命题演算的推理理论
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命题演算(1-4节)
形式逻辑只管形式，从错误的前提推出错误的结论， 形式逻辑只管形式，从错误的前提推出错误的结论，在 逻辑只管形式 形式上也可以是正确的。 形式上也可以是正确的。 ——毛泽东在延安文艺座谈会上的讲话 毛泽东在延安文艺座谈会上的讲话
3
绪
论
演绎逻辑 形式逻辑： 形式逻辑： 归纳逻辑
演绎逻辑：(deductive logic)演绎逻辑的任务在于研究如何检验 演绎逻辑 演绎的正确性(即决定一个推理是否是正确地演绎出一个已知规 则)以及如何构造出正确的未知(演绎推理)规则。 归纳逻辑：(inductive logic)归纳逻辑的任务在于研究如何測定 归纳逻辑 不充分置信的推理的归纳概率的大小，从而决定该不充分置信 推理的归纳强度规则，并且研究如何构造出归纳强度高的推理 规则。
9
§1.命题 联结词 命题函数 1.命题
2.简单命题 简单命题(simple proposition) ：简单命题是不包含其它命题 简单命题 作为组成部分的命题。 作为组成部分的命题。 简单命题是命题逻辑推理的最小单位！ 简单命题是命题逻辑推理的最小单位！ 3.复合命题 复合命题(compound proposition) ：复合命题是包含其它 复合命题 命题作为组成部分，由其它命题组成的命题。 命题作为组成部分，由其它命题组成的命题。 4.支命题 支命题(branch proposition) ：支命题是组成复合命题的各 支命题 个命题。 个命题。 支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。 支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。
14
§2.命题的形式化 真值联结词 真值函项 2.命题的形式化
1.真值联结词 真值联结词(truth connective) ：在命题逻辑中所使用的、意 在命题逻辑中所使用的、 真值联结词 义比较严格的联结词称为真值联结词或命题联结词。 义比较严格的联结词称为真值联结词或命题联结词。 真值联结词
命题逻辑的推理理论,证明方法
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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唐存琛 刘峰
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课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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唐存琛 刘峰
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归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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12
一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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武汉大学国际软件学院唐存琛 刘峰
离散数学第1章 命题演算
所以这句话没有办法判断真假，所以不是命题！
8
命题符号化
为了能用数学方法来研究命题之间的逻辑关系和推理， 需要将命题符号化。
一个任意的没有赋予具体内容的命题是一个命题变元。
定义：以“真” 、“假”为其变域的变元称为命题
变元。
常用大写的英文字母A，B，C，…P，Q，R，…等来表 示一个命题或命题变元。
定义 对于命题公式中各命题变元（分量）指派所有可能 的真值，以及由此而确定的命题公式的真值汇列成表，称 为真值表。
38
例1:命题公式P∧﹁ Q的真值表如下所示。
Ｐ F F T T
这组命题变 元的确定值 称为该公式 的一个指派
Ｑ F T F T
﹁Ｑ T F T F
P∧﹁ Q F F T F
整个表即为该公式 的真值表
34
§1-2
命题公式
将由命题变元和联结词组成的复杂的命题 变元称为命题公式。各个命题变元称为命题公 式的分量。
35
§1-2
命题公式
定义:命题逻辑公式(公式)可按如下法则生成: (1)命题是公式;
(2)如果P是公式,则(﹁ P)是公式;
(3)如果P,Q是公式,则(P ∧ Q),(P∨Q),(P→Q),
26
例如：
因为2<3，所以1+1=2。 在通常意义下2<3与1+1=2没有存在任 何联系，我们一般不会做如此推理。 但在数理逻辑下，设P:2<3; Q:1+1=2 这句话可以形式化为P→Q; 并且真值为T
27
联结词
5.双条件 定义 设P，Q是命题，P和Q的等价命题记
作 P Q ，读作“P当且仅当Q”，或 “P等 价 PQ Q”，当P和Q的真值都为T和F时， 的真 PQ
命题演算的推理理论
例 证明
((P→Q)∧P)→Q → ∧ →
((P→Q)∧P)∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ，
Hale Waihona Puke 解：考察 合取范式为 子句集为 归结过程为 (1) ¬P∨Q ∨ (2) P (3) ¬Q (4) Q (5) □ 故原式为定理
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬R→ 例 (p23) ¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ →¬P ∧¬
证明： ¬ ∧¬ ∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬ ∧¬R 证明： (¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ )∧¬ ¬P = (¬P ∨Q)∧ (¬Q∨ R)∧¬ ∧¬ ¬P ∧¬R ¬ ∧ ¬ ∨ ∧¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬Q∨ R ∨ (3) ¬R (4) ¬ ¬P (5) ¬Q (6) ¬P (7) □ 故原式为定理
若干重要的归结规则
父辈子句 P和¬P∨Q 和 ∨ P∨Q和¬P∨Q ∨ 和 ∨ P∨Q和¬P∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬Q ¬P和P 和 P∨Q和¬Q∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬R 归结式 Q Q 说明 假设推理 子句合并成Q 子句合并成
¬P∨P或¬Q∨Q 两个可能的子句 ∨ 或 ∨ 均为重言式 □ P∨¬ ∨¬R ∨¬ 空子句， 空子句， 归结结束 三段论
