数学实验怎样计算圆周率

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推导过程圆周率的计算方法

推导过程圆周率的计算方法圆周率，又称π，是数学中一个非常重要的数。

它的计算一直以来都备受关注和探索。

本文将介绍三种经典的计算圆周率的方法，分别是蒙特卡洛方法、无穷级数法和中学几何法。

一、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种基于随机抽样的计算方法，其原理是通过随机点在一个区域内的分布状况来估计该区域的属性。

这个方法也可以被用于计算圆周率。

假设我们有一个边长为2的正方形，围绕它画一个内切圆。

通过随机投点，我们可以计算正方形内与圆相交的点和总点数的比例，从而估算圆周率。

通过重复进行投点实验，随着实验次数的增加，计算结果会逐渐逼近真实值。

这是因为随机点的分布越来越接近整个区域的均匀分布。

二、无穷级数法无穷级数法是一种通过无穷级数进行逼近计算的方法，其中一个著名的无穷级数就是莱布尼茨级数。

莱布尼茨级数的公式是：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...我们可以通过将级数的前n项相加来逼近π的值。

随着级数项数的增加，逼近结果会越来越接近π。

此外，还有其他一些无穷级数，如马青公式和阿基米德公式等，它们也可以被用于计算圆周率。

三、中学几何法中学几何法是一种通过几何形状和关系计算圆周率的方法。

一个著名的中学几何法是通过正多边形的内接和外接圆来逼近圆周率。

首先，我们可以构建一个正多边形，然后通过计算多边形的周长和直径的比例来逼近圆周率。

当多边形的边数不断增加时，逼近结果会越来越接近π。

此外，还有其他形状和关系，如圆的面积和周长的关系等，也可以被用于计算圆周率。

综上所述，我们介绍了三种经典的计算圆周率的方法，包括蒙特卡洛方法、无穷级数法和中学几何法。

这些方法都是基于不同原理和数学概念的，并且在实际应用中具有一定的价值。

无论是使用蒙特卡洛方法的随机模拟，还是通过无穷级数的逼近计算，或者是通过几何形状的关系，计算圆周率的方法都追溯到了数学领域的深入探索和发展。

它们的推导过程和运用都有着独特的数学魅力，能够帮助我们更好地理解和应用圆周率的概念。

圆周率的实验报告

圆周率的实验报告圆周率的实验报告引言：圆周率（π）是数学中一个重要的常数，它表示圆的周长与直径的比值。

圆周率的数值约等于3.14159，是一个无限不循环的小数。

在本次实验中，我们将通过不同的方法来计算圆周率，并探讨其性质和应用。

实验一：测量圆的周长和直径首先，我们需要测量一个圆的周长和直径，以便计算圆周率。

选择一个圆形物体，如一个硬币或者一个圆盘，使用一个软尺或者卷尺测量其周长和直径。

将测量结果记录下来，并计算周长与直径的比值。

实验二：使用几何方法计算圆周率在几何学中，我们可以通过正多边形的外接圆和内接圆来近似计算圆周率。

选择一个正多边形，如正六边形或正十二边形，测量其边长和内切圆的半径。

然后，计算正多边形的周长与内切圆的周长的比值。

随着正多边形的边数增加，这个比值会越来越接近圆周率。

实验三：使用概率方法计算圆周率概率方法是一种基于随机事件的方法来计算圆周率。

我们可以在一个正方形内随机撒点，并计算落在正方形内的点中，落在内切圆内的点的比例。

根据概率理论，这个比例会接近于圆的面积与正方形的面积之比，即π/4。

通过将这个比例乘以4，我们可以得到一个近似的圆周率值。

实验四：使用级数方法计算圆周率在数学中，圆周率可以通过级数来计算。

其中一个著名的级数是莱布尼茨级数：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...通过不断计算级数的和，我们可以逼近圆周率的数值。

