高三统计与概率专题讲解(非常好)
高考数学冲刺概率统计考点精讲
高考数学冲刺概率统计考点精讲高考数学中，概率统计是一个重要的板块，也是不少同学感到有一定难度的部分。
在高考冲刺阶段，对概率统计考点进行系统的梳理和深入的理解，有助于我们在考试中取得更好的成绩。
接下来，就让我们一起对这部分考点进行详细的讲解。
一、随机事件与概率1、随机事件随机事件是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
比如，抛掷一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。
2、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。
如果一个随机事件 A 发生的可能性大小可以用一个数值 P(A)来表示，那么0 ≤ P(A) ≤ 1。
3、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个基本事件出现的可能性相等，那么事件 A 的概率可以通过计算 A 包含的基本事件个数 m 与总的基本事件个数 n 的比值来得到，即 P(A) ＝ m ／ n 。
4、几何概型与古典概型不同，几何概型中基本事件的个数是无限的。
比如，在一个区间内随机取一个数，求这个数落在某个子区间的概率。
二、概率的基本性质1、互斥事件如果事件 A 和事件 B 不能同时发生，那么称它们为互斥事件。
互斥事件的概率加法公式为：P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。
2、对立事件对立事件是指两个互斥事件中必有一个发生，且只有一个发生。
事件 A 的对立事件记为，且 P( ）＝ 1 P(A) 。
3、概率的运算性质包括 P(∅）＝ 0 ，P(A) ＝ 1 P( ），以及如果 A 包含于 B ，则 P(A) ≤ P(B) 等。
三、离散型随机变量及其分布列1、离散型随机变量如果随机变量 X 的取值可以一一列出，那么称 X 为离散型随机变量。
2、分布列离散型随机变量 X 的取值以及对应的概率所组成的表格称为分布列。
分布列具有两个性质：（1）Pi ≥ 0 ，i ＝1, 2, 3, … ；（2）P1 ＋ P2 ＋P3 ＋… ＝ 1 。
常见的离散型随机变量分布列有：（1）两点分布如果随机变量 X 只有两个可能的取值，且 P(X ＝ 0) ＝ 1 p ，P(X＝ 1) ＝ p ，则称 X 服从两点分布。
高考数学中的概率与统计题详解
高考数学中的概率与统计题详解概率与统计是高考数学中的重要内容之一，涉及概率、统计两个部分。
概率是研究随机事件发生的可能性，统计则是根据观察到的现象，对总体进行推断。
在高考中，概率与统计题往往需要运用一定的公式和推理能力来解答。
下面将详细介绍高考中常见的概率与统计题，并提供相关的解题技巧。
一、概率题概率题常见于高考数学中，考察学生对随机事件和概率的理解与计算能力。
下面将从基本定义、计算公式和常见类型等方面对概率题进行详解。
1.基本定义概率是事件发生的可能性大小的度量，用一个介于0和1之间的数表示。
当事件不可能发生时，概率为0；当事件一定发生时，概率为1。
2.计算公式(1)事件A的概率：P(A) = 事件A的可能结果数 / 样本空间的可能结果数。
(2)互斥事件的概率：P(A或B) = P(A) + P(B)。
(3)独立事件的概率：P(A和B) = P(A) × P(B)。
3.常见类型(1)选择题：将概率题与其他数学知识相结合，如求百分比、比例等。
解题时应根据题目给出的条件，利用计算公式进行计算。
(2)排列组合问题：对于不同颜色、大小、形状的球，求取满足某个条件的组合数。
解题时应根据题目所给条件，使用排列组合公式进行计算。
(3)事件的复合：求两个或多个事件复合后的概率。
解题时应根据题目所给条件，利用计算公式进行计算。
二、统计题统计题常见于高考数学中，考察学生对收集、整理和分析数据的能力，以及对统计方法的应用。
下面将从数据收集与整理、统计指标和抽样调查等方面对统计题进行详解。
1.数据收集与整理统计题要求学生根据给定的数据进行分析和计算。
在实际情境中，常见的数据收集方法有观察、问卷调查、实验等。
解题时应根据题目所给的数据，进行整理和清晰的分类。
2.统计指标统计指标是对统计数据进行度量和描述的指标。
常见的统计指标有均值、中位数、众数、标准差等。
解题时应根据题目所要求的统计指标，运用相应的公式进行计算。
高考数学中的概率与统计
高考数学中的概率与统计在高考数学中，概率与统计是两个非常重要的概念。
概率是指某件事情发生的可能性，而统计则是通过数据分析找出事情的规律。
本文将介绍高考中的概率和统计内容，以及对于考生应该如何应对这些考点。
一、概率概率是高考数学中的重点之一，它涉及到很多基本概念和计算方法。
我们先来看看常见的概率问题：1. 定义概率：概率是指某事件发生的可能性，通常用一个介于0 到 1 之间的数字表示。
比如说，掷一枚骰子，出现 1 的概率是1/6，出现偶数的概率是 3/6=1/2。
2. 事件的互斥：如果两个事件不能同时发生，就称它们互斥。
比如说，掷一枚骰子，出现 1 和出现 2 是互斥的事件。
此时它们的概率可以简单地相加。
3. 事件的独立：如果两个事件的发生不会互相影响，就称它们独立。
比如说，掷两枚骰子，第一枚出现 1 的概率是 1/6，第二枚出现 2 的概率也是 1/6。
此时出现 1 和 2 的概率就是它们的乘积。
4. 条件概率：条件概率是指在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的可能性。
比如说，从一副扑克牌中取出一张牌，它是红桃的概率是 1/4，如果告诉你它是一张面值为 A 的牌，那么这张牌是红桃的概率就变成了 1/2。
考生在备考概率时，需要将这些基本概念掌握清楚，并能够结合具体问题来进行计算。
此外，还需要注意一些细节问题，比如说事件是否独立、概率的范围等等。
二、统计统计是高考数学中的另一个重要考点，它用来描述数据的分布规律和相关性。
常见的统计问题有：1. 统计指标：统计学有很多指标，比如说平均数、中位数、众数、标准差等等。
这些指标用来描述数据的各种特征，可以通过计算得出。
2. 直方图：直方图是一种常用的数据可视化工具。
它将一段数据区间划分为若干个子区间，并计算每个子区间的数据量，然后将它们用矩形图形表示出来。
通过直方图可以看出数据的分布规律，比如说是否呈正态分布等等。
3. 散点图：散点图可以用来表示两个变量之间的关系。
高三统计概率部分知识点
高三统计概率部分知识点统计和概率是高中数学中的重要内容，它们在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。
在高三阶段，学生需要掌握统计和概率的基本概念、计算方法以及实际问题的解决思路。
本文将介绍高三统计概率部分的知识点，帮助学生理解和掌握相关内容。
一、统计学基本概念1. 总体和样本：总体是指研究对象的全体，样本是从总体中选取的一部分个体。
2. 参数和统计量：参数是对总体的数值特征的度量，统计量是对样本的数值特征的度量。
3. 随机抽样：从总体中按照一定的方法和规则选取样本的过程。
二、统计图表的应用1. 频数分布表和频数分布图：将数据按照一定区间范围划分并统计每个区间的数据个数，然后通过表格和直方图等图表形式展示。
2. 饼状图：用于表示各个部分在整体中的比例关系。
3. 折线图和曲线图：用于表示连续变量的变化趋势和相应的关系。
三、概率基本概念1. 随机事件和样本空间：随机事件是指在一次试验中可能发生的结果，样本空间是指所有可能结果的集合。
2. 事件的概率：事件A发生的概率，记作P(A)，是指事件A在总体中出现的可能性大小。
3. 事件的互斥和独立：互斥事件是指两个事件不可能同时发生，独立事件是指两个事件的发生与否互不影响。
四、概率计算方法1. 等可能原则：对于所有基本事件来说，每个事件发生的可能性是相等的。
2. 事件的概率计算：对于等可能事件，事件A发生的概率等于事件A的样本数除以样本空间的样本数。
3. 事件的并、交和差：事件的并是指两个事件至少有一个发生的情况，事件的交是指两个事件同时发生的情况，事件的差是指一个事件发生而另一个事件不发生的情况。
五、统计推理的应用1. 抽样分布：通过对多个相同样本容量的抽样进行统计，得到统计量的分布，从而进行统计推断。
2. 置信区间估计：通过样本统计量对总体参数进行估计，并给出参数真值可能存在的范围。
3. 假设检验：对于某个假设进行检验，判断其在给定显著性水平下的可接受性。
六、实际问题解决思路1. 了解问题：明确问题涉及的统计和概率知识点，并理解问题中的条件和要求。
高考数学总复习考点知识专题讲解63---统计与概率
zi＝log2yi，－z ＝4.4，
10
zixi＝5548,26.1＝68.6,26.2＝73.5.
