实数系基本定理
实数的基本定理
第三章 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明六个基本定理：1实数戴德德公理 确界原理2数列的单调有界定理 3区间套定理 4聚点定理 致密性定理5数列柯西收敛准则 6有限覆盖定理定理(确界原理) 设S 为非空数集．若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界．定理 单调有界数列必收敛. 证明 不妨设{}n a 为有上界的递增数列．由确界原理，数列{}n a 有上确界，记{}n a a sup =．下面证明a 就是{}n a 的极限．事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中某一项N a ，使得N a a ε-<．又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有n N a a a <<-ε．另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n ．所以当N n ≥时有εε+<<-a a a n ，即a a n n =∞→lim ．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．（区间套定理） 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[]n n b a ,，,2,1=n ，即ξ≤n a n b ≤， .,2,1 =n （2） 证 由（1）式，{}n a 为递增有界数列，依单调有界定理，{}n a 有极限ξ，且有 .,2,1, =≤n a n ξ （3） 同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（¡¡）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ， （4）且 .,2,1, =≥n b n ξ （5） 联合（3）、（5）即得（2）式。
最后证明满足（2）的ξ是唯一的。
设数ξ'也满足,,2,1, =≤'≤n b a n n ξ 则由（2）式有≤'-ξξ.,2,1, =-n a b n n 由区间套的条件（¡¡）得≤'-ξξ0)(lim =-∞→n n n a b ，故有ξξ='.由（4）式容易推得如下很有用的区间套性质：推论 若[]),2,1(, =∈n b a n n ξ是区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的ε>0，存在N>0，使得当n >N 时有[]n n b a ,⊂()．；εξU致密性定理定义2 设S 为数轴上的点集，ξ为定点(它可以属于S ，也可以不属S)．ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，则称ξ为点集S 的一个聚点．等价定义如下：定义2’ 对于点集S ，若点ξ的任何ε邻域内都含有S 中异于ξ的点，即Φ≠S U );(0εξ，则称ξ为S 的一个聚点．定义2” 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S 的一个聚点现证定义2’ ⇒定义2”设ξ为S(按定义2’)的聚点，则对任给的0>ε，存在()S U xεξ;∈．令11=ε，则存在()S U x11;εξ∈；令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12,21min x ξε，则存在()S U x22;εξ∈，且显然12x x ≠；令⎪⎭⎫⎝⎛-=-1,1min n n x n ξε，则存在()S U x n n εξ;∈，且11,,-n n x x x 与互异。
数列极限与实数系的基本定理
在xε ∈ S 满足xε > β − ε = β − (β − α) = α, 与α也为S的上确界矛盾,从而上确界唯一.
同理可证下确界唯一.
例
{sin
π n
设E1 = (1, 1/2, · · · , 1/n, · · ·); E2 : n ∈ N+}. 则
=
(1, 2, · · · , n · · ·); E3
于进行严格的推理论证. 因此,有必要使用分析语言给出确切的定义.
定义1.2.1 设{xn}是一个数列，a是一个实数，如果对于任意给定的ε > 0，存在一个
自然数N ，使得凡是n > N 时，都有|xn − a| < ε, 就说数列{xn}当n趋向无穷大时以a为
极限，记成 lim
n→∞
xn
= a,
也可以简记为xn
→ a(n → ∞),
我们也说数列{xn}
收敛于a.
存
在极限的数列称为收敛数列,没有极限的数列称为发散的.
若 lim
n→∞
xn
=
0,
则称{xn}
为无
穷小量.
注
1、
lim
n→∞
xn
=
a
⇐⇒
xn
−
a为无穷小量.
2、 在定义中,正数ε必须是任意给定的，不能用一个很小的正数来代替.
3、 当正数ε给定之后，满足要求的N 通常是与ε有关的，此时N + 1, N + 2等也满足
n
2
xiyi ≤
i=1
n
x2i
i=1
n
yi2 .
i=1
其中等号成立当且仅当数组{xi}与{xi}对应成比例. 4、调合平均值-几何平均值-算术平均值不等式（简称平均值不等式）
实数基本定理
第七章 实数基本定理［教学目标］通过教学使学生掌握反映实数连续性的六个基本定理，能准确加以表述，并深刻理解其实质意义；明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关的命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的方法，提高分析论证的能力。
［教学重难点］实数完备性基本定理的证明和应用。
［教学方法］讲授。
［教学时间］讲授8学时，习题课4学时，共计12学时。
［教学内容］实数完备性基本定理及其等价性证明，闭区间上连续函数性质及证明，*上极限与下极限。
［考核目标］ 1. 区间套、聚点、确界、覆盖、子列及一致连续等概念的理解；求点集的聚点、确界； 2. 对六个基本定理的理解和准确表述，明确其等价性； 3. 应用闭区间上连续函数的性质讨论函数的有界性、最值性、证明方程根的存在性； 4. 函数一致连续性的判别及有关问题的证明。
§ 1 实数基本定理的陈述一． 确界存在定理：回顾确界概念．Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界。
. 二.单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 . 三.Cantor 闭区间套定理 : 1. 区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件} ] , [ {n n b a ⅰ> 对n ∀, 有 , 即 ] , [11++n n b a ⊂] , [n n b a n n n n b b a a ≤<≤++11, 亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;ⅱ> ,0→−n n a b . 即当)(∞→n ∞→n 时区间长度趋于零.则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列.区间套还可表达为:, 1221b b b a a a n n ≤≤≤≤<≤≤≤≤L L L L ,0→−n n a b .)(∞→n 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和 , 其中递增, } {n a } {n b } {n a } {n b 递减. 例如 } ] 1 , 1 [ {n n −和} ] 1 , 0 [ {n都是区间套. 