竞赛力矩平衡(定轴问题)

T =2TB cos30
1 1

F
NB
l
O

TB
mg
B

fB
2 6 TB = T= mg = mg 12 3 3 4
(8)
TC
T
TB
将（8）式分别代入（6）（7）式，得
N B =mg + 6 2 7 mg = mg 12 3 6 (9)
A
O
C
D
B
ห้องสมุดไป่ตู้
fB =
2 6 1 2 mg + mg = mg 4 12 3 3
线必交于一点，如图所示。 AB 为一根质量均匀的 硬棒，所以 O 为 AB 的中点，则由几何关系可得
C 为 BD 的中点，而
BD tan AD
CD tan AD
tan 2 tan
6． 如图所示， 重为 600N 的均匀木板搁在相距为 2.0m 的两堵竖 直墙之间，一个重为 800N 的人站在离左墙 0.5m 处，求左、右 两堵墙对木板的支持力的大小。
l 伸出，为保证两块不翻倒，木块 B 伸出桌边的长度不能超 4
过 A．l/2 C．l/4
B．3l/8 D．l/8
A
它们的重心不能超过桌边
B
证明 硬棒受到三个力作用平衡，则三个力的作用
5．如图所示，重为 G 的一根均匀硬棒 AB，杆的 A 端被细绳 吊起，在杆的另一端 B 作用一水平力 F，把杆拉向右边，整个 系统平衡后， 细线、 棒与竖直方向的夹角分别为 α、 β。 求证： tgβ=2tgα。
3 FA =2 F cos - =2 F sin = mg 3 2
NA
l
2mg
A

fA
D
3．由OA棒所受的竖直方向和水平方向合外力为零，可分别得
N A =2mg -T sin -2 （1）
f A =F +T cos -2
（2）
FA
T
F
O
将
2 T =F = mg 4
5．在一些重型机械和起重设备上，常用双块式电磁制动器，它的简化示意图 如图所示，O1 和 O2 为固定铰链。在电源接通时，A 杆被往下压，通过铰链 C1、C2、C3 使弹簧 S 被拉伸，制动块 B1、B2 与制动轮 D 脱离接触，机械得以 正常运转。当电源被切断后，A 杆不再有向下的压力（A 杆及图中所有连杆及 制动块所受重力皆忽略不计），于是弹簧回缩，使制动块产生制动效果。此 时 O1C1 和 O2C2 处于竖直位置。已知欲使正在匀速转动的 D 轮减速从而实现 制动，至少需要 M=1100N•m 的制动力矩，制动块与制动轮之间的摩擦系数 μ＝0.40， 弹簧不发生形变时的长度为 L=0.300m， 制动轮直径 d=0.400m， 图示尺寸 a=0.065m，h1=0.245m，h2=0.340m，试求选用弹簧的劲度系数 k 最小要多大。
解: 如图所示，制动时制动块 B 、B 对 D 的正压力分别为 N 1 2 1
和 N2，滑动摩擦力分别为μN 1 和μN2 。则制动力矩
d d M N1 N 2 2 2
N2
N1 D N2
①
以左、右两杆为研究对象，由力矩平衡条件可得
F (h1 h2 ) N1h1 N1a
(10)
将（9）（10）式代入 f B B N B ，可得
fB 2 2 B = NB 7 (11)
由于B、C棒受力情况完全相同，故C棒平衡所需的最小摩擦系 数与B棒相等。比较（5）式与（11）式，即可得棒与地面间的 摩擦系数应满足
2 2 7
1．如图所示是单臂斜拉桥的示意图， 均匀桥板 ao 重为 G， 三根平行钢索与桥面成 30o ，间距 ab=bc=cd=do， 若每根钢索受力相同，左侧桥墩对桥板无作用力，则 每根钢索的拉力大小是 A．G C．G∕3 B． 3 G∕6 D．2G∕3
由②-①式得
②
G OB P OD OA P AD
B
O A G
P
D
3．如图所示，质量相等的小球 A 和 B ，分别用等长的细线 悬于轻杆的两端，杆支于 O 点时处于平衡。现将 B 球在水平 拉力作用下很缓慢地移动到 C 点，则下列说法中正确的是 A．轻杆仍处于水平平衡 B．轻杆平衡被破坏，左边下降，右边上升 C．轻杆将转过一角度，但仍可保持平衡 D．以上答案均不对
TC 必沿各自棒的方向，故这两个力的合力沿 OD 方向，其反作 用力 T 作用于 OA 棒的顶端，如图所示。 由 T 和小球重力相对 A 点合力矩为零，可得
l Tl sin -mg cos =0 2
2 T= mg 4
FA
T
F
O