i＝1
(1)根据散点图发现样本点分布在函数 y＝2cx＋d 表示的曲 线周围，请根据所给数据建立 y 与 x 的回归方程(小数点后保 留两位数字)；
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏 胖，低于 0.8 倍为偏瘦，请根据回归方程估计这个地区一名 身高为 175 cm，体重为 80 kg 的未成年男性的体重是否正 常？
由题意可知 Y～B3，23， 所以 E(Y)＝3×23＝2，D(Y)＝3×23×13＝23. 因为 E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， 所以甲被录取的可能性更大．
题型三 统计与概率的综合应用 【典例 3】 (2019·安徽蚌埠二模)网上购物的普及，传 统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的 纯利润如表所示：
高考数学总复习考点知识专题讲解 统计与概率
专题概述：1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容， 该类问题以应用题为载体，注重考查应用意识及阅读理解能 力、分类讨论与化归转化能力；2.概率问题的核心是概率计 算．其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列 组合是进行概率计算的工具．统计问题的核心是样本数据的 获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的 数字特征，但近两年全国课标卷突出回归分析的考查；3.离 散型随机变量的分布列及其均值的考查是历来高考的重点， 难度多为中低档类题目，特别是与统计内容的渗透，背境新 颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．
[审题程序] 第一步：利用抽样方法进行数据处理； 第二步：确定 X 的取值及对应的概率； 第三步：计算 X 的分布列与数学期望； 第四步：从事件发生的概率确定有无变化．
数学高考必备概率与统计知识点总结
数学高考必备概率与统计知识点总结数学高考中，概率与统计是一个重要的考点，占据大约10%的考试比重。
掌握好概率与统计的知识点，对于考试取得好成绩至关重要。
本文将对数学高考中必备的概率与统计知识点进行总结，并提供实用的解题方法和技巧。
一、基本概念和概率计算1.1 随机事件和样本空间在概率理论中，随机事件是指实验过程的一个结果，而样本空间则是实验中可能出现的所有结果的集合。
在解题时，我们需要明确随机事件和样本空间的概念，将题目中的问题抽象成适合计算的形式。
1.2 概率的定义和性质了解概率的定义和性质对于解题至关重要。
掌握概率的加法原理、乘法原理、全概率公式和贝叶斯定理能够帮助我们解决复杂的概率计算问题。
1.3 随机变量和概率分布随机变量是指与随机事件相对应的可数的数值，概率分布则定义了随机变量的取值范围和其对应的概率。
掌握随机变量和概率分布的概念和计算方法，能够在解题过程中更好地理解和分析问题。
1.4 用排列组合解决概率问题排列组合是概率计算中常用的方法之一。
理解排列和组合的概念，掌握计算排列和组合的方法，可以帮助我们解决一定范围内的概率计算问题。
二、离散分布2.1 二项分布二项分布是一种重要的离散分布，在高考中经常出现。
掌握二项分布的概念、性质和计算方法，能够解决二项分布相关的问题。
2.2 泊松分布泊松分布是一种常见的离散分布，用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。
了解泊松分布的特点和计算方法，能够解决与泊松分布相关的问题。
三、连续分布3.1 均匀分布均匀分布是一种常见的连续分布，描述了在一定范围内任意取值的概率相等的情况。
掌握均匀分布的概念和计算方法，能够解决与均匀分布相关的问题。
3.2 正态分布正态分布是一种重要的连续分布，具有对称性和钟形曲线的特点。
在高考中，许多问题都可以近似看作正态分布，因此掌握正态分布的概念和计算方法非常重要。
四、统计分析4.1 数据的收集和整理在统计分析中，数据的收集和整理是第一步。
高三微专题概率与统计专题讲座
概率与统计专题讲座1.专题概述：（1）考纲要求：1、①了解分层抽样和系统抽样方法 . ②会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点 .理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 . 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释 . ③会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想 .2、①会作两个有关联变量数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系② ..了解独立性检验（只要求2×2 列联表）的基本思想、方法及其简单应用了解假设检验的基本思想、方法及其简单应用了解回归的基本思想、方法及其简单应用 .3、①了解两个互斥事件的概率加法公式；理解古典概型及其概率计算公式；会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；了解几何概型的意义 .（2）高考地位：概率与统计是高考考查的热点，分值大约占10～～20分之间，可以以客观题出现，也可以解答题出现。
考题与生活联系紧密，成为考查学生应用的亮点。
近几年替代了传统的应用问题成为必考内容。
2.①考点透视：概率在新课标中是必修内容，由于概率内容与实际问题联系非常密切，所以能很好地考查考生分析问题和解决问题的能力，从对2018年的新课标高考试题分析来看，本章内容的考查形式与特点是：（1）考查古典概型、几何概型、互斥事件等内容主要以选择题、填空题的形式出现，一般在每份试卷中有1～2题，多为容易题和中档题。
（2）解答题主要将各种概率的计算与方程、不等式融合在一起进行考查，这是当前高考命题的热点，这是因为概率问题不仅具有很强的综合性，而且与实际生产、生活问题密切联系，能很好地考查分析、解决问题的能力。
有关抽样方法的试题主要考查各种抽样方法的含义以及有关数据与概率的计算；有关统计图表的试题重点考查对频率分布直方图和茎叶图的识图和相关计算；对应样本数字特征，主要考查平均数和方差，并用两个数字特征对各组数据的平均水平以及离散程度做出评判。
数学高考概率统计精讲
数学高考概率统计精讲数学高考中的概率与统计是重要的一部分，而且常常是考试中的重点。
本文将对概率与统计的基本概念和相关题型进行详细讲解，以帮助同学们更好地掌握这一内容。
一、概率的基本概念概率是研究随机现象的数学分支，用于描述事件发生的可能性。
在概率的研究中，有几个基本概念需要掌握。
1. 样本空间和事件样本空间是指一个随机现象的所有可能结果的集合，用S表示。
事件是样本空间的子集，表示一种具体的情况或结果。
2. 概率的定义概率是指事件A发生的可能性，一般用P(A)表示。
在概率的计算中，有两种常见的计算概率的方法：古典概率和几何概率。
3. 古典概率古典概率适用于在有限个等可能的结果中计算概率的情况。
根据古典概率的定义，事件A的概率为P(A) = n(A) / n(S)，其中n(A)表示事件A中的有利结果的个数，n(S)表示样本空间中的总结果个数。
4. 几何概率几何概率适用于通过几何方法计算概率的情况。
对于某个事件A，我们可以通过计算它的面积或长度与总面积或长度的比值来得到概率。
二、概率与统计的应用概率与统计不仅是数学学科中的一个重要内容，也是与日常生活密切相关的。
在高考中，涉及到的概率与统计的应用题主要包括以下几个方面：1. 排列组合排列组合是概率统计中的重要内容之一，也是高考中常见的考点。
在排列组合的计算中，有排列和组合两种情况，需要根据题目的要求来确定。
2. 随机变量与概率分布随机变量是指随机试验结果的数值表示，可以是离散型或连续型的。
概率分布是随机变量可能取值的概率情况，包括离散型随机变量的分布列和连续型随机变量的概率密度函数。
3. 事件的独立性和相关性事件的独立性是指事件A和事件B的发生与否互不影响。
相关性则是指事件A和事件B的发生与否存在某种关联关系。
在计算概率和统计推断时，需要根据事件的独立性或相关性来确定具体的计算方法。
4. 参数估计和假设检验参数估计是指通过样本数据来估计总体参数的值，可以用点估计和区间估计两种方法。
高三数学文史科三轮复习概率与统计课件
高三数学文史科三轮复习概率与统计课件一、概率与统计的概述概率与统计是高中数学的重要内容之一，也是文史科学生备战高考的重点之一。
本课件旨在对概率与统计的知识进行全面系统的复习，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
1.1 概率与统计的定义概率是研究随机现象的发生可能性的数学工具，统计是研究大量数据的收集、整理、分析和解释的方法。
概率与统计的研究对象都是随机变量，但侧重点不同。
1.2 概率的基本概念概率的基本概念包括样本空间、事件、概率、频率等。
学生需要理解这些概念的含义，掌握计算概率的方法，并能够用概率解决实际问题。
1.3 统计的基本概念统计的基本概念包括总体、样本、样本均值等。
学生需要掌握概念的定义，理解统计的基本思想和方法，能够进行数据的整理、分析和解释。
二、概率的运算概率的运算是概率论的基础，掌握概率的运算方法对于解决概率问题非常重要。
2.1 事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小，常用的计算方法有频率法、古典概型法、几何概型法等。
学生需要掌握这些方法的原理和应用，能够灵活运用于解题中。
2.2 复合事件概率的计算复合事件是由两个或多个简单事件构成的事件，计算复合事件的概率需要运用交集、并集等运算法则。
学生需要理解复合事件的概念，掌握计算方法，并能够应用于实际问题中。
2.3 条件概率与独立性条件概率是指在已知一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
独立事件是指两个事件之间的发生与否互不影响。
学生需要深入理解条件概率和独立性的概念，熟练掌握计算方法，并能够解决与之相关的问题。
三、统计的基本方法统计的基本方法主要包括数据的收集、整理、分析和解释。
3.1 数据的收集与整理数据的收集是指通过实地观察、调查问卷等方式收集原始数据。
数据的整理是指对原始数据进行排序、分类、编码等处理，以便进行后续分析。
3.2 数据的分析与解释数据的分析是指通过绘制图表、计算统计指标等方法对数据进行分析，发现数据的规律和特征。
高三数学知识点概率和统计
高三数学知识点概率和统计概率和统计是高中数学中一门重要的知识点，它不仅在学术领域具有广泛的应用，而且在日常生活中也起着重要的作用。
本文将以深入浅出的方式，介绍概率和统计的基本概念、应用及其在现实生活中的意义。
一、概率的基本概念概率是研究随机事件发生可能性的数学工具。
在概率论中，我们通过定义事件、样本空间以及事件发生的概率来进行研究。
在一个随机试验中，样本空间是指所有可能的结果的集合。
而事件则是样本空间的一个子集，它表示我们所关心的具体结果。
通过定义样本空间和事件，我们可以计算出事件发生的概率。
概率的计算一般使用频率的概念，即某个事件发生的次数与总试验次数的比值。
二、概率的应用概率在现实生活中有着广泛的应用。