但} ] 21 , ) 1 (1 [ {n n n +−+、 } ] 1 , 0 ( {n 和 } ] 11 , 1 [ {nn +−都不是. 2. Cantor 区间套定理:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .简言之, 区间套必有唯一公共点.四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.例1 验证以下两数列为Cauchy 列 :⑴ n nn x 9.0sin 9.09.0sin 9.09.0sin 9.02+++=L . ⑵ 12) 1 (513111−−+−+−=+n a n n L . 解 ⑴ ≤++=−+++++ | 9.0sin9.09.0sin 9.0| ||11p n p n n n n p n x x L<++≤++ 9.09.01p n n L L L +++++ 9.09.01p n n 119.0109.019.0++×=−=n n ; 对0>∀ε，为使 ε ||<−+n p n x x ，易见只要 9.0lg 10lg 1ε>+n . 于是取 .L L =N ⑵ 1)(2)1(32)1(12)1(||132−+−+++−++−=−+++++p n n n a a p n n n n p n L 1)(2)1(3211211−+−+++−+=+p n n n p L . 当为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 , 有 p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(21721521321121≥⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+p n p n n n n n L , 又=−+−++−+1)(21321121p n n n L ≤−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=1)(213)(215)(21521321121p n p n p n n n n L 121+≤n . 当为奇数时 ,p =−+−++−+1)(21321121p n n n L 0 1)(213)(215)(21321121≥−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=p n p n p n n n L , =−+−++−+1)(21321121p n n n L121 1)(213)(21521321121+≤⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−−+−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+−+=n p n p n n n n L . 综上 , 对任何自然数p , 有 121 1)(2)1(32112101+≤−+−+++−+≤+n p n n n p L n1 <. …… Cauchy 列的否定:例2 ∑==n k n k x 11 . 验证数列不是Cauchy 列. }{n x 证 对, 取n ∀n p =, 有 212 12111||=>++++++=−+n n n n n n x x n p n L . 因此, 取210=ε ,…… 2. Cauchy 收敛原理:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a ( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy 准则，并以Cauchy 收敛原理为依据，利 用Heine 归并原则给出证明 )五. 致密性定理:数集的聚点(亦称为接触点):定义 设E 是无穷点集. 若在点ξ(未必属于E )的任何邻域内有E 的无穷多个点, 则称点ξ为E 的一个聚点.数集E =} 1{n有唯一聚点, 但; 开区间 的全体聚点之集是闭区间; 设Q 是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间.0E ∉0) 1 , 0 (] 1 , 0 [] 1 , 0 [Q ] 1 , 0 [1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理.Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.六. Heine–Borel 有限复盖定理:1. 复盖: 先介绍区间族} , {Λ∈=λλI G .定义( 复盖 ) 设E 是一个数集 , G 是区间族 . 若对∋Λ∈∃∈∀ , , λE x λI x ∈,则称区间族G 复盖了E , 或称区间族G 是数集E 的一个复盖. 记为. ,Λ∈⊂λλλI E U 若每个都是开区间, 则称区间族是开区间族 . 开区间族常记为λI G } , , ) , ( { Λ∈<=λβαβαλλλλM .定义( 开复盖 ) 数集E 的一个开区间族复盖称为E 的一个开复盖, 简称为E 的一个复盖.子复盖、有限复盖、有限子复盖.例3 } ) 1 , 0 ( ), 23 , 2 ( {∈=x x x M 复盖了区间, 但不能复盖;) 1 , 0 (] 1 , 0 [} ) , ( , ) 2 , 2 ( {b a x x b x x b x H ∈−+−−=复盖, 但不能复盖. ) , [b a ] , [b a 2. Heine–Borel 有限复盖定理:Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.§ 2 实数基本定理等价性的证明证明若干个命题等价的一般方法.本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 ⇒ 区间套定理 ⇒ Cauchy 收敛准则 ⇒ ⇒确界原理 ;Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ;⇒⇒Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .⇒⇒ 一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).⇒1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”:Th 2 单调有界数列必收敛 .2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:Th 3 设是一闭区间套. 则存在唯一的点} ] , [ {n n b a ξ,使对有n ∀∈ξ] , [n n b a .证系1 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则对} ] , [ {n n b a 0>∀ε, ,N ∃当时, 总有N n >] , [n n b a ) , (εξU ⊂.系2 若∈ξ] , [n n b a 是区间套确定的公共点, 则有} ] , [ {n n b a n a ↗ξ, ↘n b ξ, .) (∞→n 3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设E 为非空有上界数集 . 当E 为有 限集时 , 显然有上确界 .下设E 为无限集, 取不是1a E 的上界, 为1b E 的上界. 对分区间, 取, 使不是] , [11b a ] , [22b a 2a E 的上界, 为2b E 的上界. 依此得闭区间列. 验证为Cauchy 列, 由Cauchy 收敛准则,收敛; 同理收敛. 易见↘. 设↘} ] , [ {n n b a } {n b } {n b } {n a n b n b β.有↗ n a β.下证β=E sup .