例 (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q) ¬P
证明： 证明： (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q)∧¬¬ P ∧ ∧ ∨ ∧ ∧¬¬ =(¬S∨¬ ∧(¬P∨Q)∧(R∨S)∧(¬R∨¬ ∧¬¬ ∨¬Q)∧ ¬ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∧¬¬P ∨¬Q)∧¬¬ ¬ ∨¬ 建立子句集 {¬S∨¬ ¬P∨ Q, R∨S, ¬R∨¬Q, ¬¬ ∨¬Q, ¬¬P} ¬ ∨¬ ∨ ∨ ∨ 归结过程为: 归结过程为 (1) ¬S∨¬ ∨¬Q ∨¬ (2) ¬P∨ Q ∨ (3) R∨S ∨ (4) ¬R∨¬ ∨¬Q ∨¬ (5) ¬¬ ¬¬P (6) ¬P∨¬ ∨¬S (1)(2)归结 ∨¬ 归结 (7) ¬S (5)(6)归结 归结 (8) ¬P∨¬ ∨¬R (2)(4)归结 ∨¬ 归结 (9) ¬R (5)(8)归结 归结 (10) S (3)(9)归结 归结 (11)□ (7)(10)归结 □ 归结 故原式为定理。 故原式为定理。
第二章命题推理(离散数学)
(3) PP
公理1
(4) (PQ)(PQ)
(5) P((PQ)Q)
代入
分离(2)(4)
26/66
例1
已知公理：
A: (Q R)((PQ)(PR))
B: (PP)P
C: Q(PQ)
及分离规则和代入规则 试证明 PP 为定理
27/66
例1的证明
(1) (Q R)((PQ)(PR)) 公理A
33/66
假言三段论（传递三段论）
PQ QR 前提 前提
PR
结论
推理的有效性由公理3所保证。
34/66
化简
P∧Q 前提
P
结论
推理的有效性由公理8所保证。
35/66
合取
P Q 前提 前提
P ∧Q
结论
推理的有效性由公理10所保证。
36/66
拒取
PQ Q 大前提 小前提
P
结 论
推理的有效性由定理3所保证。
9/70 9/66
关于推理理论的学习
公理化 演绎推理 归结推理
离散 数学
北京大学 耿素云
前提引入规则 结论引入规则 置换规则 8条推理定律
前提引入规则 结论引入规则 置换规则 9条推理定律,24个等值式 9条推理规则
离散 数学 及其 应用 离散 数学 离散 数学
北京大学 屈婉玲
解放军通信 工程学院 方世昌 朱怀宏， 南京大学出 版社
从前提出发，通过推导即“演绎”，得出 结论的过程。前提和结论之间有可推导性 关系：前提的真蕴涵结论的真。
•归纳推理（科学家使用） 从真的前提出发，得到的结论只能够要求 它与前提是协调的，但不一定是真的。
• 溯因推理（侦探使用） 生成假设来解释观察或结论。
离散数学第二章-命题演算的推理理论-命题演算的公理系统
破坏性二难
㈢ 规则
(1)代入规则：将公式中出现的某一符号 B 每处均代以某一公式C， 所到的公式D 称为C 对 的 代入。
(2)分离规则：如果AB且A，则B。
二、语义部分
(1) 公理是永真公式。 (2) 规则规定如何从永真公式推出永真公式。分离规
则指明，如果AB永真且A永真，则B也为永真公 式。 (3) 代入规则指明如果为永真公式，则某一个公式 正确代入公式后所得的公式也为永真公式。 (4) 定理为永真公式，它们是从公理出发利用分离规 则和代入规则推出来的公式。
(10)((PQ)(QP))((PQ)(QP)) (9)(7)分离
(11)(PQ)(QP)
(10)(4)分离
例 （同定理3）
已知公理 A: PP B: (PQ) (QP) C: (PQ) ((RP) (RQ)) D: (PQ) ((QR) (PR))
要证 (PQ) (QP)为本系统中的定理。
公理推理证明定理的方法
• 演绎推理 • 归纳推理
归纳推理
从真的前提出发，得到的结论只能够要求它与 前提是协调的，但不一定是真的。 它基于对特殊的代表的有限观察， 或基于对反 复再现的现象的模式的有限观察，用公式表达 规律。
所有观察到的乌鸦都是黑的。 所以所有乌鸦都是黑的。
演绎推理
可推导性——当前提的真蕴涵结论的真时，称前提和 结论之间有可推导性关系，即前提和结 论之间的推理是正确的。
分析：由公理14，(PQ)(QP)， 可以得到 (PQ)(QP) 下面就是要建立(PQ)与(PQ)之间的联系。 如果 (PQ) (PQ)， 则由传递性知道结论成立。 下面先证明(PQ) (PQ)。
证明：先证 (PQ) (PQ)
(1)PP
第八讲++命题演算..
二、公理方法经历的三个阶段
2. 概括公理方法 适用于多个论域。 只适用于多个论域。 ◆ 某些论域的公理不是自足的，需要别的系 某些论域的公理不是自足的，需要别的系 统的东西来证明，即它不是自足的。 的东西来证明，即它不是自足的。 概括公理方法的思想就是建立模型思想。 概括公理方法的思想就是建立模型思想。 但解释概括公理方法很复杂。 但解释概括公理方法很复杂。 直观公理方法与概括公理方法统称为实 质性公理方法。 质性公理方法。
形式公理系统的主要特点 三、形式公理系统的主要特点
一致性、完全性、 2. 一致性、完全性、独立性
3） 独立性：就是公理的不可推出性。
命题演算的公理系统——PM系统 ——PM 四、命题演算的公理系统——PM系统
1. 概念部分
（1）初始符号 命题变元：p，q，r，s，p1… 联结词： ﹁ ，∨ ； 辅助符号：（ .）。 （2）形成规则 命题变元是公式； 如果A是公式，则﹁A是公式； 如果A和B是公式，则（A∨B）是公式； 除此以外的均非公式
公理系统是从少数几个公理出发， 按照推理规则进行的演绎推理。 公理系统是应用公理方法的结果。
二、公理方法经历的三个阶段
1. 直观公理方法
Euclid《几何原本》是一个实质公理系统 《 把点、 角等分为原始定义概念（23）和可定义概念； ◆把点、线、面、角等分为原始定义概念（23）和可定义概念； 命题分为公理（ 和公设（ ◆命题分为公理（5）和公设（5） 由公理公设出发加以证明的定理（ ◆由公理公设出发加以证明的定理（467） ）
二、公理方法经历的三个阶段
1. 直观公理方法 ◆ 只适用于某个特定的论域 ◆ Euclid的几何只用于平面几何； Euclid的几何只用于平面几何； 的几何只用于平面几何 亚里士多德的逻辑只适用于推理 ◆ 为某个论域或某个学科所创
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
1 2 k
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
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第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
命题演算的推理理论
离散结构命题演算的推理理论教学目标基本要求（1）有效推理；（2）有效推理的等价定理；（3）重言蕴含式；重点难点重言蕴含式的应用。
有效推理数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究推理。
