高中数学选修2-1：知识讲解_抛物线及其标准方程_基础

抛物线及其标准方程

编稿：张林娟责编：孙永钊

【学习目标】

1．知识与技能：

（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；

（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；

（3）掌握简单运用．

2．过程与方法：

（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；

（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；

（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题．

3．情感态度与价值观：

在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处．

【要点梳理】

要点一：抛物线的定义

定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

要点诠释：

（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一个定点，一定直线，一个定值．

（2）定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线．

（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．

要点二：抛物线的标准方程

1． 标准方程的推导

（1）建系：

如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴，垂足为K ，以FK 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xOy ．

（2）设点：

设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2

p x =-．

设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点．

（3）列式：

点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合

{|||}P M MF d ==， 即22()||22

p p x y x -+=+． （4）化简：

将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>． ①

方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p ，其准线方程是2

p x =-． 2． 抛物线标准方程的四种形式：

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式