用反证法验证β的上界性和最小性.二. “Ⅱ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.证 （ 突出子列抽取技巧 ）Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.证 （ 用对分法 ）2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ：Th 4 数列收敛 } {n a ⇔ 是Cauchy 列.} {n a 证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界 有收敛子列验证收敛子列的极限即为的极限.→→} {n a 三. “Ⅲ” 的证明:1. 用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:2. 用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”:§ 3 闭区间上连续函数性质的证明一. 有界性:命题1 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上] , [b a )(x f =) 1 (O .证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法.证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法.证法 三 ( 用有限复盖定理 ).二. 最值性:命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ 在上取得最大值和最小值. )(x f ] , [b a ( 只证取得最大值 )证 ( 用确界原理 ).三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.命题3 ( 零点定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设 ,0)(>a f 0)(<b f .令, 则} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=E 非空有界, ⇒E 有上确界. 设E sup =ξ,有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取>n x ξ 且n x ) ( ,∞→→n ξ.由在点)(x f ξ连续和0)(≤n x f , ⇒0)(lim )(≤=∞→n n x f f ξ, ⇒ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∋∈∃n t E t n n ξ. 由在点)(x f ξ连续和,0)(>n t f ⇒ 0)(lim )(≥=∞→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf . 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).四. 一致连续性:命题4 ( Cantor 定理 )证法 一 ( 用区间套定理 ) .证法 二 ( 用列紧性 ).§4. 上极限和下极限一、上（下）极限的定义对于数列，我们最关心的是其收敛性；如果不收敛，我们希望它有收敛的子列，这个愿望往往可以实现。
四个实数系的基本定理的完全互证
职成教苑714289877@四个实数系的基本定理的完全互证ʏ㊀常州铁道高等职业技术学校学生工作处㊀熊晗颖㊀㊀摘要:实数系的基本定理是数学分析中重要组成部分,是分析引论中极限理论的基础㊂能够反映实数连续性的定理很多,它们彼此等价,教材中以确界存在定理为基础,将这些定理进行一次循环证明就验证了它们的等价性㊂本文把确界存在定理㊁单调有界定理㊁闭区间套定理㊁Cauchy 收敛原理这四个定理的所有互推方法列了出来,旨在更加深刻地理解他们之间的关系㊂本文主要采用了构造的方法,也采用了反证法等证明方法㊂关键词:确界存在定理;单调有界定理;闭区间套定理;Cauchy 收敛原理在高等数学领域中,实数系基本定理常见的有确界存在定理㊁单调有界定理㊁闭区间套定理㊁Cauchy 收敛定理㊂这些定理是极限理论乃至整个数学分析理论的基础㊂每一个课本上都是以一个定理为基础循环证明其它定理,一是因为在教程上一一列出来没有必要,二是这些过程太复杂,有些定理证明还是相当有难度的㊂鉴于这部分内容的重要性与复杂性,本文将其所有的证明情形列出来㊂这五个定理,其实他们属于同一类型,他们都指出,在某一条件下,便有某 点 存在,这种点分别是确界(点)(确界存在定理),极限点(单调有界定理和Cauchy 收敛原理),公共点(闭区间套定理),子列的极限点㊂1㊀利用确界存在定理证明其它定理1.1㊀用确界存在定理证明单调有界定理证㊀不妨设x n {}单调递减有下界,根据确界存在定理,由x n {}构成的数集必有下确界α,满足:(1)∀n ɪN +:x n ȡα,(2)∀ε>0,∃x n 0:x n 0<α+ε㊂取N =n 0,∀n >N :α-ε<αɤx n ɤx n 0<α+ε,因而x n -α<ε,于是得到lim n ңɕx n =α㊂同理可证数列x n {}单调增加且有上界的情况㊂1.2㊀用确界存在定理证明闭区间套定理证㊀由a n +1,b n +1[]⊂a n ,b n [],n =1,2,3, 得a 1ɤ ɤa n -1ɤa n <b n ɤb n -1ɤ ɤb 1㊂由确界存在定理有:a n {}单调增加且有上确界ξ1,b n {}单调减少且有下确界ξ2,则ȵlim n ңɕb n -a n ()=0,ʑξ1=ξ2,设lim n ңɕa n =lim n ңɕb n =ξ由于ξ是a n {}的上确界,也是b n {}的下确界,于是有a n ɤξɤb n ,n =1,2,3, ,即ξ属于所有的闭区间a n ,b n []㊂若另有实数ξᶄ属于所有的闭区间a n ,b n [],则也有a n ɤξᶄɤb n ,n =1,2,3,令n ңɕ,由极限的夹逼性得ξᶄ=lim n ңɕa n =lim nңɕb n =ξ㊂1.3㊀用确界存在定理证明Cauchy 收敛原理引理:基本数列必定有界取ε0=1,因为x n {}是基本数列,所以∃N 0,∀n >N 0:x n -x N 0+1<1㊂令M =max x 1,x 2, ,x N 0,x N 0+1{},则对一切n ,成立x n ɤM ㊂证㊀必要性:设x n {}收敛于a ,按定义,∀ε>0,∃N ,∀n ,m >N :x n -a <ε2,x m -a <ε2,于是x m -x n ɤx m -a +x n -a <ε㊂充分性:由引理,基本数列x n {}必定有界㊂由确界存在定理,数列x n {}必有上确界,记ξ=supn >N x n{},则ξ为x n {}的极限㊂2㊀利用单调有界定理证明其它定理2.1㊀用单调有界定理证明确界存在定理证㊀设S 是非空有上界的实数集合,又设T 是由S 的所有上界所组成的集合,现证T 含有最小数,即S 有上确界㊂取a 1∉T ,b 1ɪT ,显然a 1<b 1㊂现按下述规则一次构造一列闭区间:a 2,b 2[]=a 1,a 1+b 12éëêêùûúú,若a 1+b 12ɪT a 1+b 12,b 1éëêêùûúú,若a 1+b 12∉T ìîíïïïï,a 3,b 3[]=a 2,a 2+b 22éëêêùûúú,若a 2+b 22ɪT a 2+b 22,b 2éëêêùûúú,若a 2+b 22∉T ìîíïïïï㊀显然a n {}单调递增有上界b 1,b n {}单调递减有下界a 1,由单调有界定理,a n {}与b n {}收敛,且lim n ңɕa n =lim n ңɕb n =ξ,现只需说明ξ是集合T 的最小数,也就是集博看网 . All Rights Reserved.714289877@ 职成教苑合S 的上确界㊂当ξ∉T ,即ξ不是集合S 的上界,则存在x ɪS ,使得ξ<x ㊂由lim n ңɕb n =ξ,可知当n 充分大时,成立b n <x ,这就与b n ɪT 发出矛盾,所以ξɪT ㊂若存在ηɪT ,使得η<ξ,则由lim n ңɕa n =ξ,可知当n 充分大时,成立η<a n ㊂由于a n ∉T ,于是存在y ɪS ,使得η<a n <y ,这与ηɪT 发生矛盾㊂从而得出ξ是集合S 的上确界㊂2.2㊀用单调有界定理证明闭区间套定理证㊀由条件①可得a 1ɤ ɤa n -1ɤa n <b n ɤb n -1ɤ ɤb 1㊂显然:a n {}单调增加有上界,b n {}单调减少有下界a 1,由单调有界定理,a n {}与b n {}都收敛㊂设lim n ңɕa n =ξ,则lim n ңɕb n =lim n ңɕb n -a n ()+a n []=lim n ңɕb n -a n ()+lim n ңɕa n =ξ,ξ的惟一性显然成立㊂2.3㊀用单调有界定理证明Cauchy 收敛原理证㊀必要性(略)㊂充分性:由引理1基本数列必有界,其次再证明基本数列x n {}的子列有极限㊂取单调减少的基本数列x n {}的子列x n k {}为例㊂令ε=1n ,则存在N n ()及n 1,n 2>N ,使得x n 1-x n 2<1n ,不妨假设对固定的x n k ,必有x n k <x n k -1,当n k -1,n k >N 时,有x n k -1-x n k <1n㊂否则,由于x n {}为无穷数列,必有当n >N时,x n ʉx n k (k =1,2,3, )为常数列,显然收敛㊂结论成立㊂又因为x n k {}⊆x n {},且x n k {}有界,由单调有界定理知,x n k {}收敛㊂记lim n ңɕx n k =a ㊂即对任意ε>0,存在N ,当k >N 时有:x n k -a <ε最后再证lim n ңɕx n =a ㊂因为x n {}是基本数列,所以∀ε>0,∃N ,∀n ,m >N :x n -x m <ε2㊂在上式中取x m =x n k ,其中k 充分大,满足n k >N ,并且令k ңɕ,于是得到x n -a ɤε2<ε,此即证明数列x n {}收敛㊂3㊀利用闭区间套定理证明其它定理3.1㊀用闭区间套定理证明确界存在定理证㊀设S 是非空有下界的实数集合,又设T 是由S 的所以下界所组成的集合,现证T 含有最小数,即S 有下确界㊂构造一列闭区间,存在唯一的实数ξ属于所有的闭区间a n ,b n [],通过反证法可得证ξ是集合T 的最大数,也就是S 的下确界㊂当ξ∉T ,即ξ不是集合S 的下界,则存在x ɪS ,使得ξ>x ㊂由lim n ңɕa n =ξ,可知当n 充分大时,成立a n >x ,这就与a n ɪT 发出矛盾,所以ξɪT ㊂若存在ηɪT ,使得η>ξ,则由lim n ңɕb n =ξ,可知当n 充分大时,成立η>b n ㊂由于b n ∉T ,于是存在y ɪS ,使得y <b n <η,这与ηɪT 发生矛盾㊂从而得出ξ是集合S 的下确界㊂3.2㊀用闭区间套定理证明单调有界定理证㊀设数列x n {}单调递增有上界,记单调递减数列M n {}是x n {}的全体上界,则x 1<x 2< <x n <M n <M n -1< <M 2<M 1,显然有x n +1,M n +1[]⊂x n ,M n [],且limn ңɕM n -x n ()=0,所以x n ,M n []{}形成了一个闭区间套㊂由闭区间套定理,存在唯一实数ξ属于所有的闭区间x n ,M n [],且lim n ңɕx n =lim n ңɕM n =ξ,同理可证单调减少有下界的情况㊂3.3㊀用闭区间套定理证明Cauchy 收敛原理证㊀必要性(略)㊂充分性:设x n {}为基本数列,且a 1ɤx n ɤb 1,n ɪN +,将a 1,b 1[]二等分,令c 1=a 1+b 12得到两个长度相同的子区间a 1,c 1[]㊁c 1,b 1[],分别记为J 1㊁J 2,据它们在实数轴上的左右位置和基本数列的定义即可发现:在左边的J 1和右边的J 2中,至少有一个子区间只含有数列x n {}中的有限项㊂这从几何上看是很直观的,若在J 1和J 2中都有数列中的无穷多项,则可以在J 1中取x n ,在J 2中取x m 使得n ,m 都可以任意大,同时满足不等式x m -x n ȡb -a2这与x n {}为基本数列的条件矛盾,所以可以从a 1,b 1[]去掉只含有数列x n {}中有限项子区间J 1和J 2(若两个子区间都是如此则任取其一)将得到的区间记为a 2,b 2[],重复上述步骤,无限进行下去,便得区间套a k ,b k []{},且满足闭区间套中的每个区间长度是前一个区间长度的12,每一个a k ,b k []中含有数列x n {}中从某项起的所有项㊂所以存在ξ是a n {},b n {}从两侧分别单调收敛于ξ㊂现只需证明基本数列x n {}收敛于ξ㊂∀ε>0,∃n ɪN ,使a n ,b n 进入点ξ的邻域,即有a n ,b n []⊂ξ-ε,ξ+ε()㊂因a k ,b k []中含有数列x n {}中从某项起的所有项,所以∃N 1,当n >N 1时成立x n -ξ<ε㊂4㊀利用Cauchy 收敛原理证明其它定理4.1㊀用Cauchy 收敛原理证明确界存在定理证㊀设S 是一个有上界的集合㊂取实数b 1,使对所有x ɪS ,都有x <b 1㊂取a 1ɪS 并考察区间a 1,b 1[]的中点a 1+b 12,若a 1+b 12是S 的上界,则令a 2=a 1,b 2=a 1+b 12;若a 1+b 12不是S 的上界,则令a 2=a 1+b 12,b 2=b 1㊂于是总可得到区间a 2,b 2[],使b 2是S 的上界㊂a 2,b 2[]中有S 点且b 2-a 2=12b 1-a 1()再对闭区间a 2,b 2[]进行同样的处理,又可得到闭区间a 3,b 3[],使得b 3是S 的上界,a 3,b 3[]中有S 的点且b 3-a 3=b 2-a 22=b 1-a 122㊂重复此步骤,可得到一个闭区间的序列a n ,b n []{},满足下列条件:博看网 . All Rights Reserved.职成教苑714289877@(1)a n +1,b n +1[]⊂a n ,b n [],n =1,2,3, ㊂(2)b n -a n =b 1-a 12n -1,n =1,2,3, ㊂(3)对每个n ɪN ,b n 是S 的上界且a n ,b n []ɘS ʂ⌀,由(1)和(2)知,当m >n 时有b m -b n =b m -b n <b n -a n=12n -1b 1-a 1(),可见b n {}为基本数列,由柯西收敛原理知b n {}收敛,设b n {}收敛于M ㊂任意x ɪS 和任意n ɪN ,均有x ɤb n ,所以x ɤM ,即M 为S 的上界㊂对∀ε>0,由于b n -a n {}的极限为0,所以有n 0使b n 0-a n 0<ε,又因为b n 0ȡM ,所以a n 0ȡb n 0-εȡM -ε由(3)知a n 0,b n 0[]中有S 的点,这表明M -ε不是S 的上界,所以S 是M 的上确界,所以(2)成立㊂4.2㊀用Cauchy 收敛原理证明单调有界定理证㊀假设x n {}单调减少且有下界,但不收敛,则∃ε0,对∀N ,∃m >n >N 使得x n -x m ȡε0,即x m -x n ɤε0㊂取N 1=1,则∃m 1>n 1>N 1使得x m 1-x n 1ɤε0;取N 2=m 1,则∃m 2>n 2>N 2使得x m 2-x n 2ɤε0; ;取N k =m k -1,则∃m k >n k >N k 使得x m k -x n k ɤε0,如此下去,得到子列x n k {},x m k {}满足:kε0ȡx m k -x n k ()+ +x m 2-x n 2()+x m 1-x n 1()ȡx m k-x m k -1()+ +x m 2-x m 1()+x m 1-x n 1()=x m k -x n 1所以x m k -x n 1ң+ɕ,k ңɕ㊂这与x n {}有界矛盾,从而x n {}收敛㊂同理可证单调增加有上界的情形㊂4.3㊀用Cauchy 收敛原理证明闭区间套定理证㊀设m >n ,有0ɤa m -a n <b n -a n ң0(n ңɕ),所以数列a n {}是一基本数列,顾lim n ңɕa n =ξ,由此得到㊀lim n ңɕb n =lim n ңɕb n -a n ()+lim n ңɕa n =ξ㊂由于数列a n {}单调增加,数列b n {}单调减少,可知ξ是属于所有闭区间a n ,b n []的唯一实数㊂参考文献[1]陈纪修.