推理:是指从前提出发推出结论的思维过程，前提:是已知命题公式集合(A1，A2，…，An)结论:是从前提出发应用推理规则推出的命题公式B怎样推理是有效的？有效推理定义设A1，A2，…，An，B 都是命题公式，称推理“A1，A2，…，An推出B”是有效的（或正确的），(｛A1, A2, …,A n｝⇒ B )如果对A1，A2，…，An，B中出现的命题变项的任一指派，若A1，A2，…，An都真，则B亦真，并称B是有效结论。
即当各前提的合取式为真时，结论必为真。
否则，称“由A1，A2，…，An推出B”是无效的或不合理的。
注意：1.推理形式的有效与否与前提中命题公式的排列次序无关。
2.推理的有效性和结论的真实性是不同的；3.推理的有效性在于形式不在于内容；4.推理过程的正确性与前提和结论是否真实无关。
有效推理的等价定理定理命题公式A1, A2, …, A n推出B的正确推理当且仅当(A1∧A2∧…∧An) →Ｈ为重言式（永真公式。
）“⇒”与“→”的不同1.“→”仅是一般的蕴涵联结词，G→H的结果仍是一个公式，而“⇒”却描述了两个公式G，H之间的一种逻辑蕴涵关系，G ⇒ H的“结果”，是非命题公式；2. 用计算机来判断G ⇒ H是办不到的。
然而计算机却可“计算”公式G→H是否为永真公式。
要求A=｛A1, A2, …,A n｝A⇒ B也就是A1∧A2∧…∧A n→B 为永真公式因而真值表法、等值演算和主范式例: 判断下面推理是否正确：（1）若a能被4整除，则a能被2整除；a能被4整除。
所以a能被2整除。
（2）若a能被4整除，则a能被2整除；a能被2整除。
所以a能被4整除。
（3）下午张林或去看电影或去游泳；她没有看电影。
所以，她去游泳了。
离散数学复习资料
离散数学复习资料第1章命题逻辑本章重点：命题与联结词，公式与解释，真值表，公式的类型及判定, (主)析取(合取)范式，命题逻辑的推理理论.一、重点内容1. 命题命题表述为具有确定真假意义的陈述句。
命题必须具备二个条件：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义.2. 六个联结词及真值表h“”否定联结词，P是命题，P是P的否命题，是由联结词和命题P组成的复合命题.P取真值1，P取真值0，P取真值0，P取真值1. 它是一元联结词.h “”合取联结词，P Q是命题P，Q的合取式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“不但…而且…”，“既…又…”. P Q取值1，当且仅当P，Q均取1；P Q取值为0，只有P，Q之一取0.h “”析取联结词，“”不可兼析取(异或)联结词， P Q是命题P，Q的析取式，是“”和P，Q组成的复合命题. P Q是联结词“”和P，Q组成的复合命题. 联结词“”或“”在一个语句中都表示“或”的含义，前者表示相容或，后者表示排斥或不相容的或. 即“P Q”“(P Q)(P Q)”. P Q取值1，只要P，Q之一取值1，P Q取值0，只有P，Q都取值0.h “”蕴含联结词， P Q是“”和P，Q组成的复合命题，只有P取值为1，Q取值为0时，P Q取值为0；其余各种情况，均有P Q的真值为1，亦即10的真值为0，01，11，00的真值均为1. 在语句中，“如果P则Q”或“只有Q，才P，”表示为“P Q”.h “” 等价联结词，P Q是P，Q的等价式，是“”和P，Q组成的复合命题. “”在语句中相当于“…当且仅当…”，P Q取值1当且仅当P，Q真值相同.3. 命题公式、赋值与解释，命题公式的分类与判别h命题公式与赋值，命题P含有n个命题变项P1，P2,…,P n，给P1，P2,…,P n各指定一个真值，称为对P的一个赋值(真值指派). 若指定的一组值使P的真值为1，则这组值为P的真指派；若使P的真值为0，则称这组值称为P的假指派.h命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式；判定命题公式类型的方法：其一是真值表法，任给公式，列出该公式的真值表，若真值表的最后一列全为1，则该公式为永真式；若真值表的最后一列全为0，则该公式是永假式；若真值表的最后一列既非全1，又非全0，则该公式是可满足式.其二是推导演算法. 利用基本等值式(教材的十六个等值式或演算律)，对给定公式进行等值推导，若该公式的真值为1，则该公式是永真式；若该公式的真值为0，则该公式为永假式.既非永真，也非用假，成为非永真的可满足式.其三主析取(合取)范式法，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式.h等值式A B，命题公式A，B在任何赋值下，它们的真值均相同，称A，B等值。
数学问题的逻辑推理
数学问题的逻辑推理在数学领域中，逻辑推理是解决问题的关键步骤之一。
逻辑推理可以帮助我们理解和解决各种数学问题，无论是代数、几何还是概率。
本文将探讨数学问题中的逻辑推理，并介绍一些常见的推理方法。
一、命题逻辑推理命题逻辑是逻辑推理的基础，它主要研究命题之间的关系。
在数学问题中，我们常常需要通过命题逻辑推理来得出结论。
以下是一些常见的命题逻辑推理方法：1. 演绎推理：演绎推理是通过已知前提得出结论的推理方法。
例如，如果已知"A等于B"且"B等于C"，则可以演绎出"A等于C"的结论。
2. 归谬法：归谬法是通过否定前提得出矛盾结论的推理方法。
例如，如果已知"如果A成立，则B成立"，但我们发现B不成立，则可以推断出"A不成立"。
3. 假设法：假设法是通过假设某个条件成立来推断结论的方法。
例如，如果我们需要证明"A蕴含B"，可以先假设"A成立"，然后根据这个假设来推断"B成立"，如果能够得出"B成立"的结论，则证明了"A蕴含B"。
二、数学问题中的演绎推理演绎推理在解决数学问题中起着重要的作用。
通过逻辑上的演绎推理，我们可以从已知条件出发，逐步推导出问题的答案。
以下是一些常见的数学问题中的演绎推理例子：例1：已知a + b = 5，b + 2c = 10，求解a、b、c的值。
解：我们可以通过演绎推理来解决这个问题。
首先，根据第一个等式a + b = 5，我们可以得出a = 5 - b。
然后，将a的表达式代入第二个等式b + 2c = 10中，得到(5 - b) + 2c = 10。
通过整理，可以得到2c - b= 5。
至此，我们得到了两个方程式，通过解方程组，可以求解出a、b、c的值。
例2：已知a + b = 7，a - b = 3，求解a、b的值。
命题逻辑的推理理论ch
命题逻辑的符号体系
命题逻辑使用特定的符号来表示命题 和推理规则，这些符号包括逻辑联结 词（如∧、∨、→、¬等）、量词（如 ∀、∃）和括号等。
通过这些符号，命题逻辑能够精确地 表示命题之间的逻辑关系，并建立严 密的推理体系。
命题逻辑的基本概念
命题
命题是具有真假值的陈述句，它 描述了某个事物的性质或关系。 在命题逻辑中，每个命题都有一 个与之对应的真值，即真或假。
02
03
析取式推理
如果一个命题A的真，导致命题B或C 的真，那么我们可以从A推导出B或C。
推理规则的应用
01
逻辑推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以推导出新的命题或验证 现有命题的真假。
