《相似三角形的应用》课件
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《相似三角形的应用》课件-01
=1
35
MH=
3
1．两根电线杆
刮斜的电线杆进行加固，加固方法有多种，如图是其中的一 种：分别在高3米的Ａ处和５米的Ｃ处用钢索将两杆固定.
（1）现测得两杆相距15米，问一般的人能否不弯腰不低头 地通过两钢索交叉点下方?
（2）当两杆相距20米时，一般的人能否通过？
（3）设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a，
C
a
M
b
c
B
H
D
11 1 +=
ab c
5
1．两根电线杆
(1)现测得两杆相距１５米，问身高为1.8米的人能否不弯腰不低头 地通过两钢索交叉点下方?
(2)当两杆相距２０米时，这个人能否通过？ (3)设钢索的交点为M﹐画MH⊥BD于H ，若ＡＢ＝a，CD=b， MH=c，写出a，b，c之间的关系式． (4)如图，将上题条件改为AB∥CD∥MH ，写出(3)中的a﹑b﹑c的 关系式.
一（种（1：２）分）现别当测在两得高杆两3相杆米距相的2距Ａ01米处5时和米，５，一米问般的一的Ｃ般人处的能用人否钢能通索否过将不？两弯杆腰固不定低.头
地通过两钢索交叉点下方?
MH DH
MH DH
C
AB BD
3 1250
A M
MH BH MH BH
5
CD BD
5 1250
3
B
H
D
2105
MH +
MH
棵树时发现树影的一部分在地面上，另一部分在斜坡的坡面 上，测得在地面影长为10米，在斜坡上影长为4米，斜坡的 倾斜角为30°，请计算这棵树的高．
A
C
4m
30°
B
10m
《相似三角形的应用》课件
到相似三角形的运用。
力学中杠杆原理和滑轮组设计原理
杠杆原理
杠杆是一种简单机械，通过力矩的平衡来实现力的传递和转 换。利用相似三角形原理，可以计算出杠杆两端的力和力臂 之间的关系。
滑轮组设计
滑轮组是由多个滑轮组成的复杂机械，可以实现力的方向和 大小的改变。利用相似三角形原理，可以分析出滑轮组中各 个滑轮之间的受力关系。
光学中镜像和折射现象分析
平面镜成像
当光线碰到平面镜时，会遵循“ 入射角等于反射角”的规律，形 成虚像。利用相似三角形原理， 可以计算出物体与镜像之间的距
离关系。
透镜折射
透镜可以改变光线的传播方向， 形成实像或虚像。利用相似三角 形原理，可以分析出光线在经过
透镜前后的路径变化。
凹面镜和凸面镜
凹面镜和凸面镜具有会聚和发散 光线的作用，其成像原理也涉及
回顾如何利用相似三角形证明线段比例、 角度相等等问题。
强调相似三角形在测量、建筑设计等领域的 应用，如利用相似三角形计算高度、距离等 。
学生自我评价报告分享
知识掌握情况
01
学生分享自己在本节课中对相似三角形相关知识的理解和掌握
情况。
学习方法与技巧
02
学生分享自己在学习相似三角形时采用的方法和技巧，如记忆
老师点评与总结
老师对学生的讨论和提问进行点评 和总结，强调相似三角形的重要性 和应用价值，鼓励学生继续深入学 习和探索。
感谢您的观看
THANKS
02
相似三角形在几何问题中 应用
利用相似三角形解决线段比例问题
通过相似三角形的性 质，确定线段之间的 比例关系
应用实例：利用相似 三角形解决建筑物高 度测量问题
利用比例关系，求解 未知线段的长度
力学中杠杆原理和滑轮组设计原理
杠杆原理
杠杆是一种简单机械，通过力矩的平衡来实现力的传递和转 换。利用相似三角形原理，可以计算出杠杆两端的力和力臂 之间的关系。
滑轮组设计
滑轮组是由多个滑轮组成的复杂机械，可以实现力的方向和 大小的改变。利用相似三角形原理，可以分析出滑轮组中各 个滑轮之间的受力关系。
光学中镜像和折射现象分析
平面镜成像
当光线碰到平面镜时，会遵循“ 入射角等于反射角”的规律，形 成虚像。利用相似三角形原理， 可以计算出物体与镜像之间的距
离关系。
透镜折射
透镜可以改变光线的传播方向， 形成实像或虚像。利用相似三角 形原理，可以分析出光线在经过
透镜前后的路径变化。
凹面镜和凸面镜
凹面镜和凸面镜具有会聚和发散 光线的作用，其成像原理也涉及
回顾如何利用相似三角形证明线段比例、 角度相等等问题。
强调相似三角形在测量、建筑设计等领域的 应用，如利用相似三角形计算高度、距离等 。
学生自我评价报告分享
知识掌握情况
01
学生分享自己在本节课中对相似三角形相关知识的理解和掌握
情况。
学习方法与技巧
02
学生分享自己在学习相似三角形时采用的方法和技巧，如记忆
老师点评与总结
老师对学生的讨论和提问进行点评 和总结，强调相似三角形的重要性 和应用价值，鼓励学生继续深入学 习和探索。
感谢您的观看
THANKS
02
相似三角形在几何问题中 应用
利用相似三角形解决线段比例问题
通过相似三角形的性 质，确定线段之间的 比例关系
应用实例：利用相似 三角形解决建筑物高 度测量问题
利用比例关系，求解 未知线段的长度
25.6 相似三角形的应用课件(共22张PPT)
归纳总结
求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解.