於崇华.数学分析第二版上册[M ].北京:高等教育出版社,2004.[2]包丙寅.实数基本定理的等价性证明[J ].赤峰学院学报,2010,26(07).[3]胡永生.浅谈致密性定理的不同证明方法[J ].中国校外教育下旬刊,2008,(03).[4]扶炜.实数完备性六大基本定理的等价性证明[J ].信阳农业高等专科学校学报,2012,22(02).[5]刘利刚.实数系基本定理等价性的完全互证[J ].数学的实践与认识,2008,38(24).[6]常利利.数学分析同步辅导与课后习题详解[M ].第二版.上册.长春:吉林大学出版社,2008:7.责任编辑㊀孙晓东(上接第37页)4.2㊀多方面评价,全方位发展首先,弱化评价的选拔目的,重视学生发展的过程的均衡㊂促进每一个学生的全面发展是我国基础教育的根本任务,作为评价教学效果的重要指标,基础教育的根本目的不应是选拔拔尖性人才,而是帮助每一个学生发现其学习过程中存在的问题,以获得在未来获得更好的发展㊂其次,评价标准应更加多元化㊂每个学生都有自己的性格特长和钟爱的优势领域,因而在教育评价上就不能 单以分数论英雄 ,用一把尺子衡量所有学生㊂评价标准应包含道德品质㊁学业考试成绩㊁身体素质以及综合实践能力等多项标准,并且每项标准所占权重应均等,从而彻底打破考试卷面得分在学生评价中的 垄断地位 ㊂最后,避免单独使用结果评价,应将过程评价与结果评价相结合㊂过程评价是指在学生学习过程中,经常进行的对学生知识掌握情况㊁能力发展水平的评价㊂其目的不在于打分,而在于发现问题㊂结果评价是对学生学习成果的整体评价,在基础教育阶段,通常以打分的方式出现㊂评价的根本目的在于促进学生的发展而不仅仅是评定学生学习的阶段性成果㊂发现学生在学习过程中出现的问题并给予改进建议是促进学生迅速成长的有效途径,因而评价指标应更全面㊁合理,而不是仅给学生一个单一的分数认定㊂4.3㊀明确责任主体,加强监督管理建议国家将减负政策的全面落实纳入法治管理范围㊂如果教育主管部门放任不管,拒不履行责任,就应当承担相应的法律责任;如果校领导和教师违反减负政策要求,也应接受相应处罚;如果家长擅自给学生加压,也应承担相应的后果㊂加强对校外辅导机构的监管力度,杜绝超前教学㊁课业负担过重等不利于学生成长的教学方式,从而促进中小学生的健康成长㊂参考文献[1]聂清杰.中小学生负担过重的原因及对策[J ].国家高级教育行政学院学报,2000,(05):25-26.[2]朱晓芬. 减负 不要走向极端[J ].湖北教育:政务宣传,2001,(09):8-8.[3]姚佳胜,方媛.政策工具视角下我国减负政策文本计量研究[J ].上海教育科研,2019,(02):10-15.[4]张冰,程天君.新中国成立以来学生 减负 历程的回顾与反思[J ].教育科学,2019,35(06):33-39.[5]何东昌.中华人民共和国教育史纲[M ].海南:海南出版社,2002:203.[6]陈的非. 文革 期间中,小学课程与教学改革研究[D ].长沙:湖南师范大学.[7]王硕. 减负 背景下小学生家长家教观念研究[D ].芜湖:安徽师范大学,2019.[8]新华社.中共中央办公厅㊀国务院办公厅㊀关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见[J ].河南教育(基础版),2021,(09):4-8.[9]罗秀艳.提升教学实践能力促进教师专业发展[J ].科学中国人,2015,(1X ):104.责任编辑㊀孙晓东博看网 . 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关于实数完备性的6个基本定理
1. 确界原理； 2. 单调有界定理； 3. 区间套定理； 4. 有限覆盖定理; 5. 聚点定理; 6. 柯西收敛准则； 在实数系中这六个命题是相互等价的 。
在有理数系中这六个命题不成立 。
1. 确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集
必有上（下）确界。
反例：S {x | x2 2, x Q},sup S 2, inf S 2, 即S在有理数集没有确界。确界原理在有理数域不成立。
5. 聚点定理 实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。
反例： S {(1 1 )n | n Z }, n
S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,
因而在必含有收敛子列。
反例：
{
xn
}
{(1
1 )n n
}是有理数系中的有界无穷数列,
实数完备性基本定理的等价性
实数基本定理等价性的路线 : 证明按以 下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套 定理 Cauchy 收敛准则 确界原理 ; Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy 收敛准则 ; Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限 复盖定理 区间套定理 .
任取H的有限个元素，构成集合H *,
H * {( x1 r1, x1 r1 ),( x2 r2 , x2 r2 ) ( xn rn , xn rn )}
由于H *中的开区间都不含 2，且2n个端点都是有理数， 设这2n个有理数中与 2最靠近的数为 r, 则在r与 2之间所有有理数都在上述n个区间之外。 即H的任意有限覆盖不能盖住[1,2]Q .
则 有理数域内构成闭区间套 [an,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
数学分析第四讲 实数系的6个定理的等价证明
(1) [ak1, bk1] [ak , bk ], k 1, 2,
(2)
lim
k
|
bk
ak
|
0
(3){[ak , bk ]}中每个区间都含有E的无穷多个点
由闭区间套定理存在唯一 [ak , bk ].
k 1
实数的连续不完备性讨论
根据
lim
n
an
lim
n
bn
,得到
0, N1 N * ,k N1 : ak
N2 N * ,k
N2
:
bk
0, N1 N * ,k N1 : ak +
N2 N * ,k N2 :
单调有 界定理
确界 定理
闭区间 套定理
柯西 收敛定理
列紧性 定理
有限覆 盖定理
聚点 定理
实数的连续不完备性讨论
定理：用闭区间套定理证明柯西收敛定理
证明充分性： 0, k N * ,n, m k : xm xn . 0, N k 1,m N : xm xN xN xm xN
用数列极限观点分析
实数集=有理数集+无理数集 有理数集在实数集稠密 无理数集在实数集稠密
著名数学家希尔伯特说:“无穷是人类最伟大的朋友，也是人类心 灵最宁静的敌人”说明极限是数学最重要的概念.
希尔伯特（David Hilbert, 1862－1943）德国数学家, 19世 纪和20世纪初最具影响力的数学家之一. 1900年在巴黎第二界国际 数学家大会上提出的23个数学问题(称希尔伯特问题)，激发了整个 数学界的想象力. 现在这些问题约有一半已得到囿满解决. 其中第八 个问题,就是广为人知的“哥德巴赫猜想”他的杰出工作在整个数学 版图上留下了巨大显赫的名字：希尔伯特空间，希尔伯特丌等式， 希尔伯特算子，被尊为数学世界的亚历山大.
