定积分习题课
定积分的习题集 课件
a
b
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) |b a
3、定积分的几何意义 ——面积的代数和。
4、定积分的性质
线性、 关于积分区间的可加性、 保号性、 估值不等式、 积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分的联系
（1）变上限积分的导数公式；
d x a f ( t )dt f ( x ), dx
2 x 0 f ( t )dt 1
x 0
x
在 [0, 1] 上恰有一个解.
证 令 F ( x ) 2 x f ( t )dt 1,
1 1
F ( x) C[0, 1] , 且F (0) 1 0,
F (1) 1 0 f ( t )dt 0 [1 f ( t )]dt 0,
二、典型例题
例1
求
2 0
1 sin 2 xdx.
解 原式 2 sin 2 x cos 2 x 2 sin x cos x dx
0
2 sin x cos x dx
0 4 (cos 0
x sin x )dx (sin x cos x )dx
例11 求f ( x ) t | t x | dt的表达式。
0
1
解
x 1 x 1时， f ( x ) t ( x t )dt , 0 2 3 1 1 x x 0时， f ( x ) t ( t x )dt , 0 3 2
1
0 x 1时， f ( x ) t ( x t )dt t ( t x )dt
（1）线性；恒等变形； 换元； 分部积分； 一些特殊类型函数的积分。 （2）与不定积分法的差别 积分限的确定，换元要换积分限，原函数 求出后不需回代。 （3）利用对称性、周期性及几何意义。 （4） 开偶次方时，要带绝对值。
高等数学 第五章 定积分 习题课
x
x
∴ ∵
∴
Q( x ) ≡ c , Q ( 0) = 0 ,
Q( x ) ≡ 0 . 证毕 .
d x f (t)(x −t)dt 0 d x∫ = f (x) (x − x) =0?
13
例 6 . 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续且 f ( x ) > 0 ,
F ( x ) = ∫ f ( t ) dt + ∫
(1) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 ∫ f ( x ) dx = 0 ,
a
b
则在 [ a , b ] 上 f ( x ) ≡ 0 .
( 2) . 若在 [ a , b ] 上 , f ( x ) ≥ 0 , 且 f ( x ) ≡ 0 , /
则 ∫ f ( x ) dx > 0 .
由于 f ( x ) 连续 ,
2h
h
对于 ε = h , ∃δ > 0 , 当 x − c < δ 时 ,
f ( x ) − f (c ) < ε
b
c −δ
a
b
(
c
)
f (c ) − ε < f ( x ) < f (c ) + ε 成立 ,
即 h < f ( x ) < 3h .
∫a f ( x ) dx = ∫a
∫a f = ∫a f + ∫c f ∫a
b b c b b b
b
5 . 在[a , b]上
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≤ 0
⇒ ⇒
f ( x ) ≥ g( x ) ⇒
∫a f ≥ 0 b ∫a f ≤ 0 b b ∫a f ≥ ∫a g
高等数学 第五章定积分习题课
∫
b
a
f ( x )dx ≤ ∫ g ( x )dx
a
b
⑧估值定理：设M 和 m 分别是函数 f ( x )在区间[a, b ]上的 估值定理： 最大值和最小值， 最大值和最小值，则
m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )
a b
上连续, ⑨定积分中值定理：如果函数 f ( x ) 在闭区间[a, b ] 上连续 定积分中值定理： 则至少存在一点ξ ∈(a , b) ,使下式成立： 使下式成立： 使下式成立
b b b
b
a
b
b
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
⑤区间长： ∫ 1dx = b − a 区间长：
a
b
保号性： ⑥保号性：如果在区间[a, b ]上, f ( x ) ≥ 0 ，则∫ a f ( x )dx ≥ 0
b
⑦单调性：如果在区间 [a, b ] 上, f ( x ) ≤ g ( x ) 则 单调性：
b
∫
b
a
f ( x )dx = lim ∫ f ( x )dx −
t →b a
t
设 c ( a < c < b ) 为 f ( x ) 的瑕点，则有 的瑕点，
∫
b a
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
a c
c
b
= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx − +
∫
b
a
f ′( x )dx = [ f ( x )] a = f (b) − f (a ) = a − b
D2定积分习题课
8．判断反常积分的敛散性，若收敛，则求其值： 解:
e
e
dx x 1 (ln x )2 lim 0 1
e
1
dx x 1 (ln x )
e
2
dx x 1 (ln x )2
e
1
lim
0
dlnx 1 (ln x )2
1
lim arcsin ln x 1
e
2 x
1 ln 2 2 x dx 0 e d( 2x ) 2
1 2 x ln 2 [e ] 2 0
3 8
例2.