在实验中，我们可以计算不同级数的和，并观察其逼近圆周率的速度。

实验五：使用计算机模拟计算圆周率计算机的出现为计算圆周率提供了更加精确和高效的方法。

我们可以使用计算机编写程序，通过数值方法来计算圆周率。

例如，可以使用蒙特卡洛方法，在一个正方形内随机生成大量点，并计算落在内切圆内的点的比例。

根据概率理论，这个比例会逼近圆周率的数值。

结论：通过以上实验，我们可以发现不同方法计算的圆周率值会有一定的误差，但随着方法的改进和精确度的提高，这个误差可以被不断减小。

试验π的计算

. 22||||212188 .224 4242))21(11()21(|||||| .22 . . 11121111221212221122N N ∈∙=∙=∙∙∙∙===∙=∈--=--=--+=+====++-+n a S a OE AB S S n a a a a a EF AF AE a S a n S a n n n OAE n n n n n n ，，故又注意到，相应的边数，故，注意到，边长和面积，则步单位圆内接多边形的第分别是，设值也就越接近圆周率近单位圆的面积，其数边形的面积就越来越接那么内接正多正多边形的边数开始，逐步成倍地增加从单位圆的内接正方形Δ实验2：π的计算学院：机械与动力工程学院姓名：唐子彦学号：515020910137一、实验目的通过求π的近似值，了解历史上计算π值的一些方法，包括刘徽割圆术、级数展开、数值积分和Monte Carlo 法等. 复习微积分中相关知识，比较它们的差异，了解计算方法对提高计算效率的意义.二、实验内容（一）利用鲁道夫割圆术计算π值【问题】德国人鲁道夫一生计算圆周率，他同样是用圆的内接多边形逼近圆周. 不过，他是从正方形开始成倍增加边数. 试推导出他计算所采用的递推公式，然后求π的近似值到10位和20位有效数字. 【解】图1.1.1 ,21 ,21 421 ,2 1112⎩⎨⎧>∈∙==⎪⎩⎪⎨⎧>∈--==---n n a n S n n a n a n n n n n 且，且，的递推公式：由此可得鲁道夫割圆术N N 为通过“鲁道夫法”计算π的近似值，现编写M 文件如下：为求出指定有效数字位数的π值，还需编写M 文件如下：运行结果如下：图1.2【答】由图1.2不难发现，“鲁道夫法”计算π值效率较高，n=16时即可得到π的10位有效数字，n=32时即可得到π的20位有效数字. 然而，由于中途过程涉及开方等运算，因此计算较为复杂繁琐.（二）利用幂级数展开式计算π值【问题】简单公式31arctan 21arctan4+=π，Machin 公式2391arctan 51arctan 44-=π，以及公式81arctan 51arctan 21arctan 4++=π. 试验证上述三个公式（分别记为公式1、2、3），并利用反正切函数的幂级数展开式求π值，比较上述三公式的计算效率. 此外，再找出一种利用幂级数展开式求π的方法并验证之. 【解】.1424404tan 1312113121tan tan 1tan tan )tan(.31tan ,21tan 31arctan ,21arctan )1(得证，公式，故且，因为，则记πβαπππβαπβαβαβαβαβα=+=+<+<==⨯-+=-+=+====.244203404tan 1239111912012391119120tan 4tan 1tan 4tan )4tan(1191204tan 125)5(1512tan 1tan 22tan .2391tan ,51tan 2391arctan ,51arctan )2(22得证，公式，故且，因为，则再记ππππ=-<-<-<==⨯+-=+-=-=⇒=-⨯=-=⇒====y x y x y x y x y x x x x x y x y x .34.431tan 1tan 1)4(tan 31815118151tan tan 1tan tan )tan(.81tan ,51tan ,21tan 81arctan )3(得证，公式即，故且，因为，则再记z x z x z x z x z x z x z ++=+=-=+-=-=⨯-+=-+=+====απαπαααπα为利用上述三个公式求出π值，现编写以下三个M文件：第一个M文件，对应于公式1：第二个M文件，对应于公式2：第三个M文件，对应于公式3：为比较它们计算指定有效数字位数的π值的效率，还需编写M文件如下（详见第五页）：运行结果如下（每五个为一组）：图2.1 图2.2图2.3 图2.4 从上述四幅图中可以看出，公式1、3的计算效率基本相同，而公式2的计算效率高于其他两个.然而，从有效数字位数m=15开始，所得结果中公式1、2、3所需项数不再增加，这可能是MATLAB本身的原因. 个人猜测：当MATLAB计算到一个与π极为相近的数时，可能将其自动补全为π，而没有继续计算. 为试图解决该问题，可改用C++进行编程，所需的CPP文件如下：运行结果（每五个为一组）见第9页.从运行结果来看，有效数字位数m=1~16均可得到正确的项数n1、n2、n3. 然而当m=17时，或许是由于C++语言中long double类型的计算精度有限，无法进行高精度的浮点运算，导致循环条件恒为真，即程序进入死循环，无法得出正确结果. 对于m>17的情形更是如此（参见图2.8）.图2.5 图2.6左图：图2.7 下图：图2.8.4)21(!)!2)(12(!)!12(2121arcsin 621.!)!2)(12(!)!12(d !)!2(!)!12(11d arcsin :)1,1(.11!)!2(!)!12(1],[)(:)1,1(],[!)!2(!)!12()( .)1,1(!)!2(!)!12(1).1,1(11 1).1,1(11!)!2(!)!12(lim .1121lim 21lim 121!)!2(!)!12(21:.!)!2(!)!12(lim lim 2,!)!2(!)!12(!)21(12,0!)21(43!21211)](1[11.)21(!)!2)(12(!)!12(2121arcsin 6 4.)4(112011122022],[122122222210210422122112得证，公式，即得到取可求积定理”知：再由“函数项级数逐项且，则记内内闭一致收敛在第二定理，级数据无意义，故收敛域为时，又当，即收敛区间为，则收敛半径故，且注意到，则记证明如下：：公式利用以下公式计算π值除此之外，我们还可以∑⎰∑∑⎰∑∑∏∏∑∞=+∞=∞=+∞=∞=∞→∞→∞→∞→∞→-=-=-∞=++-+===+-+=-+=-=-∈∀-⇒-+∈-⊂∀-=--+--±=-==-==+=+<-≤∈∀-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-==⋯+++⋯+∙++=-+=-+-+==n n xn n n n xb a n n n n n n nkk n n n n k k n n ____n k i n n n i n n n n n x x n n n x t t n n t tx x xx n n b a C x u b a x n n x u x n n Abel xx r k k ρn n n n n nn k k a ρkn k k k i k n a x n i x x x x n n n πρπN为比较公式4与前三个公式的计算效率，现编写M 文件如下：输入图2.9所示命令行，运行结果如下：图2.10【答】对比以上四公式的计算结果不难发现，公式1、3计算效率大致相同且较低，公式2的计算效率最高，公式4的计算效率介于它们之间比公式1、3略高。