实数系完备性基本定理的循环证明
实数系完备性基本定理的循环证明实数系的完备性基本定理是指实数系是一个完备的数系，即实数系中的有界非空集合必有上确界或下确界。
为了证明实数系的完备性基本定理，我们可以采用循环证明的方法。
循环证明的思想是通过引入一个递归过程，构造一个序列，然后使用序列的性质来证明定理的正确性。
让我们来进行详细的证明：首先，我们定义一个数集合A是非空的有下界的实数集合。
设A的下界为m。
1.构造序列a₁,a₂,a₃,...。
首先，在A中选择出一个数a₁，使得a₁>m。
这一步可以保证序列的递增性质。
然后，在A中选择出一个数a₂，使得a₂>a₁。
同样，这个数的选择可以保证序列的递增性质。
接着，继续在A中选择出一个数a₃，使得a₃>a₂。
同样的，这一步也可以保证递增性质。
以此类推，通过不断选择A中的元素，我们可以构造出一个序列a₁,a₂,a₃,...。
2.证明序列的有上界性质。
我们可以通过数学归纳法来证明序列a₁,a₂,a₃,...有上界的性质。
首先，由于m是A的下界，所以a₁>m。
因此，m是序列的一个上界。
然后，假设aₙ是序列的最大值，即aₙ>aₙ₋₁。
由于A是一个有上界的非空集合，所以存在一个实数M，使得M是A的上界。
我们可以证明aₙ≤M。
假设不成立，即aₙ>M，则存在一个数β，使得M<β<aₙ。
但是由于aₙ是序列中的最大值，不存在一个元素大于aₙ，因此β不可能属于集合A。
综上所述，M是序列的一个上界。
3.构造序列的上确界。
根据实数中的确界原理，非空的有上界的实数集合必有上确界。
因此，我们可以构造一个上确界L，使得L是序列a₁,a₂,a₃,...的上确界。
4.证明L是A的上确界。
首先，根据序列的定义，对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，有aₙ>L-ε。
其次，由于aₙ是序列的一个元素，所以有aₙ≤L。
因此，L-ε<aₙ≤L。
综上所述，对于任意的正实数ε，存在一个元素aₙ满足L-ε<aₙ≤L。
实数系基本定理
关于实数连续性的基本定理这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
它们在证明过程中相互联系。
对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。
而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。
即使方法相同，还可以有不同的细节。
作为工具，它们又各具特点。
而这些都是值得我们去注意与发现。
(一)实数基本定理的出现关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看就是没有“洞”的。
有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。
以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
（论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即 ∞=∈1],[n nn b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
实数六大定理证明
实数六大定理证明这六大定理分别为：确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理，还有一个柯西收敛准则。
实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，它们彼此等价，以不同的形式刻画了实数的连续性，它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具，在微积分学的各个定理中处于基础的地位。
7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立，只能说明它们同时成立或同时不成立，这就需要有更基本的定理来证明其中之一成立，从而说明它们同时都成立。
引进方式主要是承认戴德金公理，然后证明这7个基本定理与之等价，以此为出发点开始建立微积分学的一系列概念和定理。
在一些论文中也有一些新的等价定理出现，但这7个定理是教学中常见的基本定理。
扩展资料实数系的公理系统设R是一个集合，若它满足下列三组公理，则称为实数系，它的元素称为实数:对任意a，b∈R，有R中惟一的元素a+b与惟一的元素a·b分别与之对应，依次称为a，b 的和与积，满足：1、（交换律）对任意a，b∈R，有a+b=b+a，a·b=b·a。
2、（结合律）对任意a，b，c∈R，有a+(b+c)=(a+b)+c，a·(b·c)=(a·b)·c。
3、（分配律）对任意a，b，c∈R，有(a+b)·c=a·c+b·c。
4、（单位元）存在R中两个不同的元素，记为0,1分别称为加法单位元与乘法单位元，使对所有的a∈R，有a+0=a，a·1=a。
5、（逆元）对每个a∈R，存在R中惟一的元素，记为-a，称为加法逆元；对每个a∈R\{0}，存在R中惟一的元素，记为a^(-1)，称为乘法逆元，使a+(-a)=0。
a·a^(-1)=1。
实数基本定理
第一章绪论重点：实数基本定理（戴德金实数连续性定理）。
§1绪论1.初等数学:主要是离散量的运算体系(加,减,乘,除)数学分析：连续量的运算体系及其数学理论(微积分)。
2.两种体系的区别：初等数学主要是恒等变形技巧;而数学分析则更多地应用用不等式及极限来刻划事物。
3.微分问题和积分问题微分问题：一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率.例:“瞬时”速度。
积分问题：计算一个连续量在连续量的作用下的总和成或积累。
例：质点受力作用的位移，求力作用的功。
微分问题和积分问题问题互为逆运算。
4微积分的发展历史开普勒(Kepler,1571-1630)行星三大定律伽利略(Galileo,1564-1642)落体速度的变化惯性定律在以落体和行星为典型的机械运动中提出的两个基本问题：已知运动，求力（速度与加速度）；已知力，求运动。
在笛卡儿（Descartes1596-1650）和费儿玛（Fermat1601-1665）创立的解析几何中，问题转化为求（1）曲线的切线；（2）曲线下的面积。
牛顿（Newton1642-1727）和莱布尼兹（Leibniz1646-1716）在前人的基础上建立了微积分及其演算体系。
从形式演算−→严格的科学体系哥西(Cauchy，1789-1857)、波尔察诺（Bolzano，1781-1848）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）等用用极限的概念把微积分的概念澄清。
戴德金（Dedekind，1831-1916）、康托（Cantor，1845-1918）、维尔斯特拉斯等又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论。
§2．实数连续统离散量：有最小的单位，可数。
例如正整数。
连续量：不能分解成最小的单位。
不是不可分，而是可分，无限可分，分不完。
例如线段，时间等。
问题：离散量可用整数表示，连续量的数学表示是什么？长度是最基本的量，也是最直观的量。
实数系的基本定理
a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。 设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛 定理
Bolzano—Weierstrass 定理 闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理） 非空有上界的 数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。 证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是
2
， xm a
2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。 先证明基本数列必定有界， 取 0 1， 因为 xn 是基本数列， 所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数 属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明 是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n
关于实数连续性的6个基本定理的互证
bn
∈
B