例如，在购买彩票时，我们可以利用概率的知识来判断购买中奖的可能性。
概率计算还可以应用于投资决策、风险管理等领域。
此外，概率还可以用来解决排列和组合问题。
在排列问题中，我们关注的是有顺序的一组对象的不同排列方式的数量。
而在组合问题中，我们考虑的是从一组对象中选择出一部分对象的不同组合方式的数量。
三、统计的基本概念统计是研究数据收集、分析和解释的学科。
在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的数据，统计学可以帮助我们从数据中发现规律，做出推断和预测。
统计学中的重要概念包括样本和总体。
样本是指从总体中抽取的一部分数据，而总体是我们希望研究的对象的全体数据。
利用统计学的方法，我们可以对数据进行描述和分析。
例如，通过计算数据的平均值、标准差、方差等指标，我们可以对数据的特征进行量化描述。
同时，统计学还涉及概率分布、假设检验、回归分析等复杂的概念和方法。
四、统计的应用统计学在各个领域都有着广泛的应用。
在医学领域，统计学可以帮助医生进行临床试验和疾病预测。
在市场营销中，统计学可以帮助企业了解客户的需求、评估营销策略的效果。
除此之外，统计学还可以应用于财务分析、社会调查、教育研究等领域。
统计学的方法可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析
数学高三数学概率与统计知识总结与题型解析概率与统计是高中数学中的一个重要部分，也是数学高考中的一个重点考点。
掌握好概率与统计的知识对于高三学生来说非常重要。
本文将对高三数学概率与统计的知识进行总结，并解析一些常见的题型。
一、概率的基本概念和性质概率是研究随机试验结果出现的可能性的数学理论。
在概率的研究中，有几个基本概念和性质需要掌握。
1.1 试验、样本空间和事件随机试验是指具有以下三个特点的试验：可以在相同的条件下重复进行，每次试验的结果不确定，且试验的结果有多种可能性。
样本空间是指一个随机试验的所有可能结果的集合。
事件是样本空间的一个子集，表示随机试验中我们关心的一些结果。
1.2 概率的定义和性质概率的定义可以通过两种方式来描述：频率定义和古典定义。
频率定义是指当试验重复进行很多次时，事件发生的频率趋近于概率值。
古典定义是指在满足条件的情况下，事件发生的可能性与样本空间中元素个数的比值。
概率具有以下几个性质：非负性、规范性、可列可加性、互斥性和独立性。
1.3 条件概率和乘法定理条件概率是指在另一个事件已经发生的条件下，某个事件发生的概率。
条件概率可以通过乘法定理来计算。
二、离散型随机变量离散型随机变量是指在有限或可数无限个取值中取一个确定值的变量。
离散型随机变量具有以下几个重要的性质：概率函数、分布函数、数学期望、方差等。
2.1 二项分布二项分布是指在n次独立的伯努利试验中，事件发生的次数所符合的概率分布。
如果事件发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p，那么在n次试验中，事件发生k次的概率可以由二项分布来计算。
2.2 泊松分布泊松分布是在一定时间或空间范围内，某个事件发生的概率符合的分布。
泊松分布的参数λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
三、连续型随机变量连续型随机变量是指在一个或者几个区间内取值的变量。
连续型随机变量具有以下几个重要的性质：概率密度函数、分布函数、数学期望、方差等。
概率与统计 高中数学讲义解析版
第九章概率与统计9.1 两个计数原理、排列与组合1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.【教材梳理】1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理（1）分类加法计数原理①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法.②拓展：完成一件事，如果有n类方案,且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法,… ,第n类方案中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+⋯+m n种不同的方法.（2）分步乘法计数原理①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.②拓展:完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法,… ,做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.2.排列与组合（1）排列:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.（2）排列数做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（4）组合数3.A n m =(n −m +1)A n m−1=nA n−1m−1 ；(n +1)!−n!=n ⋅n! .4.kC n k =nC n−1k−1 ；C n m =C n−1m−1+C n−2m−1+⋯+C m−1m−1 .1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.（1） 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.( √ ) （2） 在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( × )（3） 所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( × )（4） (n +1)！−n ！=n ⋅n ！ .( √ )（5） kC n k =nC n−1k−1 .( √ )2. 公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，所有乘客下车的可能方式有( D )A. A 105 种B. C 105 种C. 105 种D. 510 种[解析]解：所有乘客下车的可能方式有510 种.故选D.3. （教材改编题）已知集合M ={1,−2,3} ，N ={−4,5,6,−7} ，从M ，N 这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是( C )A. 12B. 8C. 6D. 4[解析]解：分两步：第一步先确定横坐标，有3种情况，第二步再确定纵坐标，有2种情况，因此第一、二象限内不同点的个数是3×2=6 .故选C.4. 已知n ，m 为正整数，且n ≥m ，则下列各式中正确的个数是( C )①A 63=120 ；②A 127=C 127A 77 ；③C n m +C n+1m =C n+1m+1 ；④C n m =C n n−m .A. 1B. 2C. 3D. 4[解析]解：对于①，A 63=6×5×4=120 ，故①正确；对于②，因为C 127=A 127A 77 ，所以A 127=C 127A 77 ，故②正确；对于③，因为C n m +C n m−1=C n+1m ，所以C n m+1+C n m =C n+1m+1 ，故③错误；对于④，C n m =C n n−m ，故④正确.故选C.考点一 分类加法计数原理与分步乘法计数原理例1 （1） 满足a ，b ∈{−1,0,1,2} ，且关于x 的方程ax 2+2x +b =0 有实数解的有序数对(a,b) 的个数为13.[解析]解：当a =0 时，b 的值可以是−1 ，0 ，1 ，2 ，故(a,b) 的个数为4；当a ≠0 时，要使方程ax 2+2x +b =0 有实数解，需使Δ=4−4ab ≥0 ，即ab ≤1 .若a =−1 ，则b 的值可以是−1 ，0 ，1 ，2 ，(a,b) 的个数为4；若a =1 ，则b 的值可以是−1 ，0 ，1 ，(a,b) 的个数为3；若a =2 ，则b 的值可以是−1 ，0 ，(a,b) 的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a,b) 的个数为4+4+3+2=13 .故填13.（2） 某旅游景区有如图所示A 至H 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为( B )A. 288B. 336C. 576D. 1 680[解析]解：第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4×3×2=24（种）.第二步：排黑车,若白车选AF,则黑车有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有2×7=14（种）.根据分步计数原理,共有24×14=336（种）,故选B.（3）（教材改编题）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案种数为( D )A. 36B. 48C. 54D. 72[解析]解：如图，将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤.涂色分为5步完成，前三步涂区域①②③，有4×3×2=24（种）方法.后两步涂区域④⑤，可分为两类：区域②④涂色相同，有1×2种方案；区域②，④涂色不相同，有1×1种方案.所以不同的涂色方案共有24×(1×2+1×1)=72（种）.故选D.【点拨】解答计数应用问题的总体思路：根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了.此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得.变式1.（1）从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( D )A. 56B. 54C. 53D. 52[解析]解：在8个数中任取2个不同的数共有8×7=56个对数值，但在这56个数值中，log24=log39，log42=log93，log23=log49，log32=log94，即满足条件的对数值共有56−4=52（个）.故选D.（2）某学校有东、南、西、北四个校门.翻新改造期间，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园.现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有128种.（用数字作答）[解析]解：因为学生只能从东门或西门进入校园，所以4名学生进入校园的方式共24=16种.因为教师只能从南门或北门进入校园，所以3名教师进入校园的方式共有23=8种.所以3名教师和4名学生要进入校园的方式共有16×8= 128种.故填128.（3） [2023届湖南长郡中学高三入学考试]某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有( B )A. 80种B. 120种C. 160种D. 240种[解析]解：第一步，对1号区域栽种，有4种选择.第二步，对2号区域栽种，有3种选择.第三步，对3号区域栽种，有2种选择.