演绎推理
02
03
归纳推理
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从一般到特殊推导出结 论。
通过应用直接和间接推理规则， 我们可以从特殊到一般推导出结 论。
规划与决策
03
基于逻辑推理的规划算法，用于机器人行动规划、智
能控制等领域。
在法律领域的应用
法律推理
利用逻辑推理对法律案例进行推理和分析，辅 助法官进行裁决。
法律知识表示
将法律知识表示为逻辑命题，构建法律知识库， 用于法律咨询、案例检索等。
法律证据分析
利用逻辑推理对法律证据进行分析和推理，辅助律师进行辩护。
方式，结论不是必然的，只是一种可能性。
02
归纳推理可以采用不同的方法，如简单枚举归纳、科
学归纳等。
03
归纳推理在科学研究、数据分析等领域中广泛应用，
可以帮助人们从大量数据中找出规律和趋势。
04 命题逻辑的推理方法
演绎推理方法
定义
命题逻辑的等值和推理演算
13. P(QR) = (P∧Q)R
前提合并 P是(QR)的前提, Q是R的前提, 于是可 将两个前提的合取P∧Q作为总的前提。 即 如果P则如果Q则R, 等价于如果P与Q则R
14. PQ = (P∧Q)∨(P∧Q)
从取真来描述双条件 这可解释为PQ为真, 有两种可能的情形, 即(P∧Q)为真或(P∧Q)为真。而P∧Q 为真, 必是在P = Q = T的情况下出现; P∧Q为真, 必是在P = Q = F的情况下 出现。从而可说, PQ为真, 是在P、Q同 时为真或同时为假时成立。这就是从取真来 描述这等式
如P表示张三是学生, Q表示李四是工人, 那么 (P∨Q)就表示并非“张三是学生或者李四是 工人”。这相当于说，“张三不是学生而且李 四也不是工人”，即可由P∧Q表示, 从而有 (P∨Q) = P∧Q
2.2.2 常用的等值公式
由于人们对、∨、∧更为熟悉，常将含有 和的公式化成仅含有、∨、∧的公式。 这也是证明和理解含有，的公式的一般 方法 公式11-18是等值演算中经常使用的, 也该 掌握它们, 特别是能直观地解释它们的成立
2.2.4 等值演算举例
例1: 证明(P∧(Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R) = R 证明: 左端= (P∧(Q∧R)) ∨((Q∨P)∧R) (分配律) = ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) (结合律) = ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) (摩根律) = ((P∨Q)∨(Q∨P))∧R (分配律) = ((P∨Q)∨(P∨Q))∧R (交换律) = T∧ R (置 换) =R (同一律)
证明: 画出(P∧P)∨Q与Q的真值表可看出 等式是成立的。
例2: 证明P∨P = Q∨Q
证明: 画出P∨P, Q∨Q的真值表, 可看 出它们是等值的, 而且它们都是重言式。
命题演算(推理理论)
附加前提证明法
#2022
*
例3 构造下面推理的证明 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数. 解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数 (2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
*
(2) 写出证明的形式结构 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq (3) 证明（证明过程三列式） 序号 当前得到的结论 当前得到结论的理由 ① rs P( 前提引入) ② s P ③ r T ①②I (拒取式) ④ (pq)r P ⑤ (pq) T ③④E (拒取式) ⑥ pq T⑤E 德摩根率
附加前提证明法实例
#2022
*
归谬法 (反证法) 欲证 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 做法 在前提中加入B，推出矛盾. 理由 A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
归谬法实例
*
11 p
⑥ (pq) T④⑤I(析取三段论) ⑦ pq T⑥E 德摩根率 ⑧ p T①⑦I(析取三段论) ⑨ p P pp (矛盾） T⑧⑨I（合取引入） 反证法
A B ∴AB
(11) 破坏性二难推理规则
推理规则
*
判断有效结论的过程就是论证过程。 基本方法： （1）真值表法 （2）直接证明法 （3）间接证明法（反证法） 具体：等值演算、 主析取范式、构造证明法等
三、逻辑证明方法
#2022
*
真值表法
例：判断下列推理是否正确。 今天杨尚树或去网吧或去教室。他没去教室，所以他去网吧了。 设 p：杨尚树去网吧。q：杨尚树去教室。则， 前提：p ∨ q , ¬ q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧¬ q) p
#2022
*
例3 构造下面推理的证明 2是素数或合数. 若2是素数，则 是无理数. 若 是无理数，则4不是素数. 所以，如果4是素数，则2是合数. 解 用附加前提证明法构造证明 (1) 设 p：2是素数，q：2是合数， r： 是无理数，s：4是素数 (2) 推理的形式结构 前提：pq, pr, rs 结论：sq
*
(2) 写出证明的形式结构 前提：(pq)r, rs, s 结论：pq (3) 证明（证明过程三列式） 序号 当前得到的结论 当前得到结论的理由 ① rs P( 前提引入) ② s P ③ r T ①②I (拒取式) ④ (pq)r P ⑤ (pq) T ③④E (拒取式) ⑥ pq T⑤E 德摩根率
附加前提证明法实例
#2022
*
归谬法 (反证法) 欲证 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 做法 在前提中加入B，推出矛盾. 理由 A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
归谬法实例
*
11 p
⑥ (pq) T④⑤I(析取三段论) ⑦ pq T⑥E 德摩根率 ⑧ p T①⑦I(析取三段论) ⑨ p P pp (矛盾） T⑧⑨I（合取引入） 反证法
A B ∴AB
(11) 破坏性二难推理规则
推理规则
*
判断有效结论的过程就是论证过程。 基本方法： （1）真值表法 （2）直接证明法 （3）间接证明法（反证法） 具体：等值演算、 主析取范式、构造证明法等
三、逻辑证明方法
#2022
*
真值表法
例：判断下列推理是否正确。 今天杨尚树或去网吧或去教室。他没去教室，所以他去网吧了。 设 p：杨尚树去网吧。q：杨尚树去教室。则， 前提：p ∨ q , ¬ q 结论：p 推理的形式结构： ((p ∨ q) ∧¬ q) p
离散数学-命题演算
P Q
于是得到: (P Q) (P Q)
Lu Chaojun, SJTU
21
还有别的联结词吗?