1.A字型.
2.X字型.
1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？
解得x = 54，
即这栋高楼的高度为54 m.
随堂练习
如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高呢？（1）请设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与大家交流.（2）思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行，请说明其中的道理.若标杆CD=2 m，标杆影子BD=3 m，旗杆影子BO=12 m，求旗杆的高.
探究二
知识点2 利用相似三角形求距离
1.如图25-6-5，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并给出计算结果.2.如图25-6-6，小明给出的测量方案是否可行？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果.
解：构造相似三角形求解.
例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm，高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少毫米？
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST. ∴ ，即 ， ,PQ×90=（PQ+45）×60.
解得PQ=90（m）.因此河宽大约为 90 m.
已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
第 二十五章 图形的相似能运用三角形相似知识解决不能直接测量物体的高度和距离等实际问题.
求不能直接测量物体的宽度的实际问题，同样可以构造两个相似直角三角形，通过相似三角形的性质求解.
1.A字型.
2.X字型.
1.在某一时刻，测得一根长为1.8 m的竹竿的影长为3 m，同时测得一栋高楼的影长为90 m，这栋高楼的高度为多少？
解得x = 54，
即这栋高楼的高度为54 m.
随堂练习
如图，在学校操场上，高高耸立的旗杆上悬挂着五星红旗.你一定想知道学校操场上旗杆的高度，那么怎样测量和计算旗杆的高呢？（1）请设计一个测量旗杆高度的方案，说明理由，并与大家交流.（2）思考下面“大刚设计的方案”是否可行.如果可行，请说明其中的道理.若标杆CD=2 m，标杆影子BD=3 m，旗杆影子BO=12 m，求旗杆的高.
探究二
知识点2 利用相似三角形求距离
1.如图25-6-5，在一条小河的北岸A处有一古塔，南岸C处有一观景台.为求古塔和观景台之间的距离，请你设计测量方案，并给出计算结果.2.如图25-6-6，小明给出的测量方案是否可行？若可行，请按他的测量方案和所得数据求出结果.
解：构造相似三角形求解.
例2 如图，△ABC为一块铁板余料.已知BC=120 mm，高AD=80 mm.要用这块余料裁出一个正方形材料，且使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形的边长应为多少毫米？
解：∵ ∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST. ∴ ，即 ， ,PQ×90=（PQ+45）×60.
解得PQ=90（m）.因此河宽大约为 90 m.
已测得 QS = 45 m，ST = 90 m，QR = 60 m，请根据这些数据，计算河宽 PQ.
第 二十五章 图形的相似能运用三角形相似知识解决不能直接测量物体的高度和距离等实际问题.
相似三角形的应用名师课件
E
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R．如果测得QS = 45 m，ST = 90m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
活动1
探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
重点、难点知识★▲
小组合作：自学教材40页，例题5----测量河宽问题.
1.本题中是如何构造相似三角形来解决问题的？
2.你还可以用什么方法来测量河的宽度？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R．如果测得QS = 45 m，ST = 90m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
重点、难点知识★▲
例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（ ， ），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
分析：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（ ， ），D（0，1）的坐标代入即可；
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例题讲解
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R．如果测得QS = 45 m，ST = 90m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
活动1
探究二：如何测量不能直接到达的两点间的距离？
重点、难点知识★▲
小组合作：自学教材40页，例题5----测量河宽问题.