解:
0
cos x dx 2 cos x dx + cos x dx
0
2
2 cos xdx cos xdx
0
2
例2. 求
(1998考研)
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式
sin k 1 n
n
kπ n 1 k
kπ 1 sin n n k 1
n
n n kπ 1 sin n 1 k 1 n n
n kπ 1 2 1 已知 lim sin sinπ x d x , lim n n n 0 π n n 1 k 1
习题课 定积分及其相关问题
第五章
一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法
一、与定积分概念有关的问题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限 2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题 1 xn ex dx . 例1. 求 lim x n 0 1 e n x x e n 0 x , 所以 解: 因为 时, x 1 e 1 n 1 xn ex 1 x d x d x 0 0 01 e x n 1 1 xn ex dx 0 利用两边夹法则得 lim 0 x n 1 e
习题课_定积分的应用(解答)
中的 x0 唯一。
证明： (1)构造函数 g( x ) x f (t )dt ，对 g ( x ) 用罗尔定理即 可得证 。
x 1
(2) 考虑 g '( x) 的单调性来证明。
11
dx dx dx 2 2 2 2 0 1 2cos x 1 2cos x 2 1 2cos x
令 tan x t dx d tan x dt 2 2 而 ； 0 1 2cos 2 x 0 3 tan 2 x 0 3 t2 2 3
S S1 S2 (2 x x )dx ( x 2 2 x )dx 2
y x2 2 x
V y [(1 1 y )2 12 ]dy
1
0
[33 (1 1 y )2 ]dy 9
0
3 2 2 1 1
3
S2
1
o
3 2
d tan x 令 tan x t 0 dx dt 2 1 2cos2 x 2 3 tan2 x 3 t 2 2 3 ；
故原式
3
15
定积分的物理应用：
常 数 ，长度为 L 的细杆， 1.如图，x 轴上有一线密度为
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力 系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（ A ） （A） L
3
5. 设曲线 y f ( x ) 在 x 轴的上方，并过点 (1,1) ，该曲线与直线
x 1 ， y 0 及动直线 x b(b 1) 所围图形绕 y 轴旋转所得的旋
高等数学-第七版--6-3定积分应用习题课
求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.
分析
积分变量: t 积分区间: [0, ]
y
d
F
G
(x2 x2
y
2
)
3 2
y2
d
s
G( x 2
2
y
2
)
1 2
d
s
B
d Fx
d
F
cos
G(
x2
y
2
)
1 2
x
x2
G x d s 3Ga2 cos4 t sin td t
y2
ds
d s (x,
o
y)
Ax
d Fy d F sin G y d s 3Ga2 cos t sin4 td t
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
例5 求由曲线x=acos3t,y=asin3t的所围成的图形的面积
例6 求曲线
与
所围成图形的公共部分的面积 . r2 a(cos sin )
o
r1 a cos
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
二、题型练习
（一）面积 （二）体积 （三）弧长 （四）物理应用
北师版高中数学选修2-2课后习题版 第四章 §3 定积分的简单应用
第四章DISIZHANG定积分§3定积分的简单应用课后篇巩固提升A组1.设f(x)在区间[a,b]上连续,则曲线f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成的图形的面积为( )A.∫ba f(x)dx B.|∫f(x)badx|C.∫ba|f(x)|dx D.以上都不对f(x)在区间[a,b]上满足f(x)<0时,∫baf(x)dx<0,排除A;当围成的图形同时存在于x轴上方与下方时,∫baf(x)dx是两图形面积之差,排除B;无论什么情况C都正确.2.下列各阴影部分的面积S不可以用S=∫ba[f(x)-g(x)]dx求出的是( )S=∫ba[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方,对照各选项可知,D项中的f(x)的图像不全在g(x)的图像上方.故选D.3.如图,由函数f(x)=e x-e的图像,直线x=2及x轴围成的阴影部分的面积等于( )A.e2-2e-1B.e2-2eC.e 2-e 2D.e2-2e+1S=∫21f(x)dx=∫21(e x-e)dx=(e x-e·x)|12=e2-2e.4.直线y=2x,x=1,x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到一个圆台,则该圆台的体积为( )A.28π3B.32π C.4π3D.3πV=∫21π·(2x)2dx=π∫214x2dx=4π·13x3|12=4π3(8-1)=28π3.5.如图所示,在边长为1的正方形OABC中,任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17{y=√x,y=x,得O(0,0),B(1,1).则S阴影=∫1(√x-x)dx=(23x 32-x 22)|01=23−12=16.故所求概率为S 阴影S 正方形=161=16.6.曲线y=cos x (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积为 .解析由图可知,曲线y=cosx (π2≤x ≤3π2)与x 轴围成的平面图形的面积S=∫3π2π2cos xdx=-sin xπ23π2=(-sin3π2)−(-sin π2)=2.7.在同一坐标系中,作出曲线xy=1和直线y=x 以及直线y=3的图像如图所示,则阴影部分的面积为 . ∫113(3-1x )dx+∫31(3-x)dx=(3x-lnx)|131+(3x -12x 2)|13=3-(1-ln 13)+(9-12×32)−(3-12)=4-ln3.8.计算由y 2=x,y=x 2所围成图形的面积.,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.解方程组{y 2=x ,y =x 2,得出交点的横坐标为x=0或x=1.因此,所求图形的面积S=∫10(√x -x2)dx,又因为(23x 32-13x 3)'=x 12-x 2,所以S=(23x 32-13x 3)|01=23−13=13.9.求由曲线y=x 2+4与直线y=5x,x=0,x=4所围成的平面图形的面积.,如图所示.所求平面图形为图中阴影部分.解方程组{y =x 2+4,y =5x ,得交点为A(1,5),B(4,20).