命题演算的推理理论

(2)(3)归结 归结 (1)(5)归结 归结 (4)(6)归结 归结
例 用归结原理证明
证明： ¬ ∨ 证明： ¬(¬P∨P) = ¬ ¬ P ∧¬ ∧¬P 归结过程为 (1) ¬ ¬ P (2) ¬P (3) □ 故原式为定理
¬P∨P
(1)(2)归结 归结
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 第三章 谓词演算基础
例 (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q) ¬P
证明： 证明： (S ¬Q)∧(P Q)∧(R∨S)∧(R ¬Q)∧¬¬ P ∧ ∧ ∨ ∧ ∧¬¬ =(¬S∨¬ ∧(¬P∨Q)∧(R∨S)∧(¬R∨¬ ∧¬¬ ∨¬Q)∧ ¬ ∨ ∧ ∨ ∧ ¬ ∨¬ ∧¬¬P ∨¬Q)∧¬¬ ¬ ∨¬ 建立子句集 {¬S∨¬ ¬P∨ Q, R∨S, ¬R∨¬Q, ¬¬ ∨¬Q, ¬¬P} ¬ ∨¬ ∨ ∨ ∨ 归结过程为: 归结过程为 (1) ¬S∨¬ ∨¬Q ∨¬ (2) ¬P∨ Q ∨ (3) R∨S ∨ (4) ¬R∨¬ ∨¬Q ∨¬ (5) ¬¬ ¬¬P (6) ¬P∨¬ ∨¬S (1)(2)归结 ∨¬ 归结 (7) ¬S (5)(6)归结 归结 (8) ¬P∨¬ ∨¬R (2)(4)归结 ∨¬ 归结 (9) ¬R (5)(8)归结 归结 (10) S (3)(9)归结 归结 (11)□ (7)(10)归结 □ 归结 故原式为定理。 故原式为定理。
若干重要的归结规则
父辈子句 P和¬P∨Q 和 ∨ P∨Q和¬P∨Q ∨ 和 ∨ P∨Q和¬P∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬Q ¬P和P 和 P∨Q和¬Q∨¬ ∨ 和 ∨¬ ∨¬R 归结式 Q Q 说明 假设推理 子句合并成Q 子句合并成
¬P∨P或¬Q∨Q 两个可能的子句 ∨ 或 ∨ 均为重言式 □ P∨¬ ∨¬R ∨¬ 空子句， 空子句， 归结结束 三段论
一、建立子句集
(1) 要证明公式 →B，将 要证明公式A→ ， A ∧ ¬B 化为合取范式； 化为合取范式； (2) 把合取范式的所有析取式构成一个集合即 子句集。 子句集。
A化为合取范式、 化为合取范式、 化为合取范式 ¬B化为合取范式 化为合取范式
例 建立子句集
如要证明公式 ((P→Q)∧P)→Q， → ∧ → ， 只要考察 (P→Q)∧P∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q 根据(1)得合取范式 得合取范式： 根据 得合取范式： (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ 根据(2)建立子句集 建立子句集： 根据 建立子句集： S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ， (1) (2)
三、归结证明
依归结规则进行归结， 依归结规则进行归结，直至归结出空子 表示)， 句(用“□”表示 ， 用“□”表示 则证明原公式为定理，否则不为定理。 则证明原公式为定理，否则不为定理。
子句可以 多次使用
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
二、对子句集S的归结
设有两个子句 和 P1∨ P2∨…∨ Pn ∨ ¬P1∨ Q2∨…∨ Qm， ∨
注意到这两个子句， 注意到这两个子句，其中一个含有命题变元的 肯定形式，另一个含有该变元的否定， 肯定形式，另一个含有该变元的否定，由这两 个子句就可推出一个新子句： 个子句就可推出一个新子句： P2∨…∨ Pn∨ Q2∨…∨ Qm ∨ ∨ 称之为这两个子句的归结式。 称之为这两个子句的归结式。 归结式
例 ((P Q) ∧(Q R))
(P R)
证明： 证明：考察 ((P Q) ∧(Q R)) ∧ ¬ (P R) 化为合取范式： 化为合取范式： 上式 = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬ Q∨R) ∧ ¬( ¬P ∨ R) ¬ ∨ = ( ¬P ∨ Q) ∧(¬Q ∨R) ∧ P ∧¬ ∧¬R ¬ 建立子句集 {¬P ∨ Q, ¬Q ∨R ，P，¬R }, ¬ ， 归结过程为: 归结过程为: (1) ¬P ∨ Q (2) ¬Q ∨R (3) P (4) ¬R (1)(2)归结 (5) ¬P ∨R 归结 (6) R (3)(5)归结 归结 (7) □ (4)(6)归结 归结