1.本题中是如何构造相似三角形来解决问题的？
2.你还可以用什么方法来测量河的宽度？
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究利用三角形相似测量距离（或宽度）
例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交R．如果测得QS = 45 m，ST = 90m，QR = 60 m，求河的宽度PQ．
重点、难点知识★▲
例1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（ ， ），点D的坐标为（0，1） （1）求直线AD的解析式； （2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
分析：（1）设直线AD的解析式为y=kx+b，用待定系数法将A（ ， ），D（0，1）的坐标代入即可；
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例题讲解
相似三角形的应用ppt课件
相似三角形的应用ppt课件contents •相似三角形基本概念与性质•相似三角形在几何问题中应用•相似三角形在三角函数中应用•相似三角形在物理问题中应用•相似三角形在建筑设计中应用•总结与展望目录01相似三角形基本概念与性质定义AAA 相似SAS 相似SSS 相似定义及判定方法01020304两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应角分别相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形有两组对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边都成比例，则这两个三角形相似。
相似比与对应边长成比例关系相似比两个相似三角形的对应边之间的比值称为相似比。
对应边长成比例关系在相似三角形中，任意两边之间的比值等于其他两边之间的比值，即a/a'=b/b'=c/c'，其中a、b、c和a'、b'、c'分别是两个相似三角形的对应边长。
相似三角形面积比关系面积比公式两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长之比的平方，即(S1/S2)=(a/a')^2=(b/b')^2=(c/c')^2，其中S1和S2分别是两个相似三角形的面积，a、b、c和a'、b'、c'分别是它们的对应边长。
应用举例利用相似三角形的面积比关系可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
02相似三角形在几何问题中应用利用相似三角形对应边成比例的性质，通过已知线段长度求解未知线段长度。
结合图形变换（如平移、旋转等）和相似三角形的性质，构造新的相似三角形，进而求解线段长度。
通过相似三角形的性质，建立比例关系，求解未知线段长度。
利用相似三角形求线段长度利用相似三角形证明角相等或互补通过相似三角形的性质，证明两个角相等或互补。
利用相似三角形对应角相等的性质，证明两个角相等。
结合图形变换和相似三角形的性质，构造新的相似三角形，证明两个角互补。
相似三角形性质的应用PPT课件
在地图绘制中，利用相似三角形的性质可以确定地球上各个地点的相对位置和距离。
通过相似三角形，可以将地球上的大范围区域缩小到地图上，方便人们理解和研究 地理分布和特征。
地图绘制中的比例尺就是利用相似三角形的原理，将实际距离按照一定比例缩小到 地图上。
在物理实验中的应用
在物理实验中，常常需要利用 相似三角形来测量和计算各种 物理量，例如力、速度、加速 度等。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(CA/FD)^2。
相似三角形的判定方法
01
02
03
平行线判定法
如果一个三角形与另一个 三角形的一边平行且等于 这边上的一个线段，则这 两个三角形相似。
角角判定法
如果两个三角形有两个对 应的角相等，则这两个三 角形相似。
利用相似三角形解决长度问题
总结词
通过相似三角形的性质，可以解决一些长度问题，如求线段长度ຫໍສະໝຸດ 判断线段大小关系等。详细描述
利用相似三角形的对应边成比例性质，可以通过已知线段长度求解未知线段长度，或者判断线段的大小关系。例 如，在解题过程中，可以通过构建相似三角形，利用对应边成比例的特点，将未知线段长度转化为已知线段长度， 从而求解问题。
相似三角形与面积
相似三角形的面积比等于其对应边长的平方 比。
相似三角形与角平分线
角平分线将相对边分为两段，与角平分线所 形成的两个小三角形相似。
实际问题实例
测量问题
建筑设计
利用相似三角形的性质，可以方便地测量 无法直接到达的物体的高度或距离。
在建筑设计过程中，可以利用相似三角形 的性质来计算建筑物的尺寸和角度，以确 保建筑物的外观和稳定性。
通过相似三角形，可以将地球上的大范围区域缩小到地图上，方便人们理解和研究 地理分布和特征。
地图绘制中的比例尺就是利用相似三角形的原理，将实际距离按照一定比例缩小到 地图上。
在物理实验中的应用
在物理实验中，常常需要利用 相似三角形来测量和计算各种 物理量，例如力、速度、加速 度等。
面积比等于相似比的平方
两个相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方，即 (AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(CA/FD)^2。
相似三角形的判定方法
01
02
03
平行线判定法
如果一个三角形与另一个 三角形的一边平行且等于 这边上的一个线段，则这 两个三角形相似。
角角判定法
如果两个三角形有两个对 应的角相等，则这两个三 角形相似。
利用相似三角形解决长度问题
总结词
通过相似三角形的性质，可以解决一些长度问题，如求线段长度ຫໍສະໝຸດ 判断线段大小关系等。详细描述
利用相似三角形的对应边成比例性质，可以通过已知线段长度求解未知线段长度，或者判断线段的大小关系。例 如，在解题过程中，可以通过构建相似三角形，利用对应边成比例的特点，将未知线段长度转化为已知线段长度， 从而求解问题。
相似三角形与面积
相似三角形的面积比等于其对应边长的平方 比。
相似三角形与角平分线
角平分线将相对边分为两段，与角平分线所 形成的两个小三角形相似。
实际问题实例
测量问题
建筑设计
利用相似三角形的性质，可以方便地测量 无法直接到达的物体的高度或距离。
在建筑设计过程中，可以利用相似三角形 的性质来计算建筑物的尺寸和角度，以确 保建筑物的外观和稳定性。
课件 相似三角形的应用1
D B
A
E C