故所求平面图形的面积S=∫1(x 2+4-5x)dx+∫41(5x-x 2-4)dx=(13x 3+4x -52x 2)|01+(52x 2-13x 3-4x)|14=13+4-52+52×42-13×43-4×4-52+13+4=193.10.求抛物线y 2=2x 与直线y=4-x 围成的平面图形的面积.{y 2=2x ,y =4-x得抛物线和直线的交点为(2,2)及(8,-4).方法一:选x 作为积分变量,由图可得S=S A 1+S A 2.在A 1部分:由于抛物线的上部分方程为y=√2x ,下部分方程为y=-√2x ,所以S A 1=∫2[√2x -(-√2x )]dx=2√2∫20x 12dx=2√2·23x 32|02=163.S A 2=∫82[4-x-(-√2x )]dx =(4x -12x 2+2√23x 32)|28=383.所以S=163+383=18.方法二:∵y 2=2x,∴x=12y 2. 由y=4-x.得x=4-y,∴S=∫2-4(4-y -12y 2)dy=(4y -12y 2-16y 3)|-42=18.B 组1.如图,已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=-32,x=2围成的图形面积为S 1=1,S 2=3,S 3=32,则∫2-32f(x)dx 等于( )A.112B.12C.-12D.72∫2-32f(x)dx=∫-1-32f(x)dx+∫1-1f(x)dx+∫21f(x)dx=S 1-S 2+S 3=1-3+32=-12.2.设直线y=1与y 轴交于点A,与曲线y=x 3交于点B,O 为原点,记线段OA,AB 及曲线y=x 3围成的区域为Ω.在Ω内随机取一点P,已知点P 取在△OAB 内的概率等于23,则图中阴影部分的面积为( )A.13B.14C.15D.16{y =1,y =x 3,解得{x =1,y =1. 则曲边梯形OAB 的面积为∫1(1-x 3)dx=(x -14x 4) 01=1-14=34.∵在Ω内随机取一个点P,点P 取在△OAB 内的概率等于23, ∴点P 取在阴影部分的概率等于1-23=13,∴图中阴影部分的面积为34×13=14.故选B.3.如图所示,直线y=kx 分抛物线y=x-x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分,则k 的值为 .y=x-x 2与x 轴两交点横坐标为0,1,∴抛物线与x 轴所围成图形的面积为S=∫1(x-x 2)dx=(x 22-x 33)|01=16,抛物线y=x-x 2与直线y=kx 的两交点横坐标为0,1-k.∴S 2=∫1-k0(x-x 2-kx)dx=(1-k2x 2-x33)|01-k =16(1-k)3.又∵S=16,∴(1-k)3=12.∴k=1-√123=1-√432. 1-√4324.由直线y=x 和曲线y=x 3(x≥0)所围成的平面图形,绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 .{y =x ,y =x 3(x ≥0),得{x =0,y =0,或{x =1,y =1.故所求体积V=∫1πx 2dx-∫10πx 6dx=π∫10x 2dx-π∫1x 6dx=π(13x 3|01-17x 7|01)=π(13-17)=4π21.5.已知函数f(x)=x 3-x 2+x+1,求其在点(1,2)处的切线与函数g(x)=x 2围成的图形的面积.(1,2)为曲线f(x)=x 3-x 2+x+1上的点,设过点(1,2)处的切线的斜率为k,则k=f'(1)=3×12-2×1+1=2,∴过点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形如图.由{y =x 2,y =2x可得交点A(2,4). 又S △AOB =12×2×4=4,g(x)=x 2与直线x=2,x 轴围成的区域的面积S=∫20x 2dx=13x3|02=83,∴y=2x 与函数g(x)=x 2围成的图形的面积为S'=S △AOB -S=4-83=43.。
定积分习题课共67页文档
13
6、定积分的计算法
（1）换元法
a bf(x)d x f[(t)](t)dt
换元公式
（2）分部积分法
abud[vu]b a vabvdu
分部积分公式
14
７、广义积分
(1)无穷限的广义积分
则 a b f ( x ) d a b g x ( x ) d( x a b )
（2） a bf(x )d x a bf(x )dx(ab)
10
性质6 设 M 及 m 分 别 是 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]
上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
则 m ( b a ) a b f ( x ) d M x ( b a ) .
定理1 如 果f(x)在 [a,b]上 连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数
(x)axf(t)d在 t[a,b]上 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数 是(x)ddxaxf(t)d t f(x) (axb)
定理2（原函数存在定理）如 果 f(x)在 [a,b]上
连 续 ， 则 积 分 上 限 的 函 数 (x)axf(t)d就 t是
定积分习题课
一、主要内容
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理 定积分 广义积分
的定 性积 质分
牛顿-莱布尼茨公式
b
af(x )d x F (b ) F (a )
计 算 法
定 积 分 的
3
1、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积A）
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线 y f(x )(f(x ) 0 )、
定积分习题课
公式
f (u)du u (x)
即 f [(x)](x)dx f ((x))d(x)
(也称配元法 , 凑微分法)
例1. 求
解: 令 u ax b ,则 d u adx , 故
原式 = um 1 d u 1 1 um1 C a a m1
4x)
dx
3 2
dx
cos 2x d(2x)
1 8
cos
4
x
d(4x)
例 9 cos x cos 2xdx
原式=
1 2
(cos
x
cos
3x)dx
1 sin x 1 sin 3x C
2
6
例10 tan3 x sec2 xdx
原式= tan2 xsec x(tan xsec x)dx (sec2 x 1)sec xd(sec x)
例8. 求
含sin 2k xcos2l x 二倍角公式
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
cos
2
x
cos
2
2
x)
1 4
(1
2
cos
2x
1cos 2
4x
)
1 4
(23
2
cos
2x
1 2
cos
4x)
cos4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
F(b) F(a),
说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 .