• 除,,,,外还可定义其他联结词.如:
异或: P Q = (P Q) (P Q) 与非(NAND): P | Q = (P Q) Sheffer stroke 或非(NOR): P Q = (P Q) Peirce arrow
Lu Chaojun, SJTU
19
方法一
• 从每个使为真的解释写出一个各命题变
元的合取式;然后写出各合取式的析取式.
例:有三个成真解释.
P
Q
由(P,Q)=(F,F)可写出合取式: F
F
T
P Q
F
T
T
T
F
F
由(P,Q)=(F,T)可写出合取式: T
T
T
P Q
由(P,Q)=(T,T)可写出合取式:P Q
• 将 中所有肯定形式出现的变元Pi换成Pi, 所
有否定形式出现的变元Pi换成Pi, 所得公式记
为－. • 注意:求*时不能有,;求－时无此限制.
Lu Chaojun, SJTU
29
*和－的性质
• 定理
(*)* = (－)－=
• 定理
(*) = ()* (－) = ()－
• 定理
= *－ (De Morgan律的一般形式)
命题逻辑的等值演算 和推理演算
主要内容
• 公式间的等值关系与等值演算 • 利用真值表列写公式 • 联结词的完备集 • 对偶定理 • 范式和主范式 • 公式间的重言蕴涵关系与推理演算
Lu Chaojun, SJTU
2
公式间的等值关系
离散数学第二章命题演算的推理理论-假设推理系统
(3) 当推导出待证公式的后件时(或推导出矛盾 时)就说证明了该定理。
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统
2.2.1 假设推理系统的组成 2.2.2 假设推理系统的推理过程 2.3 命题演算的归结推理法
例1：求证 (P(Q R))((PQ)R)
证明: (1) P(Q R)
它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
三、推理定理
(1) (附加前提证明法 ) 如果Γ，A├B，则 Γ├AB
例 QQ心情谜语
现在是晚上十一点，天很暖。如果我考试通 过了， 那么我很快乐。 如果我快乐， 那么阳 光灿烂。 解： 设 P： 我考试通过了，
Q： 我很快乐， R： 阳光灿烂， S： 天很暖。 前提： P→Q，
Q→R， R∧S
例(续) QQ心情谜语
(1) P→Q
假设
(2) P Q
(3) (PQ)P
假设 公理8
(4) (PQ)Q
公理9
(5) P
(3)(2)分离
((66)) RQ (7) Q R
在 (5(4)中)(2用)分R离代入P (1)(5)分离
有(8)错R 吗?
(6)(7)分离
由不假能设对推(理5)过实程施的代定入义规知则： !!!
P(Q R)，P Q├ R
一、扩充的推理规则 二、假设推理过程 三、推理定理 四、假设推理证明定理的方法
一、扩充的推理规则
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统
2.2.1 假设推理系统的组成 2.2.2 假设推理系统的推理过程 2.3 命题演算的归结推理法
例1：求证 (P(Q R))((PQ)R)
证明: (1) P(Q R)
它们(诸Ai)满足下列性质： (1) 或为公理之一； (2) 或为公式1, 2, …,k之一，每个i称为假设； (3) 或由前面的若干个Ag、Ah利用分离规则而得； (4) An=B。 称这个公式序列A1，A2, …，An为由公式 1， 2， …，k证明B的证明过程.
三、推理定理
(1) (附加前提证明法 ) 如果Γ，A├B，则 Γ├AB
例 QQ心情谜语
现在是晚上十一点，天很暖。如果我考试通 过了， 那么我很快乐。 如果我快乐， 那么阳 光灿烂。 解： 设 P： 我考试通过了，
Q： 我很快乐， R： 阳光灿烂， S： 天很暖。 前提： P→Q，
Q→R， R∧S
例(续) QQ心情谜语
(1) P→Q
假设
(2) P Q
(3) (PQ)P
假设 公理8
(4) (PQ)Q
公理9
(5) P
(3)(2)分离
((66)) RQ (7) Q R
在 (5(4)中)(2用)分R离代入P (1)(5)分离
有(8)错R 吗?
(6)(7)分离
由不假能设对推(理5)过实程施的代定入义规知则： !!!
P(Q R)，P Q├ R
一、扩充的推理规则 二、假设推理过程 三、推理定理 四、假设推理证明定理的方法
一、扩充的推理规则
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
自考离散数学第1章
¬ P的真值：
P
F T
¬P
T F
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （2）合取 定义1.2.2 两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。 ∧称作合取联结词， 在自然语言中的“并且”、“和”、“既...又...”、“不
仅....而且....”、“虽然...但是...”等都可以符号化为∧ 例1 2是素数和偶数
1.3 命题公式与真值表
真值表 将命题公式P在所有指派下取值情况，列成表，称为P的真值表。 真值表中，真值T，F可分别用1，0代替。 例： 构造 ¬ P ˄Q 的真值表。
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （4）条件 例
只要天不下雨，我就骑车上班。 设S: 天下雨； R:我骑车上班。 所以本例可描述为： ¬ S→R
如果我不骑车上班，则天下雨。 ¬ R→ S
1.2 复合命题与联结词
常用的联结词 （4）条件 例
设p：天下雨，q：我就骑自行车上班，将下列命题符号化 (1) 只要不下雨，我就骑自行车上班 ¬ p→q
1.1 命题概念
在数理逻辑中，将命题的真值也符号化了。一般用“T”（或“1”）
表示“真”；用“F”（或“0”）表示“假”。
例如，
令p： 2 是有理数，则p 的真值为F（或0)，
q：2 + 5 = 7，则q 的真值为T（或1）
1.1 命题概念
练习：
1.下列句子为命题的是（ D ） A.全体起立！ C. 我在说谎 B. X=0 D.张三生于1886年的春天
(6) 火星上有生物.
