数学建模之最优化的产出水平
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数学建模之最优化的产出水平
路漫漫其悠远
少壮不努力，老大徒悲伤
相关知识点
1.多元函数的极值 2.极值的必要条件和充分条件
解题方法
已知成本函数和需求函数，根据总利润与 总收益和总成本的关系，得到利润函数，再利 用多元函数极值的必要条件和充分条件求出利 润的极大值，根据问题的实际意义知此极大值 也即所求的最大值.
M C1, MC2.
（2）
这说明，工厂为了获得最大利润，每种产品都应达 到这样的产出水平，使得边际收益恰好等于边际成 本.
解题过程
第五步：
模型(1) 设某厂生产两种产品，总成本函数为 Cq1 22q1q2q2 25
又两种产品的需求函数分别是 q126 p1,q210 1 4p2
（这里 p1, p2 分别是两种产品的价格）.为使工厂 获得最大利润，试确定两种产品的产出水平.
解题过程
第六步：
解 由 q126 p1,q210 1 4p2 知，两种产品的价格
p 1 2 q 6 1 ,p 2 4 4 0 q 2 ,
于是总收益函数 Rp1q1p2q2(26q1)q1(404q2)q2 26q140q2q1 24q2 2.
解题过程
第七步：
根据（2）式，由 M1 C 2q12q2M2C 及
总成本函数为 CC 1(q1)C2(q2),
总收益函数为 RR (Q )R (q1q2),
这里 Qq1q2 为总产量.因此，利润函数为
L R C R ( Q ) C 1 ( q 1 ) C 2 ( q 2 ).
解题过程
第十步：
由极值存在的必要条件
Hale Waihona Puke Baidu L
q1 L
dR dQ
dR
Q q1 Q
解 由于
M 1 C 1 (q 1 ) 6 q 1 2， M 2 C C 2 (q 2 ) 4 q 2 2 .
又总收益为 RPQ7Q 46Q2，所以边际收益为
M R74 1Q 2.
LRC[2 (q 1 6 4q 2 0 q 1 2 4 q 2 2)
(q1 22q1q2q2 25)q ]15 q23
=120.
解题过程
第九步： 模型（2）的解 假设某厂商经营两个工厂生产同一种产品，并在 同一市场上销售.设两家厂的产量分别是 p1, p2，若 两个厂生产成本不同，它们的成本函数分别是 C1(q1)C , 2(q2) ，则
M 1 2 R 2 6 q 1 ,M 2 4 R 8 0 q 2有
420682qq21
2q1 2q1
2q2, 2q2,
即
q21q15qq22
13, 20,
解题过程
第八步：
解得q15,q2容易3.验证这组解满足极值存在的
充分条件，显然，当两种产品的产量分别为5 和3时，工厂获利最大.所获最大利润为
有
R
q1 R
C
q1 C
q 2 q 2
（1）
解题过程
第三步：
现记
M1RqR1,M2RqR2，称为边际收益，并记
M1CqC1,M2CqC2，称为边际成本（总成本函数的
导数或偏导数称为边际成本，总收益的导数或偏导 数称为边际收益）.
解题过程
第四步： 于是 （1）式即
M M
R R
1 2
解题过程
第一步：
求模型（1）的解
假设某厂生产两种产品，两种产品的产量分别是 q 1 和 q 2 . 若生产这两种产品的总成本为 CC(q1,q2)，
而销售这两种产品的总收益为 RR(q1,q2)，则厂 商的利润函数是
解题过程
第二步：
由极值存在的必要条件
L q1
R q1
C q1
0,
L
R
C
0
q 2 q 2 q 2
dC1 d q1 dC2
0, 0
q2 dQ q2 dq2
得 R (Q ) C 1 (q 1 ) C 2 (q 2 )，即
M RM1C M2C
（3）
上式说明，最优产出水平应使每个工厂
的边际成本等于总产出的边际收益.
解题过程
第十一步：
模型(2) 一厂商经营两家工厂，其成本函数是 C13q1 22q16和 C22q2 22q24，而价格函数为 P746Q，其中 Qq1q2.为使利润最大，试确定 每个工厂的产出水平.