高等数学第五章习题课1定积分
第 五 章 定 级 分
解
原式 lim
2e
x2
0 e
2 x2
x t2
dt
x
e
0
lim
2 e dt e
x2
x t2
x
lim
2e
x2
2
x 2 xe x
1 lim 0 x x
- 17 -
习题课（一）
3 解
第 五 章 定 级 分
tf ( x t )dt lim 0 ,
1 i 1 2 lim sin sinxdx n 0 n n i 1
n
-2-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
i 1 n i 1 lim sin lim sin n n n n 1 n n n i 1 i 1 1 2 sinxdx 0 2 原式 1 n1 n 2 n nn 3 lim n n n n
1 2 F ( x )dx 0
存在一点 , 使得 F ( ) 0, 即 f ( ) f ( )
-9-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
设在 [0,1] 上 f ( x ) 0, 证明： 1 1 2 0 f ( x )dx f ( 3 ) 证 由于 y f ( x ) 在区间 [0,1] 是上凸的， 所以曲线 1 1 y f ( x ) 在过 ( , f ( )) 处的切线下方，即 3 3 1 1 1 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3 1 1 2 1 2 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.7 1.7.3 定积分(习题课)
栏 目 链 接
点评：(1)求曲边形的面积、变速运动的路程、 力所做的功等均可用定积分来完成．
b (2)用定积分 a f(x)dx 计算时，关键是要找到满
栏 目 链 接
足 F′(x)＝f(x)的函数 F(x)，通常用求导公式和导 数的四则运算法则从反方向求出 F(x)．
跟 踪 训 练
1． 抛物线 y＝－x2＋4x－3 及其在点 A(1,0)和点 B(3,0)处的 切线所围成图形的面积为________．
2
栏 目 链 接
又直线 x＋y＝4 与抛物线 y＝ax2＋bx 相切，即它们有 唯一的公共点，
跟 踪 训 练
x＋y＝4， 由方程组 得 2 y＝ax ＋bx
ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式为 0，即 (b＋1) ＋16a＝0. 1 于是 a＝－ (b＋1)2，代入①式得： 16 128b23－b 256b3 S(b)＝ (b>0)，S′(b)＝ . 6b＋14 3b＋15
跟 踪 训 练
3．抛物线 y＝ax2＋bx 在第一象限内与直线 x＋y＝4 相 切．此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求使 S 达到 最大值的 a，b 值，并求 Smax.
解析：依题设可知抛物线为凸形，它与 x 轴的交点的横 b 坐标分别为 x1＝0，x2＝－a，所以 S＝ 1 3 (ax ＋bx)dx＝ 2b .① 6a
10 0 5－t＋
栏 目 链 接
55 1＋tdx
10 12 │0 ＝55ln 11(m)． 5 t － t ＋ 55ln 1 ＋ t ＝ 2
跟 踪 训 练
2．物体 A 以速度 v＝2t＋1 在一直线上运动，在此直线上与 物体 A 出发的同时， 物体 B 在物体 A 的正前方 6 m 处以 v＝6 m/s 的均匀速度与 A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A 走过的路程是多少(时间单位为 s，速度单位为 m/s)?
习题课十一 定积分的计算(解答)
1 2
1 2
1 sin3 3
x
1
2 1
2
1
2
1 1 (椭圆的一半面积) 2
2 sin3 3
1
24
4.
设
f
(
x)
1, x1
1 ex 1,
x0
，求
2
f ( x 1)dx .
0
x0
解：2 f ( x 1)dx令x 1 t 0
1
f (t)dt
1
01
1
et
dt 1
11 dt
0 t1
令x tan t
6
sec2 tdt
0 (2 tan2 t 1)sec t
6
costdt
0 2sin2t cos2t
6
dsint
0 1sin2t
arctan(sint
)
6
arctan1
0
2
7
3.
1 2
[cos
x(ln 1
x
sin2
x)
1 4x2 ]dx
1 2
1 x
1
1
2 cos x sin2 xdx 2 1 4x2 dx （对称区间奇函数性质）
t
ln(1 et )
0 1
+ln(1+t )
1 0
1
ln(1
e1 )+ln2
8
三、解答题
1.设 f ( x)
x2 et2 dt ，求
1
xf ( x)dx.