(7) 星期五下午有会吗？ (8) 请勿吸烟！ (9) 这束花多么好看啊！ (10) x+y>5.
离散数学第三章命题演算与推理
3.1 命题的概念与运算
3.1.3 命题常用的联结词
例题：骑士与流氓逻辑难题。一个岛上居住着两类人，即骑士和流氓。骑士说的都是实话，而流氓只会说谎。当你碰到岛上的两个人A和B:如果A说“B是骑士”，B说“我们两人不是一类人”，请判断A、B两人到底是流氓还是骑士。解答：令P表示“A是骑士”，Q表示“B是骑士”，则和分别表示“A是流氓”和“B是流氓”。首先假设A是骑士，即P为真。由于A是骑士，故A说的命题“B是骑士”为真，即Q为真。此时，A和B就是一类人。但B是骑士，则B的话也为真，即： (P∧¬Q)∨(¬P∧Q)为真，由此得到矛盾，因为A和B都是骑士。故不存在A是骑士的情形。如果A是流氓，则由题意知A所说的命题“B是骑士”为假，也就是说Q为假，即B也是流氓。如果B是流氓，那么B说的命题也为假，这与A和B都是流氓判断一致。因此，A和B都是流氓。
(1)命题公式的概念
3.2 命题公式与等值演算
3.2.1 命题公式
命题公式举例：①下列符号串是合式公式：②下列符号串不是合式公式：为方便，最外层括号可以不写，合式公式可以写成：逻辑联接词优先级：
3.2 命题公式与等值演算
3.2.1 命题公式
例题：下列字符串，试判别哪些是命题公式，哪些不是，为什么？（1） ；（2）；（3）（4） ；（5）（6）由命题公式的定义知：一个命题公式可以是一个单个的命题变元，也可以是由多个命题公式通过命题联结词以及括弧联结而成的。因此（1）（2）（6）是命题公式，因为它们都满足命题公式的定义。（3）（4）（5）都不是命题公式，（3）中“”之间没有联结词，所表达的含义不明确，（4）中多了一个“)”，（5）是因为是一个二元联结词，中的左边缺少命题变量或者命题公式，因而不是命题公式。
3.2.2 等值演算
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第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3 命题演算的归结推理法 归结推理法 是机器证明的一个重要方法， 是机器证明的一个重要方法， 仅有一条推理规则(称为归结规则)的 称为归结规则 仅有一条推理规则 称为归结规则 的 机械推理法， 机械推理法， 从而便于计算机程序实现。 从而便于计算机程序实现。
例 ((P Q) ∧(Q R))
(P R)
证明： 证明：考察 ((P Q) ∧(Q R)) ∧ ¬ (P R) 化为合取范式： 化为合取范式： 上式 = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬ Q∨R) ∧ ¬( ¬P ∨ R) ¬ ∨ = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬Q ∨R) ∧ P ∧¬ ∧¬R ¬ 建立子句集 {¬P ∨ Q, ¬Q ∨R ，P，¬R }, ¬ ， 归结过程为: 归结过程为: (1) ¬P ∨ Q (2) ¬Q ∨R (3) P (4) ¬R (1)(2)归结 (5) ¬P ∨R 归结 (6) R (3)(5)归结 归结 (7) □ (4)(6)归结 归结
若干重要的归结规则
父辈子句 P和¬P∨Q 和 ∨ P∨Q和¬P∨Q ∨ 和 ∨ P∨Q和¬P∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬Q ¬P和P 和 P∨Q和¬Q∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬R 归结式 Q Q 说明 假设推理 子句合并成Q 子句合并成
¬P∨P或¬Q∨Q 两个可能的子句 ∨ 或 ∨ 均为Байду номын сангаас言式 □ P∨¬ ∨¬R ∨¬ 空子句， 空子句， 归结结束 三段论
一、建立子句集
(1) 要证明公式 →B，将 要证明公式A→ ， A ∧ ¬B 化为合取范式； 化为合取范式； (2) 把合取范式的所有析取式构成一个集合即 子句集。 子句集。
A化为合取范式、 化为合取范式、 化为合取范式 ¬B化为合取范式 化为合取范式
例 建立子句集
如要证明公式 ((P→Q)∧P)→Q， → ∧ → ， 只要考察 (P→Q)∧P∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q 根据(1)得合取范式 得合取范式： 根据 得合取范式： (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ 根据(2)建立子句集 建立子句集： 根据 建立子句集： S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ， (1) (2)
例 证明
((P→Q)∧P)→Q → ∧ →
((P→Q)∧P)∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ，
解：考察 合取范式为 子句集为 归结过程为 (1) ¬P∨Q ∨ (2) P (3) ¬Q (4) Q (5) □ 故原式为定理
例 (p23)
(P→Q)→((P→¬ →¬ → → →¬ →¬P) →¬Q)→¬
证明： → ∧ →¬P 证明： (P→Q)∧¬((P → ¬Q ) →¬ ) = (¬P ∨Q)∧ ¬((¬P ∨ ¬ Q) →¬ ) →¬P ¬ ∧ ¬ =(¬P ∨Q)∧ ¬(¬(¬P ∨ ¬ Q) ∨ ¬P ) ¬ ∧ ¬¬ =(¬P ∨Q)∧ (¬P ∨ ¬ Q) ∧ ¬¬ ) ¬¬P ¬ ∧ ¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬P ∨ ¬ Q (3) ¬¬ ¬¬P (4) ¬P (5) □ 故原式为定理
三、归结证明
依归结规则进行归结， 依归结规则进行归结，直至归结出空子 表示)， 句(用“□”表示 ， 用“□”表示 则证明原公式为定理，否则不为定理。 则证明原公式为定理，否则不为定理。
子句可以 多次使用
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3.1 归结证明过程
要证明公式(如A→B，其中A和B为子公式 为定 要证明公式 如 → ，其中 和 为子公式)为定 为子公式 实际上是证明A∧¬ 为矛盾式。 ∧¬B为矛盾式 理，实际上是证明 ∧¬ 为矛盾式。 归结法就是从公式A∧¬ 出发对子句进行归结 归结法就是从公式 ∧¬B出发对子句进行归结 ∧¬ 。
例2(p22)
((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q → (S→R) → → ∧¬ ∨ ∧ →
