(完整)2.2地图投影的变形
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高，梯形面积越小。由低纬向高纬逐渐缩小。
比较
二、主方向和变形椭圆
1、主方向
主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍
然正交，则这两个方向为主方向。
性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
b
b’
a o
c a’ Io\′
c’
d
d’
2、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响， 把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆， 通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这 种图解方法就叫变形椭圆。
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
四、面积比和面积变形 1、面积比
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相应 的微小面积dF之比。
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
面积比是变量，随位置的不同而变化。
2、面积变形
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相 应的微小面积dF之差值同这微分面积dF之比 。
地球仪上经纬线网格和地图上比较：
地球仪上经纬网的特点:
（1）地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长 度相等；纬线长度不等，赤道最长，随着纬度增高， 极地为零。 （2）经线表示南北方向；
纬线表示东西方向。 （3）经线和纬线是相互垂直的。
（4）纬差相等的经线弧长相等； 同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线 上，经差相等的纬线弧长不等，而从赤道向两极逐渐缩 小。 （5）同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越
地图投影变形的分布规律
任何地图都有投影变形； 不同区域大小的投影其投影变形不同； 地图上存在没有变形的点（或线）； 距没有变形的点(或线)愈远，投影变形愈大，反之亦然； 地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之越小。
X ' m 为经线长度比； Y ' n
X
Y
X'm
X
Y'n Y
为纬线长度比
地图投影的变形
地图投影的变形
本讲主要内容：
一、投影变形的性质 二、主方向和变形椭圆 三、长度比和长度变形 四、面积比和面积变形 五、角度变形
一、投影变形的性质
1、投影变形产生原因——地球的形状
2、投影变形的概念
地图投影不能保持平面与球面之间在长度（距离）、 角度（形状）、面积等方面完全不变。
Biblioteka Baidu
VP=（ dF′- dF ）/ dF= dF′/ dF –1=P-1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
五、角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相 应的两方向线的夹角之差，称为角度变形。
α
α′
本讲小结：
1、投影变形的概念 2、主方向和变形椭圆 3、长度比和长度变形 4、面积比和面积变形 5、角度变形
微小圆→变形椭圆
结论：微分椭圆上长短半轴等于O点上主方向
的长度比，也可认为一点上的主方向的长度比 （也称极值长度比）为定值时，微分圆的形状 及大小即告确定。
定义：地球面上一无穷小的圆在平面上一般被 描写为一无穷小椭圆。这个椭圆是由于投影变 形而产生，故称此椭圆为变形椭圆。
表示一点的变形
扁平程度反映 角度变形大小
一组变形椭圆 反映全区域变 形情况
三、长度比和长度变形 1、长度比
ds
ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比 。
μ=ds′/ds
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
2、长度变形
指投影面上一微分线段ds’与椭球体面上相 应微分线段长度ds之差值同这微分线段长度ds 之比。
Vμ=(ds′- ds )/ ds= ds′/ ds –1= μ-1
比较
二、主方向和变形椭圆
1、主方向
主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍
然正交，则这两个方向为主方向。
性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。
b
b’
a o
c a’ Io\′
c’
d
d’
2、变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的影响， 把它当作平面看待），它投影到平面上通常会变为椭圆， 通过对这个椭圆的研究，分析地图投影的变形状况。这 种图解方法就叫变形椭圆。
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
四、面积比和面积变形 1、面积比
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相应 的微小面积dF之比。
据阿波隆尼定理，有 m2 + n2 = a2 + b2
m·n·sinq = a·b
面积比是变量，随位置的不同而变化。
2、面积变形
投影平面上一微小面积dF′与椭球体面上相 应的微小面积dF之差值同这微分面积dF之比 。
地球仪上经纬线网格和地图上比较：
地球仪上经纬网的特点:
（1）地球仪上所有经线圈都是通过两极的大圆；长 度相等；纬线长度不等，赤道最长，随着纬度增高， 极地为零。 （2）经线表示南北方向；
纬线表示东西方向。 （3）经线和纬线是相互垂直的。
（4）纬差相等的经线弧长相等； 同一条纬线上经差相等的纬线弧长相等，在不同的纬线 上，经差相等的纬线弧长不等，而从赤道向两极逐渐缩 小。 （5）同一纬度带内，经差相同的经纬线网格面积相等， 不同纬度带内，网格面积不等，同一经度带内，纬度越
地图投影变形的分布规律
任何地图都有投影变形； 不同区域大小的投影其投影变形不同； 地图上存在没有变形的点（或线）； 距没有变形的点(或线)愈远，投影变形愈大，反之亦然； 地图投影反映的实地面积越大，投影变形越大，反之越小。
X ' m 为经线长度比； Y ' n
X
Y
X'm
X
Y'n Y
为纬线长度比
地图投影的变形
地图投影的变形
本讲主要内容：
一、投影变形的性质 二、主方向和变形椭圆 三、长度比和长度变形 四、面积比和面积变形 五、角度变形
一、投影变形的性质
1、投影变形产生原因——地球的形状
2、投影变形的概念
地图投影不能保持平面与球面之间在长度（距离）、 角度（形状）、面积等方面完全不变。
Biblioteka Baidu
VP=（ dF′- dF ）/ dF= dF′/ dF –1=P-1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
五、角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相 应的两方向线的夹角之差，称为角度变形。
α
α′
本讲小结：
1、投影变形的概念 2、主方向和变形椭圆 3、长度比和长度变形 4、面积比和面积变形 5、角度变形
微小圆→变形椭圆
结论：微分椭圆上长短半轴等于O点上主方向
的长度比，也可认为一点上的主方向的长度比 （也称极值长度比）为定值时，微分圆的形状 及大小即告确定。
定义：地球面上一无穷小的圆在平面上一般被 描写为一无穷小椭圆。这个椭圆是由于投影变 形而产生，故称此椭圆为变形椭圆。
表示一点的变形
扁平程度反映 角度变形大小
一组变形椭圆 反映全区域变 形情况
三、长度比和长度变形 1、长度比
ds
ds’
平面上微小线段与球面上相应微小线段之比 。
μ=ds′/ds
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
2、长度变形
指投影面上一微分线段ds’与椭球体面上相 应微分线段长度ds之差值同这微分线段长度ds 之比。
Vμ=(ds′- ds )/ ds= ds′/ ds –1= μ-1