定积分习题课

lim[ n n
n n]
n n 1 n 1
解：由于：( b f (t)dt) 0 a
故正确的选择为(D).
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例5.下列积分中，能用牛顿-莱布尼茨公式的是( ）.
2
1
( A)
dx
0 (2x 1)(2x 1)
0
(B)
1
dx
2 (2x 1)(2x 1)
2
(C )
1
2
dx ( A)
1
dx
1 (2x 1)(2x 1)
解：(1)原式 a (1 x2 ) ln(1 x2 )dx 0
思考：为什么不写成：2x (x2)
分部积分
(1
x2 )ln(1
x2)
a
a (1 x2 )[ln(1 x2 )]dx
00
(1 a2 ) ln(1 a2 )
a
2xdx
0
看出表示：2x (1 x2)的好处吗？
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(B)
2
sin
x
dx
1
0x
(C)1
2
sin
x
dx
0x
(D)
2
sin
x
dx
2 0x
解：由：1 1
x2 6x
1
sin
2
dx x
1 x2
1 1
sin
2
dx x
1 x2 6xdx 1 x2 dx 及： x2 x2
1 1 x2
11 x2
1 x2 1 sin 2 x
x (1,1)
b
(D) f (x)dx
c f (x)dx b f (x)dx(其中：c (a,b))
a
a
c
解：利用定积分的性质，我们知只有(C)是正确的选择。
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例3.下列不等式中，成立的是( )
(A)
1 x2 6x 11 sin 2 x
dx
1 1
x2 6x 1 x2
dx
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(1 a2 ) ln(1 a2 ) a2
(2)原式 a (x2 1) ln(1 x)dx 0
(x2 1)ln(1 x) a a (x2 1)[ln(1 x)]dx 00
(a2 1) ln(1 a)
a
(x 1)dx
0
(a2
1) ln(1
x2 a) (
x)
a
2
0
(a2 1) ln(1 a) a2 a 2
I
2 0
1
1 tan 2012
x
dx.
解
I
2 0
cos2012 x cos2012 x sin 2012
dx x
1
2
2 0
cos2012 x [ cos2012 x sin 2012
x
cos2012 ( x)
2
cos2012 ( x) sin2012 (
]dx x)
2
2
1
sin
x
dx
2
2
dx
1
0x
0
故正确的选择为(C).
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例4.设f (x)在(,)上连续，f (x) 0,下列函数中，
不是f (x)的原函数的是( ）.
x
( A)a f (t)dt
b
(B) f (t)dt x
1 x2
(C)a 2 t f ( t )dt
b
(D)a f (t)dt
2
2 0
[
cos2012 x cos2012 x sin 2012
x
sin 2012 x sin 2012 x cos2012
]dx x
1
2 dx
20
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例9. 求 lim n
1 xnex 01 ex
dx
.
解: 因为
时,
0
x ne 1 e
x x
xn,
所以
0
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二、典型例题
例1、利用定积分的几何意义计算 2 12 4x x2 dx 2 解：由y 12 4x x2 (x 2)2 y2 42
故积分：2 12 4x x2 dx等于 1 个半径为4的园的面积.
2
4
2 12 4x x2 dx 1 42 4
2
4
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1 xnex 01 ex
dx
1 xn dx 1
0
n 1
利用夹逼准则得
lim
n
1 xnex 01 ex
dx
0
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例10. 求
sin sin 2
sin (n 1) sin n
lim[ n n
n n]
n n 1 n 1
n 1
n 1
解： sin sin 2
sin (n 1) sin n
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(3)原式 1( x2 1)arctan xdx
02
x2
1
1 arc tan x
1
(
x2
1)( arc tan x)dx
2
02
0
1 1dx 4 02
1
42
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例7
2
1 dx
0 1 tan x
解：2
1
dx 2
cos x dx
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例2.设f (x), g(x)连续，下列等式不成立的是( )
b
b
b
( A)a [ f (x) 2g(x)]dx a f (x)dx 2a g(x)dx
b
b
b
(B)a [ f (x) 2g(x)]dx a f (x)dx 2a g(x)dx
b
b
b
(C)a f (x)g(x)dx a f (x)dxa g(x)dx
0 1 tan x
0 sin x cos x
1
2
2 0
[ sin
c os x x cosx
sin(
cos( x)
2
x) cos(
]dx x)
2
2
1
2[
cos x
sin x
]dx
2 0 sin x cos x cos x sin x
1
2
dx
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*例8 计算
2 (2x 1)(2x 1)
解：由于
1
在区间[1,2]内连续，
(2x 1)(2x 1)
故能用牛顿 莱布尼兹公式，
所以，正确的选择为(C).
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例6.计算定积分：(1) a 2x ln(1 x2 )dx 0 a (2)0 2x ln(1 x)dx
(a 0) (a 0)
1
(3)0 x arctan xdx
( A)不选
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而：sin x x x (0, )
2
sin x 1, x (0, )
x
2
2
sin
x
dx
2
dx
,
故(D)不选.
0x
0
2
( sin x
x )
cos
x(x x2
tan
x)
0,
x
(0,
2
)
sin x x
sin
2
2
, x (0, )
2
2
2
第五章
定积分及其应用
百度文库习题课
一、主要内容框图； 二、典型例题.
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一、主要内容框图
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理 定积分 广义积分
的定 性积 质分
2
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牛顿-莱布尼茨公式
b
a f ( x)dx F (b) F (a)
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计 算 法
定 积 分 的