证明：考察 → → ∧ ¬ ∨ ∧ 证明：考察((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q ∧¬(S→R) → 合取范式为 (P∨R)∧(¬Q∨R)∧(¬S∨P)∧Q∧S∧¬ ∧¬R ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ∧ ∧¬ 建立子句集 { P∨R，¬Q∨R，¬S∨P，Q，S，¬R} ∨ ， ∨ ， ∨ ， ， ， 归结过程为 (1) P∨R ∨ (2) ¬Q∨R ∨ (3) ¬S∨P ∨ (4) Q (5) S (6) ¬R (7) R (4)(2)归结 归结 (8) □ (7)(6)归结 归结
例 (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q) ¬P
证明： 证明： (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q)∧¬¬ P ∧ ∧ ∨ ∧ ∧¬¬ =(¬S∨¬ ∧(¬P∨Q)∧(R∨S)∧(¬R∨¬ ∧¬¬ ∨¬Q)∧ ¬ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∧¬¬P ∨¬Q)∧¬¬ ¬ ∨¬ 建立子句集 {¬S∨¬ ¬P∨ Q, R∨S, ¬R∨¬Q, ¬¬ ∨¬Q, ¬¬P} ¬ ∨¬ ∨ ∨ ∨ 归结过程为: 归结过程为 (1) ¬S∨¬ ∨¬Q ∨¬ (2) ¬P∨ Q ∨ (3) R∨S ∨ (4) ¬R∨¬ ∨¬Q ∨¬ (5) ¬¬ ¬¬P (6) ¬P∨¬ ∨¬S (1)(2)归结 ∨¬ 归结 (7) ¬S (5)(6)归结 归结 (8) ¬P∨¬ ∨¬R (2)(4)归结 ∨¬ 归结 (9) ¬R (5)(8)归结 归结 (10) S (3)(9)归结 归结 (11)□ (7)(10)归结 □ 归结 故原式为定理。 故原式为定理。
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬R→ 例 (p23) ¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ →¬P ∧¬
证明： ¬ ∧¬ ∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬ ∧¬R 证明： (¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ )∧¬ ¬P = (¬P ∨Q)∧ (¬Q∨ R)∧¬ ∧¬ ¬P ∧¬R ¬ ∧ ¬ ∨ ∧¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬Q∨ R ∨ (3) ¬R (4) ¬ ¬P (5) ¬Q (6) ¬P (7) □ 故原式为定理
二、对子句集S的归结
设有两个子句 和 P1∨ P2∨…∨ Pn ∨ ¬P1∨ Q2∨…∨ Qm， ∨
注意到这两个子句， 注意到这两个子句，其中一个含有命题变元的 肯定形式，另一个含有该变元的否定， 肯定形式，另一个含有该变元的否定，由这两 个子句就可推出一个新子句： 个子句就可推出一个新子句： P2∨…∨ Pn∨ Q2∨…∨ Qm ∨ ∨ 称之为这两个子句的归结式。 称之为这两个子句的归结式。 归结式
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
例1 (P→(Q→ R))→((P∧Q)→R) → → → ∧ →
证明： 证明：考察 (P→(Q→ R))∧ ¬((P∧Q)→R) → → ∧ ∧ → 合取范式为 (¬P∨¬ ∨ R)∧P∧Q∧¬ ∨¬Q∨ ∧ ∧ ∧¬ ∧¬R ¬ ∨¬ ∨¬Q∨ ， ， ， 建立子句集 {¬P∨¬ ∨ R，P，Q，¬R} ¬ ∨¬ 归结过程为： 归结过程为： (1) ¬P∨¬ ∨ R ∨¬Q∨ ∨¬ (2) P (3) Q (4) ¬R (5) ¬Q∨ R (1)(2)归结 ∨ 归结 (6) R (5)(3)归结 归结 (7) □ (6)(4)归结 归结
(2)(3)归结 归结 (1)(5)归结 归结 (4)(6)归结 归结
例 用归结原理证明
证明： ¬ ∨ 证明： ¬(¬P∨P) = ¬ ¬ P ∧¬ ∧¬P 归结过程为 (1) ¬ ¬ P (2) ¬P (3) □ 故原式为定理
¬P∨P
(1)(2)归结 归结
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 第三章 谓词演算基础
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3 命题演算的归结推理法 归结推理法 是机器证明的一个重要方法， 是机器证明的一个重要方法， 仅有一条推理规则(称为归结规则)的 称为归结规则 仅有一条推理规则 称为归结规则 的 机械推理法， 机械推理法， 从而便于计算机程序实现。 从而便于计算机程序实现。
例 ((P Q) ∧(Q R))
(P R)
证明： 证明：考察 ((P Q) ∧(Q R)) ∧ ¬ (P R) 化为合取范式： 化为合取范式： 上式 = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬ Q∨R) ∧ ¬( ¬P ∨ R) ¬ ∨ = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬Q ∨R) ∧ P ∧¬ ∧¬R ¬ 建立子句集 {¬P ∨ Q, ¬Q ∨R ，P，¬R }, ¬ ， 归结过程为: 归结过程为: (1) ¬P ∨ Q (2) ¬Q ∨R (3) P (4) ¬R (1)(2)归结 (5) ¬P ∨R 归结 (6) R (3)(5)归结 归结 (7) □ (4)(6)归结 归结
若干重要的归结规则
父辈子句 P和¬P∨Q 和 ∨ P∨Q和¬P∨Q ∨ 和 ∨ P∨Q和¬P∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬Q ¬P和P 和 P∨Q和¬Q∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬R 归结式 Q Q 说明 假设推理 子句合并成Q 子句合并成
¬P∨P或¬Q∨Q 两个可能的子句 ∨ 或 ∨ 均为Байду номын сангаас言式 □ P∨¬ ∨¬R ∨¬ 空子句， 空子句， 归结结束 三段论
一、建立子句集
(1) 要证明公式 →B，将 要证明公式A→ ， A ∧ ¬B 化为合取范式； 化为合取范式； (2) 把合取范式的所有析取式构成一个集合即 子句集。 子句集。
A化为合取范式、 化为合取范式、 化为合取范式 ¬B化为合取范式 化为合取范式
例 建立子句集