路漫漫其悠远
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解题方法
已知成本函数和需求函数，根据总利润与 总收益和总成本的关系，得到利润函数，再利 用多元函数极值的必要条件和充分条件求出利 润的极大值，根据问题的实际意义知此极大值 也即所求的最大值.
M C1, MC2.
（2）
这说明，工厂为了获得最大利润，每种产品都应达 到这样的产出水平，使得边际收益恰好等于边际成 本.
解题过程
第五步：
模型(1) 设某厂生产两种产品，总成本函数为 Cq1 22q1q2q2 25
又两种产品的需求函数分别是 q126 p1,q210 1 4p2
（这里 p1, p2 分别是两种产品的价格）.为使工厂 获得最大利润，试确定两种产品的产出水平.
解题过程
第六步：
解 由 q126 p1,q210 1 4p2 知，两种产品的价格
p 1 2 q 6 1 ,p 2 4 4 0 q 2 ,
于是总收益函数 Rp1q1p2q2(26q1)q1(404q2)q2 26q140q2q1 24q2 2.
解题过程
第七步：
根据（2）式，由 M1 C 2q12q2M2C 及
总成本函数为 CC 1(q1)C2(q2),
总收益函数为 RR (Q )R (q1q2),
这里 Qq1q2 为总产量.因此，利润函数为
L R C R ( Q ) C 1 ( q 1 ) C 2 ( q 2 ).
解题过程
第十步：
由极值存在的必要条件
Hale Waihona Puke Baidu L
q1 L
dR dQ
dR
Q q1 Q
解 由于
M 1 C 1 (q 1 ) 6 q 1 2， M 2 C C 2 (q 2 ) 4 q 2 2 .
又总收益为 RPQ7Q 46Q2，所以边际收益为
M R74 1Q 2.
LRC[2 (q 1 6 4q 2 0 q 1 2 4 q 2 2)
(q1 22q1q2q2 25)q ]15 q23
=120.
解题过程
第九步： 模型（2）的解 假设某厂商经营两个工厂生产同一种产品，并在 同一市场上销售.设两家厂的产量分别是 p1, p2，若 两个厂生产成本不同，它们的成本函数分别是 C1(q1)C , 2(q2) ，则
M 1 2 R 2 6 q 1 ,M 2 4 R 8 0 q 2有
420682qq21
2q1 2q1
2q2, 2q2,
即
q21q15qq22
13, 20,
解题过程
第八步：
解得q15,q2容易3.验证这组解满足极值存在的
充分条件，显然，当两种产品的产量分别为5 和3时，工厂获利最大.所获最大利润为
有
R
q1 R
C
q1 C
q 2 q 2
（1）
解题过程
第三步：
现记
M1RqR1,M2RqR2，称为边际收益，并记
M1CqC1,M2CqC2，称为边际成本（总成本函数的
导数或偏导数称为边际成本，总收益的导数或偏导 数称为边际收益）.
解题过程
第四步： 于是 （1）式即
M M
R R
1 2
解题过程
第一步：
求模型（1）的解
假设某厂生产两种产品，两种产品的产量分别是 q 1 和 q 2 . 若生产这两种产品的总成本为 CC(q1,q2)，
而销售这两种产品的总收益为 RR(q1,q2)，则厂 商的利润函数是
解题过程
第二步：
由极值存在的必要条件
L q1
R q1
C q1
0,
L
R
C
0
q 2 q 2 q 2
dC1 d q1 dC2
0, 0
q2 dQ q2 dq2
得 R (Q ) C 1 (q 1 ) C 2 (q 2 )，即
M RM1C M2C
（3）
上式说明，最优产出水平应使每个工厂
的边际成本等于总产出的边际收益.
解题过程
第十一步：
模型(2) 一厂商经营两家工厂，其成本函数是 C13q1 22q16和 C22q2 22q24，而价格函数为 P746Q，其中 Qq1q2.为使利润最大，试确定 每个工厂的产出水平.