空间汇交力系和空间力偶系
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第4章
空间汇交力系与空间力偶系
§4–1 空间汇交力系 §4–2 力对点的矩和力对轴的矩
§4–3 空间力偶
§4–1
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
4．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即
M 0
M
x
0
M
y
0
M
z
0
--称为空间力偶系的平衡方程.
Fy F sin sin
Fz F cos
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
合矢量（力）投影定理
FR Fi
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
M x 0 F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0
FAx FBx 1.5N
FAz FBz 2.5N
星期
实验日 期
节次
实验班级
实验人 数
校车接人 地点、 时间
校车送返 地点、 时间
六
一 六 六 三
5月28日
=
=
=
) rBA FR rBA ( F1 F2 ) M ( FR , FR rBA F1 rBA F2 rBA F1 M ( F1 , F1)
(4) 只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
F F l a cos
M z F F l a sin
例4-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影 解：把力偶用力偶 矩矢表示，平行移 到点A .
M x Mix M3 M 4 cos45 M5 cos45 193.1N m
Fz 0
FOA sin 45 P 0
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
例4-4 已知： F , l , a, 求： Mx F ,My F ,Mz F
解：把力 F 分解如图
Mx My
F Fl cos
M O ( F ) yFz zFy
x
r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) zFx xFz
y
M O ( F ) xFy yFx
30
0
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F
F
y
0
0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
z
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
例4-1
已知： Fn , , 求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
解：
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
例4-2
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图。
Fx 0
FOB sin 45 FOC sin 45 0
F 0
y
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
(2) 滑移矢量：这种矢量有大小、有方向，但不与一固定的
位置有关，而且需指明这种矢量的基线即可。作用在刚体上 的力不是滑移矢量。 -----只对刚体成立 (3) 自由矢量：这种矢量只有大小、方向作为其特征。只要 保持其大小、方向，该矢量可以在空间任意移动，不仅可以
沿其方向滑移，而且可以平行搬移，如力偶。
F
x
0
F
y
0
--称为空间汇交力系的平衡方程 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三 个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
§4–2
力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
(1）大小:力 F 与力臂的乘积
三要素：
来自百度文库
（2）方向:转动方向 （4）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
z
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
4、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z ( F ) Fy x Fx y
方向余弦
cos( FR , i )
Fx
FR
cos( FR , j )
Fy
FR
cos( FR , k )
Fz
FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即 FR 0
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对点 O 的矩在三个坐标轴上的投影为
5月16日 5月21日 5月21日 5月11日
6-9
6-9 2-5 6-9 6-9
10建筑学①
10建筑学② 10城建建筑 ① 10城建建筑 ② 10城规①
25
25 30 30 25
六
三 三
5月28日
5月18日 5月25日
2-5
6-9 6-9
10城规②
10城建城规 ① 10城建城规 ②
25
32 33
8：20或14： 11：30或 00在北 17：10 校区校 在南校 车停车 区校车 场 停车场
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) rA F rB F
F F
MO (F , F ) (rA rB ) F M
（4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3 =
=
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
根据各类矢量的不同特点，可以把力学中的矢量分为三类。 (1)定位矢量: 如速度、加速度和力等，它们不仅有大小、有 方向，而且这些矢量都与空间中某一确定的位置有关。速度 矢量，必须明确说明在空间哪一点的速度的大小和方向。
• 尽快到教材科去买实验指导 书和实验报告书．
1、力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向；
（4） 作用面：力偶作用面。
M rBA F
2、力偶的性质
(1)力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . (2)力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x M O ( F ) zFx xFz M y ( F ) y M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
§4-3 空间力偶
M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
例4-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z 轴，圆盘面 O2 垂直于 x 轴，两盘面上作用有力偶， F1=4N ， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解：取整体，受力图如图所示.
空间汇交力系与空间力偶系
§4–1 空间汇交力系 §4–2 力对点的矩和力对轴的矩
§4–3 空间力偶
§4–1
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影
直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
间接（二次）投影法
Fxy F sin
Fx F sin cos
4．力偶系的合成与平衡条件
=
=
M1 r1 F1, M2 r2 F2 ,......, M n rn Fn
M Mi
M 为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和.
Mx Mx , M y M y , M z M z
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M ( M x ) 2 ( M y ) 2 ( M z ) 2
Mx cos M
cos
My M
Mz cos M
空间力偶系平衡的充分必要条件是 :合力偶矩矢等于零，即
M 0
M
x
0
M
y
0
M
z
0
--称为空间力偶系的平衡方程.
Fy F sin sin
Fz F cos
2、空间汇交力系的合力与平衡条件
空间汇交力系的合力
合矢量（力）投影定理
FR Fi
FRx Fix Fx FRy Fiy Fy FRz Fiz Fz
合力的大小 FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
M x 0 F2 400 FBz 800 0
M z 0 F1 400 FBx 800 0
FAx FBx 1.5N
FAz FBz 2.5N
星期
实验日 期
节次
实验班级
实验人 数
校车接人 地点、 时间
校车送返 地点、 时间
六
一 六 六 三
5月28日
=
=
=
) rBA FR rBA ( F1 F2 ) M ( FR , FR rBA F1 rBA F2 rBA F1 M ( F1 , F1)
(4) 只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变.