第四步，对5号区域栽种，分为三种情况：①5号与2号颜色相同，则4号仅有1种选择，6号有2种选择；②5号与3号颜色相同，情况与①类似；③5号与2，3号颜色都不同，则4，6号只有1种选择.所以共有4×3×2×(1×2×2+1×1)=120（种）.故选B.考点二排列、组合的基本问题命题角度1 排列的基本问题例2 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）选其中5人排成一排；[答案]解：从7个人中选5个人排，排法总数有A75=7×6×5×4×3=2 520（种）.（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；[答案]分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73A44=5 040（种）.另解：本题即为7人排成一排的全排列.（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；[答案]（优先法）（方法一）甲为特殊元素.先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66=3 600（种）.（方法二）排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从除甲的其余6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A55种方法，共有A62×A55=3 600（种）.（4）全体排成一排，女生必须站在一起；[答案]（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44A44=576（种）.（5）全体排成一排，男生互不相邻；[答案]（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共有A44A53=1 440（种）.（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人；[答案]（捆绑法）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步：先排甲乙两人，有A22种方法；第二步：从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A53种；第三步：把这个整体与余下2人进行全排列，有A 33 种方法.故共有A 22A 53A 33=720（种）.（7） 全体排成一排，甲必须排在乙前面（可不相邻）；[答案]（消序法）7人的全排列有A 77 种，其中甲在乙前面与乙在甲前面各占12 ，故共有A 772=2 520 （种）.另解：7个位置中任选5个排除甲、乙外的5人，余下的两个位置甲、乙的排法即定，故有A 75=2 520 （种）.（8） 全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.[答案]甲、乙为特殊元素，左、右两端为特殊位置.（方法一）（特殊元素法）甲在最右端时，其他的可全排，有A 66 种；甲不在最右端时，可从余下5个位置中任选一个，有A 51 种，而乙可排在除去最右端位置后剩余的5个中的任意一个上，有A 51 种，其余人全排列，共有A 51A 51A 55 种.由分类加法计数原理，共有A 66+A 51A 51A 55=3 720 （种）.（方法二）（特殊位置法）先排最左端，除去甲外，有A 61 种，余下6个位置全排，有A 66 种，但应剔除乙在最右端时的排法A 51A 55 种，因此共有A 61A 66−A 51A 55=3 720 （种）.方法三（间接法）：7个人全排，共A 77 种，其中，不合条件的有甲在最左端时，有A 66 种，乙在最右端时，有A 66 种，其中都包含了甲在最左端，同时乙在最右端的情形，有A 55 种.因此共有A 77−2A 66+A 55=3 720 （种）.【点拨】有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.变式2. 【多选题】某学院学生会的3名男生和2名女生在社区参加志愿者活动，结束后这5名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是( BCD )A. 若让其中的男生甲排在两端，则这5名同学共有24种不同的排法B. 若要求其中的2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法C. 若要求其中的2名女生不相邻，则这5名同学共有72种不同的排法D. 若要求其中的1名男生排在中间，则这5名同学共有72种不同的排法[解析]解：对于A，男生甲排在两端，共有2A44=48（种）不同的排法，A错误.对于B，2名女生相邻，共有A22A44=48（种）不同的排法，B正确.对于C，2名女生不相邻，共有A33A42=72（种）不同的排法，C正确；对于D，要求1名男生排在中间，则这5名同学共有3A44=72（种）不同的排法，D正确.故选BCD.命题角度2 组合的基本问题例3 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？（1）只有1名女生；[答案]解：1名女生，4名男生，故共有C51C84=350（种）.（2）两队长当选；[答案]将两队长作为一类，其他11个作为一类，故共有C22C113=165（种）.（3）至少有1名队长当选；[答案]至少有1名队长当选含有两类：只有1名队长和2名队长.故共有C21C114+ C22C113=825（种）.或采用间接法：C135−C115=825（种）.（4）至多有2名女生当选；[答案]至多有2名女生含有三类：有2名女生、只有1名女生、没有女生，故选法有C52C83+C51C84+C85=966（种）.（5）既要有队长，又要有女生当选.[答案]分两类：第一类女队长当选，有C124种选法；第二类女队长不当选，有C41C73+C42C72+C43C71+C44种选法.故选法共有C124+C41C73+C42C72+C43C71+C44=790（种）.【点拨】解组合问题时要注意：①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法（排除法）；③应防止出现如下常见错误：如第3小题，先选1名队长，再从剩下的人中选4人得C21C124≠825，请同学们自己找错因.变式3. 【多选题】为响应政府部门号召，某红十字会安排甲、乙、丙、丁四名志愿者奔赴A，B，C三地参加健康教育工作，则下列说法正确的是( BCD )A. 不同的安排方法共有64种B. 若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种C. 若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有12种D. 若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有14种[解析]解：四人到三地去，一人只能去一地，方法数为34=81，A错误.若恰有一地无人去，则不同的安排方法数是C31(C41+C42+C43)=42，B正确.若甲必须去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法数为A33+C31+C32= 12，C正确.若甲、乙两人都不能去A地，且每地均有人去，分甲、乙去同一个地方和不去同一个地方，则不同的安排方法数为2×5+2A22=14，D正确．故选BCD.考点三排列、组合的综合问题命题角度1 分堆与分配问题例4 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；[答案]解：无序不均匀分组问题.先选1本，有C61种选法；再从余下的5本中选2本，有C52种选法；最后余下3本全选，有C33种选法.故共有C61C52C33=60（种）.（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；[答案]有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）题基础上，还应考虑再分配，共有C 61C 52C 33A 33=360 （种）.（3） 平均分成三份，每份2本；[答案]无序均匀分组问题.先分三步，则应是C 62C 42C 22 种方法，但是这里出现了重复.不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记该种分法为(AB,CD,EF) ，则C 62C 42C 22 种分法中还有(AB,EF,CD) ，(CD,AB,EF) ，(CD,EF,AB) ，(EF,CD,AB) ，(EF,AB,CD) ，共有A 33 种情况，而这A 33 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 62C 42C 22A 33=15 （种）.（4） 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；[答案]有序均匀分组问题.在（3）的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 62C 42C 22A 33⋅A 33=C 62C 42C 22=90 （种）.（5） 分成三份，1份4本，另外两份每份1本；[答案]无序部分均匀分组问题.共有C 64C 21C 11A 22=15 （种）.（6） 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；[答案]有序部分均匀分组问题.在（5）的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 62C 21C 11A 22⋅A 33=90 （种）.（7） 甲得1本，乙得1本，丙得4本.[答案]直接分配问题.甲选1本，有C 61 种方法；乙从余下的5本中选1本，有C 51 种方法，余下4本留给丙，有C 44 种方法，故共有分配方式C 61C 51C 44=30 （种）.【点拨】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列.分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：平均分堆到指定位置.对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再堆数的阶乘分配；②被分配的元素是不同的（如“名额”等则是相同元素，不适用），位置也应是不同的（如不同的“盒子”）；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3)为非均匀分组，分成(4,1,1)为部分均匀分组.变式4.（1） [2020年新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( C )A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种[解析]解：首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数为C61；然后从其余5名同学中选2名去乙场馆，方法数为C52；最后剩下的3名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有C61C52=6×10=60种.