解：设正方形的边长为Xcm. 设正方形的边长为Xcm. ∵PN∥BC ∥ ∴△APN∽△ABC ∽ A P E B Q D M C N
AE PN ∴ = AD BC 8− x x ∴ = 8 12 x=4.8cm
S正 =4.8×4.8=23.04cm2 ×
ห้องสมุดไป่ตู้
已知：如图 是斜靠的长梯 是斜靠的长梯， 已知：如图AB是斜靠的长梯， 梯脚B距墙根 距墙根C1. 米 梯上点D距离 梯脚 距墙根 .6米，梯上点 距离 已知BD=0.5米，求梯子的长度。 墙1.4米,已知 . 米 已知 米 求梯子的长度。
C B D E
王华在晚上由路灯A走向路灯 ，当他走到点P时 王华在晚上由路灯 走向路灯B，当他走到点 时，发 走向路灯 现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部 的底部， 现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 的底部，当 他向前再步行12m到达点 时，发现身前他影子的 到达点Q时 他向前再步行 到达点 顶部刚接触到路灯B的底部 已知王华身高1。 ， 的底部， 顶部刚接触到路灯 的底部，已知王华身高 。6m， 两路灯高度是9.6m,且AP=QB=xm 两路灯高度是 且 1. 求两路灯之间距离。 求两路灯之间距离。 2. 当王华走到路灯 时，他在路灯 下的影长是多少？ 当王华走到路灯B时 他在路灯A下的影长是多少 下的影长是多少？
复习
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例 对应边成比例， 性质 1：相似三角形的对应边成比例，对应角相等 相似三角形的对应高的比等于相似比 对应高的比等于 性质 2：相似三角形的对应高的比等于相似比 相似三角形的对应中线的比等于相似比 相似三角形的对应中线的比等于相似比 对应中线的比等于 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 对应角平分线的比等于 相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的周长的比等于相似比 周长的比等于 相似三角形的面积的比等于相似比的平方 面积的比等于 性质 3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方
A
E C
解：设正方形的边长为Xcm. 设正方形的边长为Xcm. ∵PN∥BC ∥ ∴△APN∽△ABC ∽ A P E B Q D M C N
AE PN ∴ = AD BC 8− x x ∴ = 8 12 x=4.8cm
S正 =4.8×4.8=23.04cm2 ×
ห้องสมุดไป่ตู้
已知：如图 是斜靠的长梯 是斜靠的长梯， 已知：如图AB是斜靠的长梯， 梯脚B距墙根 距墙根C1. 米 梯上点D距离 梯脚 距墙根 .6米，梯上点 距离 已知BD=0.5米，求梯子的长度。 墙1.4米,已知 . 米 已知 米 求梯子的长度。
C B D E
王华在晚上由路灯A走向路灯 ，当他走到点P时 王华在晚上由路灯 走向路灯B，当他走到点 时，发 走向路灯 现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部 的底部， 现身后他影子的顶部刚好接触到路灯 的底部，当 他向前再步行12m到达点 时，发现身前他影子的 到达点Q时 他向前再步行 到达点 顶部刚接触到路灯B的底部 已知王华身高1。 ， 的底部， 顶部刚接触到路灯 的底部，已知王华身高 。6m， 两路灯高度是9.6m,且AP=QB=xm 两路灯高度是 且 1. 求两路灯之间距离。 求两路灯之间距离。 2. 当王华走到路灯 时，他在路灯 下的影长是多少？ 当王华走到路灯B时 他在路灯A下的影长是多少 下的影长是多少？
复习
相似三角形的性质
相似三角形的对应边成比例 对应边成比例， 性质 1：相似三角形的对应边成比例，对应角相等 相似三角形的对应高的比等于相似比 对应高的比等于 性质 2：相似三角形的对应高的比等于相似比 相似三角形的对应中线的比等于相似比 相似三角形的对应中线的比等于相似比 对应中线的比等于 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 对应角平分线的比等于 相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的周长的比等于相似比 周长的比等于 相似三角形的面积的比等于相似比的平方 面积的比等于 性质 3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方
相似三角形的应用课件初中数学PPT课件
相似三角形可以与三角函数、向量等知识点结合，解决更广泛的实际问题。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
相似三角形在现实生活中的应用
相似三角形在现实生活中有着广泛的应用，如建筑设计、地理测量、物理实验等。通过了解 这些应用，可以更好地理解相似三角形的重要性和实用性。
THANKS
感谢观看
构造相似三角形，通 过已知条件求解未知 边长。
利用相似三角形证明角相等
通过证明两个三角形相似，进 而证明对应角相等。
利用相似三角形的性质，通过 已知角求解未知角。
构造相似三角形，通过证明对 应角相等来证明两角相等。
利用相似三角形解决面积问题
通过已知相似三角形的边长比例， 利用面积公式求解未知面积。
构造相似三角形，通过已知条件 求解未知面积。
利用相似三角形的性质，通过已 知面积求解未知面积。
03 相似三角形在代 数问题中应用
利用相似三角形建立方程
通过相似三角形的性质，建立比例关 系，从而构建方程。
结合图形与代数方法，将几何问题转 化为代数问题。
利用已知边长和角度，通过相似三角 形对应边成比例的性质，列出方程。
通过比较两个三角形的对应角或对应边来判断它们是否相似。
相似三角形的应用
利用相似三角形可以解决一些实际问题，如测量高度、计算距离等。
易错难点剖析及注意事项提醒
易错点
在判断两个三角形是否相似时， 需要注意对应角和对应边的关系，
避免出现错误。
难点
在实际问题中，如何准确地找到相 似三角形并应用其性质进行求解是 一个难点。
结合相似三角形的性质， 解决一些综合性的问题。
04 相似三角形在三 角函数问题中应 用
利用相似三角形推导三角函数公式
通过相似三角形的性质，推导正弦、余弦、正切等基本三角函数公式。 引导学生理解三角函数公式与相似三角形之间的联系，加深对公式的理解和记忆。
23.3.6 相似三角形的应用 华师大版数学九年级上册课件
,
∴ O B A B A 'B O ''B ' 2 7 4 2 1 1 3 （ 7米 ） .