F F l a cos
M z F F l a sin
例4-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y, z 轴上的投影 解：把力偶用力偶 矩矢表示，平行移 到点A .
M x Mix M3 M 4 cos45 M5 cos45 193.1N m
Fz 0
FOA sin 45 P 0
FOA 1414N FOB FOC 707N（拉）
例4-4 已知： F , l , a, 求： Mx F ,My F ,Mz F
解：把力 F 分解如图
Mx My
F Fl cos
M O ( F ) yFz zFy
x
r xi yj zk
F Fx i Fy j Fz k
M O ( F ) zFx xFz
y
M O ( F ) xFy yFx
30
0
求：杆受力及绳拉力 解：画受力图，列平衡方程
F
x
0
F1 sin 45 F2 sin 45 0
F
F
y
0
0
FA sin 30 F1 cos 45 cos 30 F2 cos 45 cos 30 0
z
F1 cos 45 sin 30 F2 cos 45 sin 30 FA cos 30 P 0
例4-1
已知： Fn , , 求：力 Fn 在三个坐标轴上的投影.
解：
Fz Fn sin
Fxy Fn cos
Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
例4-2
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；
F1 F2 3.54kN
FA 8.66kN
例4-3 已知：P=1000N ,各杆重不计. 求：三根杆所受力.
解：各杆均为二力杆，取球铰O，画受 力图。
Fx 0
FOB sin 45 FOC sin 45 0
F 0
y
FOB cos 45 FOC cos 45 FOA cos 45 0
(2) 滑移矢量：这种矢量有大小、有方向，但不与一固定的
位置有关，而且需指明这种矢量的基线即可。作用在刚体上 的力不是滑移矢量。 -----只对刚体成立 (3) 自由矢量：这种矢量只有大小、方向作为其特征。只要 保持其大小、方向，该矢量可以在空间任意移动，不仅可以
沿其方向滑移，而且可以平行搬移，如力偶。
F
x
0
F
y
0
--称为空间汇交力系的平衡方程 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三 个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
§4–2
力对点的矩和力对轴的矩
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
(1）大小:力 F 与力臂的乘积
三要素：
来自百度文库
（2）方向:转动方向 （4）作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
z
2.力对轴的矩
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
4、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 M x ( F ) M x ( Fx ) M x ( Fy ) M x ( Fz ) Fz y Fy z M y ( F ) M y ( Fx ) M y ( Fy ) M y ( Fz ) Fx z Fz x M z ( F ) Fy x Fx y
方向余弦
cos( FR , i )
Fx
FR
cos( FR , j )
Fy
FR
cos( FR , k )
Fz
FR
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用 线通过汇交点. 空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 该力系的合力等于零，即 FR 0
M O ( F ) (r F ) ( xi yj zk ) ( Fxi Fy j Fz k ) ( yFz zFy )i ( zFx xFz ) j ( xFy yFx )k
力对点 O 的矩在三个坐标轴上的投影为
5月16日 5月21日 5月21日 5月11日
6-9
6-9 2-5 6-9 6-9
10建筑学①
10建筑学② 10城建建筑 ① 10城建建筑 ② 10城规①
25
25 30 30 25
六
三 三
5月28日
5月18日 5月25日
2-5
6-9 6-9
10城规②
10城建城规 ① 10城建城规 ②
25
32 33
8：20或14： 11：30或 00在北 17：10 校区校 在南校 车停车 区校车 场 停车场
M O ( F , F ) M O ( F ) M O ( F ) rA F rB F
F F
MO (F , F ) (rA rB ) F M
（4）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的 作用效果不变.
=
=
F1 F1 F2
F2 F3 F3 =
=
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
根据各类矢量的不同特点，可以把力学中的矢量分为三类。 (1)定位矢量: 如速度、加速度和力等，它们不仅有大小、有 方向，而且这些矢量都与空间中某一确定的位置有关。速度 矢量，必须明确说明在空间哪一点的速度的大小和方向。
• 尽快到教材科去买实验指导 书和实验报告书．
1、力偶矩以矢量表示——力偶矩矢
F1 F2 F1 F2
空间力偶的三要素 （1） 大小：力与力偶臂的乘积； （2） 方向：转动方向；
（4） 作用面：力偶作用面。
M rBA F
2、力偶的性质
(1)力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 . (2)力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。
M O ( F ) yFz zFy M x ( F ) x M O ( F ) zFx xFz M y ( F ) y M O ( F ) xFy yFx M z ( F ) z
§4-3 空间力偶
M y M iy M 2 80N m M z M iz M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1N m
例4-6 已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1垂直于 z 轴，圆盘面 O2 垂直于 x 轴，两盘面上作用有力偶， F1=4N ， F2=5N，构件自重不计. 求:轴承A,B处的约束力. 解：取整体，受力图如图所示.