hAo (
cV
hA

o
)(e
hA cV
hA cV
o
1)
Φ的单位—W或kW； Qτ的单位—J或kJ。
cVo (1 e
)
请大家思考：瞬时的传热量Φ和总传热量Qτ的单位是什么？
7
三、集总参数法的适用条件
集总参数法比较简单，但应用它是有条件的，必须满足： Bi
1 R R 2l V BiV Bi 0.05 L 2 2 2Rl A

传热学(第四版)第三章：非稳态热传导

0
hA 1 时， exp(1) 0.368
Vc
0
称 Vc 为时间常数，用表示。
c
hA
当 4 Vc 时， 1.83% 工程上认为=4 Vc / hA时
hA 0
导热体已达到热平衡状态
第三章非稳态导热
6
讨论2：热电偶测温的动态误差
将两支绑在一起的热电偶（补充介绍热电偶的测温原理）突然从空气中放到保温杯中，热电偶读数的变化过程。其中热电偶1的探头直径约为1 mm，热电偶2的探头直径约为3.5mm；环境为冬季、室内。
第三章非稳态导热
7
实验观察结果的拟合
t
t
t
exp
hA
Vc
t
拟合线1:
t
12.7
79.4
exp
3
0.216
79.4
拟合线2 : t 11.1 第三章非稳态导热
80.0
exp
3
1.252
80.0
8
时间常数 ( Vc / hA)反应导热体的热惯性。如果导热体的热容量（ Vc ）小、换热条件好（h大），
2
a
x2
0, 0 0
0
0, x 0, w ; x , 0 0 tw
式中， t t0 , w tw t0
式中
1 erf x
w
2 a
erf () 2 e2 d
0
＝ x 2 a
第三章非稳态导热
t0 x
30
3-10、课堂作业
3-25
方程x*tan(x)=Bi前10个正根给Bi=0.9991, matlab求解。
已知：热电偶与气体的表面换热系数为 10w/(m2·k)，热电偶导热系数为67w/(m·k)，密度为 7310kg/m3，比热容228J/(kg·K)。

传热学第四章非稳态导热例题

(V / A)
3

85 K) 3.885 10 39.63 W/(m2· 0.025 / 3
BiV FoV 3.885 10 2.07945
3
535.25
2013-9-10
9
由式(4-6)计算换热量:
hA Q cV（t 0 t f）1 exp( ) cV

a 6
D（t 0 t f）1 e (
3
BiV FoV
)
85 3 2.07945 0.05 （ 60 (1 e 300 ） ) 5 6 2.95 10
=39.6 kJ
返回
2013-9-10 10
【例4-3】一根直径为1m，壁厚40mm 的钢管,初温为-20℃，后将温度为60℃的热油泵入管中，油与管壁的换热系数为 500 W/(m2· K),管子外表面可近似认为是绝热的。管壁的物性参数ρ=7823kg/m3, c=434J/(kg·K),λ=63.9 W/(m· K)。
1.882 10 8 60 Fo 2 5.646 2 0.04
a
5
2013-9-10
14
（2）由于Bi>0.1, 故不能采用集总参
数法，需用线算图求解。
管子外表面， 1 3.195
Bi
查图4-7得
m 0.24 0
管子外表面温度为：
t m m t f 0.24 0 t f 0.24 20 60 60 40.8 （）
V 准则中的特征尺寸是用 LV 确定的， A
而不是 R/2 ，所以,是否可采用集总参数法的判别用BiV<0.1M。

第3章非稳态导热汇总

厚度为2δ的平板，取 l
半径为R的圆柱，取 l R 半径为R的球体，取 l R
Bi / h 1/ h
物体内部导热热阻＝
物体表面对流换热热阻
如果采用取lc=V/A 作为特征长度，则
h(V / A)
BiV 0.1M
体积Biot 数
M是与物体几何形状有关的无量纲常数
平板 V A
ql
tw1 tw2 1 ln d2
2 m d1
50 20
364.92
1
ln 272
2 3.14 0.5953 200
W/m
1
铁
块
300oC
水20oC
2
第3章非稳态热传导
3.1 非稳态导热的基本概念 3.2 零维问题的分析法-集中参数法 3.3 典型一维问题非稳态导热的分析解 3.4 半无限大物体的非稳态导热 3.5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
2.数学模型
dτ时间段内，满足能量守恒 Ein E g Eout Es
Ein
hA
t
t
d
E g 0; Eout 0ຫໍສະໝຸດ Es mcdt Vc dt
hAt t d Vc dt
分离变量得
hA d dt
Vc
t t
t 0 t0
控制方程初始条件
9
3.求解
令θ= t - t，θ称过余温度，则有
瞬时换热量 hAt t hA hA0ehA cV f
导热体表面在0~ 时间段内的总换热量
Q0
d
0
ha
0
hA0e
cV
d
hA0
cV hA
hA
e
0