求圆周率的方法

求圆周率的方法
圆周率是一个重要的数学常数，它代表圆的周长与直径的比值，通常用希腊字母π表示。

但是，圆周率的精确值是无限小数，无法被完全表示或计算出来。

因此，人们通过不同的方法来近似计算圆周率的值。

以下是几种常见的求圆周率的方法：
1. 随机撒点法
这种方法利用大量随机的点来模拟圆的内外部分布，然后根据点的数量和位置来计算圆周率的近似值。

随着点数的增加，近似值会越来越接近真实值。

2. Machin公式
这是一种基于三角函数的公式，可以用来计算圆周率的近似值。

Machin公式的形式为：
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
通过计算这个公式，可以得到π的近似值。

3. Buffon针实验
这个实验是利用一个长针在平面上随机投掷，然后根据针的长度和投掷的次数来计算圆周率的近似值。

这种方法需要一定的实验技巧和设备，但它可以帮助人们更好地理解圆周率的概念和计算方法。

除了以上这些方法外，还有许多其他的方法可以用来求圆周率的值。

无论采用哪种方法，都需要注意精度和计算误差，以确保得到的结果是可靠和准确的。

圆周率π的近似值是3

圆周率π的近似值是3．14159……。

我国古代数学家刘徽、祖冲之等在计算圆周率这个问题上有卓越贡献。

要计算圆周率，方法很多，现在来介绍一个完全用不到计算的实验方法.预备一些粗细均匀的小针，每枚约长2厘米。

另外在一张白纸上划出许多平行线，各线间的距离是小针长度的两倍。

准备好以后，就把小针一只一只从高处投在纸上，并不断记录小针和任意一条平行线相交的次数。

如果投掷的总次数非常之多，那末用投掷总次数除以小针碰线的次数，就得到π的近似值。

这是什么道理呢？首先，我们假定小针与直线最可能相交的次数是k。

小针和直线相交时，这个交点一定是在这2厘米长中的一处，任意1毫米都不会有更优越的机会。

因此如果针上某段长1毫米，则这一段可能相交的次数是k；如果是7毫米，则这一段可能相交的次数便是k。

总而言之，最可能相交的次数是与针的长度成正比的。

即使把小针弄成弯曲的形状，这个比值也仍然是对的。

譬如说，把针弯成拆线状的两段，一段是7毫米，另一段是13毫米；那末，这两段可能相交的次数分别是k和k，加起来仍旧是k。

我们还可以把针弯曲得更厉害一些，可能相交的次数也不会因此而发生改变。

不过在投掷弯曲了的小钟时，它可能同时在几个地方和直线相交，那时，必须把每一个交点数都计算在内。

我们知道，当正多边形的边数无限增多时，它的极限是圆。

所以“圆”这种图形可以代表弯曲得最厉害的小针。

现在假定圆形小针的直径恰好与纸上两条相邻的平行线间的距离相等，那末这个圆形小针投掷下来时，不是和一条直线相交两次，就是和两条相邻的平行线相切。

不管怎样，它的相交次数是2。

因此，当投掷的次数为n 时，碰线的次数便是 2n。

现在小针的长度只有两条相邻平行线间距离的一半，所以针的长度只有上述圆形小针长度（即圆周长）的。

但是可能碰线的次数是与针的长度成正比的，因此小针的可能碰线的次数k就必须满足下面的比例式：1:＝2n: k于是就得到π＝，也就是π＝投掷总次数碰线次数这就是上面“投针实验”的理论根据。