第二章 命题演算的推理理论
2.1 命题演算的公理系统 2.2 命题演算的假设推理系统 2.3 命题演算的归结推理法 2.3.1 归结证明过程 2.3.2 归结证明举例
2.3 命题演算的归结推理法 归结推理法 是机器证明的一个重要方法， 是机器证明的一个重要方法， 仅有一条推理规则(称为归结规则)的 称为归结规则 仅有一条推理规则 称为归结规则 的 机械推理法， 机械推理法， 从而便于计算机程序实现。 从而便于计算机程序实现。
例 (p23)
(P→Q)→((P→¬ →¬ → → →¬ →¬P) →¬Q)→¬
源自文库
证明： → ∧ →¬P 证明： (P→Q)∧¬((P → ¬Q ) →¬ ) = (¬P ∨Q)∧ ¬((¬P ∨ ¬ Q) →¬ ) →¬P ¬ ∧ ¬ =(¬P ∨Q)∧ ¬(¬(¬P ∨ ¬ Q) ∨ ¬P ) ¬ ∧ ¬¬ =(¬P ∨Q)∧ (¬P ∨ ¬ Q) ∧ ¬¬ ) ¬¬P ¬ ∧ ¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬P ∨ ¬ Q (3) ¬¬ ¬¬P (4) ¬P (5) □ 故原式为定理
例2(p22)
((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q → (S→R) → → ∧¬ ∨ ∧ →
证明：考察 → → ∧ ¬ ∨ ∧ 证明：考察((P→Q)→ R)∧(¬S∨P)∧Q ∧¬(S→R) → 合取范式为 (P∨R)∧(¬Q∨R)∧(¬S∨P)∧Q∧S∧¬ ∧¬R ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∧ ∧ ∧¬ 建立子句集 { P∨R，¬Q∨R，¬S∨P，Q，S，¬R} ∨ ， ∨ ， ∨ ， ， ， 归结过程为 (1) P∨R ∨ (2) ¬Q∨R ∨ (3) ¬S∨P ∨ (4) Q (5) S (6) ¬R (7) R (4)(2)归结 归结 (8) □ (7)(6)归结 归结
例 证明
((P→Q)∧P)→Q → ∧ →
((P→Q)∧P)∧¬ → ∧ ∧¬ ∧¬Q (¬P∨Q)∧P∧¬ ∧¬Q ¬ ∨ ∧ ∧¬ S ={¬P∨Q，P，¬Q} ¬ ∨ ， ，
解：考察 合取范式为 子句集为 归结过程为 (1) ¬P∨Q ∨ (2) P (3) ¬Q (4) Q (5) □ 故原式为定理
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬R→ 例 (p23) ¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ →¬P ∧¬
证明： ¬ ∧¬ ∧¬Q)∧ ¬ ∨ ∧¬ ∧¬ ∧¬R 证明： (¬(P∧¬ ∧(¬Q∨ R)∧¬ )∧¬ ¬P = (¬P ∨Q)∧ (¬Q∨ R)∧¬ ∧¬ ¬P ∧¬R ¬ ∧ ¬ ∨ ∧¬ 归结过程为 (1) ¬P ∨Q (2) ¬Q∨ R ∨ (3) ¬R (4) ¬ ¬P (5) ¬Q (6) ¬P (7) □ 故原式为定理
2.3.1 归结证明过程
要证明公式(如A→B，其中A和B为子公式 为定 要证明公式 如 → ，其中 和 为子公式)为定 为子公式 实际上是证明A∧¬ 为矛盾式。 ∧¬B为矛盾式 理，实际上是证明 ∧¬ 为矛盾式。 归结法就是从公式A∧¬ 出发对子句进行归结 归结法就是从公式 ∧¬B出发对子句进行归结 ∧¬ 。
(1)(2)归结 归结 (3)(4)归结 归结
例1 (P→(Q→ R))→((P∧Q)→R) → → → ∧ →
证明： 证明：考察 (P→(Q→ R))∧ ¬((P∧Q)→R) → → ∧ ∧ → 合取范式为 (¬P∨¬ ∨ R)∧P∧Q∧¬ ∨¬Q∨ ∧ ∧ ∧¬ ∧¬R ¬ ∨¬ ∨¬Q∨ ， ， ， 建立子句集 {¬P∨¬ ∨ R，P，Q，¬R} ¬ ∨¬ 归结过程为： 归结过程为： (1) ¬P∨¬ ∨ R ∨¬Q∨ ∨¬ (2) P (3) Q (4) ¬R (5) ¬Q∨ R (1)(2)归结 ∨ 归结 (6) R (5)(3)归结 归结 (7) □ (6)(4)归结 归结