1
0
2. 已知 f (0) 1, f (2) 3, f (2) 5，求 1 xf (2 x)dx 。 0
第十章定积分应用习题课
第⼗章定积分应⽤习题课第⼗章定积分应⽤习题课⼀⾯积1．求平⾯图形的⾯积1）若曲线()0y f x =≥，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx ==??．2）由连续曲线()0y f x =≤，x 轴及直线,x a x b ==所围曲边梯形的⾯积为()b baaA f x dx ydx =-=-??．3）如果连续曲线()y f x =在[],a b 上可正可负，则所围图形的⾯积为()b baaA f x dx y dx ==??．4）由上、下两条连续曲线()2yf x =与()1y f x =以及两条直线,x a x b ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()21baA f x f x dx =-．5）由左右两条连续曲线1()x g y =，2()x g y =，及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A [()]d d cg y g y y =-?．6) 由上下两条连续曲线()y f x =与()y g x =（它们可能相交）以及两条直线,x a xb ==所围的平⾯图形，它的⾯积计算公式为()()baA f x g x dx =-?．7）由左右两条连续曲线1()xg y =，2()x g y =（它们可能相交），及直线c y =与d y =所围成，则围成图形的⾯积为()21A ()d d cg y g y y =-?．如果所求平⾯图形是属于上述情形之⼀，就不需画图，直接⽤上述公式，否则就需画图选⽤相应公式．求平⾯图形的步骤：（1）先画草图，并求出边界曲线有关交点．（2）确定积分变量与积分区间．例1．求由抛物线2y x =与直线230x y --=所围平⾯图形的⾯积A ．解法⼀（上下曲线）先求出抛物线与直线的交点()1,1P-，()9,3Q ．⽤1x =把图形分为左、右两部分，应⽤公式分别求得它们的⾯积为(11042,3A dx ?=-==92132823x A dx -?=-=．所以12323A A A =+=．法⼆(左右曲线)．把抛物线和直线⽅程改写成()21x y g y ==，()223x y g y =+=，[]1,3y ∈-．则()()()332211132233A g y g y dy y y dy --=-=+-=．例2 计算椭圆12222=+by a x 所围成的平⾯图形⾯积．解由于椭圆关于x 轴及y 轴对称，所以只需计算位于第⼀象限部分的⾯积，然后乘以4就得到所求平⾯图形⾯积．由12222=+by a x ，解得22x a a by -±=，故第⼀象限的椭圆的⽅程是22x a aby -=从⽽04A =?，()2220041sin cos sin 4cos 422b x a t a td a t ab tdt ab ab a ππππ===??=??令．特别地，当R b a ==时，得圆的⾯积2A R π=．注：计算平⾯图形⾯积时，尽可能利⽤图形的对称性，以简化计算．2．参数⽅程的⾯积若所给的曲线⽅程为参数形式：()()x x t y y t =??=? （t αβ≤≤），其中()y t 是连续函数，()x t 是连续可微函数，且()0x t '≥且()x a α=，()x b β=，那么由()()x x t y y t =??=?，x 轴及直线,x a x b ==所围图形的⾯积A 的公式为||()|()()|A y dx t y t x t dt ββαα'==??．（αβ<）．如果由参数⽅程所表⽰的曲线是封闭的，即有()()x x αβ=，()()y y αβ=且在(),αβ内曲线⾃⾝不再相交，那么由曲线⾃⾝所围图形的⾯积为()()A y t x t dt βα'=(或()()?'βαdt t y t x )．例2另解1：化椭圆为参数⽅程cos ,sin ,x a t y b t =??=?02t π≤≤ 则所求⾯积为20A sin (cos )πb t a t dt πab '==?．另解2：第⼀象限参数⽅程为cos ,0sin ,2x a t t y b t π=?≤≤?=?，()()()2222014||4|sin sin |4sin 422A y t x t dt b t a t dt ab tdt abab πππππ'==-===．例3 求内摆线323232a y x =+所围成的⾯积．解令33cos ,sin ,x a t y a t ?=?=?由曲线既关于轴x 对称，也关于y 轴对称，只须计算第⼀象限内的⾯积1A ，再乘以4即可，于是()()()()332422220242246222006224||4sin cos 12sin cos 12sin 1sin 12sin sin 31531312.42264228A y t x t dt a t a t dt a t tdta t t dt a tdt tdt a a πππππππππ''===??=-=-??=-?=3．极坐标⽅程1）曲线()θr r =与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()?=βαθθd r S 2212）曲线()1r r θ=，()2r r θ=与射线()βαβθαθ<==,围成的曲边扇形的⾯积()()222112S r r d βαθθθ??=-．例4 由下列极坐标⽅程式所表曲线围成的⾯积A ，⽅程中的0a >．（1）θ2cos 2 2a r =（双纽线）；（2）()θcos 1+=a r （⼼脏形线）；（3）θ3sin a r =（三叶线）．解（1）由图形关于x 轴与y 轴对称，只需计算第⼀象限⾯积1A ，再乘以4即可，由在第⼀象限20π≤时，02cos 22≥=θa r ，知40πθ≤≤，即1A 看成θ2cos a r =与4,0πθθ==所围成，故2224410144cos 2sin 22A A a d a a ππθθθ==?==?．