MATLAB数学实验

实验三圆周率的计算学号：姓名：XX一、实验目的1. 本实验涉及概率论、定积分、三角函数等有关知识，要求掌握计算π的三种方法及其原理。

2. 学习和掌握数学软件MATLAB 的使用方法。

二、实验内容圆周率是一个极其驰名的数。

从有文字记载的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们的兴趣。

作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。

仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。

事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代又一代数学家为此献出了自己的智慧和劳动。

回顾历史，人们对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。

π的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。

德国数学家康托说：“历史上一个国家所算的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。

”直到19世纪初，求圆周率的值还是数学中的头号难题。

1. 圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。

即用圆的内接或外切多边形来逼近圆的周长。

Archomedes 用正96边形得到35位精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph V an Ceulen 用正2^62边形得到了35位精度。

这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。

随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意得发现了许多计算圆周率的公式。

下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。

除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。

1) Machin 公式2391a r c t a n451a r c t a n 16-=π ()121...753arctan 121753--++-+-=--n x x x x x x n n 这个公式由英国天文学教授John Machin 于1706年发现。

他利用这个公式计算到100位的圆周率。

Machin 公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。

怎样计算圆周率的值

5.利用学习过的知识(或查阅资料)，提出其他
计算的方法
谢谢各位！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
In[1] n=10000; S4= Block[{i,m=0}, For[i=n,i>0,i--, m=m+If[Random[]^2+Random[]^2<=1,1,0]]; N[4*m/n,10]] Out[2] In[1] Out[2] In[1] Out[2] 3.1352 n=50000; 3.15336 n=100000; 3.14736
Mathematica
In[1] y[x_]:=4/(1+x^2); n=100; S3=N[1/(2*n)*(Sum[2*y[k/n],{k,1,n-1}]+y[0]+y[1]),30]
3.1415759869231285559229513739
Out[2]
In[3] n=500; Out[4] 3.141591986923126571922960843596 In[5] n=1000; Out[6] 3.141592486923126571797960843597 In[7] n=5000; Out[8] 3.141592646923126571795976843597
实验任务
1. 用反正切函数的幂级数展开式结合有关公式求，若要精确到以40位、50位数字，试比较简单公式和Machin公式所用的项数. 2. 用数值积分计算，分别用梯形法和Simpson 法精确到10位数字，用Simpson法精确到15位数字.
3. 用Monte Carlo 法计算，除了加大随机数，在随机数一定时可重复算若干次后求平均值，看能否求得5位精确数字？ 4. 设计方案用计算机模拟Buffon实验

“投针实验 ”求圆周率的方法

教材提到了“投针实验”求圆周率的方法。

1777年，法国数学家蒲丰取一根针，量出它的长度，然后在纸上画上一组间距相等的平行线，这根针的长度是这些平行线的距离是的一半。

把这根针随机地往画满了平行线的纸面上投去。

小针有的与直线相交，有的落在两条平行直线之间，不与直线相交。

这次实验共投针2212次，与直线相交的有704次，2212÷704≈3.142。

得数竟然是π的近似值。

这就是著名的蒲丰投针问题。

后来他把这个试验写进了他的论文《或然性算术尝试》中。

蒲丰证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。

这个公式中l为小针的长，d为平行线的间距。

由这个公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。

当实验中投的次数相当多时，就可以得到π的更精确的值。

蒲丰实验的重要性并非仅仅是为了求得比其它方法更精确的π值。

而在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子。

计算π的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。

找一根粗细均匀，长度为d 的细针，并在一张白纸上画上一组间距为l 的平行线（方便起见，常取l = d/2），然后一次又一次地将小针任意投掷在白纸上。

这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，布丰（Comte de Buffon）设计出他的著名的投针问题（needle problem）。

依靠它，可以用概率方法得到π的近似值。

假定在水平面上画上许多距离为a的平行线，并且，假定把一根长为l＜a的同质均匀的针随意地掷在此平面上。

布丰证明：该针与此平面上的平行线之一相交的概率为：p=2l/(api) 把这一试验重复进行多次，并记下成功的次数，从而得到P的一个经验值，然后用上述公式计算出π的近似值，用这种方法得到的最好结果是意大利人拉泽里尼（Lazzerini）于1901年给出的。