故选C.（2）【多选题】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”有着可爱的外表和丰富的寓意，现有5个不同造型的“冰墩墩”，则下列说法正确的是( BCD )A. 把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，共有129种不同的装法B. 从这5个“冰墩墩”中选出3个分别送给3位志愿者，每人1个，共有60种选法C. 从这5个“冰墩墩”中随机取出3个，共有10种不同的取法D. 把这5个“冰墩墩”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有150种不同的装法[解析]解：对于A，每个“冰墩墩”可选择3个盒子中的任意一个，根据分步乘法原理共有35=243（种）不同的装法，故A错误.对于B，共有C53A33=60（种）选法,故B正确.对于C，共有C53=10（种）不同的取法，故C正确.对于D，若3个盒子中“冰墩墩”的数量为1，1，3，则有C53C31A22=60（种）不同的装法；若3个盒子中“冰墩墩”的数量为1，2，2，则有C51C31C42=90（种）.共有60+90=150（种），故D正确.故选BCD.命题角度2 数字排列问题例5 用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位奇数？[答案]解：先排个位数，有C31种方法，然后排千位数，有C41种方法，剩下百位和十位任意排，有A42种方法，故所求为C41C31A42=144个.（2）能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？[答案]分为三类，第一类是千位是2,3,4,5中任意一个，有A41A53个数;第二类是千位是1，且百位是4,5中的一个，有A21A42个数；第三类是千位是1，且百位是3和十位是4,5中的一个，有A21A31个数.故所求为A41A53+A21A42+A21A31=270个.【点拨】对于有限制条件的数字排列问题，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置，同时注意隐含条件：0不能在首位.变式5.（1）设集合A={0,2,4} ,B={1,3,6} .现分别从A，B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中不能被5整除的数共有( C )A. 64个B. 96个C. 144个D. 152个[解析]解：所求的四位数中，数字含0的数有C21C32C21A33=72个，数字不含0的数有C22C32A44=72个，共有72+72=144个.故选C.（2）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2不相邻，这样的六位数的个数是32.（用数字作答）[解析]解：任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，可分三步：第一步：先将3,5排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2捆绑放到3，5，4，6形成的空中，共有C51种排法.共有A222A22C51=40（种）排法.又任何相邻两个数字的奇偶性不同，共有2A33A33=72（种）排法，所以所求为72−40=32.故填32.【巩固强化】1. 体育场南侧有3个大门，北侧有2个大门，某学生到该体育场练跑步，每个门都可进出，则他进出体育场的方案共有( D )A. 6种B. 10种C. 5种D. 25种[解析]解：该学生进出体育场都有5种可能，故他进出体育场的方案共有5×5=25（种）.故选D.2. 某学校为落实“双减政策”，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.周内选择编程、书法、足球三门课，则不同的选课方案共有( A )A. 15种B. 10种C. 8种D. 5种[解析]解：若周二选编程，则选课方案有C31C31=9（种）；若周三选编程，则选课方案有C21C31=6（种）.综上，不同的选课方案共有9+6=15（种）.故选A.3. [2023届安徽高三开学考试]如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分. 假设有6名航天员（4男2女）在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为( B )A. 14B. 18C. 30D. 36[解析]解：将6名航天员安排在3个实验舱的方案种数为C64C21C11=30（种），其中两名女航天员在一个舱内的方案种数为C42C21C11=12（种）.所求为30−12=18（种）.故选B.4. 给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法有( D )A. 120种B. 720种C. 840种D. 960种[解析]解：A有5种颜色可选，B有4种颜色可选，D有3种颜色可选，C，E 均可涂除D的涂色外的其它颜色，均有4种可选.故共有5×4×3×4×4= 960（种）不同的涂色方法．故选D.5. 语文里流行一种特别的句子，正和反读起来都一样的，比如：“清水池里池水清”“中山自鸣钟鸣自山中”，那么在所有的四位数中符合这个规律且四个数字不能都相同的四位数有( A )A. 81个B. 90个C. 100个D. 729个[解析]解：设符合题意的四位数为xyyx，则当x=1时，y=0,2,3,…,9，共9个；当x=2时，y=0,1,3,…,9,共9个；…当x=9时，y=0,1,2,…,8，共9个.由分类加法计数原理可知满足条件的四位数有9×9=81（个）.故选A.6. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教（每地至少1人），其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有( D ) A. 27种 B. 36种 C. 33种 D. 30种[解析]解：因为甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，所以有(2,2,1)和(3,1,1)两种分配方案：①分成(2,2,1)三组，其中甲和丙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，有C32A33=3×3×2=18（种）；②分成(3,1,1)三组，在丁、戊中选出1人，与甲丙组成一组，然后排列，有C21A33=2×3×2=12（种）.共有18+12=30（种）.故选D.7.（1）若C n4>C n6，则n的取值集合是{6,7,8,9} .[解析]解：因为C n4>C n6，所以n≥6，且n!4!(n−4)!>n!6!(n−6)!，所以30>(n−4)(n−5)，即(n−10)(n+1)<0，解得−1<n<10.综上，6≤n<10.故n 的取值集合是{6,7,8,9}.（2）C22+C32+C42+⋯+C102=165 .[解析]解：C22+C32+C42+⋯+C102=C33+C32+C42+⋯+C102=C43+C42+⋯+ C102=⋯=C102+C103=C113=165.8. 【多选题】上海某校举办了主题为“党在我心中”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，则下列结论正确的是( BCD )A. 若甲、乙、丙三名同学全参加，则不同的朗诵排列顺序有36种B. 若甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，则不同的朗诵排列顺序有288种C. 若甲、乙、丙三名同学恰有二人参加，则不同的朗诵排列顺序有432种D. 选派的4名学生不同的朗诵排列顺序有768种[解析]解：对于A，甲、乙、丙三名同学全参加，有C41A44=96（种）情况，由捆绑法易得其中甲、乙相邻的有C41A22A33=48（种）情况.所以甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵排列顺序不能相邻有96−48=48（种）情况，故A错误.对于B，甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵排列顺序有C43C31A44= 288（种）情况，故B正确.对于C，甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵排列顺序有C42C32A44=432（种）情况，故C正确.对于D，选派的4名学生不同的朗诵排列顺序有288+432+48=768（种）情况，故D正确.故选BCD.【综合运用】9. 直线l:xa +yb=1，a∈{1,3,5,7}，b∈{2,4,6,8} .若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10，则这样的直线的条数为( B )A. 6B. 7C. 8D. 16[解析]解：l与坐标轴围成的三角形的面积为S=12ab≥10，即ab≥20.当a= 1时，不满足；当a=3时，b=8，即1条；当a∈{5,7}时，b∈{4,6,8}，此时a的取法有2种，b的取法有3种，则直线l的条数为2×3=6.故满足条件的直线的条数为1+6=7.故选B.10. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象（如图），结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈表示的数为阳数，黑点表示的数为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有( A )A. 120个B. 90个C. 48个D. 12个[解析]解：根据题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8.第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数的组合可以为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有5×4×6=120（个）.故选A.11. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( D )A. 48B. 18C. 24D. 36[解析]解：第1类，对于每一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36（个）.故选D.12. 【多选题】从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中( ACD )A. 偶数有60个B. 比300大的奇数有48个C. 个位和百位数字之和为7的数有24个D. 能被3整除的数有48个[解析]解：对于A，先从2，4，6中任取一个数放在个位，再任取两个数放在十位和百位，共有3A52=60（个），故A正确.对于B，若百位数字为3或5,有2×2×4=16（个）三位奇数；若百位数字为4或6,有2×3×4=24（个）三位奇数.则符合题意的三位数有16+24=40（个），故B错误.对于C，个位和百位的数可以是{1,6}，{2,5}，{3,4}顺序可以交换，再从剩下的数中任选一个放在十位上，共有A22C31C41=24（个），故C正确.对于D，要使组成的数能被3整除，则各位数之和为3的倍数，取出的数有{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{2,3,4}，{2,4,6}，{3,4,5}，{4,5,6}，共8种情况，所以组成的能被3整除的数有8A33=48（个），故D正确．故选ACD.13. 中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图是利用算筹表示数1-9的一种方法.例如：3可以表示为“”，26可以表示为“”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1-9这9个数字表示两位数的个数为16. [解析]解：根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为15，19，24，28，33，37，46，68，77.数字组合15，19，24，28，37，46，68中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7=14（个）两位数；数字组合33，77共可表示2个两位数.则共可表示14+2=16（个）两位数.故填16.【拓广探索】。