（2）由图形关于x 轴对称，在第⼀，⼆象限，当πθ≤≤0时，需求()0cos 1≥+=θa r ，知πθ≤≤0，故所求⾯积为()2221013221cos 22A A a d a πθθπ==?+=?．（3）由图形知，所求⾯积A 为第⼀象限内⾯积1A 的3倍，由20πθ≤≤时，要求03sin ≥=θa r ，知πθ≤≤30，即30πθ≤≤时，0≥r ，于是()223102330133sin 323311cos 6sin 6.4464A A a d a a a d πππθθπθθθθ===-=-=⼆体积1）设⼀⼏何体夹在a x =和b x =这两个平⾏平⾯之间，⽤垂直于x 轴的平⾯去截此⼏何体，设截⾯与x 轴交点为(),0x ，可得的截⾯⾯积为()A x ，如果()A x 是],[b a 上的可连续函数，此时，取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ．相应于],[b a 上的任⼀⼩区间[,]x x x +?的⽴体薄⽚的体积近似于底⾯积为()A x 、⾼为x d 的圆柱体的体积即体积微元d ()d VA x x =，因此所求⽴体的体积为()d baV A x x =?．2）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕x ⼀周⽽成的旋转体的体积()2bx aV f x dx π=?．3）由连续曲线()0y f x =≥、直线a x =、b x =及x 轴所围成的曲边梯形绕绕y 轴旋转⼀周的体积()dx x xf V b ay ?=π2．4）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕y 轴旋转⼀周的体积()?=dcy dy y g V 2π，5）平⾯图形由曲线()y g x =()0≥与直线c y =，d y =和y 轴围成绕x 轴旋转⼀周的体积()?=dcx dy y yg V π2．6）平⾯区域?>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕x 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为 ?-=badx x g x f V .)]()([22π7）平⾯区域>≤≤≤≤)0()()(,a x f y x gb x a 绕y 轴旋转⼀周所形成的旋转体体积为-=badx x g x f x V .)]()([2π例5 ⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼，并与底⾯交成⾓α，求此平⾯截圆柱体所得⽴体的体积．解取此平⾯与圆柱体的底⾯的交线为x 轴，底⾯上过圆⼼且垂直于x 轴的直线为y 轴，那么底圆的⽅程为2 22R y x =+．⽴体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截⾯是⼀个直⾓三⾓形，它的两条直⾓边的长分别为y 和αtan y ，即22x R -及αtan 22x R -，因⽽截⾯⾯积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为x x R V RR d tan )(2122?--=αααtan 32tan )31(21332R x x R RR =-=-．例6 求椭球球体体积：2222221x y z a b c++=．解：⽤垂直于x 轴的平⾯截椭球得截⾯为⼀椭圆，它在平⾯yoz 上的投影为222222221(1)(1)y z x x b c aa+=--，从⽽得截⾯⾯积为22()(1)x s x bc aπ=-，于是所求的椭球体积为224()(1)3aaa a x V s x dx bc dx abc a ππ--==-=??．注当a b c R ===得球2222x y z R ++=的体积为343R π．例7 求下列平⾯图形绕坐标轴旋转⼀周所得的体积()π≤≤==x y x y 00,sin ．（1）绕x 轴；（2）绕y 轴．解（1）221cos 2sin 22x x V xdx dx πππππ-===?；（2）()()??--=12102arcsin arcsin dy y dy y V y πππ()-=-=123102arcsin 2arcsin 2ydy dy y πππππ．()()().212112211arcsin 2210 2122210212231021023πππππππ=??--=?--+-=??-?--=??-y y d y dy y y y y另⼀解法02sin 2cos y V x xdx xd x ππππ==-?2002cos cos 2ππππ=??--=xdx x x ．注：从上⾯的两种解法中可看出，知道的公式越多，解决问题越⽅便，但要理解公式，记住公式．例8 过点()0,1P 作抛物线2-=x y 的切线，该切线与上述抛物线及x 轴围成⼀平⾯图形，求此图形绕x 轴旋转⼀周所成旋转体的体积．解设所作切线与抛物线相切于点()2,00-x x ，因,22100-='=x y x x故切线⽅程为().2212000x x x x y --=--⼜因该切线过点()0,1P ，所以(),12212000x x x --=--即30=x ．从⽽切线⽅程为().121-=x y 因此所求旋转体的体积 ()()33212112.46V x dx x dx πππ=---=??三平⾯曲线的弧长1）若曲线⽅程为],[),(b a x x f y ∈=，则曲线弧长为?'+=b adx x f s .)]([122）若曲线⽅程为??∈==],[,)()(βαt t y y t x x ，则曲线弧长为?'+'=βadt t y t x s .)]([)]([223）若曲线⽅程为],[),(βαθθ∈=r r ，则曲线弧长为?'+=βαθθθd r r s 22)]([)]([．例9 计算圆222R y x =+的周长．解将圆的⽅程化成参数⽅程.20,sin ,cos πθθθ≤≤??