他只掷了3408次针，就得到了准确到6位小数的π的值。

第14周实验十四数值随机化算法计算圆周率

第14周实验十四数值随机化算法计算圆周率为了计算圆周率，人们发明了许多方法，其中的一个方法是数值随机化算法。

数值随机化算法是一种通过使用随机数来估计数值的方法。

本文将介绍数值随机化算法如何计算圆周率。

圆周率是数学中一个重要的无理数，通常表示为π。

在几何中，π被定义为圆的周长与其直径的比值。

圆的周长可以通过直接测量得到，但这样的方法非常耗时且低效。

因此，人们一直在寻找更加高效的方法来计算圆周率。

数值随机化算法是一种使用随机数生成器来估计数值的方法。

在计算圆周率时，可以使用Monte Carlo方法。

该方法通过随机地在一个正方形中产生点，然后统计在该正方形内的点落在了一个以原点为圆心、边长等于正方形边长的圆内的比例。

具体的计算过程如下：1.首先，设定一个正方形的边长为1、该正方形可以表示整个计算空间。

2.然后，随机地在正方形中产生大量的点。

3.统计在圆内的点的个数。

4.计算在圆内的点与总点数的比例，并将其乘以4，即可得到一个估计的圆周率。

为什么这个方法可以计算圆周率呢？这是因为Monte Carlo方法是一种概率方法，它利用了随机样本在总体中的比例来估计参数的方法。

在上述的计算过程中，正方形中的点数是已知的，而圆内的点数是未知的。

通过统计圆内的点数与总点数的比例，可以得到一个估计值。

当样本的大小越大时，估计的准确性也会提高。

然而，需要注意的是，Monte Carlo方法并不是完全准确的，它只是给出了圆周率的一个估计值。

因此，在计算圆周率时，需要使用尽可能多的随机点来提高准确性。

另外值得一提的是，数值随机化算法不仅可以用来计算圆周率，还可以用于其他估计数值的计算。

例如，可以用数值随机化算法来计算其中一种病的患病率，或者来估计一些市场的需求量等。

这种方法在实践中被广泛应用，因为它相对简单，计算效率高，并且具有一定的准确性。

总结起来，数值随机化算法是一种通过使用随机数来估计数值的方法。

在计算圆周率时，可以使用Monte Carlo方法，该方法通过随机地在一个正方形中产生点，然后统计在圆内的点的比例来计算圆周率的估计值。

1数学建模实验-圆周率的计算

19-23
设计方案
在正方形 0< x <1, 0< y<1 上随机的投大量的点，那么落在四分之一园内的点数数m与在正方形内的点数n 之比m/n应为这两部分图形面积之比＝π/4,故 π＝4 m/n 计算机模拟：产生区间[0,1]上数目为n的一组随机数(x,y)，计算满足x2+y2<1的点数m
Ä 1630年,最后一位用古典方法求π的人年最后一位用古典方法求π 格林伯格也只求到了π的第位小数格林伯格也只求到了的第39位小数的第
8-23
分析方法
从十七世纪中叶起，从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求π的近似值，其中应用的主分析方法来求π的近似值，要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求π 本节中我们将介绍一些用此类方法求π近似值的实例。似值的实例。
>>ans=
3.1415925796063512110
>> vpa(4*symsum((-1)^(k-1)/(2*k-1)*(1/2)^(2*k1),1,20)+4*symsum((-1)^(k-1)/(2*k-1)*(1/3)^(2*k-1),1,20),20)
>>ans=
3.1415926535897574098
16-23
方法2 利用数值积分
1 设 y(x) = 1+ x2
1 A = 4∫ dx = π 2 01 x ＋
1
将[0,1]区间 n 等分，取 xk=k/n, yk= 1/ (1+ k2) (1+x
2 梯形法⇒ A = [2( y1 + y2 +L+ yn−1) + y0 + yn ] n

圆周率的数学实验算法设计

3. 级数方法计算圆周率
算法原理：
由于 1 1+x2
=1- x2+x4- …+(- 1)n- x1 2n-2+…，
两边关于[0,x]上积分可得：
arctanx=x- x3 + x5 - …+(- 1)n-1 x2n-1 …
35
2n- 1
令 x=1 即：π =1- 1 + 1 - …+(- 1)n-1 1 …从而：
与直径之比。π 的计算伴随着人类的进步而发展，许多数学家在其计算
上花费了巨大精力。在中国有刘徽、祖冲之等，在国外有阿基米德、卡西
等。近现代科学家如华罗庚、闵嗣鹤、严士健等在其数论论文中也对圆
周率问题进行了探讨。有些数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的
圆周率的准确程度，可以作为衡量一个国家当时数学发展的一面旗
基金项目：本文受华东交通大学校研基金资助。作者简介：王广超（1978- ），男，汉族，山东微山人，硕士，讲师，华东交通大学基础科学学院。
—8—
帜。”
在信息技术发展日新月异的今天，数学教育面临着巨大的挑战。信
息时代以计算机作为工具，许多无法求解的问题有可能得到解决，计算
机技术应用领域不断涌现出新的要求 , 使得大量新兴的数学正在被有
效地采用。面对这样的形势，数学实验是将数学知识、数学建模思想与
计算机应用三者紧密结合的一体的教学模式。本文设计了 π 的多种计
for i=1:n
if sin(a(k))*sin((a(k)+b(k))/2)<0
a(k+1)=a(k);
b(k+1)=(a(k)+b(k))/2;
k=k+1;