高中数学经典概率与统计(解析版)
概率与统计统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】1 .抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题1．（2020·上海闵行区·高三二模）某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ） A ．45B ．46C ．47D ．48 【答案】C【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间隔数3002015k ==，在1到20中抽到的是7， 则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.2．（2020·上海松江区·高三其他模拟）已知6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，在0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )A ．12B ．37C ．47D ．821【答案】B【分析】根据6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，将0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 计算出来，分清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】因为6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数分别为：061,C =166,C =2615,C =3620,C =4615,C =566,C =661,C =. 4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：2721C =种；所取的两数之和为偶数的有：22439C C +=；∴所取的两数之和为偶数的概率为：93217=. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．（2019·上海杨浦区·高三一模）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ）A ．310B ．35C ．25D ．23【答案】B【分析】直接利用概率公式计算得到答案.【详解】11322563105C C P C ⨯=== ，故选：B 【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.4．（2019·上海黄浦区·高三二模）在某段时间内，甲地不下雨的概率为1P （101P <<），乙地不下雨的概率为2P （201P <<），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（ ） A ．12PPB ．121PP -C ．12(1)P P -D ．12(1)(1)P P -- 【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率，可直接写出结果.【详解】因为甲地不下雨的概率为1P ，乙地不下雨的概率为2P ，且在这段时间内两地下雨相互独立， 所以这段时间内两地都下雨的概率为()()1211P P P =--.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题5．（2020·上海奉贤区·高三一模）某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件.现从样本中抽出两件产品，此时含有A 型号产品的概率为__________. 【答案】1117【分析】先由分层抽样抽样比求B 种型号抽取件数，以及n ，再根据古典概型公式求概率. 【详解】设B 种型号抽取m 件，所以1423m =，解得：21m =，142135n =+=， 从样本中抽取2件，含有A 型号产品的概率2111414212351117C C C P C +==.故答案为：11176．（2019·上海市建平中学高三月考）一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ ． 【答案】40【解析】设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯=7．（2020·上海黄浦区·高三二模）某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有14028080500++=户.利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选28010056500⨯=户，故答案为：56 【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.8．（2020·上海高三其他模拟）某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________.【答案】17【分析】由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了x 人，则有40034020x=，求出x 的值即可【详解】解：设高三年级的学生抽取了x 人，则由题意得 40034020x=，解得17x =，故答案为：17 【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.9．（2016·上海杨浦区·复旦附中高三月考）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.【答案】9【分析】根据频率分布直方图计算出日销售量不少于150个的频率，然后乘以30即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于150个的频率为()0.0040.002500.3+⨯=， 因此，这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为300.39⨯=.故答案为9.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.10．（2020·上海高三专题练习）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________．【答案】5.【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a+=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．11．（2020·上海浦东新区·高三一模）在7(2)x +的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）【答案】12【分析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的r 的值，从而确定其概率. 【详解】7(2)x +展开式的通项为()77217722rr rr rr r T C x C x --+==，07,r r N ≤≤∈， 当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，故有0,2,4,6r =满足题意，故所求概率4182P ==.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．12．（2020·上海松江区·高三一模）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.【答案】115【分析】基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，由此能求出学生甲被抽到的概率．【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数801200n C =， 学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，∴学生甲被抽到的概率79111991801200115C C m P n C ===． 故答案为：115． 【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.13．（2019·上海市建平中学高三月考）已知方程221x y a b+=表示的曲线为C ，任取a 、{}1,2,3,4,5b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于________. 【答案】825【分析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“曲线C 表示焦距等于2的椭圆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】所有可能的(),a b 的组数为：5525⨯=，又因为焦距22c =，所以1c =，所以1a b -=±， 则满足条件的有：()1,2、()2,3、()3,4、()4,5、()5,4、()4,3、()3,2、()2,1，共8组， 所以概率为：825P =.故答案为：825. 【点睛】方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）数状图法；（3）列表法；（4）排列、组合数的应用.14．