课后作业-3.3非稳态导热过程分析

课后作业-3.3 非稳态导热过程分析1. （P67 思考题4）初温为0t 、厚为2δ的大平壁一侧绝热，另一侧：（a ）与温度为1t （01t t >）的流体相接触；（b ）壁面温度突然升高为1t 。

试画出几个时刻大平壁内的温度分布曲线，并比较其异同。

解：如图所示：因为大平壁一侧绝热，故考虑将大平壁沿一侧对称过去，厚度变为4δ。

条件（a ）时，τ=τ1时刻曲线较陡，τ=τ2时刻曲线相对平缓，τ=τ3时刻曲线相对τ=τ2时刻更平缓，τ=τ4时刻曲线已非常平缓。

但需注意，在τ=τ1至τ4时刻，大平壁另一侧温度一直无法到达t1，均在t1以下，τ=τ2、τ3、τ4时刻曲线形状都是超越曲线，而τ=τ1时刻曲线形状为一条超越曲线加一条直线加两者之间的一个间断点。

条件（b ）同理，只不过条件（b ）在τ=τ1至τ4时刻，其另一侧壁面温度都是从t1开始。

最终结果图保留一半也可以。

2.（P68 习题3-5）一厚10mm的大平壁（满足集总参数法求解的条件），初温为300℃，密度为7800kg/m²,比热容为0.47kJ/（kg·℃），导热系数为45W/（m ·K ），一侧有恒定热流q=100W/m ²流入，另一侧与20℃的空气对流换热，表面传热系数为70W/（m ²·K ）。

试求3min 后平壁的温度。

解：由能量守恒定理可知：()∞--=t t hA qA d dt c V τρ ① 单位面积大平壁的体积为：301.0101.0m A S V =⨯=•=则由①得：()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=•∴-⨯⨯-=•⨯⨯⨯71503666771507015007036660201701001047.0780001.03t d dt t t d dt t d dt τττ故对两边进行积分，有：()τττ36667ln 36667715030071500300-=-∴-=-⎰⎰t tt d t dt 令180=τ，则：975.218=t ℃。

非稳态导热习题

第三章非稳态导热习题例3.1一腾空置于室内地板上的平板电热器，加在其上的电功率以对流换热和辐射换热的方式全部损失于室内。

电热器表面和周围空气的平均对流换热系数为h ，且为常数，室内的空气温度和四壁、天花板及地板的温度相同,均为t f 。

电热器假定为均质的固体,密度为ρ，比热为c ，体积为V , 表面积为A ，表面假定为黑体，因其导热系数足够大，内部温度均布.通电时其温度为t 0。

试写出该电热器断电后温度随时间变化的数学描述. ［解] 根据题意，电热器内部温度均布,因此可用集中参数分析法处理。

电热器以辐射换热方式散失的热量为：44r f ()A T T σΦ=- （1）以对流换热方式的热量为：c f ()hA T T Φ=- (2）电热器断电后无内热源,根据能量守恒定律，散失的热量应等于电热器能量的减少。

若只考虑电热器的热力学能r c d d TcVρτ-Φ-Φ= (3）因此,相应的微分方程式为：44f f d ()()d TA T T hA T T cVσρτ-+-=- （4) 初始条件为：τ=0， t =t 0 （5）上述两式即为该电热器断电后温度随时间变化的数学描述。