单调下降有下界（例如 a1 ）并且 bn
−
an
= b1 − a1 2
(n
→
∞ ) .由单调有界定
理，知 ∃
r，使
lim
n→∞
an
=
r
.由
lim
n→∞
(bn
−
an )
=
0
有
lni→m∞[an
+
(bn
−
an )]
=
r
∵ {bn}是 A 的上界，∴ ∀x ∈ A ，有 x ≤ bn （n=1，2，……），
一、确界定理证明其他定理
1、确界定理证明单调有界定理
证 明 ： 设 {xn} 是 单 调 上 升 有 上 界 的 实 数 列 . 由 确 界 定 理 可 得 ， ∃ r ， 使 r=sup{xn} . ∴ ∀ n , 有 x n ≤ r ，并且 ∀ε > 0, ∃xN ,有xN > r − ε
∴∀n > N ,有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即| xn − r |< ε
是
A
的上界，记
a1
=
a, b1
=
b
，用
a1, b1
的中点
a1
+ b1 2
二等分 [a1,b1]
，如果
a1
+ b1 2
∈ B,则取a2
=
a1, b2
=
a1
+ b1 2
；如果 a1
+ b1 2
∈
A, 则取a2
=
a1
+ b1 2
, b2
=
b1
实数6个基本定理
实数6个基本定理
实数是数学当中最重要的概念之一，它们是研究几何图形、求解方程与不等式等内容时尤其用得多的数值。
实数的性质决定它们之间的性质也就确定了其中的特点与定理。
首先，关于实数的基本定理有以下六个：
1.正实数集合中，所有数字加减乘除后仍然是正实数。
这是最基本的定理，也就是说，只要数字本身为正实数，那么无论是加、减、乘还是除，它们运算后的答案均为正实数，不可能出现负实数的结果。
2.实数的乘法也有自身的性质，即0乘任何实数均为0，而1乘任何实数，结果均为实数本身。
3.实数的加法运算也有其规律，即两个实数相加、相减后的结果仍然是实数，而且，加一个实数可以把另一个实数变换成另一个实数，从而称其为可加实数。
4.实数的比较有其特定规律，即实数之间可以相等，也可以大小不等：两个实数可以相等，当它们的值完全一样时，也可以大小不等，它们大小的不等依据是它们的值，大者大，小者小。
5.实数可以被分成正负两类，正数比负数大，而负数比正数小。
因此，实数可以分成三类：正数、负数、零。
正实数的值大于零，负实数的值小于零，而零则既不大于，也不小于任何实数。
6.最后，实数的除法也有特定的法则，即除以0的操作永远都是无效的，也就是说，不能将一个实数除以0，否则结果就是无穷大。
以上就是实数的六大基本定理。
它们构成了实数运算发展过程中
的不可缺少的重要组成部分，只有掌握了实数的基本定理，才能更好地掌握实数的运算，进而在数学学习中取得良好的成果。
实数连续性的八个等价定理证明
开区间所复盖，在此基础上再加σ β ，便知[ a ,c]也被∑中有限个开区所复盖，所
以 c∈E
(3) c＝ b ，事实上，若 c＜ b ，取 x ∈ (c,b) ∩ (c,bβ ) ，易知[ a, x ]被∑中有
递减的实数列 {an }发散于-∞的充分必要条件是 {an }无下界。
证明：仅证的推论的前半部分，后半部分可完全类似地得到。 必要性由极限的定义可得。
充分性：由条件，对任意 M＞0，M 不是 {an }的上界， 因此存在 n0 ∈ N ，使
an0 ＞M，从而 n ≥ n0 时，有 an ≥ an0 ＞M, 此即
无限开复盖，若∑中开区间的个数是有限的，则称∑是 E 的有限开复盖。
例 如 开 区 间 集 {(n −1, n + 1) : n ∈ Z} 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 ，
5
{(2n −1,2n + 3) : n ∈ Z} 也 是 整 个 实 数 的 一 个 开 复 盖 。 又 如 开 区 间 集
第一章 实数系与不等式
§1.1 实数系连续性的基本定理
实数系连续性的八大基本定理： (1) Cauchy 准则
(2) Weierstrass 单调有界定理
(3) Cauchy－Cantor 闭区间套定理 (4) Dedekind 分割定理 (5) 确界存在定理 (6) Heine－Borel 有限复盖定理 (7) Weierstrass 聚点定理 (8) Bolzano－Weierstrass 致密性定理 是数学分析的基础，本节我们证明这八大基本定理的等价性，其顺序是:
n, m > N 时，恒有 an − am ＜ε.
若不然，即存在 ε 0 ＞0，对任意自然数 N ，存在 n > m > N ，使
第三章关于实数的基本定理
第三章 关于实数的基本定理 及闭区间上连续函数性质§1. 关于实数的基本定理1. 设()f x 在上定义，求证：D (1) sup{()}inf ();x Dx D f x f ∈∈−=−x(2) inf{()}sup ().x D x Df x f ∈∈−=−x 2. 试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于的数列必有上确界．−∞3. 试分别举出满足下列条件的数列：(1)有上确界无下确界的数列；(2)含有上确界但不含有下确界的数列；(3)既含有上确界又含有下确界的数列；(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．4. 求数列的上、下确界： (1) 11;n x n=− (2)[2(2)];n n x n =+− (3) 2211,1(1,2,3,k k x k x k k+= =+ =L ); (4) 1[1(1)];n n n x n+=+−(5) n x = (6) 12cos .13n n n x n π−=+ 5. 设sup E β=，且E β∉，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞=；又若E β∈，则情形如何? 6. 利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4．7. 试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件去掉或将条件1122[,][,]a b a b ⊃⊃L 0n n b a −→去掉，结果怎样?试举例说明．8. 若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)．9. 设()f x 在无界，求证：存在[,]a b [,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在(,)[,c c a b ]δδ−+∩上无界．10. 设()f x 在[,上只有第一类间断点，定义]a b ()|(0)(0)|.x f x f x ω=+−−求证：任意0,()x εω> ≥ε的点x 只有有限多个．11. 设()f x 是上的凸函数，且有上界，求证：(,)a b lim (),lim ()x a x bf x f +−→→x 存在． 12. 利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限．13. 用区间套定理证明单调有界数列必有极限．14. 设()f x 在[0上连续且有界，对任意,)+∞(,a )∈−∞+∞，()f x a =在[0上只有有限个根或无根，求证：,)+∞lim ()x f x →+∞存在． 15. 设()f x 在[,上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：]a b ()f x 在[,上有界．]a b 16. 求证：数列{有界的充要条件是，{的任何子数列{都有收敛的子数列．}n a }n a }k n a§2. 闭区间上连续函数性质的证明1. 设()f x 在[,上连续，可微，又设]a b (1) min ()max ();a x b a x bf x p f x ≤≤≤≤<< (2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠，求证：()f x =p 的根只有有限多个．2. 设()f x 是[,上的连续函数，其最大值和最小值分别为]a b M 和，求证：必存在区间[,(m m M <)]αβ，满足条件：(1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =；(2) ，当()m f x M <<(,)x αβ∈．3. 设()f x 在[,上连续，且取值为整数，求证：]a b ()f x ≡常数．4. 设()f x 在[,连续，]a b ()0f a <，，求证：存在()0f b >(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，且()0()f x x b ξ><≤．