（2020·上海徐汇区·高三一模）小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）． 【答案】1115【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】共43310++=本不同的数，任取2本包含21045C =种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有11111143433333C C C C C C ⋅+⋅+⋅=，所以这2本书属于不同学科的概率33114515P ==. 故答案为：111515．（2020·上海高三一模）近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______.【答案】310【分析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=，使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=，所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==． 故答案为：310． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．16．（2020·上海大学附属中学高三三模）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，则一小时内没有一台机床需要维护的概率为________【答案】0.42【分析】根据甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，利用独立事件和对立事件的概率求法求解.【详解】因为甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，所以一小时内没有一台机床需要维护的概率为()()10.410.30.42-⨯-=,故答案为：0.42【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于基础题.17．（2020·上海长宁区·高三三模）2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为________ 【答案】14【分析】甲同学从物理、历史二选一，其中选历史的概率为12，从化学、生物、政治、地理四选二，有6种选法，其中选化学的有3种，从而可得四选二，选化学的概率为12，然后由分步原理可得同时选择历史和化学的概率.【详解】解：由甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，所以甲同学从物理、历史二选一选历史的概率为12，甲同学从化学、生物、政治、地理四选二有：化学与生物，化学与政治，化学与地理，生物与政治，生物与地理，政治与地理共6种不同的选法，其中选化学的有3种，所以四选二中有化学的概率为12， 所以由分步原理可知甲同学同时选择历史和化学的概率为111=224⨯， 故答案为：14 【点睛】此题考查古典概型概率以及独立事件概率乘法公式的求法，考查理解运算能力，属于基础题. 18．（2019·上海市七宝中学高三三模）一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________【答案】0.88【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可．【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂，所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=，故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 19．（2019·上海金山区·高三二模）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是________（结果用小数表示）【答案】0.9702【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率．【详解】生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02， 每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p ＝（1﹣0.01）（1﹣0.02）＝0.9702．故答案为0.9702．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题20．（2019·上海普陀区·）某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第n 年的人口数量为n a （2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数0.6544450()2000 4.48781x P x e -=++拟合该城市的人口数量，其中x 的单位是年.假设2014年初对应0x =，()P x 的单位是万.设()P x 的反函数为()T x ，求(2440)T 的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1）201520142135208253f f -=-=，201620152203213568f f -=-=，201720162276220373f f -=-=，201820172339227663f f -=-=，201920182385233946f f -=-=，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为0.65444.48781x e -+为单调递减函数，则()P x 为单调递增函数，则0(2440)T x =0()2440P x ⇒=， 代入000.6544450()200024404.48781x P x e -=+=+，解得08.1x =，即(2440)8.1T =， 其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.。
高考概率与统计知识点梳理
高考概率与统计知识点梳理概率与统计是数学中非常重要的一个分支，也是高考数学中的一个重点知识点。
理解概率与统计的原理和应用，对高考取得优异的成绩有着至关重要的作用。
本文将对高考中常见的概率与统计知识点进行梳理，帮助大家更好地掌握这一部分内容。
一、概率的基本概念和计算方法1.1 随机事件与样本空间概率论的研究对象是随机事件，而样本空间是指一个试验所有可能结果组成的集合。
随机事件是样本空间的子集，我们可以通过列举样本空间和随机事件来解决概率问题。
1.2 概率的定义和性质概率是指某个事件发生的可能性大小，可以通过事件发生的次数与总次数之比来计算。
概率具有非负性、规范性和可加性等基本性质，这些性质是进行概率计算的基础。
1.3 频率与概率的关系频率是指在大量重复试验中，某个事件发生的实际次数与试验总次数的比值。
频率和概率在大量试验时趋于相等，这是概率理论的基本思想之一。
1.4 基本计数原理基本计数原理指的是利用乘法原理和加法原理来解决复杂的计数问题。
乘法原理适用于多个进行相互独立的事件的计算，而加法原理适用于多个不相容事件的计算。
二、离散型随机变量及其分布律2.1 随机变量的概念与分类随机变量是指根据试验结果的不同而随机变化的变量。
离散型随机变量是指其可能取值个数有限或可数，而连续型随机变量则取值为整个数轴上的任意一点。
2.2 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律是指随机变量取各个可能值的概率，也称为概率分布或概率函数。
常见的离散型随机变量有二项分布、泊松分布和几何分布等。
2.3 期望与方差期望是指随机变量的平均取值，可以通过所有可能值的加权平均来求解。
方差是指随机变量与其期望之间的差异程度，反映了随机变量的离散程度。
三、连续型随机变量及其概率密度函数3.1 连续型随机变量的概念与特点连续型随机变量是指其可能取值为整个数轴上的任意一点，而不是一个个分立的值。
与离散型随机变量相比，连续型随机变量更适用于处理实际问题中的测量结果。
数学高三概率与统计章节重点知识梳理与习题攻略
数学高三概率与统计章节重点知识梳理与习题攻略概率与统计是高中数学中的重要章节，也是高考中的热点内容。
精通概率与统计对于学生提高数学成绩、应对高考至关重要。
为此，本文将对高三概率与统计章节的重点知识进行梳理，并提供习题攻略，帮助学生更好地掌握这一知识点。
一、基本概念1.事件与样本空间在概率与统计中，我们需要了解事件和样本空间的概念。
事件是指一个我们感兴趣的结果或者结果的集合，而样本空间是所有可能结果的集合。
2.概率概率是指某个事件发生的可能性大小。
常见的概率有经典概率、几何概率和统计概率等。
3.条件概率条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
它可以用公式表示为：P(B|A) = P(A∩B)/P(A)。
4.互斥事件与独立事件互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况，独立事件是指两个事件的发生不会相互影响。
二、概率计算方法1.加法原理与乘法原理加法原理是指计算两个事件至少发生一个的概率。
乘法原理是指计算两个事件同时发生的概率。
2.全概率公式和贝叶斯定理全概率公式是指在一组互斥事件的基础上计算某个事件的概率。
贝叶斯定理是指在已知某个事件发生的条件下计算另一个事件发生的概率。
三、随机变量与概率分布1.随机变量随机变量是指随机试验结果的某个函数，它可以是离散型随机变量或连续型随机变量。
2.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布可以用概率函数、分布列和累积分布函数来表示。
3.连续型随机变量的概率密度函数和分布函数连续型随机变量的概率密度函数和分布函数可以用来描述其取值的概率。
四、常见的概率分布1.二项分布与泊松分布二项分布是指在一系列独立的、相同概率的伯努利试验中，成功次数的概率分布。
泊松分布是指在一个固定时间或空间内，随机事件发生的概率分布。
2.正态分布正态分布是指在自然界种种现象中，满足特定条件的随机变量的概率分布。
它是统计学中最重要的分布之一。
五、统计推断1.抽样与抽样分布抽样是指从总体中选取个体（样本），通过对样本的统计量进行分析推断出总体特征。
高中数学必考知识点概率与统计应用题解析及解题技巧总结
高中数学必考知识点概率与统计应用题解析及解题技巧总结在高中数学中，概率与统计是一个重要的知识点，也是必考内容之一。
掌握好概率与统计的应用题解析和解题技巧，对于高考的数学成绩至关重要。
本文将对概率与统计应用题进行解析，并总结一些解题技巧，帮助同学们更好地应对这一考点。
一、概率与统计应用题解析1.概率应用题解析概率应用题主要涉及事件的概率计算、样本空间、互斥事件、独立事件等概念。
解决这类题目需要综合运用这些概念，并结合具体条件进行分析。
下面以一个具体的例子来进行解析。
例：某班有男生20人，女生25人。