答:金字塔的高度OB为137米.
知1－讲
测量方法：测量不能到达顶部的物体的高度时，常常利用 光线构造相似三角形(如同一时刻，物高与影长)来解 决．常见的测量方式有四种，如图23.3-29所示．
知1－讲
要点精析：(1) 由于太阳在不停地移动，影子的长也随着太 阳的移动而发生变化．因此，度量影子的长一定要在同 一时刻下进行，否则就会影响结果的准确性． (2) 太阳离我们非常远，因此可以把太阳光近似地看成平 行光线． (3) 此方法要求被测物体的底部可以到达，否则测不到被 测物体的影长，从而计算不出物体的高．
知1－讲
【例1】 如何测量旗杆的高度？说明具体过程及原理．
解：具体过程： (1) 依据．同一时刻，物体的高度与它们的影长成比例． (2) 测量．如图，让一名身高为h的同学恰好站在旗杆的 影子的顶端，然后测量该同学的影长l1，同时测量旗杆 的影长l2. (3) 计算．∵太阳光线是平行光线， ∴AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCE. ∵∠ACB＝∠DEC＝90°， ∴△ACB∽△DEC，∴ AC BC . ∵AC=h,BC=l1,CE=l2, ∴ DEDECEACCEhl2.
子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度
是( )
2
A．6.4米 B．7.0米 C．8.0米 D．9.0米
知1－练
2 如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树 的高度，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的 影长是0.8 m，但当她马上测量树的影子时，发现树的 影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁 上(如图)，她先测得留在墙壁上的影高1.2 m，又测得地 面上的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是( ) A．3.25 m B．4.25 m C．4.45 m D．4.75 m
相似三角形的应用PPT课件
(1)若敏敏的身高为150厘米，且此刻她的影子完全落在地 面上，则影长为多少厘米？
解：(1)设敏敏的影长为x厘米，由题意， 得 15x0＝9600 ，解得x＝100， 经检验：x＝100是分式方程的解． ∴敏敏的影长为100厘米．
(2)若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为150厘米，则
高圆柱的高度为多少厘米？ 如图，连结AE，作FB∥EA.∵AB∥EF，
2．测量河宽、管状物体的口径等问题时，可以构造两个相 似三角形，借助相似三角形对应边_____成__比__例_______来 解决．
1．【2020·天水】如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测 量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5 m，测得AB＝1.2 m，BC＝12.8 m，则建筑物CD的高是( A ) A．17.5 m B．17 m C．16.5 m D．18 m
解：∵AB∥CD，∴△PAB∽△PCD，
∴PPAC＝CADB＝170.2.8＝23，∴CCAP＝13. ∵AE∥PG，∴△CAE∽△CPG， ∴APGE＝ACCP，即2P.4G4＝13， ∴PG＝7.32米，
答：路灯P距地面的高度为7.32米．
4．【中考·吉林】如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交 于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝___1_0_0___m.
课堂导练
5．(2020·自贡)一种试电笔的构造如图所示，下列说法 正确的是( D ) A．使用试电笔时 手可以接触笔尖 B．使用试电笔时手不要接触笔卡 C．试电笔中的电阻可以用铁丝代替 D．当氖管发光时有微弱电流通过人体
习题链接
1 见习题
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7
见习题
答案呈现
相似三角形的应用(公开课)精品PPT教学课件
2020/12/6
1
复习目标:
(1)能利用相似三角形的知识解决一些 实际问题
(2)能把相似三角形的知识与其他知识 相结合,解决一些富有挑战性的问题
2020/12/6
2
回顾
三角形相似的判定方法
1、两边对应成比例，且夹角相等的两个 三角形相似
2、两个角对应相等的两个三角形相似
3、三条边对应成比例的两个三角形相似
点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积为S平方米。
（1）分别求出面积S与时间t的关系式
A
D
P
B
2020/12/6
Q
C
10
锋芒毕露
（2）探究:在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与 △CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置； 若不能，请说明理由。
A
D
D
P
B
2020/12/6
Q
A.所有的直角三角形都相似
(C )
B.所有的等腰三角形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似
D.以上结论都不正确
（2）如图所示，在平行四边形ABCD中，G是BC延长
线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中
相似三角形共有( B )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
2020/12/6
5
小试牛刀
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长 16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升 高 8 m。
B
16m
C
┏
┛ 0.5m 1m
o
D
A
小试牛刀
2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而 且落在离网5米的位置上，已知击球点离网的 水平距离为10米，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