由图所示的 F 和 T 的矢量关系。即可求得 OA 棒 顶端所受的作用力 FA 为

B
G
故若 f 0 ，即 2tg tg 时， 可取任意值。
若 f 0 ，即 f 方向向上，即 2tg tg
1 2 1 时， ( ) 3 tg tg
1 1 2 ) 若 f 0 ，即 f 方向向下，即 2tg tg 时， ( 3 tg tg
g 10m/s 2 ）
B A C
D E
解：
设梯子质量为 M ，长为 l ；人的质量为 m ，人到 A 点的距 离为 x 以整体为研究对象，受力情况如图所示 C
N1 N 2 Mg mg
以 C 点为轴，应满足
N 2l sin15 mg(l x) sin15 N1l sin15
代入上（1）（2）式，可得
NA

5 N A = mg 3
l
（3）
A
2mg

fA
D
将（3）（4）代入 f A N A A
2 fA = mg 3
（ 4）
，可得
fA 2 A = NA 5
（5）
OB棒的受力情况如图所示。
由此棒竖直方向和水平方向合外力为零，可分别得 N B =mg +TB sin (6) f B =F +TB cos (7) 由图所示的矢量关系，可得TB 、TC 与T 的关系为
O
A
C
B
1．三根棒的顶端相互靠在一起，如图所示。
由对称性可知，任何一棒（如 OA 棒）的顶端受到其余两棒对 它的作用力的合力 F 必沿水平方向。如图所示，D 是 BC 的中点，有
3 AD = DO = l 2 3 cos = （1） 3
O
A
C
D
B
由 OA 棒所受外力相对 A 点力矩平衡，得
l Fl sin -mg cos =0 （2 ） 2 将（1）式代入（2 ）式，可解得
F
后
M
前
L
解： （1）如图图所示，当立方体向前翻滚时，以 B
点为转动轴，根据力矩平衡的条件可知，当力 臂最大时，施加的力最小，则施加的力 F 应垂 直于 BC
L Mg F 2 L 2
F C
前
F
若不发生相对滑动，此时应满足 ( Mg F sin 45 ) F cos 45
2Mg 4
M G
B
1 3
（2）如图所示，当立方体向后翻滚时，以 A 点为转 动轴，根据力矩平衡条件可知，当力臂最大时，施加 的力最小，则施加的力 F 应垂直于 AC
L Mg F L 2
F
后
C M G
Mg F 2
A
若不发生相对滑动，此时应满足 F Mg
1 2
4．质量为 m，长为 l 的均匀杆 AB，下端靠在竖直墙 上，借助绳 CD 保持倾斜状态。如图所示，绳的一端系
设 aO 长为 4L ，每根钢索受力为 T，以 O 点为转轴，由力 a 矩平衡条件得
G 2L T 3L sin 30 T 2L sin 30 T L sin 30



b
c
d
o
T
2 G 3
2． 如图所示的杆秤，O 为提扭，A 为刻度的起点，B 为秤钩，P 为秤 砣，关于杆秤的性能，下述说法中正确的是 A．不称物时，秤砣移至 A 处，杆秤平衡 B．不称物时，秤砣移至 B 处，杆秤平衡 C．称物时，OP 的距离与被测物的质量成正比 D．称物时，AP 的距离与被测物的质量成正比
②
N1
N2h1 F (h1 h2 ) N2a
③
而 F 为弹簧的弹力，由胡克定律可得
F k (d 2a L)
④
由①②③④四式可得
(h12 2 a 2 )M k 1.24 104 N / m h1d (h1 h2 )(d 2a L)
6、三根质量为 m 、长为 l 的相同匀质棒，如图所示地紧靠在一起， 三棒与地接触点的连线构成一边长为 l 的正三角形。 已知三个棒与地 面间的摩擦系数相等。 1．试求 OA 棒顶点所受作用力的大小与方向； 2．若在 OA 棒的中点固定一质量也为 m 的小球，再求其顶端所受作 用力的大小和方向； 3．固定小球后，要使体系保持静止，则棒与地面之间的摩擦系数至 少为多少？
O F C
B A
解： 小球缓慢移动过程中，可看作始终处于平衡状态，
受力情况如图所示， T cos G
而绳子拉力到支点 O 的力矩为
Tl cos Gl
在移动过程中保持不变，所以两侧力矩保持不变， 轻杆始终处于平衡状态。
T F C α
B A
O
G
4． 如图所示，A、B 是两个完全相同的长方形木块，长为 l，叠放在 一起，放在水平桌面上，端面与桌边平行。A 木块放在 B 上，右 端有
设板长为 2L， 对板进行受力分析如图所示， 以 A 为转轴，根据力矩平衡条件得