实验03Π的计算

实验03Π的计算实验3 π的计算实验⽬的：1．掌握数学实验的⽅法和过程，学会撰写数学实验报告；2．掌握π的⼏种计算⽅法和思想，并能⽤其中的⼀些思想⽅法计算e ；实验内容：1．描述刘徽割圆术计算π的原理、⽅法和计算步骤，并编写实现计算的函数式M ⽂件。

采取不同的分割计算π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进⾏⽐较，对算法进⾏分析。

2．编写采⽤级数展开式1114(1)21n i n π∞-==--∑ 和 1212111114(1)2123n n n i n π∞---=??=-+ ?-??∑ 计算π的函数式M ⽂件。

调⽤编写的程序，尝试n 取不同整数以求π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进⾏⽐较，对算法进⾏分析和⽐较。

3．描述Monte Carlo ⽅法计算π的原理、⽅法和计算步骤，并编写实现计算的函数式M ⽂件。

调⽤编写的程序计算π的近似值，并将计算的结果与较准确的π值进⾏⽐较，并对算法进⾏分析。

4．给出两种计算超越数e 的⽅法，并通过数值计算实验进⾏算法分析。

实验仪器与软件：1．CPU 主频在2GHz 以上，内存在512Mb 以上的PC ；2．Matlab 2010a 及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师： 20 年⽉⽇实验3 π的计算⼀、计算π的刘徽割圆术1、原理：⽤圆的内接正多边形逼近圆周从⽽得到圆周率。

2、⽅法与计算步骤：从单位圆的内接正六边开始，逐步成倍地增加正多边形的边数。

那么内接正多边形的⾯积就越来越接近单位圆的⾯积，其数值也就越接近圆周率。

设a(n)是第n步单位圆内接正多边形的边长，取a(1)=1，为正⼗⼆变形。

边长：=其⾯积s(2)=12*0.5*OC*AD=3a(1)s(n+1)=3*2^(n-1)*a(n)3.函数式M⽂件：function cal pi(n)a(1)=1;for i=1:n-1a(i+1)=sqrt(2-sqrt(4-a(i)^2));endS=3*2^(n-1)*a(n)4、算法分析：n=16时输出的结果⽐n=5时精确了很多。

投针实验计算圆周率的数学分析

投针实验计算圆周率的数学分析王向东投针实验计算圆周率的数学证明方法，初中一般是采取假设针弯成直径等于平行线距离的方法巧妙证明。

这个方法是基于不管针弯成什么形状，针上的每一个部位与平行线相交的概率相同，但这是感观上的认识，要把其中原因解释清楚不是很容易。

笔者从纯数学的角度来推导这个公式。

一、投针问题的由来1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。

这一方法的步骤是：1) 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d 的平行线。

2) 取一根长度为()l l d <的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n 次，观察针与直线相交的次数，记为m3）计算针与直线相交的概率．18世纪，法国数学家布丰和勒可莱尔提出的“投针问题”，记载于布丰1777年出版的著作中：“在平面上画有一组间距为d 的平行线，将一根长度为()l l d <的针任意掷在这个平面上，求此针与平行线中任一条相交的概率。

”布丰本人证明了，这个概率是：2lp d π=，π为圆周率。

二、投针实验的数学证明投针这个动作是由两个事件构成的。

事件1：针投下后与平行线构成一定的夹角。

我们来分析一下针投下后与平行线之间的成某一特定夹角时的概率。

设针投下后与平行线之间的夹角为θ，则θ在0与π之间。

针与平行线之间的夹角在θ到θ+θ∆之间的概率为1p θπ∆=，当0θ∆→时，可看作针投下后与平行线之间成某一特定夹角为θ的概率。

事件2：针投下后会在平行线垂直的方向形成一个投影，针与平行线相交等于它的垂直投影与平行线相交。

这个投影的长度'l 在0到l 之间。

此时针在水平方向的投影为'sin()l l θ=。

再分析'l 与平行线相交的概率。

等于我们将问题转化成长度为'l 的针，并且只允许它处在与平行线垂直的方向上，这时它与平行线相交的概率显然为：2'sin()l l p d d θ==因为每一次投掷都是由上述两个事件组成的，因而对于针与平行线之间的夹角在θ到θ+θ∆之间时，针与平行线相交的概率()p θ为这两个事件概率的乘积，即：12sin()().l p p p d θθθπ∆== 因为针与平行线之间构成的夹角在0－π之间每个角度的机会都是均等的，因此针与平行线相交的概率相当于针落在每个θ附近θ∆范围内，当0θ∆→时与平行线相交的所有概率之和。