1
复习目标:
(1)能利用相似三角形的知识解决一些 实际问题
(2)能把相似三角形的知识与其他知识 相结合,解决一些富有挑战性的问题
2020/12/6
2
回顾
三角形相似的判定方法
1、两边对应成比例，且夹角相等的两个 三角形相似
2、两个角对应相等的两个三角形相似
3、三条边对应成比例的两个三角形相似
点移动t秒（0<t<5)后, 四边形ABQP的面积为S平方米。
（1）分别求出面积S与时间t的关系式
A
D
P
B
2020/12/6
Q
C
10
锋芒毕露
（2）探究:在P、Q两点移动的过程中，四边形ABQP与 △CPQ的面积能否相等？若能，求出此时点P的位置； 若不能，请说明理由。
A
D
D
P
B
2020/12/6
Q
A.所有的直角三角形都相似
(C )
B.所有的等腰三角形都相似
C.所有的等腰直角三角形都相似
D.以上结论都不正确
（2）如图所示，在平行四边形ABCD中，G是BC延长
线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中
相似三角形共有( B )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
2020/12/6
5
小试牛刀
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长 16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升 高 8 m。
B
16m
C
┏
┛ 0.5m 1m
o
D
A
小试牛刀
2. 小明在打网球时，使球恰好能打过网，而 且落在离网5米的位置上，已知击球点离网的 水平距离为10米，求球拍击球的高度h.(设网 球是直线运动)
第14讲相似三角形的应用复习课件(共43张PPT)
全效优等生
图4－14－7
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【思路生成】根据题意画图分析，用含表示某一边的字母 的代数式表示面积，关键是表示另一边的长，借助三角形类似 建立关系．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
解： 如答图所示，为了表达矩形MDNP的面积，设 DN＝ x，PN＝y，则面积S＝xy.①
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
∴△CFD∽△FEA，∴CFFE＝CFAD. 在 Rt△FEA 中， ∵∠A＝90°，AE＝2k，EF＝3k，
∴AF＝ EF2－AE2＝ 5k，
∵CFFE＝CFAD，即C3Fk ＝
5k . 5k
∴CF＝3 5k，∴AD＝BC＝CF＝3 5k，
3．如图4－14－6，点P是菱
形ABCD对角线AC上的一点，连结
DP并延长DP交边AB于点E，连结
BP并延长BP交边AD于点F，交CD 的延长线于点G.
图4－14－6
(1)求证：△APB≌△APD；
(2)已知DF∶FA＝1∶2，设线段DP的长为x，线段PF的长
为y.
①求y与x的函数关系式；
②当x＝6时，求线段FG的长．
EF 2－AE 2＝ 5k，由△CFD ∽△FEA，得出CFFE＝CFAD，CF ＝3 5k，即 AD＝3 5k，进而求解即可．
全效优等生
大师导航 归类探究 自主招生交流平台 思维训练
【解析】 ∵AE＝23BE， ∴设AE＝2k，则BE＝3k，AB＝5k. ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°， CD＝AB＝5k，AD＝BC. ∵将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点 F处， ∴∠EFC＝∠B＝90°，EF＝EB＝3k，CF＝BC， ∴∠AFE＋∠DFC＝90°，∠DFC＋∠FCD＝90°， ∴∠DCF＝∠AFE，
相似三角形应用举例课件
优化建筑布局
在建筑布局设计中，可以利用相 似三角形原理来优化空间布局， 提高建筑的使用效率和舒适度。
航海中的应用
确定航向
导航定位
在航海过程中，可以利用相似三角形 原理来计算船只与目标之间的角度， 从而确定正确的航向。
在导航定位过程中，可以利用相似三 角形原理来计算船只的位置和航速， 确保航行安全和准确到达目的地。
相似三角形应用举例课件
目录
CONTENTS
• 相似三角形的基本概念 • 相似三角形在生活中的应用 • 相似三角形在数学问题中的应用 • 相似三角形在实际问题中的解决策略 • 相似三角形的综合应用举例
01 相似三角形的基本概念
CHAPTER
相似三角形的定义
01
02
03
相似三角形
如果两个三角形对应的角 相等，则这两个三角形相 似。
如果两个三角形有一个对 应的角相等和一组对应的 边成比例，则这两个三角 形相似。
02 相似三角形在生活中的应用
CHAPTER
测量中的应用
测量建筑物高度
利用相似三角形原理，通过测量 建筑物的影长或其他已知高度的 物体，可以计算出建筑物的高度。
测量河流宽度
在河流两岸分别设置标杆，利用相 似三角形原理，可以计算出河流的 宽度。
示例
证明两条线段相等，可以通过构造两个三角形，使它们相似，然后利用对应边成比例的性 质来证明线段相等。
在代数问题中的应用
01
总结词
利用相似三角形的性质，解决代数方程或不等式问题。
02 03
详细描述
在代数问题中，有时需要通过解方程或不等式来求解未知数。通过构造 相似三角形，可以利用相似三角形的性质，如对应边成比例、对应角相 等，来转化方程或不等式，从而简化求解过程。
《相似三角形的应用》PPT课件
此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求 两岸间的大致距离AB．
A
B
D
C
E
2.为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C， 使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一 点E，使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m， DE=30m，那么你能算出池塘的宽AB吗？
A
B
D
E
C
A
BD C
1.如图，厨房角柜的一个台面为三角形.要把它的各 边中点连线所围成的三角形铺成红色大理石，其余 部分铺成白色大理石，红色大理石的面积与白色大 理石的面积的比是多少？
1：3
2.如图，D为Rt△ABC的边BC上一点.点D在什么位置 时，可使图中的两个直角三角形类似？
当点D运动到使ADC BAC的位置时， BAC∽ADC .
