实数系基本定理

关于实数连续性的基本定理

这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。它们在证明过程中相互联系。对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。即使方法相同，还可以有不同的细节。作为工具，它们又各具特点。而这些都是值得我们去注意与发现。

(一)实数基本定理的出现

关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看就是没有“洞”的。有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。

以上的定理表述如下：

实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。（论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。

单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。

区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即 ∞=∈1],[n n

n b a r 。

有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。

紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。

柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。

这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。

上确界的数学定义：有界集合S ，如果β满足以下条件

（1）对一切x ∈S ，有x≤β，即β是S 的上界；

（2）对任意a ＜β，存在x ∈S ，使得x ＞a ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作β=supS （同理可知下确界的定义）

（二）实数基本定理的等价证明

一．用实数基本定理证明其它定理

1．实数基本定理→单调有界定理

证明：设数列}{n x 单调上升有上界。令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。故A|B 是实数的一个分划。根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。

下证∞

→n lim n x =r 。事实上，对n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。 2,2εε

-≤∈+r x b r n 便有 ，2

εε+≤-∴r x r ，N n n 有时当

于是，|n x -r|<ε，∴∞

→n lim n x =r 。 若数列}{n x 单调下降有下界，令n y =-n x ，则{n y }单调上升有上界，从而有极限，设极限为r ，则

∞→n lim n x =∞

→n lim （-n y ）=-r 。定理证完。

2.实数基本定理→确界定理

证明：设X 是有上界的非空实数集，记B 为X 的全体上界组成的集合。A= R ﹨B ，则A|B 构成实数的一个分划。事实上，不空，不漏显然。而A ，a ∈∀对B ，b ∈由a 不是X 的上界，知有0x ∈X ，使得0x a ，而由B ，b ∈知0x ≤b ，故a < b 。

由实数基本定理， A|B 是

实数的一个分划，

∴A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。 下证r=supX 。首先证明r 是X 的上界。用反证法。如果不然，则有0x ∈X ，使得0x r ，这

时有a=20r x + a=2

r x +∈A ，且有a r ，这是不可能的。因此r 是X 的上界，而由于b r B ，b ≤∈∀有，

∴ r 是X 的最小上界。

同理可证下确界的情形。定理证完。

定理作为工具运用的特点

1．确界定理：构造数集，使其具有某种性质，并将这种性质传递到数集的确界，使确

界之后的数不可能具备该性质。

2．区间套定理：从构造过程中，使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间，再从第二个区间推到第三个区间……。如此继续下去，直到将这个性质聚到区间套所共有的点的任意附近。

3．紧致性定理：从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由紧致性定理得出子列，也即紧致性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。

4．有限覆盖定理：在分析问题过程中，往往可以从局部性质推向整体性质，特别是将有限覆盖与反证法相结合，往往可以推出矛盾。

5．柯西收敛定理：完全从数列本身出发，由于它给出的是极限存在的充分必要条件，不需要先假定极限的存在，相比极限的定义来说，这是一个很大的进步。