例 3.2 电路中所用的保险丝因其导热系数很大而直径很小可视为温度均布的细长圆柱体，电流的热效应可视为均匀的内热源。

如果仅考虑由于对流换热的散热量,保险丝表面和温度为t f 的周围空气之间的平均对流换热系数为h ，且为常数。

试求该保险丝通电后温度随时间的变化规律.［解］根据题意，保险丝内部温度均布,因此可用集中参数分析法处理. 保险丝表面以对流换热方式散失的热量为：c f ()hA T T Φ=- （1）保险丝的内热源为：Q 0=IR 2 （2）式中：I -—保险丝通过的电流，(A ）； R -—保险丝的电阻，Ω。

根据能量守恒，散失的热量与内热源所转变成的热量的和应等于保险丝能量的变化。

若只考虑保险丝的热力学能c 0d d TQ cVρτ-Φ+= （3）因此,相应的微分方程式为：2f d ()d ThA T T I R cVρτ--=- （4）初始条件为：τ=0, t =t f (5)上述两式即为该保险丝通电后温度随时间变化的数学描述.令2f I Rt t hAθ=--，则上述微分方程改写为d d ρθθτ=-cV hA (6）该微分方程的解为θθτθρ=-=-00exp()exp(BiFo)hAcV(7）以温度t 表示该解τρ--=---22f 0f (）exp()I R I R hAt t t t hA hA cV（8）由初始条件τ=0， t 0= t f ，该式可写为τρ-=--2f [1exp()]I R hAt t hA cV（9）上式即为该保险丝通电后温度随时间的变化规律，从中可以看出内热源对保险丝的温度变化的作用.例3.3 一块厚10 mm 的纯铝板置于温度为10 ℃的空气中，铝板和空气之间的平均对流换热系数h =10 W/(m 2·K ），且为常数.求该铝板从100 ℃降到20 ℃所需时间及当时的热流密度。

第3章非稳态热传导答案

第3章思考题1. 试说明集总参数法的物理概念及数学处理的特点答：当内外热阻之比趋于零时，影响换热的主要环节是在边界上的换热能力。

而内部由于热阻很小而温度趋于均匀，以至于不需要关心温度在空间的分布，温度只是时间的函数，数学描述上由偏微分方程转化为常微分方程、大大降低了求解难度。

2. 在用热电偶测定气流的非稳态温度场时,怎么才能改善热电偶的温度响应特性? 答：要改善热电偶的温度响应特性，即最大限度降低热电偶的时间常数hA cv c ρτ=,形状上要降低体面比，要选择热容小的材料，要强化热电偶表面的对流换热。

3. 试说明”无限大平板”物理概念,并举出一二个可以按无限大平板处理的非稳态导热问题答；所谓“无限大”平板，是指其长宽尺度远大于其厚度，从边缘交换的热量可以忽略不计，当平板两侧换热均匀时，热量只垂直于板面方向流动。

如薄板两侧均匀加热或冷却、炉墙或冷库的保温层导热等情况可以按无限大平板处理。

4. 什么叫非稳态导热的正规状态或充分发展阶段?这一阶段在物理过程及数学处理上都有些什么特点?答：非稳态导热过程进行到一定程度,初始温度分布的影响就会消失，虽然各点温度仍随时间变化,但过余温度的比值已与时间无关，只是几何位置(δ/x )和边界条件(Bi 数)的函数，亦即无量纲温度分布不变，这一阶段称为正规状况阶段或充分发展阶段。

这一阶段的数学处理十分便利，温度分布计算只需取无穷级数的首项进行计算。

5. 有人认为,当非稳态导热过程经历时间很长时,采用图3-7记算所得的结果是错误的.理由是：这个图表明,物体中各点的过余温度的比值与几何位置及Bi 有关,而与时间无关.但当时间趋于无限大时,物体中各点的温度应趋近流体温度,所以两者是有矛盾的。