OB AB O ' B ' 274 2 137m
A'B'
4
二、例题学习
例 如图，有一河流.请你设计一个方 案测量这条河流的宽度. 1、写出方案，画出示意图； 2、指出要测量的线段； 3、根据测量的数据求出河的宽度.
河
1.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定
一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定 BC和AE的交点D．
h 2 24 16m 3
2.为了测量埃及金字塔的高度，在太阳光下，先竖一 根已知长度的标杆，然后测量标杆和金字塔影子的长
度，就可以近似求出金字塔的高度.如图所示，某人 某时刻测得金字塔的影长AB=274m，标杆的长 OB=2m，标杆的影长AB=4m.求金字塔的高度OB.
OB AB O'B' A'B'
A
B
D
C
E
2.为了测量一池塘的宽AB，在岸边找到了一点C， 使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一 点E，使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m， DE=30m，那么你能算出池塘的宽AB吗？
A
B
D
E
C
A
BD C
1.如图，厨房角柜的一个台面为三角形.要把它的各 边中点连线所围成的三角形铺成红色大理石，其余 部分铺成白色大理石，红色大理石的面积与白色大 理石的面积的比是多少？
1：3
2.如图，D为Rt△ABC的边BC上一点.点D在什么位置 时，可使图中的两个直角三角形类似？
当点D运动到使ADC BAC的位置时， BAC∽ADC .
OB AB O ' B ' 274 2 137m
A'B'
4
二、例题学习
例 如图，有一河流.请你设计一个方 案测量这条河流的宽度. 1、写出方案，画出示意图； 2、指出要测量的线段； 3、根据测量的数据求出河的宽度.
河
1.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定
一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使 AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定 BC和AE的交点D．
h 2 24 16m 3
2.为了测量埃及金字塔的高度，在太阳光下，先竖一 根已知长度的标杆，然后测量标杆和金字塔影子的长
度，就可以近似求出金字塔的高度.如图所示，某人 某时刻测得金字塔的影长AB=274m，标杆的长 OB=2m，标杆的影长AB=4m.求金字塔的高度OB.
OB AB O'B' A'B'
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A
C B D E
解：∵∠ADB=∠EDC
∴∠ABD=∠ECD=90°
∴⊿ABD∽⊿ECD（如果一个三角
形的两角与另一个
三角形的两角对应相等，那么这两
个三角形相似）
∴AB︰CE=BD︰CD
解之得：AB=120×50/60=100（米）
答：两岸间的大致距离为100米.
利用相似三角形测量瓶子的内径
学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺
例6 为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知高度 的竹竿DE，比较竹竿的影长CD与金字塔的影长AB， 却可近似地算出金字塔的高度OB，如果DE=1米， CD=2米，AB =274米，求金字塔的高度OB. O
解： ∵太阳光线是平线光线， ∴∠ECD=∠OAB D A M ∠EDC=∠OBA=90° C ∴△ECD∽ △ OAB（一个三角形的 两个角与另一个三角形的两个角分别对应相 等的两个三角形相似） ∴ DE︰OB=CD︰AB ∴ OB=DE×AB／CD =137（米） 答：金字塔的高度是137米. E
过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后 将等长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木 棒抵住瓶底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木 棒另两端的距离.构造相似并计算瓶子内径.
解：设点O将两根小木棒都分成了 1/n，如果我们测出线段AB的长度 为m，根据两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似，我们就可 以求出内径CD的长度了，即 CD=mn. A O B
E C
1.通过对本堂课的学习你知 道了什么？ 2.你能利用今天所学的知识 解决生活与生产中的一些 简单的测量问题了吗？
解：设高楼的高度为x米，则 1.8︰x=3︰60 解之得：x=36 答：高楼的高度为36米.
例7 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C， 使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确 定BC和AE的交点D，些时如果测得BD=120米， DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.
学了相似三角形后，你知道它可以帮助我们做些什 么吗？
你知道金字塔吗，它们是一些雄伟的建 筑，是古代埃及国王的坟墓，2600年前，埃 及有一个国王，想知道已盖好的大金字塔的 高度，但是他不知道该怎么测量.人爬到塔顶 去吧，不可能.因为塔身是斜的，就是爬上去 了又怎么测量呢？后来国王请来了一个保叫 泰勒斯的学者来帮着他解决了这个问题.你知 道他是如何测出来的吧！下面我们就一起来 看看他的方法.