Pi的计算实验

数学实验之——，无穷的神秘气息探秘薛东明5030309891张晗雨5030309928圆周率是一个极其驰名的数。

从有文字记载的历史开始，这个数就引进了外行人和学者们的兴趣。

作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题。

仅凭这一点，求出它的尽量准确的近似值，就是一个极其迫切的问题了。

事实也是如此，几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。

回顾历史，人类对π 的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。

π 的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平。

德国数学史家康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。

”直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头号难题。

之所以如此，看看下面的方程就会明白。

这只是一小部分，后面有更多。

下面我和我的同伴就计算π的历史过程讨论一下π值的计算方法。

几何学：若圆的半径为r，圆周为C = 2 πr若圆的半径为r，其面积为A = πr2若球的半径为r，其体积为V = (4/3) πr3若球的半径为r，其表面积为r: A = 4 πr2分析数学：数论：任意两个自然数，互质的概率是6/π/π。

概率论取一枚长为l的针，再取一张白纸在上面画上一些距离为2的平行线。

把针从一定高度释放，让其自由落体到纸面上。

针与平行线相交的概率是圆周率的倒数。

（蒲丰投针）物理学(海森堡测不准原理)（爱因斯坦相对论场方程）实验时期计算π通过实验对π 值进行估算，这是计算π 的的第一阶段。

这种对π 值的估算基本上都是以观察或实验为根据，是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出的。

在古代世界，实际上长期使用π ＝3这个数值。

最早见于文字记载的有基督教《圣经》中的章节，其上取圆周率为3。

这一段描述的事大约发生在公元前950年前后。

其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值。

关于圆周率π的几种计算方法

关于圆周率π的几种计算方法圆周率π是数学中一个非常重要且有趣的数。

它定义为圆的周长与其直径的比值。

虽然π是一个无理数，不能被精确表示为有限的小数或分数，但人们一直致力于尽可能精确地计算它。

在这篇文章中，我将介绍几种计算π的常见方法。

1.迭代法：迭代法是最早用于计算π的方法之一、它的思想是通过不断逼近一个特定的级数或无穷乘积，来得到π的近似值。

著名的莱布尼茨级数就是一种典型的迭代法，其公式为：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...。

通过计算级数的若干项，可以逐步接近π的值。

2.随机法：随机法是一种基于概率的方法，即通过生成一系列随机数来进行π的近似计算。

其中一种著名的随机法叫做蒙特卡洛方法，它利用了随机点在单位正方形中的分布情况。

我们可以在单位正方形中生成大量随机点，然后统计落入一个四分之一圆内的点的比例，该比例将近似于π/43.平均法：平均法是一种通过平均一些函数在一定范围内的值来计算π 的方法。

其中一种著名的平均法是用到了泰勒级数展开中的一个公式：π/4 = arctan(1) = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...。

通过计算这个级数的前若干项的平均值，可以得到π 的近似值。

4.连分数法：连分数法是一种通过连分数的形式来逼近π的方法。

连分数是一种无限分数的形式，它的基本形式为a+1/(b+1/(c+1/(d+...)))。

通过将π表示为一个连分数的形式，并逐步计算连分数的部分分数，可以逼近π的值。

5.数值方法：数值方法是一种通过数值计算的方法来逼近π的值。

其中一种常用的数值方法是蒙特卡洛数值积分法。

这种方法利用随机生成的点来对一个函数在一定范围内的积分进行近似计算，通过计算得到的积分值可以得到π的近似值。

6.基于物理实验的方法：基于物理实验的方法是一种通过物理实验来测量π的方法。

其中一种著名的实验方法是利用圆的周长与直径关系进行测量，比如通过在地面上绕圆形的轮子行驶一周来计算π的近似值。

计算机计算圆周率程序

计算机计算圆周率程序圆周率是数学中一个十分重要的常数，通常用希腊字母π来表示。

它的近似值是3.141592653，是一个无理数，即不能用两个整数的比值来表示准确的值。

计算机可以通过一系列算法来逼近圆周率的值，本文将简要介绍几种常见的计算圆周率的方法。

1.蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种通过随机实验来估计数学常数的方法。

对于圆周率的计算，可以通过在一个正方形中随机投点，并统计落入圆内的点的数量来估计圆周率的值。

具体步骤是：1.绘制一个边长为2的正方形，以原点为中心；2.在正方形内随机散布大量点；3.统计落入一个以原点为中心，半径为1的圆内的点的数量；4.计算圆周率的近似值，等于4乘以落入圆内的点的数量除以总点数。

随着投点数量的增加，计算得到的近似值会趋近于真实值。

蒙特卡洛方法的优势在于简单易懂，不需要太复杂的数学知识即可实现。

2.高斯-勒让德方法高斯-勒让德方法是一种通过多项式求解的方法来计算圆周率的值。

这个方法的基本思想是，将圆的面积表示为多个正多边形的面积之和，然后通过求解每个多边形的面积来得到圆的面积进而计算圆周率。

假设正多边形的边数为n，则可以计算出每个多边形的边长、面积和圆心角。

通过逐渐增加n的值，可以不断逼近真实的圆周率的值。

高斯-勒让德方法的优势在于它的收敛速度非常快，即用较少的计算量可以获得较高精度的结果。

但是，该方法需要较高的数学知识和较复杂的计算过程。

3.霍纳法则霍纳法则是一种通过迭代算法来逼近多项式的值的方法。

在计算圆周率中，我们可以使用一个级数公式来表达圆周率的值，然后通过霍纳法则来逼近这个级数的值。

圆周率的级数公式是一个无限级数，通常用下面的公式表示：π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...我们可以通过不断迭代这个级数来获得圆周率的近似值。