==R y R x则()().2cos sin 202022R d R d R R s πθθθθππ==+-=例10 计算内摆线323232ay x =+()0a >的周长．解法1 由于曲线关于x 轴及y 轴对称，所以，只需计算第⼀象限内曲线的长，再乘以4即得所求．13a y x ??'== ，得.6403a dx x a s a =??=法2 把曲线化为参数⽅程??==,sin ,cos 33θθa y a x 在第⼀象限的参数20πθ≤≤，于是 ,cos sin 3,sin cos 322θθθθa y a x ='-='因此4s θ=.62cos 32sin 6cos sin 12202020a a d a d a =-===??πππθθθθθθ四旋转体的侧⾯积及表⾯积1）设平⾯光滑曲线C 的⽅程为(),[.]y f x x a b =∈（不妨设()0f x ≥），这段曲线绕x 轴旋转⼀周得到旋转曲⾯得旋转曲⾯的⾯积公式(2.baS f x π=?2）如果光滑曲线C 由参数⽅程()x x t =，()y y t =，[],t a b ∈给出，且()0y t ≥，那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲⾯的⾯积为2(.S y t βπ=?例11 设有曲线1-=x y ，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x 轴围成的平⾯图形绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转体的表⾯积．解设切点为()1,00-x x ，则过原点的切线⽅程为.1210x x y -=再以点()1,00-x x 代⼊，解得11,2000=-==x y x ，则上述切线⽅程为.21x y =由曲线()211≤≤-=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积().15563412212121-=-='+=??πππdxx dx y y S由直线段()2021≤≤=x x y 绕x 轴旋转⼀周所得到的旋转⾯的⾯积.525212202ππ?=?=dx x S因此，所求旋转体的表⾯积为().1511621-=+=πS S S ．例12 计算半径为R 的球⾯的⾯积．解半径为R 的球⾯可以看成圆222R y x =+所围成的平⾯图形绕R 轴旋转所形成旋转体的侧⾯积．由于y xy -='，于是 2222242212R dx R dx yy x y dx y x y S R R R R R Rππππ==+=???? ?-+=---．。
《定积分经典习题》课件
这个PPT课件将带您深入学习定积分的经典习题。我们将探讨定积分的定义、 基本性质以及各种应用，帮助您更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
定积分的定义和基本性质
定义
了解定积分的含义和定义。
计算
掌握理。
应用
了解定积分在实际问题中的应用场景。
利用定积分求曲线下面的面积
几何意义
了解如何利用定积分求曲线下面的面积。
曲线之间的面积
掌握如何计算两条曲线之间的面积。
极坐标系下的面积
了解如何在极坐标系中计算曲线下面的面积。
利用定积分求旋转体的体积
1
旋转体的计算原理
了解如何利用定积分求旋转体的体积。
2
绕x轴旋转
掌握绕x轴旋转时的体积计算方法。
3
绕y轴旋转
掌握绕y轴旋转时的体积计算方法。
利用定积分求平面图形的重心
平面图形的重心定义
了解平面图形重心的定义和计算方法。
三角形的重心
掌握三角形重心的计算方法。
矩形的重心
掌握矩形重心的计算方法。
圆形的重心
了解圆形重心的计算方法。
利用定积分求圆的面积和体积
1
圆的面积
了解如何利用定积分优雅地计算圆的面积。
2
球的体积
利用定积分求曲线的弧度
1 弧度定义
了解曲线的弧度的定义。
2 计算方法
掌握如何利用定积分计算曲线的弧度。
3 常用曲线的弧度
牛顿摆线、双曲线等常用曲线的弧度计算方法。
掌握如何利用定积分计算球的体积。
利用定积分求曲线的长度
弧长的定义
了解曲线的弧长的定义。
计算方法
掌握如何利用定积分计算曲线的长度。
定积分(辅导班、习题课)
例 32.（07.4）设函数 f(x)具有连续的一阶导 数, 且满足
f ( x) x ( x 2 t 2 ) f (t)dt x 2 0
求 f(x)的表达公式.
15
例
33.（07.2）设
f(x)是区间[0,
4
] 上的单调、
可导函数，且满足
f (x) f 1(t)dt x t cos t sin tdt
1内至少
2
一点 ζ ，使 f (ζ ) f (ζ ) .
10
例 21.
求函数
f
(x)
x2
0
(2
t )e t dt
的最大值和最
小值。(95.3)
x t2
例 22. 已知函数 f ( x) 0 e 2 dt, x ，
求 f (x) ，并讨论 f ( x) 的单调性，奇偶性及函
数图形的凹凸性，并求 f (x) 的图形的拐点和 水平渐近线。（88.4.5）
得
7.积分中值问题
解法思路: 通常是积分中值定理、介值定理和微分中值定理的联合使用。
23
例 41. 设在[a, b]上 f (x)连续.且满足
f (a) f ( x) f (b).证明:c [a, b]使
ab f ( x)dx f (a)(c a) f (b)(b c)
证：令 F( x) f (a)(x a) f (b)(b x)
解法思路:
一． 变量代换公式和分部积分公式 本身就是高度普遍性的积分等 式，亦可用来推出其它积分等 式；
二． 视为变限积分函数问题，转化 为导数的应用问题。
三． 用中值定理
17
例 34.设 f ( x) 处处连续，证明：
a x3 f ( x2 )dx 1
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( A)不选
5
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而：sin x x x (0, )
2
sin x 1, x (0, )
x
2
2
sin
x
dx
2
dx
,
故(D)不选.