5. 设()f x 在上连续，并且最大值点[,]a b 0x 是唯一的，又设0[,]x a b ∈，使0lim ()()n x f x f x →∞=，求证 0lim n x x x →∞= 6. 试用一致连续的定义证明：若函数()f x 在[,和[,上都一致连续，则]a c ]c b ()f x 在上也一致连续．[,]a b 7. ()f x 在[0连续，且,2]a (0)(2)f f a =，求证：存在[0,]x a ∈，使()()f x f x a =+． 8. 设()f x 在上连续，且(,−∞+∞)lim ()x f x →−∞与lim ()x f x →+∞存在．证明；()f x 在上一致连续．(,−∞+∞)9. 若函数()f x 在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数(,)a b K ，使得|(')('')||'''|,',''(,).f x f x K x x x x a b −≤− ∈证明：()f x 在上一致连续．(,)a b 10. 设()f x 在上一致连续，(,)a b ,a b ≠±∞，证明()f x 在上有界；(,)a b 11. 设()f x 在上可导，且(,)a +∞lim '()x f x →+∞=+∞，求证：()f x 在(,上不一致连续．)a +∞12.求证：()f x =x 在(0,)+∞上一致连续．13. 若()f x 在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|'()|,f x M x X ≤ ∈，则()f x 在X 中一致连续．。
简述实数的八大基本定理,并指出它们之间的关系
简述实数的八大基本定理,并指出它们之间的关系实数的八大基本定理可是数学里相当重要的内容呢，就像一座大厦的八根坚实柱子。
一、确界原理实数系R内，非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。
这就好比一群人在爬山，山有个最高的界限，虽然大家在不同高度，但这个最高界限就在那儿，这个最高界限就类似上确界。
比如说数集｛x | 0 <x < 1｝，它的上确界就是1，就像这群爬山的人最高只能到山顶（这里的山顶就是1）。
二、单调有界定理单调有界数列必有极限。
这就像一个人沿着一条笔直的路一直走，这条路有个方向而且他走得规规矩矩的（单调），并且他不会走到无穷远去（有界），那他肯定能走到一个终点（极限）。
比如说数列｛1 - 1/n｝，n越来越大的时候，这个数列的值越来越大，而且它是有界的，最大不会超过1，最后它就会趋近于1这个极限。
三、区间套定理设一无穷闭区间列｛[aₙ, bₙ]｝满足以下两个条件：1. [aₙ₊₁,bₙ₊₁]⊂[aₙ, bₙ]，n = 1, 2, …；2. lim(bₙ - aₙ)=0，那么存在唯一的实数ξ，使得ξ∈[aₙ, bₙ]，n = 1, 2, …。
这就像俄罗斯套娃一样，一个套一个，最后中间肯定有个确定的东西。
如果把区间想象成一个个盒子，越来越小的盒子套在一起，最后肯定有个非常小的空间里有个确定的点。
四、有限覆盖定理设H为闭区间[a, b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a, b]。
这就好比要给一块地铺上毯子，毯子是一块块小的（开区间），虽然毯子有很多很多块（无限个），但是只要是在一定的范围内（闭区间[a, b]），总能找到有限块毯子就把地给铺满了。
五、聚点定理实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。
这就像在一个小院子里养了好多好多只小鸡（点集S），小鸡虽然很多而且都在这个院子里（有界），那它们肯定会有聚集的地方，这个聚集的地方就是聚点。
六、致密性定理有界数列必有收敛子列。
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关于实数连续性的基本定理
这七个定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
它们在证明过程中相互联系。
对同一个定理的证明，虽然不同的定理作为工具会使证明有简繁之分，有的用的是类似的证明方法，有的出发点与站的角度不同，但最后却都能殊途同归。
而有时使用同一个定理，也可能有不同的方法。
即使方法相同，还可以有不同的细节。
作为工具，它们又各具特点。
而这些都是值得我们去注意与发现。
(一)实数基本定理的出现
关于实数的这些基本定理，总结起来就是一句话，实数系在分析上是完备的，直观来看就是没有“洞”的。
有人也许会说，中学时我就知道实数就是直线，直线当然是没有“洞”的，还用得着这么啰嗦吗？实际上，这里有一个逻辑循环，只有先肯定实数没有“洞”，才能够把它等同于直线，初等数学就这样默认了直观的前提，但是在分析学中就得往前研究，讨论一下这里的没有“洞”到底是怎么回事。
以上的定理表述如下：
实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
（论证实数系的完备性和局部紧致性） 确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即 ∞=∈1],[n n
n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是： εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
上确界的数学定义：有界集合S ，如果β满足以下条件
（1）对一切x ∈S ，有x≤β，即β是S 的上界；
（2）对任意a ＜β，存在x ∈S ，使得x ＞a ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作β=supS （同理可知下确界的定义）
（二）实数基本定理的等价证明
一．用实数基本定理证明其它定理
1．实数基本定理→单调有界定理
证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,},而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证∞
→n lim n x =r 。
事实上，对n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。
2,2εε
-≤∈+r x b r n 便有 ，2
εε+≤-∴r x r ，N n n 有时当
于是，|n x -r|<ε，∴∞
→n lim n x =r 。
若数列}{n x 单调下降有下界，令n y =-n x ，则{n y }单调上升有上界，从而有极限，设极限为r ，则
∞→n lim n x =∞
→n lim （-n y ）=-r 。
定理证完。
2.实数基本定理→确界定理
证明：设X 是有上界的非空实数集，记B 为X 的全体上界组成的集合。
A= R ﹨B ，则A|B 构成实数的一个分划。
事实上，不空，不漏显然。
而A ，a ∈∀对B ，b ∈由a 不是X 的上界，知有0x ∈X ，使得0x a ，而由B ，b ∈知0x ≤b ，故a < b 。
由实数基本定理， A|B 是
实数的一个分划，
∴A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证r=supX 。
首先证明r 是X 的上界。
用反证法。
如果不然，则有0x ∈X ，使得0x r ，这
时有a=20r x + a=2
r x +∈A ，且有a r ，这是不可能的。
因此r 是X 的上界，而由于b r B ，b ≤∈∀有，
∴ r 是X 的最小上界。
同理可证下确界的情形。
定理证完。
定理作为工具运用的特点
1．确界定理：构造数集，使其具有某种性质，并将这种性质传递到数集的确界，使确
界之后的数不可能具备该性质。
2．区间套定理：从构造过程中，使某种性质从第一个区间开始传递到第二个闭区间，再从第二个区间推到第三个区间……。
如此继续下去，直到将这个性质聚到区间套所共有的点的任意附近。
3．紧致性定理：从数列的极限理论，我们知道收敛数列一定有界，但有界数列不一定收敛。
在一系列需要构造收敛数列的分析问题中，往往一开始构造一个有界数列，然后由紧致性定理得出子列，也即紧致性定理，让我们从“混乱”的数列中找出了“秩序”。
4．有限覆盖定理：在分析问题过程中，往往可以从局部性质推向整体性质，特别是将有限覆盖与反证法相结合，往往可以推出矛盾。
5．柯西收敛定理：完全从数列本身出发，由于它给出的是极限存在的充分必要条件，不需要先假定极限的存在，相比极限的定义来说，这是一个很大的进步。