B
N
假如你就是泰勒斯，你会用什么方法 来测量呢？请与同桌交流一下.
（1）我们可以物理学中的镜面反射来构造相似三 角形来解答，如图1：
（2）我们还可以利用三角尺和标杆来测量物体的 高度.如图2： D 法线 C B A N A E F M B E D 图1 图2
在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例， 在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长 为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度 是多少米？
C
D
相似三角形的性质是我们常常用来证明线段等 积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角 度相等的重要方法. 例8 如图，已知△ACB的边AB、AC上的点， 且ADE=∠C， 求证：AD· AB=AE· AC. A 解：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A ∴ △ ADE∽ △ ACB（如果一 个三角形的两角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个 三角形相似） B ∴AD︰AC=AE︰AB 即；AD· AB=AE· AC D
相ห้องสมุดไป่ตู้三角形的应用
1、判断两三角形相似有哪些方法？
（1）.定义: （2）.定理(平行法): （3）.判定定理一(边边边): （4）.判定定理二(边角边): （5）.判定定理三(角角):
2、相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边的比相等
想一想，并回答：
如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF， DE⊥BF，AC∥DF， ︰3 (1) △DEF1 与△ ABC相似吗？为什么？ (2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少？
C B D E
解：∵∠ADB=∠EDC
∴∠ABD=∠ECD=90°
∴⊿ABD∽⊿ECD（如果一个三角
形的两角与另一个
三角形的两角对应相等，那么这两
个三角形相似）
∴AB︰CE=BD︰CD
解之得：AB=120×50/60=100（米）
答：两岸间的大致距离为100米.
利用相似三角形测量瓶子的内径
学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺
例6 为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知高度 的竹竿DE，比较竹竿的影长CD与金字塔的影长AB， 却可近似地算出金字塔的高度OB，如果DE=1米， CD=2米，AB =274米，求金字塔的高度OB. O
解： ∵太阳光线是平线光线， ∴∠ECD=∠OAB D A M ∠EDC=∠OBA=90° C ∴△ECD∽ △ OAB（一个三角形的 两个角与另一个三角形的两个角分别对应相 等的两个三角形相似） ∴ DE︰OB=CD︰AB ∴ OB=DE×AB／CD =137（米） 答：金字塔的高度是137米. E
过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后 将等长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木 棒抵住瓶底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木 棒另两端的距离.构造相似并计算瓶子内径.
解：设点O将两根小木棒都分成了 1/n，如果我们测出线段AB的长度 为m，根据两边对应成比例且夹角 相等的两个三角形相似，我们就可 以求出内径CD的长度了，即 CD=mn. A O B
E C
1.通过对本堂课的学习你知 道了什么？ 2.你能利用今天所学的知识 解决生活与生产中的一些 简单的测量问题了吗？
解：设高楼的高度为x米，则 1.8︰x=3︰60 解之得：x=36 答：高楼的高度为36米.
例7 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选 定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和点C， 使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确 定BC和AE的交点D，些时如果测得BD=120米， DC=60米，EC=50米，求两岸间的大致距离AB.
学了相似三角形后，你知道它可以帮助我们做些什 么吗？
你知道金字塔吗，它们是一些雄伟的建 筑，是古代埃及国王的坟墓，2600年前，埃 及有一个国王，想知道已盖好的大金字塔的 高度，但是他不知道该怎么测量.人爬到塔顶 去吧，不可能.因为塔身是斜的，就是爬上去 了又怎么测量呢？后来国王请来了一个保叫 泰勒斯的学者来帮着他解决了这个问题.你知 道他是如何测出来的吧！下面我们就一起来 看看他的方法.
B
N
假如你就是泰勒斯，你会用什么方法 来测量呢？请与同桌交流一下.
（1）我们可以物理学中的镜面反射来构造相似三 角形来解答，如图1：
（2）我们还可以利用三角尺和标杆来测量物体的 高度.如图2： D 法线 C B A N A E F M B E D 图1 图2
在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例， 在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长 为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度 是多少米？
C
D
相似三角形的性质是我们常常用来证明线段等 积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角 度相等的重要方法. 例8 如图，已知△ACB的边AB、AC上的点， 且ADE=∠C， 求证：AD· AB=AE· AC. A 解：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A ∴ △ ADE∽ △ ACB（如果一 个三角形的两角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个 三角形相似） B ∴AD︰AC=AE︰AB 即；AD· AB=AE· AC D
相ห้องสมุดไป่ตู้三角形的应用
1、判断两三角形相似有哪些方法？
（1）.定义: （2）.定理(平行法): （3）.判定定理一(边边边): （4）.判定定理二(边角边): （5）.判定定理三(角角):
2、相似三角形有什么性质？
对应角相等，对应边的比相等
想一想，并回答：
如图，B、C、E、F是在同一直线上，AB⊥BF， DE⊥BF，AC∥DF， ︰3 (1) △DEF1 与△ ABC相似吗？为什么？ (2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少？