你是否同意这种看法,说明你的理由。

答：我不同意这种看法，因为随着时间的推移，虽然物体中各点过余温度的比值不变但各点温度的绝对值在无限接近。

这与物体中各点温度趋近流体温度的事实并不矛盾。

第4章-非稳态导热的计算分析

是与物体几何形状
Biv
h( V
A)
1、非稳态导热的分类
周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡，物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。
❖ 300℃的铁块在冷水中的冷却
x, 0,
cos
1
x
它表明：当Fo>0.2后，虽然θ(x,τ)与θ(0,τ)各自均与τ相关，但它们的比值却与τ无关而仅取决于平壁的几何位置（x/δ）和Bi数
这意味着初始条件的影响已经消失，这就是正规状况阶段
❖ 计算正规状况阶段的温度需要根据Bi数确定相应的特征值，使用时不甚方便
❖ 工程上常采用两种简化的计算方法，由海斯勒 (Heisler)提出的诺模图(nomogram)方法和由 Campo提出的近似拟合公式
数时，即 τ=τr，
＝e1 0.386 0
0.386 01
τ/τr
τ=4τr，
＝e4.6 0.01 工程上认为 =4τr时导热
0
体已达到热平衡状态
瞬态热流量：
Φ( ) hA(t( ) t ) hA
总热量：
hA
hA0e Vc
W
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量：
Q
0
Φ(
)d
一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁，、a 为已知常数；=0时温度为 t0;
突然把两侧介质温度降低为 t 并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。

非稳态导热

非稳态导热的基本概念例1：设一平壁，初始温度为t0，突然将其投入到温度为t∞的流体中对其进行对称加热。

例2：设一平壁，初始温度为t0，在τ=0时使其左边温度恒为t1，右侧与温度t0的流体进行换热。

非稳态导热的特点：物体内各点温度随时间变化在热量传递过程中，由于温度的变化物体要积蓄（或放出）热量，即使是一维无限大平板对每个于热流垂直的面上热流也不相等。

工程上研究非稳态导热往往要解决以下几个问题：物体中某一部分的温度从初始值上升或下降到某一给定值所需要的时间；物体在非稳态导热过程中的温度分布；从某一时刻起经过一定时间后表面所传递的热量。

求解办法：在给定单值性条件求解导热微分方程。

当一物体表面突然被加热或被冷却时，物体中各点的温度变化及其分布取决于：物体表面与周围环境的热交换条件；换热越强烈，单位时间进入物体的热量（或物体放出）就越多。

物体内温度变化就越剧烈。

物体内部导热条件；导热热阻越小，则为传递一定热量所需的温度梯度就越小。

集总参数法的特点：是一种理想化模型；物体内热阻忽略不计；物体内温度梯度忽略不计，认为整个物体具有相同的温度；通过表面传递的热量立即设整个物体的温度同时发生变化；把一个有分布热容的物体看成是一个集中热容的物体；只考虑与环境间的换热不考虑物体内的导热。

有可能用集总参数法的条件（定性）：物体的导热系数要相当大；几何尺寸要相当小；表面换热要弱；表面积要大。

求解示例：问题的提出：有一任意形状的物体，体积为V，表面积为A，具有均匀的初始温度t0,在初始时刻将其置于温度为t∞的流体中，设t0＞t∞，表面与流体的对流换热系数为h,物体的参数为ρ、c,导热系数非常大。

求：1.物体内的温度随时间的变化；物体中任意时刻的热流；到某一时刻的总传热量；到某一温度所需的时间。

解：建立物力数学模型讨论：时间常数当时，物体内的过余温度达到初始时的36.8%毕渥数傅立叶数：能用集总参数法处理的条件（定量），要使各点的过余温度偏差小于5%，则要求：1.如Bi 定义为，（L为特征尺度）则要求：Bi≤0.1例题：用电热偶测量管道内气流的温度。

第3章-导热-3非稳态

3.3.2 平壁内非稳态导热的基本特征
简化分析：
—平壁的长度和宽度远远大于其厚度 —平壁两个侧面上的换热条件分别均匀一致，可忽略边缘散热效应
—平壁内的温度只沿厚度方向变化
物理模型：
平壁的一维非稳态导热
常物性、无内热源第三类边界条件
3.3 第对流边界条件下的一维非稳态导热 4章非稳态导热的分析与计算

稳态导热是一种理想化的情况。
受环境温度变化的影响，生活和工程中真正意义上的稳态导热是不存在的。

只是对工程中的某些问题，忽略温度随时间变化所
造成的影响、误差不大，而将其简化为稳态导热。
非稳态导热的分析与计算

非稳态导热的例子：生活中：
t 0
冷冻食品的解冻过程；微波炉、烘箱对物体的加热过程；突然来了寒流，物体内的导热过程等等。
非稳态导热的分析与计算
3.3 对流边界下的一维非稳态导热
3.3.1 概述一、非稳态导热的分类
周期性的非稳态导热