从中抽取1名学生，求抽到女生的概率。
解析：这是一个从有限总体中抽取的概率题。
首先，我们需要确定样本空间。
样本空间即抽取一个学生可能出现的所有情况，根据题目的条件，样本空间为45人。
而事件A为抽到女生，其中有25人符合条件。
所以，事件A的概率为 P(A) = 25/45。
2.统计应用题解析统计应用题主要涉及频数、频率、平均数、中位数、众数、方差等概念。
解决这类题目需要根据给定的数据进行分析，并选择合适的统计方法。
下面以一个具体的例子来进行解析。
例：某班有30人，考试的成绩如下：80，85，90，75，65，70，60，95，90，85，80，85，90，75，65，70，60，95，90，85，80，85，90，75，65。
求这组数据的平均数。
解析：根据题目的要求，我们需要求这组数据的平均数。
平均数的计算公式为：平均数 = 所有数据的和 / 数据的个数。
将给定的数据相加得到660，数据的个数为30，所以该组数据的平均数为660/30=22。
二、解题技巧总结1.理解题目背景和要求在解决概率与统计应用题时，首先需要理解题目的背景和要求。
通读题目，搞清楚需要计算概率还是统计指标，明确题目的核心内容。
2.识别关键信息在理解题目的基础上，要能够识别出问题中涉及的关键信息。
关键信息可以是已知的条件、所给数据、需要计算的值等。
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统计与概率综合专题考点一： ⎧⎪⎨⎪⎩简单随机抽样抽样分层抽样(关键：确定抽样比）系统抽样（关键：号签为等差数列）1、 某所大学的计算机工程学院的大一新生有160人，其中男生95人，女生65人，现在要抽取一个容量为20的样本，若用分层抽样，女生应抽取__ ____人．2、 某学校有教师160人，后勤服务人员40人，行政管理人员20人，要从中抽选22人参加学区召开的职工代表大会，为了使所抽的人员更具有代表性，分别应从上述人员中抽选教师_______人，后勤服务人员______人，行政管理人员_____人。
3、某学校高一、高二、高三年级学生分别有1000名、800名、700名，为了了解全校学生的视力情况，欲从中抽取容量为200的样本，怎样抽取较为合理？4、一个总体分为两层，用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知B 层中每个被抽到的概率都是112，则总体的个数为 5、(2012·四川高考，文3)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )．A ．101B ．808C ．1 212D ．2 012考点二：频率分布直方图1、高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面图表，①②③④处的数值分别为： （2）根据题中信息估计总体平均数（3）估计总体落在［129，150］中的概率为 .2、某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图．(1)求图中实数a 的值；(2)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在[40,50)与[90,100)两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．3、如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]，样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为__________．4、(2012·广东高考，文17)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]． (1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数考点三：茎叶图1、数据8，51，33，39，38，23，26，28，13，16，14的茎叶图是 （ ）（A ）1234583 4 636 83 8 91 （B ）01234583 4 636 83 8 91 （C ）1234583 4 636 83 8 901（D ）01234583 4 636 83 8 9112、茎叶图0 4 9 1 1 6 6 7 94 5 2 5 甲 54321019 8 38 6 364 38乙中，甲组数据的中位数是（ ）（A ）31（B ）5.3323631=+ （C ）36 （D ）37分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y 1∶1 2∶1 3∶4 4∶53、在茎叶图5678938 5 4 1 09 6 2 2 185 4 3 22中，样本的中位数为 ，众数为 。
4、茎叶图432187 6 532 1220中所记录的原始数据共有 个，求中位数 。
5、一个班的语文成绩的茎叶图为98760 3 4 4 6 7 3 5 5 5 60 2 3 3 51，则优秀率（80及以上）为 ，最低分是 。
6、下图是2008年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为7、(2012·湖南高考，文13)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．7、随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差(3)现从乙班这10名同学中随机抽取2名身高不低于173cm 的同学,求身高为176cm 的同学被抽中的概率.7 8 994 4 6 4 7 3考点四：平均数、中位数、众数、方差，标准差 平均数：x 12=nx x x n++众数：数据出现次数最多的数 中位数：处于中间位置的数方差： x 是样本数据n x x x ,,21平均数，则方差12222()()()12s x x x x x x n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦标准差：[]22221)()()(1x x x x x x ns n n -++-+-=1、两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲: 7, 8, 7, 9, 5, 4, 9, 10, 7, 4 乙: 9, 5, 7, 8, 7， 6, 8, 6, 7, 7如果你是教练，你应该如何对这次射击情况作出评价? 如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？2、甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/km2 ），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定．、考点五：线性回归方程①样本中心在回归线上。
即：点(,)x y 在回归线y bx a =+上 ②变量相关性越强，相关系数r 的绝对值r 越接近1.1、实验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( ) A 、y ^＝x ＋1 B 、y ^＝x ＋2 C 、y ^＝2x ＋1 D 、y ^＝x －1 2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是( )A 、相关系数用来衡量变量x 与y 之间的线性相关程度B 、|r |≤1，且|r |越接近于1，相关程度越大C 、|r |≤1，且|r |越接近0，相关程度越小D 、|r |≥1，且|r |越接近1，相关程度越小3、某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(C ︒)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表： 气温（C ︒） 18 13 10 -1 杯 数24343864由表中数据算得线性回归方程a bx y +=ˆ中的2-≈b ，预测当气温为C ︒-5时，热茶销售量为 杯．4、下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y ^＝－0.7x ＋a ，则a 等于______．5、某服装商场为了了解毛衣的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x (℃) 17 13 8 2 月销售量y (件) 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ^＝bx ＋a 中的b ≈－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．6、某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：零件的个数x (个) 2 3 4 5 加工的时间y (小时) 2.5 3 4 4.5(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(注：b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i －n x2，a ＝y －b x )(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ，并在坐标系中画出回归直线；(3)试预测加工10个零件需要多少小时？7、 (2012·福建高考，文18)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x /元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y /件 90 84 83 80 75 68(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －b ^x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)月份x 1 2 3 4 用水量y 4.5 4 3 2.5考点六：独立性检验①计算22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ②对于问题的回答方法。
（能或者不能）1、利用独立性检验来考察两个分类变量X 和Y 是否有关系时，通过查阅下表来确定“X 与Y 有关系”的可A ．25%B ．75%C ．2.5%D ．97.5%2、为研究某新药的疗效，给50设H 0效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．（答案）：由公式计算得K 2的观测值k ≈4.882， ∵k >3.841，∴我们有95%的把握认为服用此药的效果与患者的性别有关，从而有5%的可能性出错． 答案：4.882 5%3名学生得到如下列表：由表中数据计算知系．4、 (2010年课标全国卷)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500(1)(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++。