如要证明公式 ((P→Q)∧P)→Q， → ∧ → ， 只要考察 (P→Q)∧P∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q 根据(1)得合取范式 得合取范式： 根据 得合取范式： (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ 根据(2)建立子句集 建立子句集： 根据 建立子句集： S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ， (1) (2)
例 证明
((P→Q)∧P)→Q → ∧ →
((P→Q)∧P)∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ，
解：考察 合取范式为 子句集为 归结过程为 (1) ¬P∨Q ∨ (2) P (3) ¬Q (4) Q (5) □ 故原式为定理
例 (p23)
(P→Q)→((P→¬ →¬ → → →¬ →¬P) →¬Q)→¬
证明： → ∧ →¬P 证明： (P→Q)∧¬((P → ¬Q ) →¬ ) = (¬P ∨Q)∧ ¬((¬P ∨ ¬ Q) →¬ ) →¬P ¬ ∧ ¬ =(¬P ∨Q)∧ ¬(¬(¬P ∨ ¬ Q) ∨ ¬P ) ¬ ∧ ¬¬ =(¬P ∨Q)∧ (¬P ∨ ¬ Q) ∧ ¬¬ ) ¬¬P ¬ ∧ ¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬P ∨ ¬ Q (3) ¬¬ ¬¬P (4) ¬P (5) □ 故原式为定理
三、归结证明
依归结规则进行归结， 依归结规则进行归结，直至归结出空子 表示)， 句(用“□”表示 ， 用“□”表示 则证明原公式为定理，否则不为定理。 则证明原公式为定理，否则不为定理。
子句可以 多次使用
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3.1 归结证明过程
要证明公式(如A→B，其中A和B为子公式 为定 要证明公式 如 → ，其中 和 为子公式)为定 为子公式 实际上是证明A∧¬ 为矛盾式。 ∧¬B为矛盾式 理，实际上是证明 ∧¬ 为矛盾式。 归结法就是从公式A∧¬ 出发对子句进行归结 归结法就是从公式 ∧¬B出发对子句进行归结 ∧¬ 。
例2(p22)
((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q → (S→R) → → ∧¬ ∨ ∧ →
证明：考察 → → ∧ ¬ ∨ ∧ 证明：考察((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q ∧¬(S→R) → 合取范式为 (P∨R)∧(¬Q∨R)∧(¬S∨P)∧Q∧S∧¬ ∧¬R ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ∧ ∧¬ 建立子句集 { P∨R，¬Q∨R，¬S∨P，Q，S，¬R} ∨ ， ∨ ， ∨ ， ， ， 归结过程为 (1) P∨R ∨ (2) ¬Q∨R ∨ (3) ¬S∨P ∨ (4) Q (5) S (6) ¬R (7) R (4)(2)归结 归结 (8) □ (7)(6)归结 归结
例 (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q) ¬P
证明： 证明： (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q)∧¬¬ P ∧ ∧ ∨ ∧ ∧¬¬ =(¬S∨¬ ∧(¬P∨Q)∧(R∨S)∧(¬R∨¬ ∧¬¬ ∨¬Q)∧ ¬ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∧¬¬P ∨¬Q)∧¬¬ ¬ ∨¬ 建立子句集 {¬S∨¬ ¬P∨ Q, R∨S, ¬R∨¬Q, ¬¬ ∨¬Q, ¬¬P} ¬ ∨¬ ∨ ∨ ∨ 归结过程为: 归结过程为 (1) ¬S∨¬ ∨¬Q ∨¬ (2) ¬P∨ Q ∨ (3) R∨S ∨ (4) ¬R∨¬ ∨¬Q ∨¬ (5) ¬¬ ¬¬P (6) ¬P∨¬ ∨¬S (1)(2)归结 ∨¬ 归结 (7) ¬S (5)(6)归结 归结 (8) ¬P∨¬ ∨¬R (2)(4)归结 ∨¬ 归结 (9) ¬R (5)(8)归结 归结 (10) S (3)(9)归结 归结 (11)□ (7)(10)归结 □ 归结 故原式为定理。 故原式为定理。
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬R→ 例 (p23) ¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ →¬P ∧¬
证明： ¬ ∧¬ ∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬ ∧¬R 证明： (¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ )∧¬ ¬P = (¬P ∨Q)∧ (¬Q∨ R)∧¬ ∧¬ ¬P ∧¬R ¬ ∧ ¬ ∨ ∧¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬Q∨ R ∨ (3) ¬R (4) ¬ ¬P (5) ¬Q (6) ¬P (7) □ 故原式为定理
二、对子句集S的归结
设有两个子句 和 P1∨ P2∨…∨ Pn ∨ ¬P1∨ Q2∨…∨ Qm， ∨
注意到这两个子句， 注意到这两个子句，其中一个含有命题变元的 肯定形式，另一个含有该变元的否定， 肯定形式，另一个含有该变元的否定，由这两 个子句就可推出一个新子句： 个子句就可推出一个新子句： P2∨…∨ Pn∨ Q2∨…∨ Qm ∨ ∨ 称之为这两个子句的归结式。 称之为这两个子句的归结式。 归结式
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
例1 (P→(Q→ R))→((P∧Q)→R) → → → ∧ →
证明： 证明：考察 (P→(Q→ R))∧ ¬((P∧Q)→R) → → ∧ ∧ → 合取范式为 (¬P∨¬ ∨ R)∧P∧Q∧¬ ∨¬Q∨ ∧ ∧ ∧¬ ∧¬R ¬ ∨¬ ∨¬Q∨ ， ， ， 建立子句集 {¬P∨¬ ∨ R，P，Q，¬R} ¬ ∨¬ 归结过程为： 归结过程为： (1) ¬P∨¬ ∨ R ∨¬Q∨ ∨¬ (2) P (3) Q (4) ¬R (5) ¬Q∨ R (1)(2)归结 ∨ 归结 (6) R (5)(3)归结 归结 (7) □ (6)(4)归结 归结
(2)(3)归结 归结 (1)(5)归结 归结 (4)(6)归结 归结
例 用归结原理证明
证明： ¬ ∨ 证明： ¬(¬P∨P) = ¬ ¬ P ∧¬ ∧¬P 归结过程为 (1) ¬ ¬ P (2) ¬P (3) □ 故原式为定理
¬P∨P
(1)(2)归结 归结
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