每一次迭代，我们将新计算得到的值加到上一次计算的结果中，直到达到预定的精度为止。

霍纳法则的优势在于它的计算过程简单，只涉及加法和乘法运算，可以较快地得到近似值。

用蒙特卡罗方法计算π值实验报告

用蒙特卡罗方法计算π值实验报告蒙特卡罗方法是一种通过随机过程来解决数学、物理和工程问题的数值方法。

在本实验中，我们将利用蒙特卡罗方法计算圆周率π的的值。

以下是实验报告。

1.实验目的本实验的主要目的是利用蒙特卡罗方法计算圆周率π的值，并分析蒙特卡罗方法的可靠性和准确性。

2.实验原理蒙特卡罗方法的基本原理是通过随机采样来估计未知参数的值。

对于圆周率π的计算，我们可以利用正方形和内切圆的关系来实现。

具体步骤如下：(1)在一个给定的单位正方形中，以原点为中心，半径为1的圆。

(2)在正方形中随机生成大量的点，然后计算这些点在圆内的个数。

(3)根据圆的面积与正方形的面积的关系，可以利用这个比例来估计圆周率π的值。

3.实验过程(1)创建一个给定边长的正方形，圆的半径为正方形边长的一半。

(2)随机生成大量坐标点，并计算这些点距离原点的距离。

(3)统计在圆内的点的个数。

(4)根据统计结果计算圆周率π的估计值。

4.实验结果我们进行了多次实验，每次实验生成了100万个点。

然后我们计算每次实验中在圆内的点的个数，并利用这些数据计算圆周率π的估计值。

实验结果如下：实验次数点个数估计π值通过这些实验数据，我们可以计算出平均圆周率π的估计值为3.14085.实验分析通过对多次实验数据的统计分析，我们可以看到蒙特卡罗方法在估计圆周率π的值上具有较高的准确性和可靠性。

实验结果的稳定性较好，不同实验的结果都接近真实值π，而且相对误差较小。

然而，虽然得到的结果接近真实值，但是实验结果的准确性仍然受到概率分布的随机性的限制。

如果我们增加实验次数，可以提高结果的准确性，但是计算的时间也会相应增加。

此外，在计算π的过程中，我们使用了随机生成的数据，因此需要进行大量的计算。

若在实际应用中需要计算更复杂的问题，计算资源和时间消耗将会更大。

6.实验总结本实验使用蒙特卡罗方法计算了圆周率π的估计值。

通过多次实验的数据统计和分析，我们可以得出蒙特卡罗方法在计算π值上的准确性和可靠性较高。

圆周率的计算

4(AGM (a0,b0 ))2
1 22 c12 23c22 24 c32 ....
年代
1949 1973 1989 1999
2011
精确位数 2035 100万 10亿 2061亿 2000万亿
“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便
能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨
2 随机投针的概率含义 (1) 针的中点M与平行线的距离x均匀分布于区间[0,d/2]
(2) 针与平行线的交角均匀分布于区间 [0, ]
在间隔为d的平行线间随机投掷长度为l的针
[0,d/2]中随机选取x,[0,π]中随机产生θ,构成平面中点[x,θ]
M x
针与平行线相交的条件
x l sin ,0 x d ,0
两个任务:
(1) 了解圆周率的计算过程
(2) 设计计算圆周率的方法
1、实验时期
通过实验进行估算,这是计算圆周率的的第一阶段
古埃及：数谷粒与称重量：

中国:
4(8)2 256 3.1605 9 81
(1) “圆径一而周三”
----《周髀算经》
(2)“周三径一,方五斜七”
----木工口诀
2、几何算法
1
4
1
dx
01 x2
6、代数迭代
对正数a0,b0,定义算术均值数列和几何均值数列
ak 1

1 2
(ak
bk ), bk

ak bk
若两数列极限相等,则称此极限为它们的算术几何均值,记为AGM(a0,b0)
记 Ck2 ak2 bk2 ,
取
1 a0 1, b0 2 ,

数学实验：怎样计算圆周率

怎样计算姓名：学号班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。

实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值）其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。

而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图图一扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。

每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。

如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。

所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值：n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。

方法二：泰勒级数法其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数计算。

方法三：蒙特卡罗法其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。

而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。

将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。

能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是Random[ ]产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。