—在周期性变化边界条件下发生的导热过程，
—通常称为准稳态。
—如大地土壤的导热、房屋围护结构的导热等主要讨论
—在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程
非周期性的非稳态导热

—又称瞬态导热。当边界条件或内热源不变时，过程将最终逐渐趋于某个新的稳定温度场。
3.3.2 平壁内非稳态导热的基本特征

非稳态导热过程：
c时刻后，平壁内的温度随非稳
态过程的延续继续升高，但温度升高幅度越来越小；

经过无限长时间后，平壁内的温度又趋于均匀一致，并等于加热流体温度t∞。
3.3 对流边界条件下的一维非稳态导热

传热学-非稳态导热

Unsteady-state Conduction1应用背景•工业:金属热处理---淬火动力机械开车、关车精密机床的热变形•民用:地球气温的变化医疗中检测温度范围---激光手术(热疗法)生物传热---温度震荡3522xt t ∂∂=∂∂ατ0)0(t t ===τ∞===t t )0(τ],,,,,),[(0h x t t f t t λατδ∞∞−=−∞∞−−=Θt t t t 0δxX =λδh B i =20δατ=F ),,(o i F B X f =Θ过余温度比6Analytical solution for 1-D transient heat conductionFor an infinite plateλ=consta=const h=constIn a symmetrical system, we can just analyze half of itHeat fluxΦ－－板左侧导入的热流量1Φ－－板右侧导出的热流量216？？<Bi<∞什么是无量纲数？基本思想：当所研究的问题非常复杂，涉及到的参数很多，为了减少问题所涉及的参数，于是人们将这样一些参数组合起来，使之能表征一类物理现象，或物理过程的主要特征，并且没有量纲。

因此，这样的无量纲数又被称为特征数，或者准则数，比如，毕渥数又称毕渥准则。

以后会陆续遇到许多类似的准则数。

特征数涉及到的几何尺度称为特征长度，一般用符号l 表示。

对于一个特征数，应该掌握其定义式＋物理意义，以及定义式中各个参数的意义。

192124用诺谟求解非稳态导热问题的思路1,已知时间，求温度分布及热量mθθ2、已知温度分布，求时间25•Question: A large plate of steel 20.0cm thick and initially at 20℃is suddenly exposed to the heating environment of 1000℃with a heat transfer coefficient of 174W/m2.℃. Calculate the time required for the plate to attain a temperature of 500℃at the surface.(α=0.555×10-5m2/s, λ=34.8W/m.℃)When Bi=0.1, μ1=0.3111 radBi=0.5, μ1=0.6533 radBi=1.0, μ1=0.8603 rad2629For a random body,τ=0, t=t 0It is suddenly immersed into a cool fluid that t= t ∞<t 0Using energy conservation principal,τρd dtVct t hA -)(=−∞过余温度— ∞−=t t θ, thencq d dt vρτ=dθhA =− dτ θ ρVcIntegral⇒ ⇒hA τ ∫θ0 = − ∫0 dτ θ ρVcθdθ⇒Where,hA θ ln =− τ θ0 ρVc⇒θ t − t∞ Θ= = =e θ 0 t0 − t∞−hA τ ρVchA hV λA2 τ= ⋅ 2 τ ρcV λA V ρc = h(V A)λaτ ⋅ = Biv ⋅ Fov 2 (V A)Bi v =h (V A )λaτ Fo v = (V A ) 2θ =e θ0Where,hA τ − ρ Vc=e− Bi v ⋅ Fo vThe temperature field is an exponential curve⎡ W ⎤ ⎡ 2⎤ ⋅ m ⎢ ⎥ 2 hA w 1 ⎣m K⎦ ⎣ ⎦ = = = J s ρVc ⎡ kg ⎤ ⎡ Jkg ⎤ 3 ⎢ 3 ⎥⋅⎢ K ⎥[m ] ⎣m ⎦ ⎣ ⎦32Thant means whenτ=ρVchA，thenhA τ⋅ =1 ρVcθ = e −1 = 36.8% θ0ρVc上式表明：当传热时间等于hA 余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。

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