0x
0
2
( sin x
x )
cos
x(x x2
tan
x)
0,
x
(0,
2
)
sin x x
sin
2
2
, x (0, )
2
2
2
解：(1)原式 a (1 x2 ) ln(1 x2 )dx 0
思考：为什么不写成：2x (x2)
分部积分
(1
x2 )ln(1
x2)
a
a (1 x2 )[ln(1 x2 )]dx
00
(1 a2 ) ln(1 a2 )
a
2xdx
0
看出表示：2x (1 x2)的好处吗？
9
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二、典型例题
例1、利用定积分的几何意义计算 2 12 4x x2 dx 2 解：由y 12 4x x2 (x 2)2 y2 42
故积分：2 12 4x x2 dx等于 1 个半径为4的园的面积.
2
4
2 12 4x x2 dx 1 42 4
2
4
3
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例2.设f (x), g(x)连续，下列等式不成立的是( )
b
b
b
( A)a [ f (x) 2g(x)]dx a f (x)dx 2a g(x)dx
b
b
b
(B)a [ f (x) 2g(x)]dx a f (x)dx 2a g(x)dx
b
b
b
(C)a f (x)g(x)dx a f (x)dxa g(x)dx
b
(D) f (x)dx
c f (x)dx b f (x)dx(其中：c (a,b))
a
a
c
解：利用定积分的性质，我们知只有(C)是正确的选择。
4
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例3.下列不等式中，成立的是( )
(A)
1 x2 6x 11 sin 2 x
dx
1 1
x2 6x 1 x2
dx
第五章
定积分及其应用
习题课
一、主要内容框图； 二、典型例题.
1
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一、主要内容框图
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理 定积分 广义积分
的定 性积 质分
2
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牛顿-莱布尼茨公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
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计 算 法
定 积 分 的
2
2 0
[
cos2012 x cos2012 x sin 2012
x
sin 2012 x sin 2012 x cos2012
]dx x
1
2 dx
20
4
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例9. 求 lim n
1 xnex 01 ex
dx
.
解: 因为
时,
0
x ne 1 e
x x
xn,
所以
0
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(1 a2 ) ln(1 a2 ) a2
(2)原式 a (x2 1) ln(1 x)dx 0
(x2 1)ln(1 x) a a (x2 1)[ln(1 x)]dx 00
(a2 1) ln(1 a)
a
(x 1)dx
0
(a2
1) ln(1
x2 a) (
x)
a
2
0
(a2 1) ln(1 a) a2 a 2
(B)
2
sin
x
dx
1
0x
(C)1
2
sin
x
dx
0x
(D)
2
sin
x
dx
2 0x
解：由：1 1
x2 6x
1
sin
2
dx x
1 x2
1 1
sin
2
dx x
1 x2 6xdx 1 x2 dx 及： x2 x2
1 1 x2
11 x2
1 x2 1 sin 2 x
x (1,1)
lim[ n n
n n]
n n 1 n 1
sin
x
dx
2
2
dx
1
0x
0
故正确的选择为(C).
6
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例4.设f (x)在(,)上连续，f (x) 0,下列函数中，
不是f (x)的原函数的是( ）.
x
( A)a f (t)dt
b
(B) f (t)dt x
1 x2
(C)a 2 t f ( t )dt
b
(D)a f (t)dt
10
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(3)原式 1( x2 1)arctan xdx
02
x2
1
1 arc tan x
1
(
x2
1)( arc tan x)dx
2
02
0
1 1dx 4 02
1
42
11
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例7
2
1 dx
0 1 tan x
解：2
1
dx 2
cos x dx
解：由于：( b f (t)dt) 0 a
故正确的选择为(D).
7
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例5.下列积分中，能用牛顿-莱布尼茨公式的是( ）.
2
1
( A)
dx
0 (2x 1)(2x 1)
0
(B)
1
dx
2 (2x 1)(2x 1)
2
(C )
1
2
dx ( A)
1
dx
1 (2x 1)(2x 1)
0 1 tan x
0 sin x cos x
1
2
2 0
[ sin
c os x x cosx
sin(
cos( x)
2
x) cos(
]dx x)
2
2
1
2[
cos x
sin x
]dx
2 0 sin x cos x cos x sin x
1
2
dx
20
4
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*例8 计算
2 (2x 1)(2x 1)
解：由于
1
在区间[1,2]内连续，
(2x 1)(2x 1)
故能用牛顿 莱布尼兹公式，
所以，正确的选择为(C).
8
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例6.计算定积分：(1) a 2x ln(1 x2 )dx 0 a (2)0 2x ln(1 x)dx
(a 0) (a 0)
1
(3)0 x arctan xdx
I
2 0
1
1 tan 2012
x
dx.
解
I
2 0
cos2012 x cos2012 x sin 2012
dx x
1
2
2 0
cos2012 x [ cos2012 x sin 2012
x
cos2012 ( x)
2
cos2012 ( x) sin2012 (
]dx x)
2
2
1
1 xnex 01 ex
dx
1 xn dx 1
0
n 1
利用夹逼准则得
lim
n
1 xnex 01 ex
dx
0
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例10. 求
sin sin 2
sin (n 1) sin n
lim[ n n
n n]
n n 1 n 1
n 1
n 1
解： sin sin 2
sin (n 1) sin n